고 2	정답 및 해설	2007학년도 6월 전국연합학력평가

2007학년도 6월 전국연합학력평가	정답 및 해설	고 2

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2007학년도 6월 고2 전국연합학력평가

정답 및 해설

수리 영역

“가”형 정답

1	③	2	①	3	②	4	③	5	②
6	①	7	⑤	8	④	9	①	10	④
11	①	12	④	13	④	14	③	15	②
16	②	17	③	18	③	19	②	20	⑤
21	③	22	[eqn: 12]	23	[eqn: 10]	24	[eqn: 24]	25	[eqn: 13]
26	[eqn: 36]	27	[eqn: 14]	28	[eqn: 27]	29	[eqn: 7]	30	[eqn: 145]

해설

1. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 계산하기

[eqn: log _{2} 16-log _{2} {1} over {4}]

[eqn: =log`_2 ``2^4 -log`_2``2^-2]

[eqn: =`4+2``=``6]

2. [출제의도] 음수의 제곱근 계산하기

[eqn: {sqrt {27}} over {sqrt {-3}} `+` sqrt {-4} sqrt {-9} ```]

[eqn: = {3sqrt {3}} over {sqrt {3} i} `+` sqrt {4} i sqrt {9} i]

[eqn: = {3 over {i} × {i} over {i} `+`2i × 3i]

[eqn: =-3i-6]

[eqn: a=`-6`,```b=-3]

[eqn: THEREFORE ``a+b`=`-9]

3. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 식 계산하기

[eqn: a ^{2} b TIMES root {3} of { { b^2} over { a} }]  [eqn: =a^{2-{ 1} over { 3}} b^{1+ { 2} over { 3}} =a^ {{ 5} over { 3}}b^{ { 5} over {3 }}]

4. [출제의도] 부분집합의 개수 구하기

[eqn: U= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5 RIGHT } `]에서

[eqn: LEFT { 1,~3,~5 RIGHT } CUP X=U`]를 만족하는 집합 [eqn: X`]는

[eqn: LEFT { 2, ~ 4 RIGHT } SUBSET X SUBSET LEFT { 1, ~2, ~3, ~4, ~5 RIGHT }]이므로

집합 [eqn: X]는 [eqn: U]의 부분집합 중 [eqn: LEFT { 2, ~4 RIGHT }]를 반드시 포함해야하므로 집합 [eqn: X]의 개수는 [eqn: LEFT { 1,`3,`5 RIGHT }]의 부분집합의 개수와 같다.

[eqn: THEREFORE][eqn: LEFT { 1,~3,~5 RIGHT }]의 부분집합의 개수는 [eqn: 2^{ 3} = 8](개)

5. [출제의도] 수학 외적인 상황의 자료에서 표준편차 구하기

해수면의 기압을 [eqn: a]라 하면 각 잠수정이 받는 기압은 [eqn: a+4,~a+5,`~a+6,~a+7,~a+8]

(평균)[eqn: =` {(a+4)+(a+5)+(`a+6)+(a+7)+(`a+8)} over {5}]

[eqn: =`a`+`6]

기압의 편차들이 [eqn: -2,~-1,~0,~1,~2] 이므로

(분산)[eqn: =` {LEFT. LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2} +(-1 RIGHT ) ^{2} +0 ^{2} +1 ^{2} +2 ^{2}} over {5} `=`2]

∴ (표준편차) [eqn: =sqrt { 2}]

6. [출제의도] 합성함수의 값 구하기

[eqn: f(x)=(x-1)(x+2)]에서

[eqn: f(1)=0,```f(-2)=0,```f(0)=-2] 이고,

[eqn: f(f(1))=f(f(-2))=f(0)] 이다.

∴ [eqn: f(f(1))+f(f(-2))=2f(0)=-4]

7. [출제의도] 부정방정식을 이용하여 수학외적문제 해결하기

관람을 마치고 나온 사람이 [eqn: 3]명이므로 이들이 지나올 때 램프는 모두 [eqn: 9]회 깜박거렸다.

한 사람이 [eqn: B]전시실 안으로 가기까지 램프가  [eqn: 2]회 깜박이고, [eqn: A]전시실 안으로 가기까지는 램프가 [eqn: 1]회 깜박이므로 [eqn: A]전시실에 있는 인원을 [eqn: a]명, [eqn: B]전시실에 있는 인원을 [eqn: b]명이라 하면  [eqn: a+2b=5]

ㄱ. [eqn: 1]명이 문을 지나갈 때마다 램프의 불이 [eqn: 1]회 깜박이므로  [eqn: B]전시실의 램프는 [eqn: 3]회, [eqn: 4]회, [eqn: 5]회 깜박일 수 있다. (거짓)

ㄴ. [eqn: b=1] 이면 [eqn: a=3] (참)

ㄷ. 인원이 최대인 경우는 [eqn: b=0]  이면 [eqn: a=5] (참)

8. [출제의도] 역행렬의 정의 이해하기

ㄱ. [eqn: A^2 =``-E] 이므로 [eqn: A(-A)=E]

[eqn: THEREFORE```A^-1 =``-A] (참)

ㄴ. [eqn: A]의 역행렬이 존재한다면

[eqn: A^2 -A=A(A-E)=O]에서

[eqn: A^-1 A(A-E)=A^-1 O]

[eqn: A-E=O] 에서 [eqn: A=E] 는 가정에 모순이므로 [eqn: A]의 역행렬은 존재하지 않는다. (거짓)

반례) [eqn: A= LEFT ( matrix{1```&0#1```&0} RIGHT ) &]일 때, [eqn: A ^{2``} -`A`=`O] 이고,

[eqn: A` != E] 이지만 [eqn: A]의 역행렬이 존재하지 않는다.

ㄷ. [eqn: A(2A-E)=E] 이므로 역행렬의 정의에 의해     [eqn: A^-1 =2A-E]

따라서 [eqn: A^-1]가 존재하므로

[eqn: A^2006 (A-E)=O] 에서

[eqn: left(A^-1 right)^2006 A^2006 `(A-E)=left(A^-1 right)^2006 O]

[eqn: A-E=O]

[eqn: ∴``A=E] (참)

9. [출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여 그래프의 개형 구하기

행렬[eqn: pmatrix { a+b&`````-2b-2 # -a& ````````````a+b}]의 역행렬이 존재하지 않으므로 [eqn: (a+b)(a+b)+a(-2b-2)=0]

[eqn: a ^{2} +2ab+b ^{2} -2ab-2a=0]

[eqn: (a-1)^2 +b^2 =1]

즉, 점 [eqn: rmP][eqn: (a,b)]는 중심이 [eqn: (1,0)]이고 반지름이 [eqn: 1]인 원 위를 움직이는 점이다.

10. [출제의도] 로그의 성질 이해하기

ㄱ. [eqn: << a,a >> =log _{2} (log _{a} `a)=log _{2} `1=0] (거짓)

ㄴ. [eqn: << b,a>> =log _{2} (log _{b} `a)=log _{2} ( {1} over {log _{a} `b} )]

[eqn: =log _{2} (log _{a} `b) ^{-1} =``-log _{2} (log _{a} `b)]

[eqn: = ``-<< a,b>>] (참)

ㄷ. [eqn: << a,b ^{2} >> - << a ^{2} ,b >>]

[eqn: =log _{2} (log _{a} ``b ^{2} )][eqn: -log _{2} (log _{a ^{2}} ``b)]

[eqn: =log _{2} (2log _{a}`b)-log _{2} LEFT ( { 1} over { 2} {rmlog}_a `b RIGHT )]

[eqn: log`_a `b]

[eqn: =log`_2 ``left( {2log`_a ``b } over { { 1} over {2 }`````````````````````` }right)`=``log`_2 ``4 `=`2] (참)

11. [출제의도] 부채꼴의 넓이를 이용하여 도형의 넓이 구하기

[eqn: rm TRIANGLE OPQ]는 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정삼각형이고,

[eqn: rmTRIANGLE ABC]는 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정삼각형이므로

[eqn: S_1 = rm TRIANGLE OPQ-( TRIANGLE APB`+부채꼴ABC+ TRIANGLE ACQ)]

[eqn: = sqrt {3} `- LEFT ( {sqrt {3}} over {4} + {pi } over {6} + {sqrt {3}} over {4} RIGHT )] [eqn: = {sqrt {3}} over {2} - {pi } over {6}]

구하고자 하는 부분의 넓이 [eqn: S] 는 [eqn: 6S_1]이므로

[eqn: S=6 left( {sqrt {3}} over {2} - {pi } over {6} right)=][eqn: 3 sqrt {3} - pi]

12. [출제의도] 행렬의 성분 구하기

이차방정식 [eqn: x ^{2} +2mx+n=0``]의

판별식 [eqn: D/4`=m ^{2} -n]에서

[eqn: m=1,n=1]일 때, [eqn: D/4 =0]  ∴[eqn: a _{11} =0]

[eqn: m=1,n=2]일 때, [eqn: D/4 <0]  ∴[eqn: a _{12} =`-1]

[eqn: m=2,n=1]일 때, [eqn: D/4 >0]  ∴[eqn: a _{21} =1]

[eqn: m=2,n=2]일 때, [eqn: D/4 >0]  ∴[eqn: a _{22} =1]

따라서 행렬[eqn: A= pmatrix{0&`-1#`1`&````````1}]이다.

13. [출제의도] 원에서의 증명문제 완성하기

두 점 [eqn: rm A it LEFT ( p,~q RIGHT ) ,~ rm B it LEFT ( r,~s RIGHT )]가 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1] 위의 점이므로

[eqn: p ^{2} +q ^{2} =1 CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: r ^{2} +s ^{2} =1 CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: bar{rm AB it ^{2}} = LEFT ( r-p RIGHT ) ^{2} + LEFT ( s-q RIGHT ) ^{2} =2 TIMES] [eqn: =2]

[eqn: (1-pr-qs)]

에서 [eqn: =1 CDOTS CDOTS ㉢]

[eqn: 1-pr-qs]

[eqn: ㉢]을 [eqn: q`]에 대하여 정리하여 [eqn: ㉠]식에 대입하면

[eqn: p ^{2} +q ^{2} =p ^{2} LEFT ( 1+ {r ^{2}} over {s ^{2}} RIGHT ) =1]이므로  이 성립

[eqn: p ^{2}=s^2]

따라서, [eqn: p ^{2} +r ^{2} =q ^{2} +s ^{2} =1] 이므로 두 점 [eqn: rm C it LEFT ( p,~r RIGHT )], [eqn: rm D it LEFT ( q,~s RIGHT )]는 원 [eqn: x^2 +y^2 =1] 위에 있다.

[eqn: bar{rm CD it} ` ^{2} = LEFT ( q-p RIGHT ) ^{2} + LEFT ( s-r RIGHT ) ^{2} =2-2 LEFT ( pq+rs RIGHT )]

[eqn: ㉢]과  에 의하여   [eqn: pq+rs=0]이므로

[eqn: p^2 =s^2]

[eqn: bar{rm CD it} =]

[eqn: sqrt { 2}]

14. [출제의도] 로그의 성질을 이용한 추론문제 완성하기

[eqn: c= a log_{root 12} 3 + b rm log_144 2]

[eqn: = log _root 12 3^a + log _144 2^b]

[eqn: = log _{12} ``3 ^{2a} 2 ^{{b} over {2}}] 이므로

[eqn: 3 ^{2a} 2 ^{{b} over {2}} =(3 ^{c} `․`2 ^{2c})]이다.

따라서 [eqn: a:b:c = 1:8:2] 이다.

15. [출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 계산하기

[eqn: 2AB + E=O] 이므로

[eqn: A^-1 =-2B , ```` B^-1 = -2A], [eqn: AB``=`- {1} over {2} E]이다.

[eqn: A^-1 + B^-1 =E] 에서

[eqn: -2A-2B=E],

[eqn: A+B=- { 1} over {2 }E]

따라서

[eqn: A^{2 }B+AB^{2}=A(AB)+(AB)B]

[eqn: = - 1OVER 2 E(A+B)]

[eqn: = 1OVER 4 E]

16. [출제의도] 역함수의 성질 이해하기

[eqn: f(x)= {kx} over {x+3} `]가 직선 [eqn: y=x]에 대칭이므로

[eqn: f(x)=f^-1 (x)],  [eqn: f ^{-1} (x)= {-3x} over {x-k} `]

[eqn: {kx} over {x+3} `=` { -3x} over { x-k}]

∴[eqn: k=-3]

17. [출제의도] 함수의 그래프 개형 구하기

그림과 같이 점 [eqn: rmP]가 [eqn: y=2x] 위를 움직이므로

[eqn: b=2a]

[eqn: y=a+b=3a]  ∴ [eqn: a= { 1} over {3 }y]

[eqn: x=a^2][eqn: = left({ 1} over { 3}y right)^2], [eqn: a≧0]이므로 [eqn: y=3 sqrt { x}]

∴ 그래프의 개형은 ③번

18. [출제의도] 원과 직선사이의 위치관계를 이용하여 문제해결하기

점 [eqn: rmP][eqn: (a,``b)]는 원 [eqn: x^2 -4x +y^2 = 0] 위를 움직이고, 원의 중심 [eqn: rmC(2,``0)]과 점 [eqn: rmA(-2,``0)]에 대하여

[eqn: TRIANGLE {rmACP }]의 넓이를 [eqn: n]이라 하면,

[eqn: TRIANGLE {rmACP} = { 1} over {2 } ×4 × |`b `| =n] ([eqn: n]은 자연수, [eqn: |`b` |≦2])

[eqn: THEREFORE |`b`|= {n} over {2}]

[eqn: n=1, ~ ~2, ~ ~3]일 때,  점 [eqn: rmP]는 각각 [eqn: 4]개씩이고,

[eqn: n=4]일 때,  점 [eqn: rmP]는 [eqn: 2]개

따라서, [eqn: TRIANGLE {rmACP]의 넓이가 자연수가 되게하는

점 [eqn: rmP]의 개수는 총 [eqn: 14](개)

19. [출제의도] 삼각함수 사이의 관계 이해하기

ㄱ. (반례) [eqn: alpha =2 pi - {pi } over {3} ,~~ beta = {3} over {2} pi - {pi } over {3}]이면,

[eqn: sin alpha =cos beta] 이지만 [eqn: sin LEFT ( alpha + beta RIGHT ) = {1} over {2}] (거짓)

ㄴ. [eqn: sin alpha`=cos beta] 이므로

[eqn: cos^2 alpha `+`cos^2 beta =cos^2 alpha `+`sin^2 alpha `=`1] (참)

ㄷ. (반례)  [eqn: alpha =2 pi - {pi } over {3} ,~~ beta = {3} over {2} pi - {pi } over {3}]이면,

[eqn: sin alpha =cos beta]이지만 [eqn: tan alpha +tan beta =- {2} over {3} sqrt {3}] (거짓)

참고 : [eqn: pi < alpha <2 pi ,```` pi < beta <2 pi]에 대하여
[eqn: sin alpha ``=``cos beta]인 경우는
[eqn: alpha ``=`` pi ``+`` theta ,```` beta ``=` {3} over {2} ` pi ``-`` theta] (단, [eqn: 0< theta LEQ {pi } over {2}])이고
[eqn: alpha ``=``2 pi ``-`` theta ,```` beta ``=` {3} over {2} ` pi ``-`` theta] (단, [eqn: 0< theta LEQ {pi } over {2}])
일 때, 성립한다.

20. [출제의도] 도형의 성질을 이용하여 수학외적문제 해결하기

원의 반지름의 길이가 [eqn: 10]이므로 정사각형의 한 변의 길이는 [eqn: 40] …㉠

그림과 같이 마름모의 꼭지점을 각각 [eqn: rmA, ~ B, ~ C, ~D] 라 하고, 외접하는 세 원의 중심을 [eqn: rmO,`P,`Q]라 하자.

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rmO]

[eqn: rmP]

[eqn: rmQ]

[eqn: △rmOPQ]는 한 변의 길이가 [eqn: 20]인 정삼각형

[eqn: {rmbarOQ]와 [eqn: {rmbarAB]가 평행이고, [eqn: {rmbarOP]와 [eqn: {rmbarBC]가 평행이므로  [eqn: △rmABC]는 [eqn: △rmOPQ]와 닮은 정삼각형

점 [eqn: rmO]에서 [eqn: rmbar { AC}]까지 이르는 거리는 [eqn: 10 sqrt { 3}]

점 [eqn: rmB]에서 [eqn: rmbar { AC}]까지 이르는 거리는 [eqn: 10 sqrt { 3} + 20]

마름모의 한 변의 길이를 [eqn: x]라 하면,

[eqn: x``:``20= left(10 sqrt {3} +20 right)``:``10 sqrt {3}]

[eqn: THEREFORE x= {40 sqrt {3}} over {3} +20] …㉡

㉠과 ㉡에 의해

[eqn: left( {40 sqrt {3}} over {3} +20 right)-40= 20 left({2 sqrt {3}} over {3} `-1 right)]

21. [출제의도] 지수의 성질을 이용하여 문제 해결하기

잡음지수를 [eqn: { 1} over {10 }]배 하였을 때, 잡음인자 [eqn: a=10^{ { N_F} over {100 }}]

잡음지수를 [eqn: { 1} over {10 0}]배 하였을 때, 잡음인자 [eqn: b=10^{ { N_F} over {1000 }}]

따라서 [eqn: b= a^ {{ 1} over {10 }}]

∴ [eqn: log _{a} b=log` _{a} ``a ^{{1} over {10}} = {1} over {10}]

22. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 로그값 구하기

[eqn: log _{2} 9 TIMES log _{sqrt {3}} 8= {log9} over {log2} TIMES {log8} over {log` sqrt {3}}]

[eqn: = {2log3} over log2 times {3log2} over {1 over 2 rm log3]

[eqn: = 12]

23.  [출제의도] 행렬을 이용하여 연립일차방정식의 해 구하기

[eqn: pmatrix{5&````0#9&````6} pmatrix{x#y} =k pmatrix{x-y#x+y} `]

[eqn: pmatrix{5&````0#9&````6} pmatrix{x#y} =k pmatrix{1&````-1#1&```````````1} pmatrix{x#y}]

[eqn: pmatrix{5-k&```````k#9-k&``````6-k} pmatrix{x#y} = pmatrix{0#0} `]이고, [eqn: x=0,``y=0]이외의 해를 갖기 위해서는 행렬[eqn: pmatrix{5-k&```````k#9-k&``````6-k}]의 역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: (5-k)(6-k)-k(9-k)=0]

[eqn: k ^{2} -10k+15=0]

따라서, 조건을 만족하는 실수 [eqn: k]값들의 합은 [eqn: 10]

24. [출제의도] 지수의 성질을 이용하여 문제 해결하기

[eqn: 2 ^{30} TIMES 5 ^{20} `=`a` TIMES 10 ^{n} `]에서

[eqn: a= {2 ^{30} TIMES 5 ^{20}} over {10 ^{n}} `= {(2 ^{10} TIMES 2 ^{20} ) TIMES 5 ^{20}} over {10^n}]

[eqn: ={2^10 ×10^20 } over { 10^n}= { 1.024 ×10^23} over {10^n }]

[eqn: 1≦a<10]이므로 [eqn: n=23], [eqn: a=1.024]

[eqn: THEREFORE `n`+`[a]`=23+1=24]

25. [출제의도] 근과 계수와의 관계를 이용하여 이차부등식의 해 구하기

갑은 상수항을 바르게 보았으므로

[eqn: g _{1}]의 상수항 [eqn: b=-24] (∵ 두 근의 곱)

을은 일차항의 계수를 바르게 보았으므로

[eqn: g_{2}]의 일차항 [eqn: a=10]

(∵ 대칭축의 방정식은 [eqn: x=`- {a} over {2} `=`-5])

이 때, [eqn: x ^{2} +ax+b<0]에 [eqn: a,``b] 를 대입하면

[eqn: x ^{2} +10x-24<0`,`````````(x+12)(x-2)<0]

∴[eqn: -12<x<2]

따라서 만족하는 정수는 [eqn: 13](개)

26. [출제의도] 부등식의 영역에서 최대값, 최소값 구하기

세 부등식이 나타내는 영역은 그림과 같다.

[eqn: x`+`y`=`k] ([eqn: k]는 상수) 라 하면 [eqn: k]는

두 직선의 교점 [eqn: (-1,`-1)]에서 최소이고,

최소값 [eqn: m`=`-2]이다.

또한 [eqn: x`+`y`=`k]가 원 [eqn: x ^{2} `+`y ^{2} `=`16] 에 접할 때 최대이므로

[eqn: x ^{2} `+`(`-x`+k`) ^{2} `=`16]

[eqn: 2x ^{2} `-`2kx`+`k ^{2} `-`16`=`0]

[eqn: D/4=`k ^{2} `-`2`(k ^{2} `-`16`)`=`0]

[eqn: k ^{2} `=`32]

따라서 최대값 [eqn: M = root 32]

[eqn: THEREFORE``` M ^{2`} +` m ^{2} `=`36]

27. [출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여 행렬의 곱셈 계산하기

[eqn: (A ^{-1} `B`) ^{-1} `=`B ^{-1} A`=` pmatrix{```````4&````````11#-1&````-3}]

[eqn: A ^{2} `=`AB TIMES B ^{-1} A]

[eqn: =`` pmatrix{`2&``-1#1&``-1} ` pmatrix{``````4&`````````11#-1&`````-3}]

[eqn: =` pmatrix{``9&```25`#`5&`14}]

[eqn: THEREFORE `d`=`14]

28. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질 을 이용하여 문제 해결하기

[eqn: logA=m+ alpha ,``````logB=n+ beta]

([eqn: m,``n]은 음이 아닌 정수, [eqn: 0≦ alpha <1], [eqn: 0≦ beta<1] )

점 [eqn: rmQ] 가  [eqn: y=-x+1]위에 있으므로 [eqn: alpha + beta =1]

점 [eqn: rmP] 가  [eqn: y= {16} over {x}]위에 있으므로 [eqn: mn=16]

[eqn: log`AB``][eqn: =][eqn: logA+logB``]
[eqn: =m+ alpha +n+ beta]
[eqn: =m+n+1]

[eqn: THEREFORE ``AB=10 ^{m+n+1}]

양의 정수 [eqn: m,n]에 대하여 [eqn: mn=16]일 때, [eqn: m``+``n]의 최대값은 [eqn: 17], 최소값은 [eqn: 8]이므로

[eqn: AB] 의 최대값은 [eqn: 10 ^{18}], 최소값은 [eqn: 10 ^{9}]

최대값과 최소값의 곱은 [eqn: 10 ^{27}]   ∴ [eqn: k=27]

29. [출제의도] 상용로그를 이용하여 자리수 구하기

[eqn: 50` TIMES `2 ^{10} ` TIMES `2 ^{10} `=`32` TIMES `x]

[eqn: x`=`50` TIMES `2 ^{15}]

[eqn: log`x`=`log`(50` TIMES `2 ^{15} )`=`6.214]

지표가 [eqn: 6]이므로 [eqn: x]는 [eqn: 7]자리 정수이다.

30. [출제의도] 방정식을 이용하여 수학외적문제 해결하기

물통 [eqn: A,``B]의 반지름을 각각 [eqn: a,``b]라 하고 높이를 [eqn: h]라 하자.

[eqn: A] 에서 물이 모두 빠져 나가는데 걸린 시간을 [eqn: t]라 하면 [eqn: pi a^2 h = 27t]

[eqn: t= {pi a^2 h } over 27] 이다.

이 때 물통 [eqn: B]에 채워진 물의 부피는

[eqn: 3 over 4 pi b^2 h = 16 t = 16 ({pi a^2 h } over 27 )] 이므로

[eqn: b ^2 = 64 over 81 a^2] 이다.

따라서 [eqn: a:b = 9:8]

[eqn: THEREFORE p^2 + q^2 = 145]

“나”형 정답

1	③	2	①	3	②	4	③	5	②
6	①	7	⑤	8	⑤	9	④	10	④
11	④	12	①	13	④	14	③	15	③
16	②	17	③	18	③	19	②	20	⑤
21	③	22	[eqn: 12]	23	[eqn: 16]	24	[eqn: 24]	25	[eqn: 13]
26	[eqn: 36]	27	[eqn: 42]	28	[eqn: 27]	29	[eqn: 7]	30	[eqn: 145]

해설

1. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 계산하기

[eqn: log _{2} 16-log _{2} {1} over {4}]

[eqn: =log`_2 ``2^4 -log`_2``2^-2]

[eqn: =`4+2``=``6]

2. [출제의도] 음수의 제곱근 계산하기

[eqn: {sqrt {27}} over {sqrt {-3}} `+` sqrt {-4} sqrt {-9} ```]

[eqn: = {3sqrt {3}} over {sqrt {3} i} `+` sqrt {4} i sqrt {9} i]

[eqn: = {3 over {i} × {i} over {i} `+`2i × 3i]

[eqn: =-3i-6]

[eqn: a=`-6`,```b=-3]

[eqn: THEREFORE ``a+b`=`-9]

3. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 식 계산하기

[eqn: a ^{2} b TIMES root {3} of { { b^2} over { a} }]  [eqn: =a^{2-{ 1} over { 3}} b^{1+ { 2} over { 3}} =a^ {{ 5} over { 3}}b^{ { 5} over {3 }}]

4. [출제의도] 부분집합의 개수 구하기

[eqn: U= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5 RIGHT } `]에서

[eqn: LEFT { 1,~3,~5 RIGHT } CUP X=U`]를 만족하는 집합 [eqn: X`]는

[eqn: LEFT { 2, ~ 4 RIGHT } SUBSET X SUBSET LEFT { 1, ~2, ~3, ~4, ~5 RIGHT }]이므로

집합 [eqn: X]는 [eqn: U]의 부분집합 중 [eqn: LEFT { 2, ~4 RIGHT }]를 반드시 포함해야하므로 집합 [eqn: X]의 개수는 [eqn: LEFT { 1,`3,`5 RIGHT }]의 부분집합의 개수와 같다.

[eqn: THEREFORE][eqn: LEFT { 1,~3,~5 RIGHT }]의 부분집합의 개수는 [eqn: 2^{ 3} = 8](개)

5. [출제의도] 수학 외적인 상황의 자료에서 표준편차 구하기

해수면의 기압을 [eqn: a]라 하면 각 잠수정이 받는 기압은 [eqn: a+4,~a+5,`~a+6,~a+7,~a+8]

(평균)[eqn: =` {(a+4)+(a+5)+(`a+6)+(a+7)+(`a+8)} over {5}]

[eqn: =`a`+`6]

기압의 편차들이 [eqn: -2,~-1,~0,~1,~2] 이므로

(분산)[eqn: =` {LEFT. LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2} +(-1 RIGHT ) ^{2} +0 ^{2} +1 ^{2} +2 ^{2}} over {5} `=`2]

∴ (표준편차) [eqn: =sqrt { 2}]

6. [출제의도] 합성함수의 값 구하기

[eqn: f(x)=(x-1)(x+2)]에서

[eqn: f(1)=0,```f(-2)=0,```f(0)=-2] 이고,

[eqn: f(f(1))=f(f(-2))=f(0)] 이다.

∴ [eqn: f(f(1))+f(f(-2))=2f(0)=-4]

7. [출제의도] 부정방정식을 이용하여 수학외적문제 해결하기

관람을 마치고 나온 사람이 [eqn: 3]명이므로 이들이 지나올 때 램프는 모두 [eqn: 9]회 깜박거렸다.

한 사람이 [eqn: B]전시실 안으로 가기까지 램프가  [eqn: 2]회 깜박이고, [eqn: A]전시실 안으로 가기까지는 램프가 [eqn: 1]회 깜박이므로 [eqn: A]전시실에 있는 인원을 [eqn: a]명, [eqn: B]전시실에 있는 인원을 [eqn: b]명이라 하면  [eqn: a+2b=5]

ㄱ. [eqn: 1]명이 문을 지나갈 때마다 램프의 불이 [eqn: 1]회 깜박이므로  [eqn: B]전시실의 램프는 [eqn: 3]회, [eqn: 4]회, [eqn: 5]회 깜박일 수 있다. (거짓)

ㄴ. [eqn: b=1] 이면 [eqn: a=3] (참)

ㄷ. 인원이 최대인 경우는 [eqn: b=0]  이면 [eqn: a=5] (참)

8. [출제의도] 명제의 참, 거짓 이해하기

[eqn: p`: ``` |x |≦2]     ∴ [eqn: -2≦x≦2]

[eqn: q`:] [eqn: x(x-3)<0]     ∴ [eqn: 0<x<3]

[eqn: r`:[x]^2 -[x]-2≦0], [eqn: ([x]-2)([x]+1)≦0]

[eqn: -1≦[x]≦2],      [eqn: [x]=-1,``0,``1,``2]

∴ [eqn: -1≦x<3]

따라서 [eqn: p`->`q]는 거짓, [eqn: q`->`r]는 참, [eqn: r`->`p]는 거짓

9. [출제의도] 곱셈공식을 이용하여 지수식 계산하기

[eqn: 2 ^{x} +2 ^{-x} =3`]일 때,

[eqn: 8 ^{x} +8 ^{-x} `=(2 ^{x}+2^-x )^3 -3(2^x +2^-x )]

[eqn: =3^3 -3`×`3 =18]

10. [출제의도] 로그의 성질 이해하기

ㄱ. [eqn: << a,a >> =log _{2} (log _{a} `a)=log _{2} `1=0] (거짓)

ㄴ. [eqn: << b,a>> =log _{2} (log _{b} `a)=log _{2} ( {1} over {log _{a} `b} )]

[eqn: =log _{2} (log _{a} `b) ^{-1} =``-log _{2} (log _{a} `b)]

[eqn: = ``-<< a,b>>] (참)

ㄷ. [eqn: << a,b ^{2} >> - << a ^{2} ,b >>]

[eqn: =log _{2} (log _{a} ``b ^{2} )][eqn: -log _{2} (log _{a ^{2}} ``b)]

[eqn: =log _{2} (2log _{a}`b)-log _{2} LEFT ( { 1} over { 2} {rmlog}_a `b RIGHT )]

[eqn: log`_a `b]

[eqn: =log`_2 ``left( {2log`_a ``b } over { { 1} over {2 }`````````````````````` }right)`=``log`_2 ``4 `=`2] (참)

11. [출제의도] 이차함수에서의 수학내적문제 해결하기

[eqn: {rmA}(a,``0)], [eqn: {rmD} left( a,``{ 1} over {2 }a^2 right)], [eqn: {rmB}(b,``0)](단, [eqn: b>a>0])

이라 하면 [eqn: {rmC} left(b, ``{ 1} over { 8}b^2 right)]

사각형[eqn: rmABCD]는 정사각형이므로 [eqn: {bar {rmAD}}```=```{bar{rmBC}}]

[eqn: { 1} over { 2}a^2 = { 1} over {8 }b^2], [eqn: b=2a](∵[eqn: a>0,b>0]) …㉠

[eqn: {bar {rmAD}}```=```{bar{rmAB}}] 에서 [eqn: { 1} over { 2}a^2 =b-a] …㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: { 1} over {2 }a^2 =2a-a=a]

∴ [eqn: a=2](∵[eqn: a>0])

12. [출제의도] 정의된 분수식 계산하기

[eqn: {1} over {n} TIMES LEFT [ n ^{2} `;~1,~n ^{2} RIGHT ] ``= {1} over {n} LEFT ( n ^{2} + {1} over {1+ {1} over {n ^{2}}} RIGHT )]

[eqn: =n+{ 1} over { n left(1+ { 1} over {n^2 } right)}=n+ { 1} over {n+ { 1} over {n } }]

[eqn: = [n`;~n,~n]]

∴ [eqn: {1} over {n} TIMES LEFT [ n ^{2} `;~1,~n ^{2} RIGHT ] ``=[n`;~n,~n]]

13. [출제의도] 원에서의 증명문제 완성하기

두 점 [eqn: rm A it LEFT ( p,~q RIGHT ) ,~ rm B it LEFT ( r,~s RIGHT )]가 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1] 위의 점이므로

[eqn: p ^{2} +q ^{2} =1 CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: r ^{2} +s ^{2} =1 CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: bar{rm AB it ^{2}} = LEFT ( r-p RIGHT ) ^{2} + LEFT ( s-q RIGHT ) ^{2} =2 TIMES] [eqn: =2]

[eqn: (1-pr-qs)]

에서 [eqn: =1 CDOTS CDOTS ㉢]

[eqn: 1-pr-qs]

[eqn: ㉢]을 [eqn: q`]에 대하여 정리하여 [eqn: ㉠]식에 대입하면

[eqn: p ^{2} +q ^{2} =p ^{2} LEFT ( 1+ {r ^{2}} over {s ^{2}} RIGHT ) =1]이므로  이 성립

[eqn: p ^{2}=s^2]

따라서, [eqn: p ^{2} +r ^{2} =q ^{2} +s ^{2} =1] 이므로 두 점 [eqn: rm C it LEFT ( p,~r RIGHT )], [eqn: rm D it LEFT ( q,~s RIGHT )]는 원 [eqn: x^2 +y^2 =1] 위에 있다.

[eqn: bar{rm CD it} ` ^{2} = LEFT ( q-p RIGHT ) ^{2} + LEFT ( s-r RIGHT ) ^{2} =2-2 LEFT ( pq+rs RIGHT )]

[eqn: ㉢]과  에 의하여   [eqn: pq+rs=0]이므로

[eqn: p^2 =s^2]

[eqn: bar{rm CD it} =]

[eqn: sqrt { 2}]

14. [출제의도] 로그의 성질을 이용한 추론문제 완성하기

[eqn: c= a log_{root 12} 3 + b rm log_144 2]

[eqn: = log _root 12 3^a + log _144 2^b]

[eqn: = log _{12} ``3 ^{2a} 2 ^{{b} over {2}}] 이므로

[eqn: 3 ^{2a} 2 ^{{b} over {2}} =(3 ^{c} `․`2 ^{2c})]이다.

따라서 [eqn: a:b:c = 1:8:2] 이다.

15. [출제의도] 제이코사인법칙을 이용하여 선분의 길이 구하기

직원뿔의 전개도에서

(부채꼴의 호의 길이)

[eqn: =](직원뿔 밑면의 원 둘레의 길이) [eqn: =4pi]

부채꼴의 중심각은 [eqn: {4 pi } over {6} = {2} over {3} pi]이므로,[eqn: ANGLE rm AOB it = {pi } over {3}]

점[eqn: rmP]가 움직인 최단거리는 [eqn: rmbar{A'B}]

제이코사인법칙을 이용하면

[eqn: {bar{rm A prime B it }}^2 =3 ^{2} +6 ^{2} -2 TIMES 3 TIMES 6 TIMES cos {pi } over {3} =27]

∴ [eqn: bar{rm A prime B it} ``=``3 sqrt {3}]

16. [출제의도] 역함수의 성질 이해하기

[eqn: f(x)= {kx} over {x+3} `]가 직선 [eqn: y=x]에 대칭이므로

[eqn: f(x)=f^-1 (x)],  [eqn: f ^{-1} (x)= {-3x} over {x-k} `]

[eqn: {kx} over {x+3} `=` { -3x} over { x-k}]

∴[eqn: k=-3]

17. [출제의도] 함수의 그래프 개형 구하기

그림과 같이 점 [eqn: rmP]가 [eqn: y=2x] 위를 움직이므로

[eqn: b=2a]

[eqn: y=a+b=3a]  ∴ [eqn: a= { 1} over {3 }y]

[eqn: x=a^2][eqn: = left({ 1} over { 3}y right)^2], [eqn: a≧0]이므로 [eqn: y=3 sqrt { x}]

∴ 그래프의 개형은 ③번

18. [출제의도] 원과 직선사이의 위치관계를 이용하여 문제해결하기

점 [eqn: rmP][eqn: (a,``b)]는 원 [eqn: x^2 -4x +y^2 = 0] 위를 움직이고, 원의 중심 [eqn: rmC(2,``0)]과 점 [eqn: rmA(-2,``0)]에 대하여

[eqn: TRIANGLE {rmACP }]의 넓이를 [eqn: n]이라 하면,

[eqn: TRIANGLE {rmACP} = { 1} over {2 } ×4 × |`b `| =n] ([eqn: n]은 자연수, [eqn: |`b` |≦2])

[eqn: THEREFORE |`b`|= {n} over {2}]

[eqn: n=1, ~ ~2, ~ ~3]일 때,  점 [eqn: rmP]는 각각 [eqn: 4]개씩이고,

[eqn: n=4]일 때,  점 [eqn: rmP]는 [eqn: 2]개

따라서, [eqn: TRIANGLE {rmACP]의 넓이가 자연수가 되게하는

점 [eqn: rmP]의 개수는 총 [eqn: 14](개)

19. [출제의도] 삼각함수 사이의 관계 이해하기

ㄱ. (반례) [eqn: alpha =2 pi - {pi } over {3} ,~~ beta = {3} over {2} pi - {pi } over {3}]이면,

[eqn: sin alpha =cos beta] 이지만 [eqn: sin LEFT ( alpha + beta RIGHT ) = {1} over {2}] (거짓)

ㄴ. [eqn: sin alpha`=cos beta] 이므로

[eqn: cos^2 alpha `+`cos^2 beta =cos^2 alpha `+`sin^2 alpha `=`1] (참)

ㄷ. (반례)  [eqn: alpha =2 pi - {pi } over {3} ,~~ beta = {3} over {2} pi - {pi } over {3}]이면,

[eqn: sin alpha =cos beta]이지만 [eqn: tan alpha +tan beta =- {2} over {3} sqrt {3}] (거짓)

참고 : [eqn: pi < alpha <2 pi ,```` pi < beta <2 pi]에 대하여
[eqn: sin alpha ``=``cos beta]인 경우는
[eqn: alpha ``=`` pi ``+`` theta ,```` beta ``=` {3} over {2} ` pi ``-`` theta] (단, [eqn: 0< theta LEQ {pi } over {2}])이고
[eqn: alpha ``=``2 pi ``-`` theta ,```` beta ``=` {3} over {2} ` pi ``-`` theta] (단, [eqn: 0< theta LEQ {pi } over {2}])
일 때, 성립한다.

20. [출제의도] 도형의 성질을 이용하여 수학외적문제 해결하기

원의 반지름의 길이가 [eqn: 10]이므로 정사각형의 한 변의 길이는 [eqn: 40] …㉠

그림과 같이 마름모의 꼭지점을 각각 [eqn: rmA, ~ B, ~ C, ~D] 라 하고, 외접하는 세 원의 중심을 [eqn: rmO,`P,`Q]라 하자.

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rmO]

[eqn: rmP]

[eqn: rmQ]

[eqn: △rmOPQ]는 한 변의 길이가 [eqn: 20]인 정삼각형

[eqn: {rmbarOQ]와 [eqn: {rmbarAB]가 평행이고, [eqn: {rmbarOP]와 [eqn: {rmbarBC]가 평행이므로  [eqn: △rmABC]는 [eqn: △rmOPQ]와 닮은 정삼각형

점 [eqn: rmO]에서 [eqn: rmbar { AC}]까지 이르는 거리는 [eqn: 10 sqrt { 3}]

점 [eqn: rmB]에서 [eqn: rmbar { AC}]까지 이르는 거리는 [eqn: 10 sqrt { 3} + 20]

마름모의 한 변의 길이를 [eqn: x]라 하면,

[eqn: x``:``20= left(10 sqrt {3} +20 right)``:``10 sqrt {3}]

[eqn: THEREFORE x= {40 sqrt {3}} over {3} +20] …㉡

㉠과 ㉡에 의해

[eqn: left( {40 sqrt {3}} over {3} +20 right)-40= 20 left({2 sqrt {3}} over {3} `-1 right)]

21. [출제의도] 지수의 성질을 이용하여 문제 해결하기

잡음지수를 [eqn: { 1} over {10 }]배 하였을 때, 잡음인자 [eqn: a=10^{ { N_F} over {100 }}]

잡음지수를 [eqn: { 1} over {10 0}]배 하였을 때, 잡음인자 [eqn: b=10^{ { N_F} over {1000 }}]

따라서 [eqn: b= a^ {{ 1} over {10 }}]

∴ [eqn: log _{a} b=log` _{a} ``a ^{{1} over {10}} = {1} over {10}]

22. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 로그값 구하기

[eqn: log _{2} 9 TIMES log _{sqrt {3}} 8= {log9} over {log2} TIMES {log8} over {log` sqrt {3}}]

[eqn: = {2log3} over log2 times {3log2} over {1 over 2 rm log3]

[eqn: = 12]

23. [출제의도] 근과 계수와의 관계를 이용하여 지수값 계산하기

[eqn: x ^{2}-4x+1=0]의 두 근을 [eqn: alpha,`` beta]라 하면

[eqn: alpha + beta=4,``` alpha beta=1]이므로

[eqn: left(2^ alpha ``×2^ beta right)^ {{ 1} over { alpha }+ { 1} over { beta } }=2^ {{ ( alpha+ beta)^2 } over { alpha beta }}=2^16]

∴ [eqn: k=16]

24. [출제의도] 지수의 성질을 이용하여 문제 해결하기

[eqn: 2 ^{30} TIMES 5 ^{20} `=`a` TIMES 10 ^{n} `]에서

[eqn: a= {2 ^{30} TIMES 5 ^{20}} over {10 ^{n}} `= {(2 ^{10} TIMES 2 ^{20} ) TIMES 5 ^{20}} over {10^n}]

[eqn: ={2^10 ×10^20 } over { 10^n}= { 1.024 ×10^23} over {10^n }]

[eqn: 1≦a<10]이므로 [eqn: n=23], [eqn: a=1.024]

[eqn: THEREFORE `n`+`[a]`=23+1=24]

25. [출제의도] 근과 계수와의 관계를 이용하여 이차부등식의 해 구하기

갑은 상수항을 바르게 보았으므로

[eqn: g _{1}]의 상수항 [eqn: b=-24] (∵ 두 근의 곱)

을은 일차항의 계수를 바르게 보았으므로

[eqn: g_{2}]의 일차항 [eqn: a=10]

(∵ 대칭축의 방정식은 [eqn: x=`- {a} over {2} `=`-5])

이 때, [eqn: x ^{2} +ax+b<0]에 [eqn: a,``b] 를 대입하면

[eqn: x ^{2} +10x-24<0`,`````````(x+12)(x-2)<0]

∴[eqn: -12<x<2]

따라서 만족하는 정수는 [eqn: 13](개)

26. [출제의도] 부등식의 영역에서 최대값, 최소값 구하기

세 부등식이 나타내는 영역은 그림과 같다.

[eqn: x`+`y`=`k] ([eqn: k]는 상수) 라 하면 [eqn: k]는

두 직선의 교점 [eqn: (-1,`-1)]에서 최소이고,

최소값 [eqn: m`=`-2]이다.

또한 [eqn: x`+`y`=`k]가 원 [eqn: x ^{2} `+`y ^{2} `=`16] 에 접할 때 최대이므로

[eqn: x ^{2} `+`(`-x`+k`) ^{2} `=`16]

[eqn: 2x ^{2} `-`2kx`+`k ^{2} `-`16`=`0]

[eqn: D/4=`k ^{2} `-`2`(k ^{2} `-`16`)`=`0]

[eqn: k ^{2} `=`32]

따라서 최대값 [eqn: M = root 32]

[eqn: THEREFORE``` M ^{2`} +` m ^{2} `=`36]

27. [출제의도] 평행사변형 둘레의 길이 구하기

평행사변형 각각의 둘레 길이의 합은

[eqn: 6(a+b+c+x+y+z)]

[eqn: =6+10+14+10+14+18+14+18+22]

[eqn: =126]

∴ (구하고자 하는 평행사변형의 둘레의 길이)

[eqn: =2(a+b+c+x+y+z)=42]

(별해)

①

②

③

구하고자 하는 평행사변형의 둘레 길이는

[eqn: ①+②+③]이므로

[eqn: 6+14+22`=`42]

28. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질 을 이용하여 문제 해결하기

[eqn: logA=m+ alpha ,``````logB=n+ beta]

([eqn: m,``n]은 음이 아닌 정수, [eqn: 0≦ alpha <1], [eqn: 0≦ beta<1] )

점 [eqn: rmQ] 가  [eqn: y=-x+1]위에 있으므로 [eqn: alpha + beta =1]

점 [eqn: rmP] 가  [eqn: y= {16} over {x}]위에 있으므로 [eqn: mn=16]

[eqn: log`AB``][eqn: =][eqn: logA+logB``]
[eqn: =m+ alpha +n+ beta]
[eqn: =m+n+1]

[eqn: THEREFORE ``AB=10 ^{m+n+1}]

양의 정수 [eqn: m,n]에 대하여 [eqn: mn=16]일 때, [eqn: m``+``n]의 최대값은 [eqn: 17], 최소값은 [eqn: 8]이므로

[eqn: AB] 의 최대값은 [eqn: 10 ^{18}], 최소값은 [eqn: 10 ^{9}]

최대값과 최소값의 곱은 [eqn: 10 ^{27}]   ∴ [eqn: k=27]

29. [출제의도] 상용로그를 이용하여 자리수 구하기

[eqn: 50` TIMES `2 ^{10} ` TIMES `2 ^{10} `=`32` TIMES `x]

[eqn: x`=`50` TIMES `2 ^{15}]

[eqn: log`x`=`log`(50` TIMES `2 ^{15} )`=`6.214]

지표가 [eqn: 6]이므로 [eqn: x]는 [eqn: 7]자리 정수이다.

30. [출제의도] 방정식을 이용하여 수학외적문제 해결하기

물통 [eqn: A,``B]의 반지름을 각각 [eqn: a,``b]라 하고 높이를 [eqn: h]라 하자.

[eqn: A] 에서 물이 모두 빠져 나가는데 걸린 시간을 [eqn: t]라 하면 [eqn: pi a^2 h = 27t]

[eqn: t= {pi a^2 h } over 27] 이다.

이 때 물통 [eqn: B]에 채워진 물의 부피는

[eqn: 3 over 4 pi b^2 h = 16 t = 16 ({pi a^2 h } over 27 )] 이므로

[eqn: b ^2 = 64 over 81 a^2] 이다.

따라서 [eqn: a:b = 9:8]

[eqn: THEREFORE p^2 + q^2 = 145]