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고 1

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2017학년도 6월 고1 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시              수학 영역

5지 선다형(1 ~ 21)

1. [eqn: -2i+(2+3i)`]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1} `]이다.) [2점]

① [eqn: 2-i`]	② [eqn: 2+i`]	③ [eqn: 3-i`]	④ [eqn: 3+i`]	⑤ [eqn: 4-i`]

2. [eqn: LEFT ( 2x-y RIGHT ) LEFT ( x+2y+3 RIGHT ) `]의 전개식에서 [eqn: xy`]항의 계수는? [2점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

3. [eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: x ^{3} +3x ^{2} +a`]를 [eqn: x-1`]로 나눈 나머지가 [eqn: 7`]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

4. 이차부등식 [eqn: x ^{2} -7x+12 GEQ 0]의 해가 [eqn: x LEQ alpha`] 또는 [eqn: x GEQ beta`]일 때, [eqn: beta-alpha]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

5. 다음은 조립제법을 이용하여 다항식 [eqn: x ^{3} -3x ^{2} +5x-5`]를 [eqn: x-2`]로 나누었을 때, 나머지를 구하는 과정을 나타낸 것이다.

[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: -3]			[eqn: 5]			[eqn: -5]
	[eqn: 1]	[eqn: a]			[eqn: b]			[eqn: c]

위 과정에 들어갈 세 상수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]에 대하여 [eqn: abc`]의 값은?                                                           [3점]

① [eqn: -6]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -4]	④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -2]

6. [eqn: 1`]이 아닌 두 자연수 [eqn: a`], [eqn: b`] [eqn: (a<b)`]에 대하여

[eqn: 11 ^{4} -6` ^{4} `=`a` TIMES `b` TIMES 157``]

로 나타낼 때, [eqn: a+b`]의 값은? [3점]

① [eqn: 21`]	② [eqn: 22`]	③ [eqn: 23`]	④ [eqn: 24`]	⑤ [eqn: 25`]

7. 다항식 [eqn: x ^{4} +7x ^{2} +16``]이

[eqn: (x ^{2} +ax+b)(x ^{2} -ax+b)`]

로 인수분해될 때, 두 양수 [eqn: a`,```b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값은? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

8. [eqn: x`]에 대한 부등식

[eqn: LEFT | `x-2` RIGHT | <a`]

를 만족시키는 모든 정수 [eqn: x`]의 개수가 [eqn: 19`]일 때, 자연수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 10`]	② [eqn: 12`]	③ [eqn: 14`]	④ [eqn: 16`]	⑤ [eqn: 18`]

9. 삼차방정식

[eqn: x ^{3} -2x ^{2} -5x+6=0`]

의 세 실근 [eqn: alpha `], [eqn: beta `], [eqn: gamma `] [eqn: ( alpha < beta < gamma `)`]에 대하여 [eqn: alpha+ beta +2gamma`]의 값은?                                                        [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

10. 이차함수 [eqn: y=`-2x ^{2} +5x`]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x+k`]가 적어도 한 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: k`]의 최댓값은? [3점]

① [eqn: {3} over {8}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: {9} over {8}]	④ [eqn: {3} over {2}]	⑤ [eqn: {15} over {8}]

11. 연립방정식

[eqn: {cases{``x-y=2 _{`}_{`}_{`}#``x ^{`2} -xy-y ^{`2} =5`}}]

의 해를 [eqn: x=`alpha`], [eqn: y=beta`]라 할 때, [eqn: alpha+beta`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

12. 서로 다른 두 양수 [eqn: a`,```b`]에 대하여 한 변의 길이가 각각 [eqn: a`,```2b`]인 두 개의 정사각형과 가로와 세로의 길이가 각각 [eqn: a`,```b`]이고 넓이가 [eqn: 4`]인 직사각형이 있다. 두 정사각형의 넓이의 합이 가로와 세로의 길이가 각각 [eqn: a`,```b`]인 직사각형의 넓이의 [eqn: 5`]배와 같을 때, 한 변의 길이가 [eqn: a+2b`]인 정사각형의 넓이는?

[3점]

① [eqn: 20]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 28]	④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 36]

[eqn: a]

[eqn: a]

[eqn: 2b]

[eqn: a]

[eqn: 2b]

[eqn: b]

13. [eqn: x`]에 대한 사차방정식

[eqn: x^4 -x^3 +ax^2 +x+6=0`]

의 한 근이 [eqn: -2`]일 때, 네 실근 중 가장 큰 것을 [eqn: b`]라 하자. [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: -7]	② [eqn: -6]	③ [eqn: -5]	④ [eqn: -4`]	⑤ [eqn: -3]

14. 두 복소수 [eqn: alpha= { 1+i} over 2i{ }`], [eqn: beta = {1-i} over {2i} `]에 대하여 [eqn: (2 alpha ` ^{2} +3)(2 beta ` ^{2} +3)`]의 값은? (단, [eqn: i=root-1`]이다.) [4점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 14]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 22]

15. 그림과 같이 유리수 [eqn: a`,```b`]에 대하여 두 이차함수 [eqn: y=`x ^{2} -3x+1`]과 [eqn: y=`-x ^{2} +ax+b`]의 그래프가 만나는 두 점을 각각 [eqn: rm P,```Q`]라 하자. 점 [eqn: rm P]의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: 1- sqrt {2}`]일 때, [eqn: a+3b`]의 값은? [4점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

16. 직선 [eqn: y=`- {1} over {4} x+1]이 [eqn: y`]축과 만나는 점을 [eqn: rm{A], [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rm B]라 하자. 점 [eqn: rm P( it a`,``b) rm]가 점 [eqn: rm{A]에서 직선 [eqn: y=`- {1} over {4} x+1]을  따라 점 [eqn: rm{B]까지 움직일 때, [eqn: a ^{2} +8b `]의 최솟값은? [4점]

① [eqn: 5]	② [eqn: {17} over {3}]	③ [eqn: {19} over {3}]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: {23} over {3}]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: y=`- {1} over {4} x+1]

17. 별의 표면에서 단위 시간당 방출하는 총 에너지를 광도라고 한다. 별의 반지름의 길이를 [eqn: R( rm km)`], 표면 온도를 [eqn: T`(rmK)`], 광도를 [eqn: L(rmW)`]이라 할 때, 다음과 같은 관계식이 성립한다.

[eqn: L=4 pi R ^{`2} ` TIMES ` sigma T ^{``4}]

(단, [eqn: sigma]는 슈테판-볼츠만 상수이다.)

별 [eqn: RMA]의 반지름의 길이는 별 [eqn: RM B]의 반지름의 길이의 [eqn: 12]배이고,  별 [eqn: RMA]의 표면 온도는 별 [eqn: RMB]의 표면 온도의 [eqn: {1} over {2}]배이다. 별 [eqn: RMA]와  별 [eqn: RMB]의 광도를 각각 [eqn: L_{RMA}`,``L_{RMB}`]라 할 때, [eqn: {L _{RMA}} over {L _{RMB}}``]의 값은? [4점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 15]

18. 복소수 [eqn: z=a+bi`]([eqn: a`], [eqn: b`]는 [eqn: 0`]이 아닌 실수)에 대하여

[eqn: iz`=` {bar{z}} `]

일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

(단, [eqn: i=sqrt-1 `]이고, [eqn: barz `]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: z+ {bar{z}} `=`-2b`] ㄴ. [eqn: i {bar{z}} `=`-z] ㄷ. [eqn: {{bar{z}}} over {z} + {z} over {{bar{z}}} `=0`]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

19. 이차방정식 [eqn: x ^{2} -4x+2=0`]의 두 실근을 [eqn: alpha`], [eqn: beta`] ([eqn: alpha<beta`])라 하자. 그림과 같이 [eqn: bar{rm AB it} = alpha `], [eqn: bar{rm BC it} = beta `]인 직각삼각형 [eqn: rm ABC`]에 내접하는 정사각형의 넓이와 둘레의 길이를 두 근으로 하는 [eqn: x`]에 대한 이차방정식이 [eqn: 4x ^{2} +mx+n=0`]일 때, 두 상수 [eqn: m`,```n`]에 대하여 [eqn: m+n`]의 값은? (단, 정사각형의 두 변은 선분 [eqn: rmAB`]와 선분 [eqn: rm BC] 위에 있다.)　[4점]

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: alpha]

[eqn: beta]

① [eqn: -11]	② [eqn: -10]	③ [eqn: -9]	④ [eqn: -8]	⑤ [eqn: -7`]

20. 길이가 [eqn: 10` rm]인 선분 [eqn: rm AB]를 지름으로 하는 반원이 있다. 그림과 같이 호 [eqn: rm AB`] 위의 점 [eqn: rm{P]에 대하여 현 [eqn: rm AP`]의 중점과 호 [eqn: rmAP`]의 중점을 지름의 양끝으로 하는 원을 [eqn: O _{1} `], 현 [eqn: rm BP`]의 중점과 호 [eqn: rm BP`]의 중점을 지름의 양끝으로 하는 원을 [eqn: O _{2} `], 삼각형 [eqn: rm PAB`]에 내접하는 원을 [eqn: {O`]라 하자. 다음은 세 원 [eqn: O _{1} ,``O _{2} ,``O`]의 넓이의 합의 최솟값을 구하는 과정을 나타낸 것이다.

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm P]

[eqn: O]

[eqn: O _{1}]

[eqn: O _{2}]

그림과 같이 두 현 [eqn: rmAP,```BP`]의 중점을 각각 [eqn: rm Q,```R`]라 하고    선분 [eqn: rm AB]의 중점을 [eqn: rm C]라 하면 사각형 [eqn: rmPQCR`]는 직사각형이다.

[eqn: rm Q]

[eqn: rm C]

[eqn: rm R]

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm P]

[eqn: O]

[eqn: O _{1}]

[eqn: O _{2}]

[eqn: rm {bar{PQ}} = it a`,``` rm {bar{PR}} = it b rm]라 하면 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =][eqn: {BOX{`` ^{{}_{{}_{}^{{}^{{}^{}}}}^{}} (가) ^{{}^{{}_{{}_{}^{{}^{{}^{}}}}}} ``}} `]이다.

원 [eqn: O _{1} `]의 반지름의 길이를 [eqn: r _{1}], 원 [eqn: O _{2} `]의 반지름의 길이를 [eqn: r _{2}],   원 [eqn: O`]의 반지름의 길이를 [eqn: r`]라 하면 [eqn: rm bar{CQ} = it 5-2r _{1} rm], [eqn: rm bar{CR} = it 5-2r _{2} rm]이다.

이때 [eqn: rm bar{CQ} = bar{PR}], [eqn: rm {bar{CR}} = {bar{PQ}} `]이므로

[eqn: r _{1} = {5-b} over {2}`], [eqn: r _{2} = {5-a} over {2}`]

이다. 한편, 원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 같으므로 [eqn: left ( 2a - r right ) + left ( 2b - r right) = 2 times `][eqn: BOX{`` ^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}} ^{}} (나) ^{{} ^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}}}} ``}]이다. 따라서

[eqn: r=a+b-][eqn: BOX{`` ^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}} ^{}} (나) ^{{} ^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}}}} ``}]

이다. 그러므로 세 원 [eqn: O _{1} ,``O _{2} ,``O`]의 넓이의 합은

[eqn: pi `(r _{1}^{2} +r _{2}^{2} +r ^{2} )= pi ` LEFT { LEFT ( {5-b} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {5-a} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( a+b- {BOX{`` _{}^{{}_{{}_{}^{{}^{{}^{}}}}^{}} (나) _{}^{{}^{{}_{{}_{}^{{}^{{}^{}}}}}} ``}} `` RIGHT ) ^{2} RIGHT } CDOTS ①]

이다. [eqn: a+b=t`] [eqn: (5<t LEQ 5 sqrt {2} )`]라 하면 식 [eqn: ①`]은

[eqn: pi ` LEFT ( t- {BOX{`` _{}^{{}_{{}_{}^{{}^{{}^{}}}}^{}} (다) _{}^{{}^{{}_{{}_{}^{{}^{{}^{}}}}}} ``}} `` RIGHT ) ^{2} + {75} over {16} pi]

이므로 세 원 [eqn: O _{1} ,``O _{2} ,``O`]의 넓이의 합의 최솟값은 [eqn: {75} over {16} pi]이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: alpha `,``` beta `,``` gamma `]라 할 때, [eqn: ( alpha - beta ) TIMES gamma `]의 값은?　[4점]

① [eqn: 100]	② [eqn: 125]	③ [eqn: 150]	④ [eqn: 175]	⑤ [eqn: 200]

21. [eqn: x`]에 대한 연립부등식

[eqn: {cases{ `x^{2} -a ^{2} x GEQ _{`}_{`}_{`}0# `x ^{2 } -4ax+4a ^{2} -1<``0``}}]

을 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수가 [eqn: 1`]이 되기 위한 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 합은? (단, [eqn: 0 < a < root {2} `]) [4점]

① [eqn: 3 over 2]	② [eqn: 25 over 16]	③ [eqn: 13 over 8]	④ [eqn: 27 over 16]	⑤ [eqn: 7 over4]

단답형(22 ~ 30)

22. 등식 [eqn: (a+1)+3i=7+bi`]를 만족시키는 두 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: i= sqrt {-1} `]이다.) [3점]

23. [eqn: x+y=5`,```xy=2`]일 때, [eqn: (x-y) ^{2} `]의 값을 구하시오. [3점]

24. 연립부등식

[eqn: {cases{ ``2x+1<x-3 _{`}_{`}_{`}&# ``x ^{2} +6x-7<0&}} `]

의 해가 [eqn: alpha <x< beta `]일 때, [eqn: beta - alpha `]의 값을 구하시오. [3점]

25. 이차방정식 [eqn: x ^{2} +4x-3=0`]의 두 실근을 [eqn: alpha`], [eqn: beta `]라 할 때, [eqn: {6 beta } over {alpha ^{2} +4 alpha -4} `+` {6 alpha } over {beta ` ^{2} +4 beta -4} `]의 값을 구하시오. [3점]

26. [eqn: x`]에 대한 삼차다항식

[eqn: P(x) = ( x ^2 - x -1) (ax + b ) + 2 `]

에 대하여 [eqn: P(x+1)`]을 [eqn: x^2 -4`]로 나눈 나머지가 [eqn: -3`]일 때, [eqn: 50a+b`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`,```b`]는 상수이다.) [4점]

27. 최고차항의 계수가 [eqn: a`] [eqn: (a>0)`]인 이차함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을  만족시킨다.

(가) 직선 [eqn: y=4ax-10`]과 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 만나는 두 점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 1`]과 [eqn: 5`]이다.

(나) [eqn: 1 LEQ x LEQ 5``]에서 [eqn: f(x)`]의 최솟값은 [eqn: -8`]이다.

[eqn: 100`a`]의 값을 구하시오. [4점]

28. 그림과 같이 길이가 [eqn: 60 rm `cm`]인 철사를 길이가 [eqn: a`rm (cm)`], [eqn: b` rm (cm)`], [eqn: c` rm (cm)`] ([eqn: a<b<c`])인 세 조각으로 잘랐다. 이 조각들로 만든    세 변의 길이가 각각 [eqn: a`,```b`,```c`]인 삼각형이 다음 조건을 만족 시킨다. (단, 철사의 두께는 고려하지 않고, 철사를 세 조각으로 자를 때 남는 조각은 없다.)

(가) 두 변의 길이의 차의 최댓값은 [eqn: 16`]이다.

(나) 두 변의 길이의 차의 최솟값은 [eqn: 2`]이다.

[eqn: 3a-b+c`]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: 60 rm `cm]

[eqn: a`rm`cm`]

[eqn: b` rm `cm`]

[eqn: c` rm `cm`]

29. 선분 [eqn: rm AB`]를 지름으로 하는 반원이 있다. 그림과 같이 호 [eqn: rm AB`] 위의 점 [eqn: rm P`]에서 선분 [eqn: rm AB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm Q`]라 하고,    선분 [eqn: rm AQ`]와 선분 [eqn: rm QB`]를 지름으로 하는 반원을 각각 그린다.  호 [eqn: rmAB`], 호 [eqn: rmAQ`] 및 호 [eqn: rmQB`]로 둘러싸인  모양 도형의 넓이를 [eqn: S _{1} `], 선분 [eqn: rm PQ`]를 지름으로 하는 반원의 넓이를 [eqn: S _{2} `]라 하자. [eqn: rm {bar{AQ}} `-` {bar{QB}} `=`8` sqrt {3} `]이고 [eqn: S _{1} `-`S _{2} `=`2` pi `]일 때, 선분 [eqn: rmAB`]의 길이를 구하시오. [4점]

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

30. 다음 조건을 만족시키는 모든 이차다항식 [eqn: P`(x)`]의 합을  [eqn: Q`(x)`]라 하자.

(가) [eqn: P`(1)P`(2)=0`]

(나) 사차다항식 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) LEFT { P` LEFT ( x RIGHT ) -3 RIGHT } `]은 [eqn: x LEFT ( x-3 RIGHT ) `]으로 나누어 떨어진다.

[eqn: Q`(x)`]를 [eqn: x-4`]로 나눈 나머지를 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.