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2004학년도 11월 고2 전국연합학력평가 문제지

국 어

공    통

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국 어

공    통

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국 어

공    통

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국 어

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국 어

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수 리 영 역 (나형)

제 2 교시

성명			수험번호						2

수리 영역 (나형)

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수리 영역 (나형)

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◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형, 답을 표기할 때에는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 0이 포함된 경우, 0을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

1. [eqn: log _a ```3 = 5 over 2]일 때, [eqn: a^5]의 값은? (단, [eqn: a`＞``0 ,~ a ne 1]) [2점]

①  [eqn: 2]

②  [eqn: 3]

③  [eqn: 5]

④  [eqn: 9]

⑤ [eqn: 10]

2. 이차정사각행렬 [eqn: A,~B`]에 대하여

[eqn: A+B`= PMATRIX { 1 & -2 ``# 3 & ~~2 `` }], [eqn: AB+BA`= PMATRIX { -6 & -7 ``# ~~3 & ~~2 `` }]가 성립할 때,

[eqn: A^2 +B^2 `]은? [2점]

① [eqn: pmatrix{-5&-6``#~~9&-2``}]

② [eqn: pmatrix{~`~1&~~1``#~`~6&-4``}]

③ [eqn: pmatrix{-5&-9``#~~6&~~0``}]

④ [eqn: pmatrix{-1&~~1``#~~6&-4``}]

⑤ [eqn: pmatrix{-6&~`~7``#~~3&~`~2``}]

3. [eqn: 32^{3over5} + 625^-0.25]의 값은? [3점]

①  [eqn: 39 over 5]

②  [eqn: 41 over 5]

③  [eqn: 49 over 6]

④  [eqn: 199 over 25]

⑤  [eqn: 201 over 25]

4. [eqn: x,~y`]에 대한 연립방정식 [eqn: pmatrix { a+5 & 0`` # 2 &a`` } pmatrix { x``# y``} = pmatrix { 2x-y`` # y`` }]의 해가 무수히 많을 때, 상수 [eqn: a`]값들의 합은? [3점]

① [eqn: -2]

② [eqn: -1]

③   [eqn: 0]

④   [eqn: 1]

⑤   [eqn: 2]

5. 수열 [eqn: left{`a_n ` right}]에서 [eqn: a_1 + a_2 + a_3 + `` cdots``+ a_n-1 + a_n = n^2]일 때,

[eqn: a_1 - a_2 + a_3 - a_4 +`` cdots`` + a_2003 - a_2004]의 값은? [3점]

① [eqn: -2004]

② [eqn: -2002]

③     [eqn: 0]

④   [eqn: 2002]

⑤   [eqn: 2004]

6. 행렬 [eqn: A = pmatrix { 2 & -1`` # 5 & -4`` } ,~B=pmatrix { 1 & ~~2`` # 3 & -1`` },~C=pmatrix { 3 & -4` `# 7 & -7` `}]에 대하여 [eqn: xA+yB=C`]를 만족하는 상수 [eqn: x,~y`]의 합은? [3점]

① [eqn: -2]

② [eqn: -1]

③    [eqn: 0]

④    [eqn: 1]

⑤    [eqn: 2]

7. 행렬 [eqn: A = pmatrix {~~3&~~2``#-5&-3``}]일 때, [eqn: A^105 pmatrix {~~1``#-1``}]의 모든 성분의

합은? [4점]

① [eqn: -2]

② [eqn: -1]

③   [eqn: 0]

④   [eqn: 1]

⑤   [eqn: 2]

8. 그림과 같이 원 [eqn: rm C_1 ,~ C_2 , ~ C_3 , ~ C_4]는 이웃하는 두 원끼리 외접하며 이들 원의 중심은 지름의 길이가 [eqn: 15]인 원 [eqn: rm C`]의 지름 위에  모두 있고, 원 [eqn: rm C_1 `], [eqn: rm C_4`]는 원 [eqn: rmC`]와 내접하고 있다.  원 [eqn: rm C_1 ,][eqn: rm C_2 ,]

[eqn: rm C_3 , ~ C_4]의 지름의 길이가 차례로 등비수열을 이룰 때,  어두운 부분의 넓이는? (단, 원 [eqn: rm C_1]의 지름의 길이는 [eqn: 1]이다.) [4점]

[eqn: rm C_3]

[eqn: rm C_4]

[eqn: rm C_1]

[eqn: rm C_2]

[eqn: rm C]

① [eqn: 25 pi]

② [eqn: 30 pi]

③ [eqn: 35 pi]

④ [eqn: 40 pi]

⑤ [eqn: 45 pi]

9. [eqn: 0``≦``x``≦``4]에서 함수 [eqn: f`(x) = sum from k=1 to 3 ` LEFT | x-k` RIGHT |]로 정의할 때, [eqn: f`(x)]의 최대값과 최소값의 합은? [3점]

① [eqn: 0]

② [eqn: 2]

③ [eqn: 4]

④ [eqn: 6]

⑤ [eqn: 8]

10. [eqn: n`]이 [eqn: 2] 이상의 자연수일 때, <보기>에서 거듭제곱근에 대한 설명 중 옳은 것을 모두 고르면? [3점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: n`]이 홀수일 때, [eqn: `^n root {-5`} = - ^n root {5`}]이다. ㄴ. [eqn: n`]이 짝수일 때, [eqn: `^n root {(-5)^n `} = -5]이다. ㄷ. [eqn: n`]이 홀수일 때, [eqn: x^n = -5]를 만족하는 실수 [eqn: x`]는 [eqn: 1]개이다. ㄹ. [eqn: n`]이 짝수일 때, [eqn: x^n = 5]를 만족하는 실수 [eqn: x`]는 [eqn: n`]개이다.

① ㄱ, ㄷ

② ㄴ, ㄷ

③ ㄴ, ㄹ

④ ㄱ, ㄴ, ㄹ

⑤ ㄱ, ㄷ, ㄹ

11. [eqn: 3^111]의 최고 자리 숫자는? (단, [eqn: log_10 3 = 0. 4771]이다.) [4점]

① [eqn: 1]

② [eqn: 3]

③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]

⑤ [eqn: 9]

12. [eqn: log _3 ``9]의 값과 같은 것을 <보기>에서 모두 고르면? [3점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: {log_3 `` 16 ``} over {log_3 `` 4 ``}] ㄴ. [eqn: log _{1over2} 1over8 + log_{1over3} 3] ㄷ. [eqn: log _ 4 ```6 `+` log_4 ```10] ㄹ. [eqn: 1over 3 log _ 10 ``{10^7 + 10^6 `}over11]

① ㄱ, ㄴ

② ㄱ, ㄷ

③ ㄷ, ㄹ

④ ㄱ, ㄴ, ㄹ

⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

13. 다음은 [eqn: 2] 이상의 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: 1 + 1over2^2 + 1over 3^2 + `` cdots + 1over n^2 `＜`` 2 - 1over n]임을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

	<증명> (ⅰ) [eqn: n=] 일 때, [eqn: (좌변) = 1 + 1 over 2^2 = 5 over 4 `＜`` 2- 1over 2 = 3over2 = (우변)] 따라서, [eqn: n =] 일 때, 주어진 식은 성립한다. (ⅱ) [eqn: n=k`]([eqn: n`≧``2])일 때, 주어진 식이 성립한다고 가정하면 [eqn: 1 + 1over2^2 + 1over 3^2 + `` cdots + 1over k^2 `＜`` 2 - 1over k]이다. 위 식의 양변에 [eqn: 1 over (k+1)^2]을 더하면 [eqn: 1 + 1over2^2 + 1over 3^2 + cdots + 1over k^2 + 1 over (k+1)^2 ＜ 2 - 1over k + 1 over (k+1)^2] 그런데 [eqn: left{ - 1 over k + 1 over (k+1)^2 right} -] [eqn: = - 1 over k(k+1)^2 `＜`` 0]이므로 [eqn: 2 - 1over k + 1 over (k+1)^2 `＜`` 2 - 1 over k+1]이다. 따라서, [eqn: n = k+1]일 때에도 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: n`≧`2]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: 1 + 1over2^2 + 1over 3^2 + `` cdots + 1over n^2 `＜`` 2 - 1over n]이 성립한다. (나) (가) (가)

이 증명 과정에서 (가), (나)에 알맞은 내용을 바르게 짝지은 것은? [3점]

(가)               (나)

①   [eqn: 1]	[eqn: 1 over k+1]

②   [eqn: 1]	[eqn: - 1 over k+1]

③   [eqn: 2]	[eqn: - 1 over k+1]

④   [eqn: 2]	[eqn: 1 over k(k+1)]

⑤   [eqn: 2]	[eqn: 1 over (k+1)^2]

14. 두 수열 [eqn: left{a_n ` right}], [eqn: left{b_n ` right}]은 [eqn: a_1 = 3], [eqn: b_1 =2], [eqn: a_n+1 = 4a_n + b_n] ,

[eqn: b_n+1 = a_n + 4 b_n]을 만족한다. 다음은 수열 [eqn: left{a_n ` right}]의 일반항을 구하는 과정이다. (단, [eqn: n`≧``1])

	[eqn: a_1 = 3], [eqn: b_1 = 2] [eqn: cases{`` a_n+1 `=`` 4 a_n + b_n ~~~cdotscdots~ ㉠ ##``b_n+1 ``=`` a_n + 4 b_n ~~~cdotscdots ~㉡}] [eqn: ㉠+㉡]을 하면 [eqn: a_n+1 + b_n+1 = 5( a_n +b_n `)]이므로 [eqn: a_n + b_n =] [eqn: cdotscdots ~㉢] [eqn: ㉠-㉡]을 하면 [eqn: a_n+1 - b_n+1 =3 ( a_n - b_n `)]이므로 [eqn: a_n - b_n =] [eqn: cdotscdots ~㉣] 여기서, [eqn: ㉢+㉣]을 하여 정리하면 [eqn: a_n =] 이다. (나) (다) (가)

이 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 바르게 짝지은 것은? [4점]

(가)         (나)            (다)

① [eqn: 5^n-1]	[eqn: 3^n]	[eqn: `1 over 2 left( 5^n-1 + 3^n-1 right)]

② [eqn: 5^n-1]	[eqn: 3^n]	[eqn: ` 1 over 2 left( 5^n + 3^n-1 ` right)]

③ [eqn: 5^n]	[eqn: `3^n]	[eqn: ` 1 over 2 left( 5^n + 3^n ` right)]

④ [eqn: 5^n]	[eqn: `3^n-1]	[eqn: ` 1 over 2 left( 5^n-1 + 3^n-1 right)]

⑤ [eqn: 5^n]	[eqn: 3^n-1]	[eqn: ` 1 over 2 left( 5^n + 3^n-1 right)]

15. 자연수를 다음과 같은 규칙으로 배열할 때, [eqn: 101]부터 [eqn: 104]까지의 수를 배열한 모양으로 알맞은 것은? [4점]

①	②

[eqn: 101]

[eqn: 102]

[eqn: 103]

[eqn: 104]

[eqn: 104]

[eqn: 103]

[eqn: 102]

[eqn: 101]

③	④

[eqn: 104]

[eqn: 103]

[eqn: 102]

[eqn: 101]

[eqn: 102]

[eqn: 103]

[eqn: 104]

[eqn: 101]

⑤

[eqn: 102]

[eqn: 103]

[eqn: 104]

[eqn: 101]

16. 수열 [eqn: left{ a_n `right}]에서 [eqn: a_1 = 1], [eqn: a_n+1 = 3 a_n -5 ~( n `≧``1)]일 때,

[eqn: a_100 - a_99]의 값은? [4점]

① [eqn: -3^98 +1]

② [eqn: -3^99 +1]

③ [eqn: -3^99]

④ [eqn: -3^100]

⑤ [eqn: -3^100 +1]

17. 양수 [eqn: x,~y,~z`]가 이 순서로 등차수열을 이루고 [eqn: a^ {1over x} = b^{1over y} = c^{1over z}]일 때, [eqn: 4a+c over 3b]의 최소값은? (단, [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]는 [eqn: 1]이 아닌 양수이다.) [4점]

① [eqn: 1over2]

② [eqn: 2over3]

③  [eqn: 1]

④ [eqn: 4over 3]

⑤ [eqn: 3over2]

18. 정부에서는 흡연률과 간접흡연의 피해를 줄이고 청소년 흡연예방 등을 위해 담배 가격을 지속적으로 인상하려고 한다. 만약 정부가 담배 가격을 매년 일정한 시기에 바로 이전 연도 보다

[eqn: 15%]씩 올리기로 한다면, 현재 가격의 세 배 이상이 되는 것은 최소 [eqn: n`]년이 경과해야 한다. [eqn: n`]의 값은? (단, [eqn: log _10 ` 1.15 = 0.0607], [eqn: log _10 `3 = 0.4771]이다.) [3점]

①  [eqn: 6]

②  [eqn: 7]

③  [eqn: 8]

④  [eqn: 9]

⑤ [eqn: 10]

19. 그림과 같이 직사각형 모양의 색종이 위에 도형 [eqn: <`1`>], [eqn: <`2`>], [eqn: <`3`>]이 그려져 있다. 행렬 [eqn: A`]의 [eqn: ( i,~j)] 성분 [eqn: a_{i`j}]는 도형 [eqn: <`i`>]와 [eqn: <`j`>]로 잘려진 조각의 개수이다. 행렬 [eqn: A`]는?

(단, [eqn: i = 1,~ 2,~3,~ j = 1, ~ 2,~3]) [3점]

[eqn: <`2`>]

[eqn: <`3`>]

[eqn: <`1`>]

① [eqn: pmatrix{2&2&2``#2&2&1``#2&1&2``}]

② [eqn: pmatrix{2&2&1``#2&2&3``#3&3&2``}]

③ [eqn: pmatrix{2&4&4``#4&2&2``#4&2&2``}]

④ [eqn: pmatrix{2&3&4``#3&2&4``#4&4&2``}]

⑤ [eqn: pmatrix{2&4&4``#4&2&3``#4&3&2``}]

20. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: 2^n]이 일곱 자리의 수라고 할 때, 이를 만족하는 [eqn: 2^n]의 값 중 가장 큰 값을 이진법으로 나타내면 몇 자리 수인가? (단, [eqn: log_10 `2 = 0.3010]이다.) [4점]

① [eqn: 21]

② [eqn: 22]

③ [eqn: 23]

④ [eqn: 24]

⑤ [eqn: 25]

21. 이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B`]와 단위행렬 [eqn: E`]에 대하여 [eqn: AB =BA`],

[eqn: 2AB = A- 2B + 2E `]가 성립할 때, [eqn: A+E`]의 역행렬을 [eqn: B`]와 [eqn: E`]를

이용하여 나타내면? [4점]

① [eqn: 2B -E`]

② [eqn: 2B+E`]

③ [eqn: B+2E`]

④ [eqn: B-2E]

⑤ [eqn: -B-2E`]

단 답 형

22. 행렬 [eqn: A = PMATRIX { 24 over k&secθ``` ## sinθ & 1over 2 ``` }], [eqn: B = PMATRIX { tanθ ``& 13 over 5 ```## 12 over 13 `` & 1 over 2``` }]일 때,

[eqn: A = B`]를 만족하는 상수 [eqn: k`]의 값을 구하시오. [2점]

23. [eqn: 20^x = 32], [eqn: 5^y = 128]일 때, [eqn: 5 over x - 7 over y]의 값을 구하시오. [3점]

24. 이차정사각행렬 [eqn: A`]에 대하여 [eqn: A^2 = E`],  [eqn: A pmatrix { 4`` # 3`` }= pmatrix { 5`` # 4`` }]가

성립할 때, [eqn: A pmatrix {~~3``#-1``}]의 모든 성분의 합을 구하시오. (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [4점]

25. 행렬 [eqn: pmatrix {a&b``#c & d``}]가 좌표평면 위의 두 점 [eqn: ( a,~ c`),] [eqn: ( b, ~ d `)]를 나타낸다고 하자. 행렬 [eqn: A = pmatrix {1&~~2`` # 3& -1``}]에 대하여 [eqn: B=A^2 + A + 8E `]일 때,

원점 [eqn: rm O`]와 행렬 [eqn: B`]가 나타내는 두 점 [eqn: rm P( it alpha, ~beta `),] [eqn: rmQ ( it gamma , ~ delta `)]를 꼭지점으로 하는 삼각형 [eqn: rm OPQ]의 넓이를 구하시오. (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [4점]

26. 양수 [eqn: x,~y~ (x` ＞``y)]에 대하여 [eqn: x-y`], [eqn: xy`]의 상용로그의 지표가 각각 [eqn: 4], [eqn: 3]일 때, [eqn: 1 over y - 1 over x]이 취하는 값의 범위에 있는 모든  자연수의 개수를 구하시오. [4점]

27. [eqn: x`]에 대한 이차다항식 [eqn: f`(x) = a^2 ( x-1) ^ 2 +7a(x+1) +1]을

[eqn: x-1], [eqn: x+1], [eqn: x+2]로 나눈 나머지들을 차례로 나열하면 등차수열이 된다. 이때, [eqn: a^2]의 값을 구하시오. [3점]

28. 양수 [eqn: a`]를 연산 장치에 입력하면 이 출력된다고 한다.

[eqn: 4]

[eqn: root {a``` root{a^3 ```}}]

[eqn: root{a^3 ```}]을 이 장치에 입력하여 출력된 값이 [eqn: a^ {n over m}]과 같다. 이때,

[eqn: m+n`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: m`]과 [eqn: n`]은 서로 소인 양의 정수이다.) [3점]

29. 이차방정식 [eqn: x^2 -3x + 1 =0]의 두 근을 [eqn: alpha ,~ beta] 라 할 때,

[eqn: sum from k=1 to 5 ` left( k +alpha^2 ` right)left(k + beta^2 ` right)]의 값을 구하시오. [3점]

30. 크기가 같은 벽돌로 쌓은 [eqn: 15]층탑이 있다. 이 탑에 사용된 벽돌의 개수는  맨 아래층에서 한 층씩 위로 올라갈수록 일정한 개수만큼 줄어든다. 맨 위층의 벽돌 수는 [eqn: 9]개, 탑 전체 벽돌 수는 [eqn: 3]층 벽돌 수의 [eqn: 10]배이다. 탑 전체 벽돌의 개수를 구하시오. [4점]

※ 확인사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.