수학 영역 (나 형)

고 2

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수학 영역 (나 형)

고 2

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2015학년도 6월 고2 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시           수학 영역 (나 형)

5지 선다형(1 ~ 21)

1. [eqn: root {3} of {8} TIMES 2 ^{2} `]의 값은? [2점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14`]

12

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2. 두 집합 [eqn: A= LEFT { 2,``4,``6,``8 RIGHT } `], [eqn: B= LEFT { 2,``4 RIGHT } `]에 대하여 집합 [eqn: A-B`]의 모든 원소의 합은? [2점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

3. [eqn: lim _{n -> INF } {{4n ^{2} +5n-1} over {2n ^{2} -n+1}} `]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

4. 두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} =9`], [eqn: sum _{k=1} ^{10} b _{k} =5`]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} (a _{k} +2b _{k} )`]의 값은? [3점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

5. 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{2} =4`]일 때, [eqn: a _{5} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

6. 명제

‘[eqn: x ^{2} -6x+5 != 0`]이면 [eqn: x-a != 0`]이다.’

가 참이 되기 위한 모든 상수 [eqn: a`]의 값의 합은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

7. 두 일차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x-10], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =2x-1`]에 대하여 [eqn: LEFT ( `f` ^{-1} CIRC g` RIGHT ) (1)`]의 값은? [3점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

8. 유리함수 [eqn: y= {3} over {x} `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 4`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 5`]만큼 평행이동한 그래프가 점 [eqn: LEFT ( 5,``a RIGHT ) `]를 지날 때,

상수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6`]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

9. 두 상수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: lim _{x -> 2} {{x ^{2} -x-a} over {x-2} =b} `]일 때, [eqn: a+b`]의 값은?
[3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

10. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 부등식

[eqn: {2n ^{2} -n} over {3n-1} <`a _{n} < {2n ^{2} +n} over {3n-1}]

을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{a _{n}} over {2n+3}} `]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {12}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {4}]	④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {12}]

11.  [eqn: log _{(x-1)} LEFT ( -x ^{2} +4x+5 RIGHT ) `]가 정의되도록 하는 모든 정수 [eqn: x`]의 값의 합은? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

12. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} - {2 TIMES 3 ^{n+1} +2 ^{n}} over {3 ^{n} +2 ^{n}} RIGHT ) `]이 수렴할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 2]        ② [eqn: 3]        ③ [eqn: 4]        ④ [eqn: 5]        ⑤ [eqn: 6]

[13 ~ 14] 자연수 [eqn: {bold{n}} `]에 대하여 직선 [eqn: {bold{x=n`}} `]이              무리함수 [eqn: {bold{f`(x)=sqrt {2x+2}}} + {bold{3}} `]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rm boldA _{it n rm}],   [eqn: {bold{x}} `]축과 만나는 점을 [eqn: bold rm B _{it n rm}][eqn: rm {bold{B _{it n rm}}} `]이라 하자. (단, [eqn: bold {rmO}`][eqn: boldrm`O`]는 원점이다.)
13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm `A _{` it `n rm}]

[eqn: rm `B _{it`n}]

[eqn: rm O]

[eqn: -1]

[eqn: 3]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: x=n]

13. 삼각형 [eqn: rm OA _{7} B _{7} `]의 넓이는? [3점]

① [eqn: {45} over {2}]	② [eqn: {47} over {2}]	③ [eqn: {49} over {2}]	④ [eqn: {51} over {2}]	⑤ [eqn: {53} over {2}]

14. 선분 [eqn: rm `A _{it n rm} B _{it n rm} `]의 길이보다 크지 않은 최대의 정수를 [eqn: a _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 61]	② [eqn: 62]	③ [eqn: 63]	④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 65]

15. 함수

[eqn: y`]

[eqn: x`]

[eqn: x`]

[eqn: f(x)= {cases{``````````x&``(x GEQ 1)#`-x&``(x<`1)}}]

의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: 1]

[eqn: rm O]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

함수 [eqn: g(x)=2x-a`]에 대하여 함수 [eqn: f(x)g(x)`]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

16. 전체집합 [eqn: U`]가 실수 전체의 집합일 때, 실수 [eqn: x`]에 대한

두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]가

[eqn: p:``a LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) <0],	[eqn: q:``x>b`]

이다. 두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]의 진리집합을 각각 [eqn: P`], [eqn: Q`]라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: a], [eqn: b`]는 실수이다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: a=0`]일 때, [eqn: P= EMPTYSET `]이다. ㄴ. [eqn: a>0], [eqn: b=0`]일 때, [eqn: P SUBSET Q`]이다. ㄷ. [eqn: a<0], [eqn: b=3`]일 때, 명제 ‘[eqn: SIM p`]이면 [eqn: q`]이다.’는 참이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

17. 밀도가 균일한 공기 중에서 자유 낙하하는 물체에 작용하는 중력과 공기 저항력이 평형을 이루게 될 때의 물체의 속력을 종단속력이라 한다. 질량이 [eqn: m`]이고 단면적이 [eqn: S`]인 구형 물체의 종단속력 [eqn: v`](m/초)는 다음 식을 만족시킨다고 한다.

[eqn: v ^{2} = {2m`g} over {D` rho S} `]

(단, [eqn: D`]는 끌림 계수, [eqn: rho `]는 공기 밀도, [eqn: g`]는 중력가속도이며,
질량 단위는 [eqn: rm`kg`], 단면적 단위는 [eqn: rm `m ^{2} `]이다.)

밀도가 균일한 공기 중에서 자유 낙하하는 구형의 두 물체 [eqn: A`]와 [eqn: B`]에 작용하는 끌림 계수([eqn: D`]), 공기 밀도([eqn: rho]), 중력가속도([eqn: g`])가 서로 같다. 두 물체 [eqn: A`]와 [eqn: B`]의 질량의 비는 [eqn: 1:2 sqrt {2} `]이고 단면적의 비는 [eqn: 1:8`]일 때, 두 물체 [eqn: A`], [eqn: B`]의 종단속력을 각각 [eqn: v _{A} `], [eqn: v _{B} `]라 하자. [eqn: LEFT ( {v _{A}} over {v _{B}} RIGHT ) ^{3} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 2 ^{{9} over {8}}]	② [eqn: 2 ^{{3} over {2}}]	③ [eqn: 2 ^{{15} over {8}}]	④ [eqn: 2 ^{{9} over {4}}]	⑤ [eqn: 2 ^{{21} over {8}}]

18. 그림과 같이 좌표평면 위에 중심이[eqn: rm `(0,``2)`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2`]인 원이 있다. 양수 [eqn: t`]에 대하여 점 [eqn: rm `P( it `t,``0)`]과 원의 중심을 지나는 직선이 원과 만나는 두 점 중에서 점 [eqn: rm `P`]에 가까운 점을 [eqn: rm`Q], 나머지 한 점을 [eqn: rm `R`]라 하자. [eqn: lim _{t -> `0+} {{rm {bar{PQ}} TIMES {bar{PR}} it} over {rm {bar{OP}} ` ^{2} - {bar{PQ}} ` ^{2} it}} `]의 값은? (단, [eqn: rm O`]는 원점이다.) [4점]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm`R]

[eqn: rm 2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

19. 양수 [eqn: r`]에 대하여
함수 [eqn: y=` LEFT | x RIGHT | `]의 그래프와 원 [eqn: (x-1) ^{2} +(y-2) ^{2} =r ^{2} `]이 만나는

점의 개수를 [eqn: f(r)`]라 하자. 함수 [eqn: f LEFT ( r RIGHT ) `]가 불연속인 점의 개수는?

[4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y= LEFT | x RIGHT |]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

20. 다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: 6 LEFT ( sum _{k=1} ^{n} k RIGHT ) LEFT ( sum _{k=1} ^{n} k ^{2} RIGHT ) `=`5 sum _{k=1} ^{n} k ^{4} + sum _{k=1} ^{n} k ^{2}] [eqn: cdots cdots](*)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정의 일부이다.

<증명>

(1) [eqn: n=1`]일 때, [eqn: (좌변)=6 TIMES 1 TIMES 1 ^{2} `=6`]이고,

[eqn: (우변)=5 TIMES 1 ^{4} +1 ^{2} =6`]이므로 (*)이 성립한다.

(2) [eqn: n=m`]일 때, (*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: 6 LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k RIGHT ) LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k ^{2} RIGHT ) `=`5 sum _{k=1} ^{m} k ^{4} + sum _{k=1} ^{m} k ^{2} `]

이다.

[eqn: n=m+1`]일 때, (*)이 성립함을 보이자.

[eqn: 6 LEFT ( sum _{k=1} ^{m+1} k RIGHT ) LEFT ( sum _{k=1} ^{m+1} k ^{2} RIGHT )]

[eqn: =6 LEFT { sum _{k=1} ^{m} k+ LEFT ( ` {BOX{``(가)``}} ` RIGHT ) RIGHT } LEFT { sum _{k=1} ^{m} k ^{2} + LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: =6 LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k RIGHT ) LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k ^{2} RIGHT )]

[eqn: + LEFT ( ` {BOX{``(가)``}} ` RIGHT ) ` TIMES LEFT { 6 sum _{k=1} ^{m} k ^{2} +6 LEFT ( m+1 RIGHT ) sum _{k=1} ^{m} k+6 LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{2} RIGHT } `]

[eqn: =6 LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k RIGHT ) LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k ^{2} RIGHT )][eqn: + LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{2} TIMES (` BOX{`(나)``} `)`]

[eqn: vdots]

[eqn: =5 sum _{k=1} ^{m+1} k ^{4} + sum _{k=1} ^{m+1} k ^{2}]

그러므로 [eqn: n=m+1`]일 때도 (*)이 성립한다.
따라서 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 (*)이 성립한다.

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(m)`], [eqn: g(m)`]이라 할 때, [eqn: {g(10)} over {f(5)} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 101]	② [eqn: 103]	③ [eqn: 105]	④ [eqn: 107]	⑤ [eqn: 109]

21. 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원을 부채꼴로 [eqn: 6`]등분하여 각각의 부채꼴에 내접하는 원을 하나씩 그려 넣는다. 이 [eqn: 6`]개의 원에 의해 만들어지는  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1} `]이라 하자.

그림 [eqn: R _{1} `]에 합동인 [eqn: 6`]개의 원 안에 그림 [eqn: R _{1} `]을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 [eqn: 6`]개의  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2} `]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n} `]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {S _{n}} =a sqrt {3} +b` pi `]이다. [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 유리수이다.) [4점]

[eqn: R _{1} `]                                      [eqn: R _{2} `]                    …

…

① [eqn: {7} over {6}]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: {3} over {2}]	④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: {11} over {6}]

단답형(22 ~ 30)

22. [eqn: lim _{x -> `5} {` LEFT ( 3x-1 RIGHT )} `]의 값을 구하시오. [3점]

23. [eqn: log` _{2} 4+(log _{`2} 16) ^{2} `]의 값을 구하시오. [3점]

24. 전체집합 [eqn: U`]의 두 부분집합 [eqn: A`,``B`]에 대하여

[eqn: n(U`)=40], [eqn: n(A SMALLINTER B`)=6]

일 때, [eqn: n LEFT ( A ^{C} ` CUP B ^{`C`} ` RIGHT ) `]의 값을 구하시오. [3점]

25. 어느 음악 사이트에서는 매달 말에 그 달 [eqn: rm `A`]노래의 다운로드 건수를 발표한다. [eqn: 2015`]년 [eqn: 1`]월부터 [eqn: 5`]월까지 이 사이트에서 발표한 [eqn: rm `A`]노래의 다운로드 건수는 매달 일정한 비율로 감소하였다. [eqn: 2015`]년 발표한 [eqn: rm `A`]노래의 ‘[eqn: 1`]월 다운로드 건수’는 [eqn: 480`]건이었고, ‘[eqn: 5`]월 다운로드 건수’가 [eqn: 30`]건이었다. [eqn: 2015`]년 ‘[eqn: 3`]월 다운로드 건수’를 구하시오. [3점]

26. 함수 [eqn: f(x)= {cases{sqrt {x}&``(x GEQ 0)#`````x ^{2}&``(x<0)}} `]의 그래프와 직선 [eqn: x+3y-10=0`]이 두 점 [eqn: rm `A(-2,``4)], [eqn: rm `B`(4,``2)`]에서 만난다. 그림과 같이 주어진
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. (단, [eqn: rm O`]는 원점이다.) [4점]

[eqn: rm A]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: rm B]

[eqn: x+3y-10=0]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

27. 실수 전체의 집합 [eqn: U`]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B`]에 대하여

[eqn: n(A)=5,`] [eqn: LEFT . LEFT . B= LEFT { ` {x+a} over {2} ` RIGHT | `x` IN `A` RIGHT } RIGHT .]

이다. 두 집합 [eqn: A`], [eqn: B`]가 다음 조건을 만족시킬 때, 상수 [eqn: a`]의 값을 구하시오. [4점]

(가) 집합 [eqn: A`]의 모든 원소의 합은 [eqn: 28`]이다.

(나) 집합 [eqn: A CUP B`]의 모든 원소의 합은 [eqn: 49`]이다.

(다) [eqn: `A` SMALLINTER B``= LEFT { 10,`13 RIGHT } `]

28. 두 수열 [eqn: LEFT { `a`_n` RIGHT } `], [eqn: LEFT { `b` _{n} ` RIGHT } `]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. [eqn: a _{10} `]의 값을 구하시오. [4점]

(가) [eqn: sum _{k=1} ^{n} b _{k} =n ^{2} +n]

(나) [eqn: sum _{k=1} ^{n} a` _{k} ``b` _{k} -5 sum _{k=1} ^{n} b` _{k} = {n ^{2} LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}} over {2} `]

29.  [eqn: 2`]이상 [eqn: 100`]이하의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 집합

[eqn: LEFT { `log _{`n} k`` LEFT | `k`는``자연수,``1 LEQ k LEQ n RIGHT } RIGHT .]

의 원소 중 유리수의 개수를 [eqn: LEFT . f(n RIGHT ) `]이라 하자. 예를 들어 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =2], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =3`]이다. [eqn: LEFT . f(n RIGHT ) GEQ 5`]가 되는 모든 자연수 [eqn: n`]의 값의 합을 구하시오. [4점]

30. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정사각형을 [도형 [eqn: 1]]이라 하자.
[도형 [eqn: 1]]의 아랫변에 가로의 길이 [eqn: 4`], 세로의 길이 [eqn: 2`]인 직사각형을 한 직선에 대해 대칭이 되도록 이어 붙여 만든 도형을 [도형 [eqn: 2]]라 하자. 이때 한 직선은 [도형 [eqn: 2]]의 가장 긴 변의 중점을 지난다.

이와 같은 방법으로 [eqn: 3`]이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[도형 [eqn: LEFT ( n-1 RIGHT ) `]]의 아랫변에 가로의 길이 [eqn: 2n`], 세로의 길이 [eqn: 2`]인 직사각형을 이어 붙여 만든 도형을 [도형 [eqn: n]]이라 하자.

		[eqn: CDOTS]	[eqn: VDOTS]
[도형 1]	[도형 2]	[eqn: CDOTS]	[도형 [eqn: n]]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [도형 [eqn: n]]을 포함하는 원들 중 가장 작은 원의 넓이를 [eqn: a _{n} `]이라 하자. [eqn: lim _{n -> INF } {{80a _{n}} over {pi n ^{2}} `} `]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.