2016학년도 7월 고3 전국연합학력평가

정답 및 해설

고 3	정답 및 해설	2016학년도 7월 전국연합학력평가

2016학년도 7월 전국연합학력평가	정답 및 해설	고 3

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수학 영역

나형 정답

1	②	2	①	3	①	4	④	5	①
6	④	7	④	8	②	9	⑤	10	③
11	③	12	④	13	③	14	⑤	15	①
16	②	17	②	18	⑤	19	③	20	⑤
21	⑤	22	48	23	40	24	21	25	78
26	120	27	63	28	54	29	192	30	137

나형 해설

1. [출제의도] 지수 계산하기

[eqn: 3 TIMES 27 ^{{1} over {3}} =3 TIMES LEFT ( 3 ^{3} RIGHT ) ^{{1} over {3}} =3 TIMES 3=9]

2. [출제의도] 집합의 연산 이해하기

[eqn: A SMALLINTER B= LEFT { `2,~3 RIGHT }`]이므로 모든 원소의 합은 [eqn: 5]

3. [출제의도] 함수의 극한값 계산하기

[eqn: lim _{x -> `2} {{LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT )} over {x-2}} =lim _{x -> `2} {{left( x+1 right) }=3]

4. [출제의도] 확률의 덧셈정리 이해하기

두 사건 [eqn: A`]와 [eqn: B`]는 서로 독립사건이므로

[eqn: rm P LEFT ( it A SMALLINTER B RIGHT ) = rm P LEFT ( it A` RIGHT ) rm P LEFT ( it B RIGHT ) = {1} over {12}]

[eqn: rm P( it A CUP B right)=rmP LEFT ( itA RIGHT ) +rmP LEFT ( it`B RIGHT ) -rmP LEFT ( itA SMALLINTER B RIGHT )]

따라서 [eqn: rm P( it A CUP B)= {1} over {3} + {1} over {4} - {1} over {12} = {1} over {2}]

5. [출제의도] 미분계수 계산하기

[eqn: lim _{h `->` 0} { { f left(1+h right)-f left(1 right)} over { h}}=f`'left(1 right)]

[eqn: f`'(x)=2x+3`]이므로 [eqn: f`'(1)=5`]

따라서 [eqn: lim _{h `->` 0} { { f(1+h)-f(1)} over { h}}=5]

6. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `-1-} {f LEFT ( x RIGHT ) }=3 `], [eqn: lim _{x` -> ``1+} {f LEFT ( x RIGHT ) } =1`]

따라서 [eqn: lim _{x` -> `-1-} {f LEFT ( x RIGHT ) + lim _{x` -> ``1+} {f LEFT ( x RIGHT ) }} =4]

7. [출제의도] 명제와 조건 이해하기

두 조건 [eqn: p``,~q`]의 진리집합을 각각 [eqn: P`,~Q`]라 하면

[eqn: P= LEFT { ``x``|``x GEQa RIGHT }]

[eqn: Q= LEFT { `x``|``1 LEQ x LEQ 3 RIGHT .] 또는 [eqn: LEFT . x GEQ 7 RIGHT }`]

[eqn: P]

[eqn: Q]

[eqn: Q]

명제 [eqn: p`→`q`]가 참이므로 [eqn: P` SUBSET Q`] 에서 [eqn: a GEQ 7]

따라서 [eqn: a`]의 최솟값은 [eqn: 7 `]

8. [출제의도] 정적분 계산하기

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT ( ax ^{2} +1 RIGHT ) dx= LEFT [ { ax^3} over {3 }+x RIGHT ]_{0}^{1}= { a} over { 3}+1=4]

따라서 [eqn: a=9]

9. [출제의도] 기댓값의 성질 이해하기

[eqn: rm E( it X)=0 TIMES {1} over {6} +2times {1} over {3} +4times {1} over {2} = {8} over {3}`]

따라서 [eqn: rm E( it `6X+1)=6 rm E( it X)+1=17]

10. [출제의도] 함수의 성질 이해하기

조건 (가)에 의하여 함수 [eqn: f`]의 치역은[eqn: X= left{`1,~2,~3,~4`right}]이고

조건 (나)와 [eqn: f(1)+f LEFT ( 4 RIGHT ) =7`]에 의하여

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =4], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =1], [eqn: f LEFT (3 RIGHT ) =2`], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =3`]

따라서 [eqn: f(1)+f ^{-1} LEFT ( 1 RIGHT ) =4+2=6`]

11. [출제의도] 자연수의 분할을 활용하여 문제
해결하기

같은 종류의 접시 [eqn: 3`]개에 같은 종류의 쿠기 [eqn: 10]개를 남김없이 나누어 담는 방법의 수는 [eqn: 10`]을 [eqn: 3`]개의 자연수로 분할하는 방법의 수 [eqn: P `LEFT ( 10`, ~3`RIGHT )]과 같다.

[eqn: 10`]을 [eqn: 3`]개의 자연수로 분할하는 방법은

[eqn: 10=8+1+1=7+2+1=6+3+1=6+2+2]

[eqn: =5+4+1=5+3+2=4+4+2=4+3+3]

따라서 구하는 방법의 수는 [eqn: 8 `]

12. [출제의도] 유리함수와 무리함수 이해하기

함수 [eqn: f(x)`]는 닫힌 구간 [eqn: left[`-1,~0 `right]]에서 증가하므로

[eqn: A= LEFT { `y``|``0 LEQ y LEQ 1` RIGHT }]

[eqn: p>0`]이므로 함수 [eqn: g(x)`]는 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ `-1,~0` RIGHT ]]에서 감소하고 [eqn: A=B`]이므로 [eqn: g(-1)=1], [eqn: g(0)=0`]

[eqn: {p}over{-2}+q=1], [eqn: -p+q=0]이므로 [eqn: p=2], [eqn: q=2`]

따라서 [eqn: p+q=4`]

13. [출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계 이해하기

[eqn: S_n = `-n^2 +6n`]

[eqn: a _{6} =S _{6} -S _{5}]

따라서 [eqn: a_6`=`-5]

14. [출제의도] 여사건의 확률을 활용하여 문제
해결하기

모든 순서쌍 [eqn: LEFT (` a,~b `RIGHT )]의 개수는 [eqn: 5×5=25`]이다.

직선 [eqn: y=ax+b`]가 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 만나지 않는 사건을 [eqn: E`]라 하면 사건 [eqn: E`]의 여사건 [eqn: E ^{C}]는 직선 [eqn: y=ax+b`]가 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 만나는 사건이다.

직선 [eqn: y=ax+b`]와 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]가 만나기 위해서는 방정식 [eqn: - {1} over {2} x ^{2} +3x=ax+b]가 실근을 가져야 한다.

이차방정식 [eqn: x ^{2} +2(a-3)x+2b=0`]에서

[eqn: {D} over {4} =(a-3) ^{2} -2b GEQ 0]

위 부등식을 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT (` a,~b `RIGHT )]는

[eqn: LEFT ( `1,~1` RIGHT )], [eqn: LEFT ( `1,~2` RIGHT )], [eqn: LEFT ( `5,~1` RIGHT )], [eqn: LEFT ( `5,~2` RIGHT )]

이므로 직선 [eqn: y=ax+b`]와 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]가

서로 만날 확률은 [eqn: {4} over {25}]이므로 [eqn: rmP LEFT ( itE ^{C} ` RIGHT ) = {4} over {25} `]

[eqn: rm P LEFT ( it E` RIGHT ) =1- rm P LEFT ( it E ^{C} ` RIGHT ) =1- {4} over {25} = {21} over {25}]

따라서 구하는 확률은 [eqn: rm P LEFT ( it E` RIGHT ) = {21} over {25}]

15. [출제의도] 등비급수를 활용하여 추론하기

[eqn: T _{1} `=](도형 [eqn: E _{1} `]의 넓이)-(도형 [eqn: F _{1} `]의 넓이)

[eqn: =][eqn: LEFT ( 2 pi +4 RIGHT ) - LEFT ( pi +2 RIGHT ) = pi +2]

그림은 [eqn: G _{n+1}`]의 일부이다.

정사각형 [eqn: {rm A} _{n}{rm B} _{n}{rm C} _{n}{rm D} _{n}`]의 한 변의 길이를 [eqn: a_n]이라 하면

[eqn: bar{{rm A}_n{rm C}_n}=bar{{rmA}_n{rm A}_{n+1}}+bar{{rmA}_{n+1}{rm C}_{n+1}}+bar{{rmC}_{n+1}{rm C}_{n}}]

[eqn: sqrt {2} a _{n} = {sqrt {2}} over {2} TIMES {a _{n}} over {2} + sqrt {2} a _{n+1} + {sqrt {2}} over {2} TIMES {a _{n}} over {2}]

[eqn: a _{n+1} = {1} over {2} a _{n}]

그림 [eqn: G _{n+1} `]의 새로 색칠된 부분의 넓이를 [eqn: b _{n+1} `]이라 하면

[eqn: b _{n+1}`= { 1} over { 4}b_n], [eqn: b_1`=T_1]

그러므로 [eqn: T_n]은 첫째항이 [eqn: pi+2]이고 공비가 [eqn: { 1} over { 4}]인 등비수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이다.

따라서 [eqn: lim _{n` -> INF } {T _{n}} = {pi +2} over {1- {1} over {4}} = {4} over {3} ( pi +2)]

16. [출제의도] 표준정규분포를 활용하여 문제
해결하기

휴대전화 [eqn: 1`]대의 무게를 확률변수 [eqn: X`]라 하면

확률변수 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: {rm N} LEFT ( 153,`2 ^{2} RIGHT )`]을 따른다.

[eqn: Z`]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때,

[eqn: rmP LEFT ( it 151 LEQ X leq 154 RIGHT )]

[eqn: =][eqn: rm P LEFT ( it {151-153} over {2} LEQ {X-153} over {2} LEQ {154-153} over {2} RIGHT )]

[eqn: =][eqn: rm P LEFT ( it -1 LEQ Z LEQ 0.5 RIGHT )]

[eqn: =][eqn: rm P LEFT ( it -1 LEQ Z LEQ 0 RIGHT )+ rm P LEFT ( it 0 LEQ Z LEQ 0.5 RIGHT )]

[eqn: =0.3413+0.1915=0.5328]

17. [출제의도] 중복조합을 활용하여 추론하기

네 자연수 [eqn: a`,~b`,~c`,~d`] 중 홀수가 [eqn: 2`]개인

경우의 수는 [eqn: {} _{4} rm C it _{2} `=6`]

[eqn: a`,~b`,~c`,~d`] 중 두 홀수를 [eqn: 2x+1`,~2y+1],

두 짝수를 [eqn: 2z+2`,~2w+2`]라 하자.

(단, [eqn: x`,~y`,~z`,~w` RIGHT .]는 음이 아닌 정수)

[eqn: LEFT ( 2x+1 RIGHT ) + LEFT ( 2y+1 RIGHT ) +(2z+2)+(2w+2)=12]

[eqn: x+y+z+w=3`]

[eqn: {} _{4} rm H it rm _{3} `=` _{6} rm C _{3} `=`20]

따라서 [eqn: 6 TIMES 20=120]

18. [출제의도] 도함수를 활용하여 추론하기

함수 [eqn: y=h` prime (x) `]의 그래프는 다음과 같다.

ㄱ. 함수 [eqn: h(x)`]는 [eqn: x=a`]에서 극댓값을 갖는다. (참)

ㄴ. [eqn: h(b)=0`]일 때, 함수 [eqn: y=h (x) `]의 그래프는
다음과 같다.

그러므로 방정식 [eqn: h(x)=0`]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2`]이다. (참)

ㄷ. 함수 [eqn: h(x)`]는 닫힌 구간 [eqn: [`alpha,~beta`]`]에서 연속이고 열린 구간 [eqn: left(`alpha,~beta`right)`]에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여
[eqn: {`h( beta )-h( alpha )} over {beta - alpha } =h prime ( gamma )`]를 만족시키는 [eqn: gamma`]가
열린 구간 [eqn: left(`alpha,~beta`right)`]에 존재한다.
열린 구간 [eqn: (`0, ~ b `)`]에 있는 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: h prime (x)<5] 이므로
[eqn: {`h( beta )-h( alpha )} over {beta - alpha } =h prime ( gamma )`<5`]
[eqn: h( beta )-h( alpha )<5( beta - alpha )] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

19. [출제의도] 수학적 귀납법을 활용하여 추론하기

	(ⅰ) [eqn: n=1`]일 때, (좌변)[eqn: = 1], (우변)[eqn: = 1] 이므로 주어진 등식은 성립한다. (ⅱ) [eqn: n=m`]일 때, 등식 [eqn: sum _{k=1} ^{m} (2k-1) LEFT ( 2m+1-2k RIGHT ) ^{2} = {m ^{2} (2m ^{2} +1)} over {3}] 이 성립한다고 가정하자. [eqn: n=m+1`]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{m+1} (2k-1) LEFT ( 2m+3-2k RIGHT ) ^{2}] [eqn: = sum _{k=1} ^{m} (2k-1) LEFT ( 2m+3-2k RIGHT ) ^{2} + {BOX{` _{`} 2m+1 ^{`} `}}] [eqn: = sum _{k=1} ^{m} (2k-1) LEFT ( 2m+1-2k RIGHT ) ^{2}] [eqn: + {BOX{``8``}} ` TIMES sum _{k=1} ^{m} (2k-1)(m+1-k)+ {BOX{`{} _{`} 2m+1 ^{`}`}}] [eqn: = {(m+1) ^{2} ` TIMES { LEFT { 2(m+1) ^{2} `+1 RIGHT } `}} over {3}] 이다. 따라서 [eqn: n=m+1`]일 때도 주어진 등식이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

[eqn: f(m)= 2m+1]이고

[eqn: LEFT ( 2m+3-2k RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = LEFT ( 2m+1-2k+2 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = LEFT ( 2m+1-2k RIGHT ) ^{2} +4 LEFT ( 2m+1-2k RIGHT ) +4]

[eqn: = LEFT ( 2m+1-2k RIGHT ) ^{2} +8 LEFT ( m+1-k RIGHT )]

이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{m} (2k-1) LEFT ( 2m+3-2k RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m} (2k-1) LEFT ( 2m+1-2k RIGHT ) ^{2} `]

[eqn: +8 TIMES sum _{k=1} ^{m} (2k-1)(m+1-k)`]

에서 [eqn: p=8]

따라서 [eqn: f(3)+p=7+8`=15]

20. [출제의도] 부정적분 이해하기

[eqn: f `prime LEFT ( x RIGHT ) =xg LEFT ( x RIGHT )], [eqn: f `prime LEFT ( x RIGHT ) -g prime LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{3} +2x`]이므로

[eqn: xg LEFT ( x RIGHT ) -g prime LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{3} +2x]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]는 최고차항의 계수가 [eqn: 4`]인
이차함수이므로 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{2} +ax+b]

[eqn: g' LEFT ( x RIGHT ) =8x+a`]이므로
[eqn: x LEFT ( 4x ^{2} +ax+b RIGHT ) - LEFT ( 8x+a RIGHT ) =][eqn: 4x ^{3} +2x]

[eqn: 4x ^{3} +ax ^{2} + LEFT ( b-8 RIGHT ) x-a=4x ^{3} +2x`]에서

[eqn: a=0], [eqn: b=10`]이므로 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{2} +10`]

따라서 [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =14]

21. [출제의도] 순열과 조합을 활용하여 문제해결하기

[eqn: 1]을 네 번 이상 사용하면 반드시 [eqn: 1]끼리 서로 이웃하게 되므로 [eqn: 1`]은 세 번 이하로 사용된다.

(ⅰ) [eqn: 1]이 사용되지 않는 경우
[eqn: 2 ^{4} `=16]

(ⅱ) [eqn: 1]이 한 번 사용되는 경우
[eqn: 1]로 시작되는 경우의 수는 [eqn: 2^4`=16]
[eqn: 2]로 시작되는 경우의 수는 [eqn: 4times2^3`=32]

(ⅲ) [eqn: 1]이 두 번 사용되는 경우
[eqn: 1]로 시작되는 경우의 수는 [eqn: 3times2 ^{3} `=24]
[eqn: 2]로 시작되는 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES 2 ^{2} `=12]

(ⅳ) [eqn: 1]이 세 번 사용되는 경우
첫 번째, 세 번째, 다섯 번째에는 반드시 [eqn: 1]이 사용되므로 [eqn: 2 ^{2} =4]

따라서 조건을 만족시키는 자연수의 개수는 [eqn: 104`]

22. [출제의도] 등비수열의 일반항 이해하기

등비수열의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r`]라 하면

[eqn: a _{2} =ar=3], [eqn: a _{6} =ar ^{5} =12`]이므로 [eqn: r ^{4} =4`]

따라서 [eqn: a _{10} =ar ^{9`}=ar times left(r^4 right)^2`=3 TIMES 16=48]

23. [출제의도] 이항정리 이해하기

[eqn: LEFT ( x ^{2} +2 RIGHT ) ^{5} = sum _{it r=0} ^{5} ` _{5} rm C _{it r rm} it (x ^{2} ) ^{5-r} 2 ^{r}= sum _{itr=0 } ^{5 } `{ {}_5{ rmC}_ r }2^r x^10-2r]

에서 [eqn: 10-2r=6`], [eqn: r=2`]

따라서 [eqn: x^6`]의 계수는 [eqn: {} _{5} rm C _{2} TIMES 2^2 =40`]

24. [출제의도] 로그의 성질 이해하기

[eqn: log _{`c} a`:`log _{`c} `b=2`:`3]이므로

[eqn: log _{c} `a=2k`], [eqn: log _{c} `b=3k`]라 하자.

(단, [eqn: k`]는 [eqn: 0]이 아닌 실수)

[eqn: log _{a} `b= {log _{c} `b} over {log _{c} `a} = {3k} over {2k}= {3} over {2}]

따라서 [eqn: 10`log _{a} `b+9`log _{b} `a=10 × {3} over {2} +9 × {2} over {3} =21]

25. [출제의도] 조건부확률을 활용하여 문제해결하기

동호회 회원 중 임의로 한 명을 선택했을 때

이 회원이 남성일 사건을 [eqn: E`], [eqn: A`]회사에서 출시한 배드민턴 라켓을 구매한 회원일 사건을 [eqn: F`]라 하면

[eqn: rm P left( it F``|``E`right)= {rm P left( it E` SMALLINTER F`right)} over {rm P left( it E`right)} = {{39`} over {70}} over {{45} over {70}} = {13} over {15}]

따라서 [eqn: p= {13} over {15}]이므로 [eqn: 90p=78]

26. [출제의도] 등차수열을 활용하여 문제해결하기

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]의 공차를 [eqn: d`]라 하면 일반항은 [eqn: a _{n} =3+ LEFT ( n-1 RIGHT ) d`]

[eqn: a _{5n} -a _{n} =4dn`]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{10} 4dn=4d` TIMES {10 TIMES 11} over {2} =220d=440]

[eqn: d= 2`]이므로 [eqn: a _{n} =2n+1]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} = sum _{n=1} ^{10} (2n+1)=120]

27. [출제의도] 함수의 연속성을 활용하여 문제
해결하기

함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 다음과 같다.

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=`-1,```1]에서 불연속이다.

함수 [eqn: g(x)=x^2 +ax+b]라 하면

함수 [eqn: f(x) g(x)]가 실수 전체의 집합에서

연속이므로 [eqn: x=1`]과 [eqn: x=`-1`]에서 연속이다.

[eqn: x=1`]에서 연속이므로

[eqn: f(1)g(1)= lim _{ x->1+ } { f(x)g(x)}= lim _{ x->1- } { f(x)g(x)}]

[eqn: {1} over {2} LEFT ( 1+a+b RIGHT ) =1 LEFT ( 1+a+b RIGHT ) =0]에서

[eqn: a+b=`-1]                  …… ㉠

[eqn: x=`-1`]에서 연속이므로

[eqn: f left(-1 right)g left(-1 right)= lim _{ x->-1+ } { f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) }= lim _{ x->-1- } { f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) }]

[eqn: {1} over {2} LEFT ( 1-a+b RIGHT ) =0=1 LEFT ( 1-a+b RIGHT )]에서

[eqn: a-b=1]                                  …… ㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: a=0], [eqn: b=`-1]이므로

[eqn: g(x) = x^2 - 1]

따라서 [eqn: g(8)=63]

28. [출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =g LEFT ( 1 RIGHT )`]이고 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT ) =1`]이므로 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =g LEFT ( -1 RIGHT ) =1]

두 이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 만나는 두 점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: -1`], [eqn: 1`]이고

[eqn: lim _{n` -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n}left{f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) -g LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) `right}]

[eqn: = int _{0} ^{1} { LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }dx} =27`]이므로

[eqn: -1leq x leq 1]에서 [eqn: f(x)geq g(x)]이다.

두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 [eqn: y`]축 대칭이므로 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `-g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 [eqn: y`]축 대칭이다.

두 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]로 둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: int _{-1} ^{1} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx} `= int _{-1} ^{1} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } dx}]

[eqn: =2 int _{0} ^{1} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } dx} `=54`]

따라서 구하는 넓이는 [eqn: 54]

29. [출제의도] 수열의 극한을 활용하여 문제해결하기

원 [eqn: rm O _{it n rm} `]이 직선 [eqn: rm AB]와 점 [eqn: \P_{it n}`]에서 접하므로
직선 [eqn: rm AB]와 직선 [eqn: rm O_{it n}Q_{it n}]은 서로 수직이다.

직선 [eqn: l`]과 직선 [eqn: rmBC`]가 평행이므로

[eqn: ANGLE rm Q _{it n rm} AB= ANGLE rm ABC=60 DEG]

두 직각삼각형 [eqn: rm AP _{it n rm} Q _{it n rm} `]과 [eqn: rm AP _{it n rm} O _{it n rm} `]은 합동이므로

[eqn: bar{rmQ_{itn}O_{it n}}=2bar{rmP_{it n}O_{it n}}=2 sqrt { 3} LEFT ( { 1} over { 2} RIGHT )^{n-1}]

직각삼각형 [eqn: rm AP _{it n rm} O _{it n rm} `]에서

[eqn: {{bar{rm O _{it n rm} P _{it n rm} it}}} over {{bar{rm AP _{it n rm} it}}} = sqrt {3}]이므로 [eqn: {bar{rm AP _{it n rm} it}} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]

[eqn: {bar{rm BP _{it n rm} it}}=bar{rm AB}-{bar{rm AP _{it n rm} it rm }} =4-LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]

[eqn: S _{n} `= sqrt {3} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} ` TIMES LEFT { 4- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} RIGHT }]

[eqn: k=lim_n->inf{`2^n`S_n}=lim_n->inf{ 2 sqrt { 3} } LEFT { 4- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} RIGHT }}=8 sqrt { 3}]

따라서 [eqn: k^2`=192`]

30. [출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]는

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``` _{`} f(x+1)-1&LEFT . (`-1 LEQ x<0 RIGHT )#``` _{`} f LEFT ( x RIGHT ) ^{`}&LEFT ( `0 LEQ x<1` RIGHT )#``` _{`} f LEFT ( x-1 RIGHT ) +1 ^{`} `````&LEFT ( `1 LEQ x<2` RIGHT )#````````````````` _{`}VDOTS& #``` _{`} f LEFT ( x-4 RIGHT ) +4 ^{`} `````&LEFT ( `4 LEQ x<5` RIGHT )}}]

이다. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: x=1`]에서 연속이므로

[eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =lim _{x` -> 1-} {g LEFT ( x RIGHT )}]이다.

[eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( 0 RIGHT ) +1`]이고
[eqn: lim _{x` -> 1-} {g LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x` -> 1-} { f LEFT ( x RIGHT )} =f LEFT ( 1 RIGHT ) =1]이므로
[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) +1`=1]에서 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]      …… ㉠

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: x=1`]에서 미분가능하므로

[eqn: lim _{x -> 1+} {{g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}} =lim _{x -> 1-} {{g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}}]이다.
[eqn: lim _{x -> 1+} {{g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}} = lim _{x -> 1+} {{f LEFT ( x-1 RIGHT ) +1-g LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}}]

[eqn: = lim _{x -> 1+} {{f LEFT ( x-1 RIGHT )} over {x-1}} = lim _{x -> 0+} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x}} =f` prime LEFT ( 0 RIGHT )]이고
[eqn: lim _{x -> 1-} {{g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}} = lim _{x -> 1-} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}} =f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =1]

이므로 [eqn: f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) =1]                        …… ㉡
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 사차함수이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} +ax ^{3} +bx ^{2} +cx+d`]라 하자.

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: c=1`,~d=0`]

조건 (나)에 의하여

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1+a+b+1=`1`]       …… ㉢

[eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =4+3a+2b+1=1`]     …… ㉣

㉢, ㉣에 의하여 [eqn: a= `-2], [eqn: b=1`]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} -2x ^{3} +x ^{2} +x]

[eqn: int _{0} ^{4} {g LEFT ( x RIGHT ) dx} `=` int _{0} ^{1} {g LEFT ( x RIGHT ) dx} `+ int _{1} ^{2} {g LEFT ( x RIGHT ) dx} `]

[eqn: + int _{2} ^{3} {g LEFT ( x RIGHT ) dx} `+ int _{3} ^{4} {g LEFT ( x RIGHT ) dx}]

[eqn: = {8} over {15} + LEFT ( {8} over {15} +1 RIGHT ) + LEFT ( {8} over {15} +2 RIGHT ) + LEFT ( {8} over {15} +3 RIGHT )][eqn: = {122} over {15} `]

그러므로 [eqn: p=15], [eqn: q=122]

따라서 [eqn: p+q=137]