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2016학년도 9월 고1 전국연합학력평가 문제지

수학 영역

제 2 교시

5 지 선 다 형

1. 두 집합 [eqn: A= LEFT { 1,~3 RIGHT } `], [eqn: B= LEFT { 2,~3,~4,~5 RIGHT } `]에 대하여

집합 [eqn: A`smallunionB`]의 모든 원소의 합은? [2점]

① [eqn: 14]       ② [eqn: 15]       ③ [eqn: 16]       ④ [eqn: 17]       ⑤ [eqn: 18]

2. 두 다항식

[eqn: A=`2x ^{2} -4x-2`], [eqn: B=3x+3`]

에 대하여 [eqn: X-A=B`]를 만족시키는 다항식 [eqn: X`]는? [2점]

① [eqn: 2x ^{2}-x+1]             ② [eqn: 2x ^{2}+x+1]

③ [eqn: 2x ^{2}+x-1]             ④ [eqn: -2x ^{2}-x+1]

⑤ [eqn: -2x ^{2}+x+1]

3. 좌표평면 위의 점 [eqn: (2,~3)`]을 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: -1`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 2`]만큼 평행이동한 점의 좌표가 [eqn: (a,~b)`]일 때, [eqn: a+b`]의 값은? [2점]

① [eqn: 4]        ② [eqn: 5]        ③ [eqn: 6]        ④ [eqn: 7]        ⑤ [eqn: 8]

4. 좌표평면에서 두 점 [eqn: rm A(ita,~ 3)`], [eqn: rm B( 2,~1)] 사이의 거리가 [eqn: sqrt{13}`]일 때, 양수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]        ② [eqn: 2]        ③ [eqn: 3]        ④ [eqn: 4]        ⑤ [eqn: 5]

5. 다항식 [eqn: (2x+y) ^{2} -2(2x+y)-3`]을 인수분해하면

[eqn: (ax+y+1)(2x+by+c)`]일 때, [eqn: a+b+c`]의 값은? (단, [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: -4]       ② [eqn: -2]       ③ [eqn: 0]       ④ [eqn: 2]       ⑤ [eqn: 4]

6. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 등식

[eqn: x^{2}+3x+2=(x-2)^{2}+a(x-2)+b`]

가 성립할 때, [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 17]       ② [eqn: 18]       ③ [eqn: 19]       ④ [eqn: 20]       ⑤ [eqn: 21]

7. 좌표평면에서 두 직선 [eqn: x-2y+2=0`], [eqn: 2x+y-6=0`]이 만나는 점과 점 [eqn: rm (4,~0)`]을 지나는 직선의 [eqn: y`]절편은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: {5} over {2}]       ② [eqn: 3]       ③ [eqn: {7} over {2}]       ④ [eqn: 4]       ⑤ [eqn: {9} over {2}]

8. 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A(1,~3)`], [eqn: rm B(2,~1)`]에 대하여 선분 [eqn: rmAB`]를 [eqn: 3:2`]로 외분하는 점을 [eqn: rmC`]라 하자. 선분 [eqn: rm BC `]를 지름으로 하는 원의 중심의 좌표를 [eqn: (a,~b)`]라 할 때, [eqn: a+b`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]        ② [eqn: 2]        ③ [eqn: 3]        ④ [eqn: 4]        ⑤ [eqn: 5]

9. 등식 [eqn: (3+2i)x ^{2} -5(2y+i)x=8+12i`]를 만족시키는 두 정수 [eqn: x`], [eqn: y`]에 대하여 [eqn: x+y`]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}`]) [3점]

① [eqn: 1]        ② [eqn: 2]        ③ [eqn: 3]        ④ [eqn: 4]        ⑤ [eqn: 5]

10. 이차함수 [eqn: f(x)=x ^{2} -2ax+9a`]에 대하여

이차부등식 [eqn: f(x) < 0`]을 만족시키는 해가 없도록 하는 정수   [eqn: a`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 9]        ② [eqn: 10]        ③ [eqn: 11]        ④ [eqn: 12]        ⑤ [eqn: 13]

11. 실수 [eqn: x`]에 대하여 두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]를 각각

[eqn: p`:`LEFT ( x-5 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT ) GEQ 0`]

[eqn: q`:` |` x-8 `| <a`]

라 하자. [eqn: p`]는 [eqn: q`]이기 위한 필요조건이 되도록 하는 자연수 [eqn: a`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 1]        ② [eqn: 3]        ③ [eqn: 5]        ④ [eqn: 7]        ⑤ [eqn: 9]

12. 부등식 [eqn: LEFT ( x ^{2} -y` RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +y-1 RIGHT ) ge0`]의 영역을 좌표평면 위에 어두운 부분으로 바르게 나타낸 것은? (단, 경계선은 포함한다.) [3점]

①	[eqn: x] [eqn: rmO] [eqn: y]	②	[eqn: x] [eqn: rmO] [eqn: y]
③	[eqn: x] [eqn: rmO] [eqn: y]	④	[eqn: x] [eqn: rmO] [eqn: y]
⑤	[eqn: x] [eqn: rmO] [eqn: y]

13. 연립방정식

[eqn: {cases{`x ^{2} +y ^{2} =40#`4x ^{2} +y ^{2} =4xy}} `]

의 해를 [eqn: x= alpha `], [eqn: y=beta`]라 할 때, [eqn: alphabeta`]의 값은? [3점]

① [eqn: 16]       ② [eqn: 17]       ③ [eqn: 18]       ④ [eqn: 19]       ⑤ [eqn: 20]

14. 좌표평면에서 원점 [eqn: rmO`]를 지나고 꼭짓점이 [eqn: rm A(2,~-4)`]인 이차함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 [eqn: x`]축과 만나는 점 중에서 원점이 아닌 점을 [eqn: rmB`]라 하자. 직선 [eqn: y=mx`]가 삼각형 [eqn: rm OAB`]의 넓이를 이등분하도록 하는 실수 [eqn: m`]의 값은? [4점]

① [eqn: - {1} over {6}]     ② [eqn: - {1} over {3}]     ③ [eqn: - {1} over {2}]     ④ [eqn: - {2} over {3}]     ⑤ [eqn: - {5} over {6}]

15. 양수 [eqn: {a} `]에 대하여 두 함수 [eqn: f(x)=x ^{2} `]과 [eqn: g(x)=ax+2a ^{2}`]의 그래프가 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]라 하고, 직선 [eqn: y=g(x)`]가 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rmC`], [eqn: y`]축과 만나는 점을 [eqn: rmD`], 점 [eqn: rmA`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmE`]라 하자. 삼각형 [eqn: rm COD`]의 넓이를 [eqn: S_{1}`], 사각형 [eqn: rm OEAD`]의 넓이를 [eqn: S_{2}`]라 할 때, [eqn: S_{2}=kS_{1}`]을 만족시키는 실수 [eqn: k`]의 값은? (단, [eqn: RMO`]는 원점이고, 두 점 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]는 각각 제[eqn: 1`]사분면과 제[eqn: 2`]사분면 위에 있다.) [4점]

① [eqn: {11} over {4}]      ② [eqn: {23} over {8}]      ③ [eqn: 3]      ④ [eqn: {25} over {8}]      ⑤ [eqn: {13} over {4}]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y=g(x)]

[eqn: rm B]

[eqn: rmA]

16. [eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: x ^{3} +(8-a)x ^{2} +(a ^{2} -8a`)x-a ^{3} =0`]이 서로 다른 세 실근을 갖기 위한 정수 [eqn: a`]의 개수는? [4점]

① [eqn: 6]       ② [eqn: 8]       ③ [eqn: 10]       ④ [eqn: 12]       ⑤ [eqn: 14]

17. 어떤 퇴적물 입자를 정지된 유체 속으로 떨어뜨리게 되면 처음 얼마 동안은 중력의 영향으로 그 입자는 가속을 받게 되나 유체의 저항력으로 인하여 곧 입자에 작용하는 중력과 유체의 저항력이 같게 되어 이 퇴적물 입자는 일정한 속도로 가라앉게 된다.

점성도가 [eqn: mu `]이고 밀도가 [eqn: lambda `]인 유체 내에서 퇴적물의 일정한 하강 속도를 [eqn: V`], 퇴적물 입자의 밀도를 [eqn: rho `], 퇴적물 입자의 직경을 [eqn: D`]라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

[eqn: V= {LEFT ( rho - lambda ` RIGHT ) g} over {18 mu } D ^{2}`] (단, [eqn: g`]는 중력가속도이다.)

점성도가 [eqn: k`][eqn: (k>0)`]이고 밀도가 [eqn: c`][eqn: (c>0)`]인 유체 속으로 두 퇴적물 입자 [eqn: A`], [eqn: B`]를 각각 떨어뜨렸을 때 두 퇴적물 입자 [eqn: A`], [eqn: B`]의 일정한 하강 속도를 각각 [eqn: V_{A}`], [eqn: V_{B}`]라 하자. 두 퇴적물 입자 [eqn: A`], [eqn: B`]의 밀도가 각각 [eqn: 4c`], [eqn: 7c`]이고, 퇴적물 입자 [eqn: A`]의 직경과 퇴적물 입자 [eqn: B`]의 직경의 비가 [eqn: 2 : 5`]일 때, [eqn: {V_{A}}over{V_{B}}`]의 값은?

[4점]

① [eqn: {3} over {50}]      ② [eqn: {2} over {25}]      ③ [eqn: {1} over {10}]      ④ [eqn: {3} over {25}]      ⑤ [eqn: {7} over {50}]

18. 어느 화원에서 장미와 안개꽃으로 두 종류의 꽃다발 [eqn: A`], [eqn: B`]를 각각 한 다발씩 만들 때, 필요한 장미와 안개꽃의 수량과 판매 이익은 다음 표와 같다.

꽃다발	장미(송이)	안개꽃(단)	판매 이익(원)
[eqn: A]	[eqn: 5]	[eqn: 3]	[eqn: 1000]
[eqn: B]	[eqn: 4]	[eqn: 4]	[eqn: 1200]

이 화원에서 두 종류의 꽃다발 [eqn: A`], [eqn: B`]를 만드는데 사용 가능한 장미와 안개꽃은 각각 [eqn: 310`]송이, [eqn: 250`]단을 초과할 수 없을 때, 두 종류의 꽃다발 [eqn: A`], [eqn: B`]를 만들어서 얻을 수 있는 최대 판매 이익은? [4점]

① [eqn: 74800`]원          ② [eqn: 75800`]원         ③ [eqn: 77000`]원

④ [eqn: 78000`]원          ⑤ [eqn: 79200`]원

19. 그림과 같이 좌표평면에서 원점을 지나는 직선 [eqn: l`]이 [eqn: x`]축과 이루는 각의 크기가 [eqn: 60 DEG `]이고, 직선 [eqn: l`]을 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동시킨 직선 [eqn: m`]이 있다. 원 [eqn: x ^{2}+y^{2}=r^{2}] 위의 제[eqn: 1`]사분면에 있는 점 [eqn: rmP`]에서 [eqn: x`]축과 두 직선 [eqn: l`], [eqn: m`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`], [eqn: rmC`]라 하자. 다음은 [eqn: {bar{rmPA}}^{`2}+{bar{rmPB}}^{`2}+{bar{rmPC}}^{`2}=box{~(다)~}`]를 구하는 과정이다. (단, 점 [eqn: rmP`]는 직선 [eqn: l`] 위에 있지 않다.)

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmP]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: l]

[eqn: m]

[eqn: rmC]

	직선 [eqn: l`]의 방정식은 [eqn: y=sqrt{3}x`]이고 직선 [eqn: m`]의 방정식은 [eqn: y=BOX{~(가)~} `x`]이다. 원 위의 제[eqn: 1`]사분면에 있는 점을 [eqn: rmP(ita,~b)`]라 하면 [eqn: a>0`], [eqn: b>0`]이고 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =r ^{2} `]이다. 점 [eqn: rmP`]에서 [eqn: x`]축과 두 직선 [eqn: l`], [eqn: m`]에 내린 수선의 발이 각각 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`], [eqn: rmC`]이므로 [eqn: bar{rm PA it} = b `] [eqn: bar{rm PB it} = { LEFT | sqrt {3} a- b RIGHT |}over{box{~(나)~} `] [eqn: bar{rm PC it} = { LEFT | sqrt {3} a+ b RIGHT |}over{box{~(나)~} `] 따라서 [eqn: {bar{rmPA}}^{`2}+{bar{rmPB}}^{`2}+{bar{rmPC}}^{`2}= BOX{~(다)~}`]	ㅁ

위의 (가), (나)에 알맞은 수를 각각 [eqn: s`], [eqn: t`]라 하고, (다)에 알맞은 식을 [eqn: f(r)`]라 할 때, [eqn: f(s`timest)`]의 값은? [4점]

① [eqn: 14]       ② [eqn: 15]       ③ [eqn: 16]       ④ [eqn: 17]       ⑤ [eqn: 18]

20. 좌표평면에서 점 [eqn: rmA{it(0,~1)}`]과 [eqn: x`]축 위의 점 [eqn: rm P it (t,~0) `]에 대하여 점 [eqn: rmP`]를 지나고 직선 [eqn: rmAP`]에 수직인 직선을 [eqn: l`]이라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: t`]는 [eqn: 0`]이 아닌 실수이다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: t=1`]일 때, 직선 [eqn: l`]의 기울기는 [eqn: 1`]이다. ㄴ. 점 [eqn: (3,~2)`]를 지나는 직선 [eqn: l`]의 개수는 [eqn: 2`]이다. ㄷ. 직선 [eqn: l`] 위의 모든 점 [eqn: (x,~y)`]에 대하여 부등식 [eqn: y`LEQ ax ^{2} `]이 성립하도록 하는 실수 [eqn: a`]의 최솟값은 [eqn: {1}over{4}`]이다.

① ㄱ               ② ㄷ               ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ            ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. 두 이차함수 [eqn: y=f(x)`], [eqn: y=g(x)`]와 일차함수 [eqn: y=h(x)`]에 대하여 두 함수 [eqn: y=f(x)`], [eqn: y=h(x)`]의 그래프가 접하는 점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: alpha`], 두 함수 [eqn: y=g(x)`], [eqn: y=h(x)`]의 그래프가 접하는 점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: beta`]라 할 때, 다음 조건을 만족시킨다.

	(가) 두 함수 [eqn: y=f(x)`]와 [eqn: y=g(x)`]의 최고차항의 계수는 각각 [eqn: 1`]과 [eqn: 4`]이다. (나) 두 양수 [eqn: alpha`,] [eqn: beta`]에 대하여 [eqn: alpha:beta =1:2`]

두 이차함수 [eqn: y=f(x)`]와 [eqn: y=g(x)`]의 그래프가 만나는 점 중에서 [eqn: x`]좌표가 [eqn: alpha`]와 [eqn: beta`] 사이에 있는 점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: t`]라 할 때, [eqn: t over alpha`]의 값은? [4점]

① [eqn: {7} over {6}]      ② [eqn: {4} over {3}]      ③ [eqn: {3} over {2}]      ④ [eqn: {5} over {3}]      ⑤ [eqn: {11} over {6}]

단 답 형

22. 명제 ‘[eqn: x=a`]이면 [eqn: x^{2}-5x-14=0`]이다.’가 참이 되도록 하는 양수 [eqn: a`]의 값을 구하시오. [3점]

23. [eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+9=0`]이 허근을 갖도록 하는 정수 [eqn: a`]의 개수를 구하시오. [3점]

24. 다항식 [eqn: f(x)=x^{2}+ax+b`]를 [eqn: x+1`]로 나눈 나머지가 [eqn: 2`]이고, [eqn: x-1`]로 나눈 나머지가 [eqn: 8`]일 때, [eqn: f(2)`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 상수이다.) [3점]

25. 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차방정식 [eqn: f(x)=0`]의 두 근을 [eqn: alpha `], [eqn: beta `]라 하자. [eqn: alpha + beta = 6`]이고 이차함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프의 꼭짓점이 직선 [eqn: y=2x-7] 위에 있을 때, [eqn: f(0)`]의 값을 구하시오. [3점]

26. 좌표평면 위의 점 [eqn: (3,~4)`]를 지나는 직선 중에서 원점과의 거리가 최대인 직선을 [eqn: l`]이라 하자. 원 [eqn: (x-7)^{2}+(y-5)^{2}=1] 위의 점 [eqn: rmP`]와 직선 [eqn: l] 사이의 거리의 최솟값을 [eqn: m`]이라 할 때, [eqn: 10m`]의 값을 구하시오. [4점]

27. 전체집합 [eqn: U=left{1,~2,~3,~4,~5,~6,~7,~8right}`]의 두 부분집합

[eqn: A`], [eqn: B`]가 다음 조건을 만족시킨다.

	(가) [eqn: A`smallinterB=left{3,~5right}`] (나) [eqn: A^{C}`smallinterB``^{C}=left{1,~7right}`]

집합 [eqn: X`]의 모든 원소의 합을 [eqn: S`(X)`]라 할 때, [eqn: S`(A)=2S`(B)`]가 되도록 하는 두 집합 [eqn: A`], [eqn: B`]에 대하여 [eqn: S`(A)`]의 값을 구하시오.

[4점]

28. 그림과 같이 좌표평면 위의 세 점 [eqn: rmA(-2,~4)`], [eqn: rmB(3,~-6)`], [eqn: rm C( ita ,~b)`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC`]에서 각 [eqn: rmACB`]의 이등분선이 원점 [eqn: rmO`]를 지날 때, 점 [eqn: rmC`]와 직선 [eqn: rmAB] 사이의 거리의 최댓값을 [eqn: m`]이라 하자. [eqn: m^{2}`]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmA]

29. 고대 이집트의 태양신을 상징하는 어느 오벨리스크는 사각뿔 모양의 돌이다. [그림 [eqn: 1`]]과 같이 높이가 [eqn: 10`][eqn: rmm`]인 삼각기둥 [eqn: rmABC-DEF] 모양의 돌을 이용하여 [그림 [eqn: 2`]]와 같이 밑면이 직사각형인 사각뿔 모양의 오벨리스크를 만들려고 한다.

삼각기둥 [eqn: rmABC-DEF`] 모양의 돌은 모서리 [eqn: rmEF`]의 길이가 [eqn: 6`][eqn: rmm`], 꼭짓점 [eqn: rmD`]에서 모서리 [eqn: rmEF]에 내린 수선의 발과 꼭짓점 [eqn: rmD`] 사이의 거리가 [eqn: 4`][eqn: rmm`]이다.

모서리 [eqn: rmEF] 위의 두 점 [eqn: rmG`], [eqn: rmH`]와 두 모서리 [eqn: rmFD`], [eqn: rmDE`] 위의 각각의 점 [eqn: rmI`], [eqn: rmJ`]가 직사각형 [eqn: rmGHIJ`]의 네 꼭짓점이 될 때, 높이가 [eqn: 10`][eqn: rmm`]이고  직사각형 [eqn: rmGHIJ`]를 밑면으로 하는 부피가 최대인 사각뿔 모양의 오벨리스크의 부피는 [eqn: V`][eqn: rmm^{3}`]이다. [eqn: V`]의 값을 구하시오. (단, 각 면에 있는 무늬는 무시한다.) [4점]

[eqn: rmA] [eqn: rmB] [eqn: rmC] [eqn: rmD] [eqn: rmE] [eqn: rmF]
[그림 [eqn: 1`]]	[그림 [eqn: 2`]]

30. 그림과 같이 [eqn: rmbar{rmAB}=3sqrt{2}`], [eqn: rmbar{rmBC}=4`], [eqn: rmbar{rmCA}=sqrt{10}`]인 삼각형 [eqn: rmABC`]에 대하여 세 선분 [eqn: rmAB`], [eqn: rm BC`], [eqn: rm CA] 위의 점을 각각 [eqn: rmD`], [eqn: rm E`], [eqn: rm F`]라 하자. 삼각형 [eqn: rmDEF`]의 둘레의 길이의 최솟값이 [eqn: {q} over {p}sqrt{5}`]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.