2006학년도 전국연합학력평가

정답 및 해설 (고1)

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• 2교시 수리 영역 •

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1	⑤	2	④	3	④	4	③	5	①	6	④	7	④	8	②
9	②	10	⑤	11	②	12	①	13	③	14	⑤	15	②	16	①
17	⑤	18	⑤	19	③	20	③	21	①	22	[eqn: 8]	23	[eqn: 3]	24	[eqn: 5]
25	[eqn: 4]	26	[eqn: 13]	27	[eqn: 12]	28	[eqn: 24]	29	[eqn: 31]	30	[eqn: 130]

1. [출제의도] 명제의 참 거짓 판별하기

[해설] [eqn: Q SUBSET P]이므로　명제 [eqn: q `` ->`` p]는 항상 참이다.

따라서,　명제의 대우　[eqn: ` SIM p` -> SIM q]도　항상　참이다.

２. [출제의도] 무리식의 값 계산하기

[해설] [eqn: ab =(root2 -1 )(root2 +1)=1]

[eqn: b-a =(root2 +1 ) - (root2 -1) =2]

따라서, [eqn: {1} over {a} - {1} over {b} = {b-a} over ab = 2 over 1 =2]

３. [출제의도] 집합의 연산 표현방법 이해하기

[해설] ＜보기＞의　ㄱ，ㄴ，ㄷ을　벤 다이어그램으로　나타내면

ㄱ	ㄴ	ㄷ
[eqn: U] [eqn: B] [eqn: A]	[eqn: U] [eqn: B] [eqn: A]	[eqn: U] [eqn: B] [eqn: A]

따라서,　ㄴ，ㄷ이　참이다.

［별해］ㄱ．[eqn: (A CUP B)-(A SMALLINTER B)] [eqn: =(A-B) CUP (B-A)]

ㄴ．[eqn: (A SMALLINTER B) CUP (A CUP B) ^{ C}] [eqn: = LEFT { (A SMALLINTER B) ^{C} SMALLINTER (A CUP B) RIGHT } ^{C}]

[eqn: = LEFT { (A CUP B)-(A SMALLINTER B) RIGHT } ^{ C}][eqn: = LEFT { (A - B) SMALLUNION (B - A) RIGHT } ^{ C}]

ㄷ．[eqn: (A CUP B ^{ C}` ) SMALLINTER (B CUP A ^{ C}` )] [eqn: = (A ^{ C} SMALLINTER B) ^{ C} SMALLINTER (B^{ C} SMALLINTER A)^{ C}]

[eqn: =(B-A) ^{C} SMALLINTER (A-B) ^{C}] [eqn: = LEFT { (A-B) CUP (B-A) RIGHT } ^{ C}]

따라서,　ㄴ，ㄷ이　참이다．

４. [출제의도] 두 직선의 평행조건 구하기

[해설] 두　직선이　서로　평행하므로　[eqn: {1} over {k} = {k} over {2k+3} != {-1} over {-3}]이어야　한다．

[eqn: 2k+3=`k^2]  ⇒  [eqn: k^2 -2k-3=0]

⇒  [eqn: (k+1)(k-3)=0]   [eqn: THEREFORE `k``=`3, ````-1]

따라서, 평행한 경우는 [eqn: k=-1]([eqn: k=3]일 경우는　두　직선이 일치)

５. [출제의도] 복소수 계산하기

[해설] [eqn: 2 over z = 2 over 1+i =1-i]이므로 [eqn: LEFT ( z- {2} over {z} RIGHT ) ^{2} = LEFT (` 2i` RIGHT ) ^2 =-4]

６. [출제의도] 다항식의 계수의 합 구하기

[해설] [eqn: (ax-1) ^{3}```=a ^{3} x ^{3} `-`3a ^{2} x ^{2} `+3ax`-1]이므로

모든 항의 계수의 합은 [eqn: a ^{3} -3a ^{2} +3a-1=64``]

⇒  [eqn: a ^{3} -3a ^{2} +3a-65=0```]

⇒  [eqn: (a-5)(a ^{2} +2a+13)=0````]

따라서, 만족하는 실수 [eqn: a=5]

［별해］다항식 [eqn: f(x)]의 모든 항의 계수의 합은 [eqn: f(1)]과 같으므로

[eqn: (ax-1) ^{3} ``]의　모든　항의　계수의　합은 [eqn: (a-1) ^{3}]이다.

[eqn: (a-1) ^{3} `=`64``]

따라서, 만족하는 실수 [eqn: a=5]

７. [출제의도] 약수와 배수의 성질을 활용하여 서로소 관계 이해하기

[해설] 귀류법을　이용하여　증명하고자　하므로

‘[eqn: 2006]과 [eqn: 2006-n`]이  ’라고 가정하면

서로소가 아니다.

[eqn: 2006]과 [eqn: 2006-n`]은  이상의 공약수가 존재한다.

[eqn: 2]

[eqn: 2006=a`t`], [eqn: 2006-n=b`t`]([eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: t`]는 자연수, [eqn: t >= 2])라 하면

[eqn: n=] (  )[eqn: TIMES t]이므로 [eqn: t`]는 [eqn: 2006]과 [eqn: n`]의 공약수이다.

[eqn: a-b]

이것은 ‘[eqn: 2006]과 [eqn: n`]이 서로소이다.’에 모순이므로

[eqn: 2006]과 [eqn: 2006-n`]도 서로소이다.

８. [출제의도] 다항식의 인수분해 하기

[해설]    [eqn: xy(x+y)-yz(y+z)-zx(z-x)]

[eqn: =(y+z)x ^{2} +(y ^{2} `-z ^{2} `)x-yz(y+z)`][eqn: =(y+z) LEFT { x ^{2} +(y-z)x-yz RIGHT }]

[eqn: =(y+z)(x+y)(x-z)][eqn: =(x+y)(y+z)(x-z)]

９. [출제의도] 원의 방정식 구하기

[해설] 원의 중심의 좌표는

[eqn: LEFT ( `` { x_1 + x_2 } over 2 `` , ``````{ y_1 + y_2 } over 2`` RIGHT )]

이고

반지름의 길이는 [eqn: {1} over {2} sqrt {(x _{2} -x _{1} ) ^{2} +(y _{2} -y _{1} ) ^{2} `}]이므로

원의 방정식은

[eqn: LEFT ( x-``` {x _{1} +x _{2}} over {2} ``` RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-``` {y _{1} +y _{2}} over {2} ``` RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = {1} over {4} LEFT { (x _{2} -x _{1} ) ^{2} +(y _{2} -y _{1} ) ^{2} RIGHT }]

⇒  [eqn: x ^{2} -(x _{1} +x _{2} )x+ {1} over {4} (x _{1} +x _{2} ) ^{2} +y ^{2} -(y _{1} +y _{2} )y+ {1} over {4} (y _{1} +y _{2} ) ^{2}]

[eqn: = {1} over {4} (x _{2} -x _{1} ) ^{2} + {1} over {4} (y _{2} -y _{1} ) ^{2}]

⇒  [eqn: x ^{2} -(x _{1} +x _{2} )x+x _{1} x _{2} +y ^{2} -(y _{1} +y _{2} )y+y _{1} y _{2} =0`]

따라서, [eqn: (x-x _{1} )(x-x _{2} )+(y-y _{1} )(y-y _{2} )=] 이다.

[eqn: 0]

10. [출제의도] 부등식의 영역 구하기

[해설] [eqn: (x ^{2} +y ^{2} -4)(x-y-1)>0]

⇒　　[eqn: cases{x ^{2} +y ^{2} -4>0#x-y-1>0}]　　또는　　　[eqn: cases{x ^{2} +y ^{2} -4<0#x-y-1<0}]

⇒　　[eqn: cases{x ^{2} +y ^{2} >4#y<x-1}]　　또는　　　[eqn: cases{x ^{2} +y ^{2} <4#y>x-1}]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

（단，점선으로　된　경계는　영역에　포함되지　않는다.）

11. [출제의도] 다항식의 최대공약수 구하기

[해설] 다항식 [eqn: x ^{3} -x=x(x-1)(x+1)], [eqn: x ^{2} +(a+1)x+a=(x+1)(x+a)]

에서 이차의 최대공약수는 [eqn: (x+1)(x+a)]이다.

∴ [eqn: x+a=x] 또는 [eqn: x+a=x-1]

⇒  [eqn: a=0] 또는 [eqn: a=-1]

따라서,  모든 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: -1]

12. [출제의도] 부분집합의 개수 구하기

[해설] [eqn: A SMALLINTER X=X], [eqn: (A-B) CUP X=X]에서 [eqn: (A-B) SUBSET X SUBSET A]이므로

[eqn: LEFT { 1,``2 RIGHT } SUBSET X SUBSET LEFT { 1,``2,``3,``4 , ``5RIGHT }]이다.

[eqn: 1,```2]를 포함하는 [eqn: A]의 부분집합 중 모든 원소의 합이 [eqn: 3]의 배수가 되는 것은

[eqn: LEFT { 1,``2 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1,``2,``3 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1,``2,``4,``5 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1,``2,``3,``4,``5 RIGHT }]의 [eqn: 4]개

13. [출제의도] 복소수의 성질 이해하기

[해설] [eqn: z=x+yi]([eqn: x], [eqn: y]는 실수)일 때, [eqn: z^2 = x^2 -y^2 +2xyi]에서

[eqn: z^2]이 음의 실수가 되려면 [eqn: x=0], [eqn: y !=0]이다.

복소수 [eqn: (a ^{2} +3a+2)+(a ^{2} +2a)i]가 순허수이어야 하므로

[eqn: a ^{2} +3a+2=0]이고  [eqn: a ^{2} +2a != 0]

∴ [eqn: a=-1]

14. [출제의도] 복소수의 연산에 대한 성질 이해하기

[해설] [eqn: x ^{2} +x+1=0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로

[eqn: alpha beta =1], [eqn: alpha^3 = beta ^3 = 1], [eqn: alpha ^{2} = beta], [eqn: beta ^{2} = alpha]

ㄱ. [eqn: S]는 곱셈에 대하여 닫혀 있다. (참)

×	[eqn: 1]	[eqn: alpha]	[eqn: beta]
[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: alpha]	[eqn: beta]
[eqn: alpha]	[eqn: alpha]	[eqn: beta]	[eqn: 1]
[eqn: beta]	[eqn: beta]	[eqn: 1]	[eqn: alpha]

ㄴ. [eqn: S]는 나눗셈에 대하여 닫혀 있다. (참)

÷	[eqn: 1]	[eqn: alpha]	[eqn: beta]
[eqn: 1]	[eqn: 1 over 1 = 1]	[eqn: 1 over alpha = beta]	[eqn: 1 over beta =alpha]
[eqn: alpha]	[eqn: alpha over 1 =alpha]	[eqn: alpha over alpha = 1]	[eqn: alpha over beta = beta]
[eqn: beta]	[eqn: beta over 1 = beta]	[eqn: beta over alpha =alpha]	[eqn: beta over beta = 1]

ㄷ. [eqn: S]에서 [eqn: alpha]의 곱셈에 대한  역원은 [eqn: beta]이다. (참)

곱셈에 대한 항등원은 [eqn: 1]이고 [eqn: alpha beta =1]이므로 [eqn: alpha]의 곱셈에 대한  역원은 [eqn: beta]이다.

15. [출제의도] 절대부등식의 성질 이해하기

[해설] [eqn: rm TRIANGLE ABC`]에서 [eqn: rm bar{BC}= ita], [eqn: rm bar{CA} = it b], [eqn: rm bar{AB}= itc]라 하면

[eqn: S_{ 1}=a^{ 2}], [eqn: S_{ 2}=b ^{ 2}], [eqn: S_{ 3}=c ^{ 2}]이고,

[eqn: a+b+c=12]이다.

여기에서 [eqn: (1 ^{2} +1 ^{2} +1 ^{2} )(a ^{2} +b` ^{2} +c ^{2} ) >= (a+b+c) ^{2} =12^2]이 성립한다.

[eqn: {a} over {1} = {b} over {1} = {c} over {1}] ([eqn: a=b=c=4])일 때,

[eqn: a ^{2} +b` ^{2} +c ^{2}]의 값이 최소이므로

[eqn: rm TRIANGLE ABC`]의 넓이는 [eqn: {sqrt {3}} over {4} TIMES 4 ^{2} =4 sqrt {3}]

16. [출제의도] 조건을 이용하여 이차식 구하기

[해설] [eqn: x ^{2} +x-3=0]의 두 근이 [eqn: alpha ,`` beta]이므로

[eqn: alpha +` beta =-1], [eqn: alpha beta =-3], [eqn: alpha ^{2} + alpha =3]이다.

[eqn: f(x)=x ^{2} +ax+b]라 하면

[eqn: f( alpha )= alpha ^{2} +a alpha +b=1]   …… ①

[eqn: f( beta )= beta ^{2} +a beta +b=1]   …… ②

①－②에서  [eqn: alpha ^{2} - beta ^{2} +a alpha -a beta =0]

⇒  [eqn: ( alpha + beta )(alpha - beta )+a( alpha - beta )=0]

⇒  [eqn: (alpha - beta )( alpha + beta +a )=0]

⇒  [eqn: alpha != beta]이므로 [eqn: alpha + beta + a =0]

∴ [eqn: a=-( alpha + beta )=-(-1)=1]

[eqn: a=1]을 ①에 대입하면 [eqn: alpha ^{2} + alpha +b=1]

[eqn: b=1-(alpha ^{2} + alpha )=1-3=-2]

∴ [eqn: f(x)=x ^{2} +x-2]

[별해] [eqn: f( alpha )-1=f( beta )-1=0]이므로

이차방정식 [eqn: f(x)-1=0]의 두 근은 [eqn: alpha ,`` beta]이다.

[eqn: f(x)]의 이차항의 계수는 [eqn: 1]이므로

[eqn: f(x)-1=(x- alpha )(x- beta )=x ^{2} +x-3]

∴ [eqn: f(x)=x ^{2} +x-2]

17. [출제의도] 삼각형의 무게중심 구하기

[해설] 세 점 [eqn: rm P,``Q,``R`]에서 직선 [eqn: l`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm P' ,``Q' ,``R']라 하면

[eqn: rm TRIANGLE PAP'== TRIANGLE QAQ']([eqn: ∵ rmASA]합동)이므로 점 [eqn: rm A]는 선분 [eqn: rm PQ]의 중점이다. 마찬가지로 점 [eqn: rm B]는 선분 [eqn: rm PR]의 중점이다.

따라서, 세 점 [eqn: rm A,``B,``C]는 각각 선분 [eqn: rm PQ], 선분 [eqn: rm PR], 선분 [eqn: rm QR]의 중점이므로 [eqn: rm TRIANGLE ABC]의 무게중심은 [eqn: rm TRIANGLE PQR]의 무게중심과 일치한다.

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: rm C]

[eqn: l]

[eqn: rm R(9,``3)]

[eqn: rm Q(1,``1)]

[eqn: rm P(3,``7)]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm P']

[eqn: rm Q']

[eqn: rm R']

[eqn: rm TRIANGLE ABC]의 무게중심을 [eqn: rm G(it x,``y)]라 하면

[eqn: x= {3+1+9} over {3} = {13} over {3}], [eqn: y= {7+1+3} over {3} = {11} over {3}]

따라서, [eqn: x+y= {13} over {3} + {11} over {3} =8]

18. [출제의도] 연립부등식의 해 구하기

[해설] (ⅰ) [eqn: x ^{2} +x-6=(x+3)(x-2)>0]   ∴ [eqn: x<`-3] 또는 [eqn: x>`2]

(ⅱ) [eqn: LEFT | ``x-a ``RIGHT | <= 1]  ⇒  [eqn: -1 <= x-a <= 1]    ∴ [eqn: a-1 <= x <= a+1]

[eqn: -3]

[eqn: 2]

[eqn: a-1]

[eqn: a+1]

[eqn: -3]

[eqn: 2]

[eqn: a-1]

[eqn: a+1]

연립방정식의 해가 존재하려면 [eqn: a-1<`-3] 또는 [eqn: a+1>2]이어야 한다.

따라서, [eqn: a<`-2] 또는 [eqn: a>1]

19. [출제의도] 점과 직선 사이의 거리 구하기

[해설] 정사각형 [eqn: rmABCD]를 좌표평면 위에 놓자.

점 [eqn: rm M]을 원점으로 하고 직선 [eqn: rmAB]를 [eqn: x]축 위에 잡으면 [eqn: rm bar{AM} = bar{MB} =1]이므로 [eqn: rm A(-1,~0)], [eqn: rmB( 1,~ 0)], [eqn: rm bar A'B = bar AB =2], [eqn: rm A'(0,~root3 )]이다.

[eqn: rm N]

[eqn: rm D]

[eqn: rm A]

[eqn: rm C]

[eqn: rm B]

[eqn: rm A prime]

[eqn: rm M]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: root3 x +y - root3 =0]

직선 [eqn: rm A'B]의 방정식은 [eqn: root3 x+ y-root3 =0]이므로,

점 [eqn: rm A]에서 직선 [eqn: rm A'B] 사이의 거리는 [eqn: {LEFT | ` `-root3 -root3 ``RIGHT |} over root{ (root3 )^2 +1^2 `} = root 3]

20. [출제의도] 대칭이동한 도형 구하기

[해설] [eqn: C_1 ``:`` (x-1)^2 + (y+2)^2 =1]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동하면

[eqn: C_2 ``: ``(x+2)^2 + (y-1)^2 =1]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: C_2]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=x]

[eqn: C_1]

[eqn: -2]

[eqn: -2]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: rm O]

[eqn: rm bar PQ]의 최소값은 두 원의 중심사이의 거리에서 두 원의 반지름의 길이의 합을 뺀

것이므로 [eqn: root {3^2 +3^2} -2 = 3 root2 -2]

21. [출제의도] 도형의 평행이동 이해하기

[해설] 임의의 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: (t, ```` t+root2 ) in B]라 하면

집합 [eqn: C``]는 [eqn: x^2 + y^2 <=1]을 [eqn: x]축 방향으로 [eqn: t],

[eqn: y]축 방향으로 [eqn: t+root2]만큼 평행이동한 영역이다.

즉, [eqn: C``= LEFT { (x,``y) vert (x-t)^2 + (y-t-root2 )^2 <=1,```` t `]는 실수[eqn: ` RIGHT }]

따라서, [eqn: A SMALLINTER C``]가 나타내는 영역의 넓이는

반지름의 길이가 [eqn: 1]인 반원의 넓이이므로 [eqn: pi over 2]이다.

[eqn: rm O]

[eqn: A]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=x+ sqrt {2}]

[eqn: C]

[eqn: 1]

22. [출제의도] 두 무리수가 서로 같을 조건 구하기

[해설] [eqn: (a+b) + (2a-b)root 3 = 6]이고, [eqn: a], [eqn: b]가 유리수이므로

[eqn: a+b=6], [eqn: 2a-b=0]

∴ [eqn: a=2], [eqn: b=4]

따라서, [eqn: ab=8]

23. [출제의도] 유리식의 값 구하기

[해설] [eqn: a over 2 = b-1 = c+1 over 3 =k``(k !=0)]라 하면

[eqn: a=2k], [eqn: b=k+1], [eqn: c=3k-1]

∴ [eqn: 6a over b+c = {6`․`2k} over {(k+1)+(3k-1)}= 12k over 4k =3]

24. [출제의도] 항등식의 성질을 이용하여 미정계수 구하기

[해설] 다항식 [eqn: ax^3 +bx^2 +1]이 [eqn: x^2 -x -1]로 나누어떨어지므로

[eqn: ax^3 +bx^2 +1=(x^2 -x -1)(ax-1)]

⇒  [eqn: ax ^{3} +bx ^{2} +1=ax ^{3} -(a+1)x ^{2} -(a-1)x+1]

위 식은 항등식이므로 [eqn: b=-a-1], [eqn: -a+1=0]

∴ [eqn: a=1], [eqn: b=-2]

따라서, [eqn: a ^{2} +b ^{2} = 5]

25. [출제의도] 연립방정식의 해 구하기

[해설] 연립방정식 [eqn: cases{x-y+2=0 _{`} #x ^{2} +3x-y-1=0 ^{`} ~} ```] [eqn: pile {CDOTS CDOTS ① _{`} # CDOTS CDOTS ② ^{`}}]

①을 ②에 대입하면

[eqn: x ^{2`} + 3x-(x+2)-1=0]

⇒  [eqn: x^2 +2x-3=0]

⇒  [eqn: (x+3)(x-1)=0]

∴ [eqn: x=-3], [eqn: y=-1] 또는  [eqn: x=1], [eqn: y=3] 이므로

따라서, [eqn: LEFT | `` alpha + beta``RIGHT |= 4]

26. [출제의도] 해를 이용하여 이차부등식 구하기

[해설] 이차부등식 [eqn: x^2 + ax + b<0]에서 해가 [eqn: 3<x<8]이므로

[eqn: (x-3)(x-8)<0]

⇔  [eqn: x^2 -11x +24<0]

⇔  [eqn: x^2 + ax + b<0]

∴ [eqn: a=-11], [eqn: b=24]

따라서, [eqn: a+b = -11+24=13]

27. [출제의도] 분산 구하기

[해설] [eqn: (분산) = {LEFT { LEFT { (편차) ^{2} TIMES (도수) RIGHT } 의```총합 RIGHT }} over {(도수의```총합)}]이므로

[eqn: S ^{2} = {(-2) ^{2} TIMES 1+(-1) ^{2} TIMES 2+0 ^{2} TIMES 4+1 ^{2} TIMES 2+2 ^{2} TIMES 1} over {10}=1.2]

따라서, [eqn: 10 S^2 = 12]

28. [출제의도] 최대 ․ 최소 문제 해결하기

[해설] 구입하려는 사과와 배의 개수를 각각 [eqn: x`]개, [eqn: y`]개라 하면

[eqn: x>=0], [eqn: y>=0],

[eqn: y>=x], [eqn: 1000x+1500y <= 30000]일 때

[eqn: x+y]의 최대값을 구하면 된다.

[eqn: x+y=k]([eqn: k]는 상수)라 놓고 주어진 영역에서 최대가 되는 경우를 구하면

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 30]

[eqn: 20]

[eqn: y=x]

[eqn: x+y=k]

[eqn: (12,``12)]

[eqn: y=- 2 over 3 x+20]

직선 [eqn: y=- x+ k]가 [eqn: (12,``12)]를 지날 때, [eqn: k]의 값이 최대가 된다.

따라서, [eqn: x+y]의 최대값은 [eqn: 24]

29. [출제의도] 원의 접선의 방정식 구하기

[해설] 접점을 [eqn: rm Q(it x _{1} ,~y _{1} )]이라 하면 점 [eqn: rm Q]는 원 위의 점이므로

[eqn: x _{1} ^{2} +y _{1} ^{2} =9]      …… ①

접점 [eqn: rm Q]에서의 접선의 방정식을 구하면

[eqn: x _{1} x +y _{1} y=9]    …… ②

이 때, ②가 점 [eqn: (4,~3)]을 지나므로 점 [eqn: (4,~3)]을 ②에 대입하면

[eqn: 4x _{1} +3y _{1} =9]   …… ③

③을 ①에 대입하면

[eqn: x _{1} ^{2} + LEFT ( - {4} over {3} x _{1} +3 RIGHT ) ^{2} =9]   ⇒   [eqn: 25x _{1} ^{2} -72x _{1} =0]

∴ [eqn: x _{1} =0] 또는 [eqn: x _{1} = {72} over {25}]

이것을 각각 ③에 대입하여 [eqn: y _{1}]을 구하면

[eqn: x _{1} =0]일 때 [eqn: y _{1} =3], [eqn: x _{1} = {72} over {25}]일 때 [eqn: y _{1} =- {21} over {25}]

그러므로 기울기는 [eqn: 0] 또는 [eqn: {24} over {7}]

따라서, 조건에 맞는 기울기는 [eqn: {24} over {7}]이므로 [eqn: p+q=7+24=31]

[별해] [eqn: rm P(4,~3)]을 지나고 기울기가 [eqn: m]인 직선의 방정식은 [eqn: y-3=m(x-4)]이다.

원과 직선이 접하려면 원의 중심으로부터 직선까지의 거리가 반지름과

같아야 하므로 [eqn: { LEFT | ``4m-3``RIGHT |} over root {m^2 +1`} =3]이고

양변을 제곱하여 정리하면 [eqn: 16m^2 - 24m +9 = 9m^2 +9]

⇒  [eqn: 7m^2 -24m=0]

∴ [eqn: m=0] 또는 [eqn: m= 24 over 7]

따라서, 조건에 맞는 기울기는 [eqn: {24} over {7}]이므로 [eqn: p+q=7+24=31]

30. [출제의도] 대칭이동을 이용한 최소 거리 구하기

[해설] 점 [eqn: rmA]를 반직선 [eqn: rm OY]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rm A'],

반직선 [eqn: rm OY]와 선분 [eqn: rmA A']의 교점을 [eqn: rmM]이라 하자.

[eqn: △ rmAMP == △A'MP](∵ [eqn: rm SAS]합동),

[eqn: △ rmAOM == △A'OM](∵ [eqn: rm SAS]합동)이므로

[eqn: rm ANGLEAOA'= 90 DEG], [eqn: rm bar{AP} = bar{A'P}], [eqn: rm bar OA = bar OA']

[eqn: rm B]

[eqn: rm X]

[eqn: rm Y]

[eqn: rm O]

[eqn: rm A]

[eqn: rm P]

[eqn: rm A']

[eqn: rmM]

[eqn: rm A'], [eqn: rm P], [eqn: rm B]가 일직선 상에 있을 때, [eqn: rm barAP +bar PB]의 길이가 최소가 된다.

[eqn: rm bar{AP} + bar{PB} = bar{A prime P} + bar{PB} ` >= bar{A prime B} =130]

따라서, 구하는 최소값은 [eqn: 130]

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