[eqn: 4 TIMES 16 ^{{1} over {4}}]의 값은? [2점]

2016학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(나형)

제 2 교시

수학 영역(나형)

수학 영역(나형)

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

두 집합 [eqn: A= LEFT { `3,``6,``9,``12,``15 RIGHT }], [eqn: B`= LEFT { `6,``12,``18 RIGHT }]에 대하여
집합 [eqn: A-B`]의 원소의 개수는? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{9n-1} over {2n+5}}]의 값은? [2점]

12

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① [eqn: 9over2`]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 11over2`]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: {13} over {2}]

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: log _{`2} `a=54], [eqn: log _{`2} `b=9]일 때,
[eqn: log _{`b} `a]의 값은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 15]

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{2} =5], [eqn: a _{10} =80]일 때, [eqn: {a _{5}} over {a _{1}}]의 값은? [3점]

① [eqn: sqrt {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 2 sqrt {2}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 4 sqrt {2}]

함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`ax-4``````` LEFT ( x<1` RIGHT )&#` ^{{} ^{{} ^{`}}} 2x-a``````` LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )&}}]

가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

자연수 [eqn: 8]을 세 개의 자연수로 분할하는 방법의 수는? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]에 대하여 두 명제 [eqn: p` -> ` SIM q]와 [eqn: r`->`q]가 모두 참일 때,
다음 명제 중 항상 참인 것은? [3점]

① [eqn: r`->` SIM p]	② [eqn: p`->`r]	③ [eqn: q`->`p]	④ [eqn: q` -> `simr]	⑤ [eqn: SIM r`->`p]

[eqn: 16]의 네제곱근 중 실수인 것을 [eqn: a], [eqn: -27]의 세제곱근 중 실수인 것을 [eqn: b]라 할 때, [eqn: a-b]의 최댓값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

할머니, 아버지, 어머니, 아들, 딸로 구성된 [eqn: 5]명의 가족이 있다.
이 가족이 그림과 같이 번호가 적힌 [eqn: 5]개의 의자에 모두 앉을 때,
아버지, 어머니가 모두 홀수 번호가 적힌 의자에 앉는 경우의 수는?

[3점]

① [eqn: 28]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 34]	⑤ [eqn: 36]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( 3a _{n} - {1} over {4} RIGHT ) =4`]일 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {a _{n}}]의 값은?

[3점]

① [eqn: {1} over {12}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {4}]	④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

실수 [eqn: x]에 대하여 두 조건 [eqn: p], [eqn: q]가

[eqn: p`:`a LEQ x LEQ a+2]
[eqn: q`:`x`<5] 또는 [eqn: x>9]

이다. [eqn: SIM p]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건이 되도록 하는 모든 정수 [eqn: a]의
값의 합은? [3점]

① [eqn: 14]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 22]

[13 ~ 14] 세 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = sqrt {x+2}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =`- sqrt {x-2} +2], [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =x]의 그래프가 그림과 같다. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y=h LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: rm -2]

함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프를 [eqn: x]축에
대하여 대칭이동한 후 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: m]만큼, [eqn: y]축의 방향으로
[eqn: n]만큼 평행이동한 것이다. 두 상수 [eqn: m], [eqn: n]의 합 [eqn: m+n`]의 값은?

[3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

함수 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT )]의 그래프 위의 점 [eqn: rm P LEFT ( it `a,``a RIGHT )]를 지나고 [eqn: x`]축에
평행한 직선이 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rm A],
함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rm B]라 하자.
점 [eqn: rm B]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 함수 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와
만나는 점을 [eqn: rm C]라 할 때, [eqn: lim _{a` -> `2-} {{{bar{rm BC it}}} over {{bar{rm AB it}}} `}]의 값은? (단, [eqn: 0<a<2`]) [4점]

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

그림과 같이 자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y=x ^{2}] 위의 점 [eqn: rm A _{it n rm} LEFT ( it `n,``n ^{2} RIGHT )]을
지나고 기울기가 [eqn: - sqrt {3}]인 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rm B _{it n}]이라
할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{rm {bar{OB _{it n rm}}} it} over {rm {bar{OA _{it n rm}}} it}}]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [4점]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: rmA _{itn}]

[eqn: rmB _{itn}]

[eqn: y=x ^{2}]

① [eqn: {sqrt {3}} over {7}]	② [eqn: {sqrt {3}} over {6}]	③ [eqn: {sqrt {3}} over {5}]

④ [eqn: {sqrt {3}} over {4}]	⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {3}]

어떤 지역의 먼지농도에 따른 대기오염 정도는 여과지에 공기를
여과시켜 헤이즈계수를 계산하여 판별한다. 광화학적 밀도가 일정 하도록 여과지 상의 빛을 분산시키는 고형물의 양을 헤이즈계수 [eqn: H``], 여과지 이동거리를 [eqn: L][eqn: LEFT ( rm m RIGHT )][eqn: LEFT ( L>0 RIGHT )], 여과지를 통과하는 빛전달률을 [eqn: S`][eqn: LEFT ( 0<S<1 RIGHT )]라 할 때, 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

[eqn: H`= {k} over {L} `log {1} over {S`}] (단, [eqn: k]는 양의 상수이다.)

두 지역 [eqn: A], [eqn: B`]의 대기오염 정도를 판별할 때, 각각의 헤이즈계수를 [eqn: H _{A}], [eqn: H _{B} `], 여과지 이동거리를 [eqn: L _{A}], [eqn: L _{B} `], 빛전달률을 [eqn: S _{A}], [eqn: S _{B} ``]라 하자.
[eqn: sqrt {3} H _{A} =2H _{B`} `], [eqn: L _{A} =2L _{B} `]일 때, [eqn: S _{A} = LEFT ( S _{B`} RIGHT ) ^{p}]을 만족시키는
실수 [eqn: p]의 값은? [4점]

① [eqn: sqrt {3}]	② [eqn: {4 sqrt {3}} over {3}]	③ [eqn: {5 sqrt {3}} over {3}]

④ [eqn: 2 sqrt {3}]	⑤ [eqn: {7 sqrt {3}} over {3}]

집합 [eqn: X= LEFT { `0,``1,``2,``3,``4 RIGHT }]의 모든 원소 [eqn: x]에 대하여 [eqn: X`]에서 [eqn: X`]로의 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 ‘[eqn: 2x]를 [eqn: 5]로 나눈 나머지’로 정의하고, [eqn: X`]에서 [eqn: X`]로의 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( f CIRC g RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )]를 만족시킨다.
[eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =3]일 때, [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) +g LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: {4} over {3 ^{`}} + {8} over {3 ^{2}} + {12} over {3 ^{3}} +` CDOTS `+ {4n} over {3 ^{n}} =3- {2n+3} over {3 ^{n}}] [eqn: CDOTS CDOTS](*)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

(1) [eqn: n=1]일 때, (좌변)[eqn: = {4} over {3}], (우변)[eqn: =3- {5} over {3} = {4} over {3}]이므로
(*)이 성립한다.

(2) [eqn: n=k]일 때, (*)이 성립한다고 가정하면
[eqn: {4} over {3 ^{`}} + {8} over {3 ^{2}} + {12} over {3 ^{3}} +` CDOTS `+ {4k} over {3 ^{k}} =3- {2k+3} over {3 ^{k}}]
이다.

위 등식의 양변에 [eqn: {4 LEFT ( k+1 RIGHT )} over {3 ^{k+1}}]을 더하여 정리하면

[eqn: LEFT . {4} over {3 ^{`}} + {8} over {3 ^{2}} + {12} over {3 ^{3}} +` CDOTS `+ {4k} over {3 ^{k}} + {4 LEFT ( k+1 RIGHT )} over {3 ^{k+1}} RIGHT .]

[eqn: LEFT . =3- {1} over {3 ^{k}} LEFT { (2k+3)-(` {BOX{`````````(가) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}} `````````}} `) RIGHT } RIGHT .]

[eqn: =3- {{BOX{``````````(나) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}} ``````````}} `} over {3 ^{k+1}}]

따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 (*)이 성립한다.
(1), (2)에 의하여

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 (*)이 성립한다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( k RIGHT )], [eqn: g LEFT ( k RIGHT )]라 할 때,
[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) TIMES g LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은? [4점]

① [eqn: 36]	② [eqn: 39]	③ [eqn: 42]

④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 48]

전체집합 [eqn: U= LEFT { x`□`x RIGHT .]는 [eqn: 7]이하의 자연수[eqn: LEFT . ` RIGHT }]의 세 부분집합
[eqn: A], [eqn: B], [eqn: C`]에 대하여 [eqn: B SUBSET A]이고 [eqn: A CUP C= LEFT { `1,``2,``3,``4,``5,``6 RIGHT }]이다.
[eqn: A-B`= LEFT { `5 RIGHT }], [eqn: B`-C`= LEFT { `2 RIGHT }], [eqn: C`-A= LEFT { `4,``6 RIGHT }]일 때,
집합 [eqn: A SMALLINTER LEFT ( B ^{it C} ` CUP C` RIGHT )]는? [4점]

① [eqn: LEFT { `5 RIGHT }]	② [eqn: LEFT { `1,``7 RIGHT }]	③ [eqn: LEFT { `3,``5 RIGHT }]

④ [eqn: LEFT { `1,``3`,``5 RIGHT }]	⑤ [eqn: LEFT { `1,``2,``3,``5,``7 RIGHT }]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정사각형에 내접하는 원 [eqn: O _{1}]이
있다. 정사각형과 원 [eqn: O _{1}]의 접점을 각각 [eqn: rm A _{1}], [eqn: rm B _{1}], [eqn: rm C _{1}], [eqn: rm D _{1}]이라 할 때,
원 [eqn: O _{1}]과 두 선분 [eqn: rm A _{1} B _{1}], [eqn: rm B _{1} C _{1}]로 둘러싸인  모양의 도형에 색칠
하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에서 두 선분 [eqn: rm A _{1} B _{1}], [eqn: rm B _{1} C _{1}]을 각각 [eqn: 3:1]로 내분하는 두 점을
이은 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 원 [eqn: O _{1}]의 내부에 그린다.
이 정사각형에 내접하는 원을 [eqn: O _{2}]라 하고 그 접점을 각각 [eqn: rm A _{2}], [eqn: rm B _{2}],
[eqn: rm C _{2}], [eqn: rm D _{2}]라 할 때, 원 [eqn: O _{2}]와 두 선분 [eqn: rm A _{2} B _{2}], [eqn: rm B _{2} C _{2}]로 둘러싸인
모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.
그림 [eqn: R _{2}]에서 두 선분 [eqn: rm A _{2} B _{2}], [eqn: rm B _{2} C _{2}]를 각각 [eqn: 3:1]로 내분하는 두 점을
이은 선분을 한 변으로 하는 정사각형에 그림 [eqn: R _{1}]에서 그림 [eqn: R _{2}]를
얻는 것과 같은 방법으로 만들어진  모양의 도형에 색칠하여 얻은
그림을 [eqn: R _{3}]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는
부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} S _{n}]의 값은? [4점]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: CDOTS]

[eqn: rm A _{1}]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm C _{2}]

[eqn: rm D _{2}]

[eqn: O _{2}]

[eqn: rm D _{1}]

[eqn: O _{1}]

[eqn: rm C _{1}]

[eqn: R _{1}]

[eqn: R _{2}]

① [eqn: {32} over {11} LEFT ( pi -2 RIGHT )]	② [eqn: {34} over {11} LEFT ( pi -2 RIGHT )]	③ [eqn: {36} over {11} LEFT ( pi -2 RIGHT )]	④ [eqn: {32} over {11} LEFT ( pi -1 RIGHT )]	⑤ [eqn: {34} over {11} LEFT ( pi -1 RIGHT )]

자연수 [eqn: n]에 대하여 집합 [eqn: S _{n} = LEFT { x`□`x]는 [eqn: 3n]이하의 자연수[eqn: LEFT. ` RIGHT }]의
부분집합 중에서 원소의 개수가 두 개이고, 이 두 원소의 차가 [eqn: 2n]보다 큰 원소로만 이루어진 모든 집합의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 하자.
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n ^{3}} sum _{k=1} ^{n} a _{k} `}]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {7}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {5}]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {3}]

단 답 형

[eqn: {} _{n} rm P _{2} =56]일 때, 자연수 [eqn: n]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: sum _{k=1} ^{6} LEFT ( k ^{2} +5 RIGHT )]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 1]보다 큰 모든 실수의 집합에서 정의된 두 함수

[eqn: f(x) = 4 over x-1 +4],  [eqn: g(x)= sqrt {x+4}]

에 대하여 [eqn: (g CIRC f) LEFT ( 5 RIGHT )]의 값을 구하시오. [3점]

두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: lim _{x` -> `9} {{x-a} over {sqrt {x} -3}} =b]일 때, [eqn: a+b]의 값을
구하시오. [3점]

세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 이 순서대로 등차수열을 이루고 다음 조건을
만족시킬 때, [eqn: abc]의 값을 구하시오. [4점]

(가) [eqn: {2 ^{a} TIMES 2 ^{c}} over {2 ^{b}} =32]

(나) [eqn: a+c+ca=`26]

좌표평면 위에
함수 [eqn: f(x)= {cases{`` {3} over {x _{{} _{`}}}&``````(x>0)#{12} over {x}&``````(x<0)}}] 의 그래프와 직선 [eqn: y=`-x`]가 있다.
함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프 위의 점 [eqn: rm P]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인
직선이 직선 [eqn: y=`-x`]와 만나는 점을 [eqn: rm Q], 점 [eqn: rm Q]를 지나고 [eqn: y]축에
수직인 직선이 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 만나는 점을 [eqn: rm R]라 할 때, 선분 [eqn: rm PQ]와
선분 [eqn: rm QR]의 길이의 곱 [eqn: {bar{rm PQ}} TIMES {bar{rm QR`}}]의 최솟값을 구하시오. [4점]

다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z], [eqn: w]의 모든 순서쌍
[eqn: (`x,``y,``z,``w)]의 개수를 구하시오. [4점]

(가) [eqn: x+y+z+w=18]

(나) [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z], [eqn: w] 중에서 [eqn: 2]개는 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 [eqn: 1]이고,
[eqn: 2]개는 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 [eqn: 2]이다.

그림과 같이 자연수 [eqn: n]에 대하여 기울기가 [eqn: 1]이고 [eqn: y]절편이 양수인
직선이 원 [eqn: x ^{2} ```+`y ^{2} ``= {n ^{2}} over {2}]에 접할 때, 이 직선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는
점을 각각 [eqn: rm A _{it n rm} `], [eqn: rm B _{it n rm}]이라 하자. 점 [eqn: rm A _{it n rm}]을 지나고 기울기가 [eqn: -2]인
직선이 [eqn: y`]축과 만나는 점을 [eqn: rm C _{it n rm}]이라 할 때, 삼각형 [eqn: rm A _{it n rm} C _{it n rm} B _{it n rm}]과
그 내부의 점들 중 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수를
[eqn: a _{n`}]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} `]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: x ^{2} +y ^{2} = {n ^{2}} over {2}]

[eqn: rm B _{itn}]

[eqn: rm C _{itn}]

[eqn: rm A _{itn}]

[eqn: {sqrt {2} n} over {2}]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -8x+a]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``2x+5a _{{} _{`}} ``````` LEFT ( x GEQ a RIGHT )&`#`f LEFT ( x+4 RIGHT ) ``````` LEFT ( x<a` RIGHT )&`}}]

라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 곱을
구하시오. [4점]

(가) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]은 열린 구간 [eqn: LEFT ( `0,``2 RIGHT )]에서 적어도 하나의
실근을 갖는다.

(나) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=a]에서 연속이다.

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.