◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

수 리 영 역

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수 리 영 역

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2006학년도 3월 고2 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시

수 리 영 역

성명			수험번호						2

◦ 답안지에 수험 번호 및 답을 표기할 때는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2 점, 3 점 또는 4 점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

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1. [eqn: i```+`2i ^{2} ```+`3i ^{3} ```+`4i ^{4}``]의 값은? (단, [eqn: i```=` sqrt {`-1`}``]이다.) [2 점]

① [eqn: 1``-`i``]	② [eqn: 1``+`i``]	③ [eqn: 2-2i]

④ [eqn: 2+2i]	⑤ [eqn: 3-3i]

2. 좌표평면 위의 점 [eqn: (1,~2)``]와 직선 [eqn: x```+`2y```=`0``] 사이의 거리는?

[2 점]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt {`2`}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: sqrt {`5`}]	⑤ [eqn: 5]

3. [eqn: sqrt {`5``+``2 sqrt {`6`}`}```+` sqrt {`5``-``2 sqrt {`6`}`}``]의 값은? [2 점]

① [eqn: 2``]	② [eqn: 2root2``]	③ [eqn: 2root3``]

④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 2root5``]

4. 그림은 학생 [eqn: 120``]명의 수학 수행평가 점수를 히스토그램으로 나타낸 것이다.

[eqn: 120``]명의 수학 수행평가 점수의 분산은? [3 점]

① [eqn: {`17`} over 6]	② [eqn: {`17`} over {5}``]	③ [eqn: {`17`} over {4}``]

④ [eqn: {`17`} over {3}``]	⑤ [eqn: {`17`} over {2}``]

5. 직선 [eqn: x``-``3y``+``3```=`0``]이 [eqn: x``]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta ``]라 할 때, [eqn: cos( `pi ``+`` theta `)``+``sin left (` {pi } over {2} ``-`` theta ` right )``+``tan(`- theta `)``]의 값은? [3 점]

① [eqn: -3``]	② [eqn: - {`1`} over {`3`} ``]	③ [eqn: 0``]

④ [eqn: {`1`} over {`3`}``]	⑤ [eqn: 3``]

6. 전체집합 [eqn: U``]의 세 부분집합 [eqn: A,~B,~C~]에 대하여 [eqn: A``` SUBSET `B ``]이고 [eqn: A``` SUBSET `C```]일 때, 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은? [3 점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: A``` SUBSET `(`B``` smallinter `C``)``] ㄴ. [eqn: (`B ``^ {rm C} ```smallinter`` C `` ^ {rm C} ``) ```subset` A ^ {rm C} ``] ㄷ. [eqn: U``]의 임의의 부분집합 [eqn: X``]에 대하여 [eqn: (`X```-`B``)``` SUBSET `A ^{rm C} ```]이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

7. 좌표평면에서 직선 [eqn: 2x```-`y```=`5``]와 수직이고

원 [eqn: x ^{2} ``+``y ^{2} ``-``2x```=`0``]의 넓이를 이등분하는 직선의 방정식은?

[3 점]

① [eqn: x```+`2y```=`1``]	② [eqn: x```+`2y```=`-1``]	③ [eqn: 2x```+`y```=`2``]

④ [eqn: 2x```+`y```=`-2``]	⑤ [eqn: 2x```+`2y```=`1``]

8. [eqn: a,~b,~c``]가 실수일 때, [eqn: p``]가 [eqn: q``]이기 위한 필요조건이지만 충분조건은 아닌 것을 <보기>에서 모두 고른 것은? [3 점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: p~:~a```>`0``] [eqn: q~:~a^2```>`0``] ㄴ. [eqn: p~:~ac```=`bc``] [eqn: q~:~a```=`b``] ㄷ. [eqn: p~:~a`` != `0``] 또는 [eqn: b`` != `0``] [eqn: q~:~a^2``+`b^2```>`0``]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

9. 집합 [eqn: A```=` LEFT {` a,``b,``c,``d,``e ` RIGHT } ``]에서 정의된 연산 ◎ 은 다음 세 조건을 만족한다.

(가) 집합 [eqn: A``]는 연산 ◎ 에 대하여 닫혀 있다.

(나) 연산 ◎ 에 대한 항등원은 [eqn: e``]이다.

(다) 연산 ◎ 에 대한 [eqn: b``]의 역원은 [eqn: d``]이다.

[eqn: (`e``]◎[eqn: ``c`)``]◎[eqn: ``(`b``]◎[eqn: ``d`)``]를 간단히 한 것은? [3 점]

① [eqn: a``]	② [eqn: b``]	③ [eqn: c``]

④ [eqn: d``]	⑤ [eqn: e``]

10. 양의 실수 전체의 집합 [eqn: X``]에서 [eqn: X``]로의 일대일대응인 두 함수 [eqn: f`,~g``]에 대하여

[eqn: f ` ^{-1} (`x`)```=`x ^{2} ,~~(`f CIRC g ^{-1} `)(`x ^{2} `)```=`x``]

일 때, [eqn: (`f CIRC g`)`(`20`)``]의 값은?

(단, [eqn: f ` ^{-1} ``], [eqn: g ` ^{-1} ``]는 각각 [eqn: f`,~g``]의 역함수이다.) [4 점]

① [eqn: 2 sqrt {`5`} ``]	② [eqn: 4 sqrt {`10`} ``]	③ [eqn: 40``]

④ [eqn: 200``]	⑤ [eqn: 400``]

11. [eqn: xy``` >= `0``]일 때, 부등식 [eqn: x`|`x`|```+``y`|`y`|``` <= `1``]의 영역을 좌표평면 위에 나타낸 것은? (단, 경계선은 모두 포함한다.) [4 점]

①	②

③	④

⑤

12. 연립방정식 [eqn: cases {``x ^{2} ```-`4xy```+`3y ^{2} ```=`0#``2x ^{2} ```+`xy```+`3y ^{2} ```=`24} ``]의 해를

[eqn: cases {``x ```=` alpha _ i #``y ```=` beta _ i } ``] ([eqn: ``i```=`1,~2,~3,~4``])라 할 때, [eqn: alpha _{i} ` beta _{i} ``]의 최대값은? [4 점]

① [eqn: 9 ``]	② [eqn: 8``]	③ [eqn: 6``]

④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 3``]

13. 무리함수 [eqn: f(`x`)```=`a sqrt {`-x```+`b`} ```+`c``]의 그래프가 그림과 같을 때, 이차함수 [eqn: y```=`ax ^{2} ```+`bx```+`c``]의 그래프의 개형은? (단, [eqn: a,~b,~c``]는 상수이다.) [3 점]

①	②

③	④

⑤

14. [eqn: x```+` {1} over {`x`} ```=`-1``]일 때, 양의 정수 에 대하여 [eqn: P it `(`n`)``]을

[eqn: {P}`(`n`)```=`(`x ^{2} ```+x`) ^{n} ```+`(`x ^{2} ```+`1`) ^{n} ```+`(`x```+`1`) ^{n} ``]

이라 하자. [eqn: {P}`(`1`)```+`{P}`(`2`)```+`{P}`(`3`)```+``` cdots ```+`{P}`(`2007`)``]의 값은?

[4 점]

① [eqn: 3``]	② [eqn: 1``]	③ [eqn: 0``]

④ [eqn: -1``]	⑤ [eqn: -3``]

15. 다음은 세 실수 [eqn: a,``b,``c``]에 대하여 [eqn: a``+`b``+`c```>`0,~ab``+`bc``+`ca```>`0,~abc```>`0``]이면 [eqn: a,~b,~c``]는 모두 양수임을 증명한 것이다.

<증명>

[eqn: abc```>`0``]이므로 [eqn: a,``b,``c``]중 어느 것도 [eqn: 0``]이 아니다.

이제 [eqn: a```<`0``]이라고 가정하자.

[eqn: 0```<`abc```=`a(`bc`)``]이므로

[eqn: bc``]  [eqn: 0``] …… ㉠

(가)

한편, 조건에 의하면 [eqn: ab```+`bc```+`ca```>`0``]이므로

[eqn: -bc```<`ab```+`ca``] …… ㉡

㉠, ㉡ 에 의하여 [eqn: ab```+`ca``]  [eqn: 0``]

(나)

∴ [eqn: b```+`c``]  [eqn: 0``]

(다)

∴ [eqn: a```+`b```+`c```<`0``]

그런데, 이는 조건 [eqn: a```+`b```+`c```>`0``]에 모순이다.

∴ [eqn: a```>`0``]

마찬가지 방법으로 [eqn: b```>`0,~c```>`0``]임을 알 수 있다.

따라서 [eqn: a,~b,~c``]는 모두 양수이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3 점]

(가)        (나)         (다)

①   [eqn: <]         [eqn: >]         [eqn: >]

②   [eqn: <]         [eqn: >]         [eqn: <]

③   [eqn: <]         [eqn: <]         [eqn: >]

④   [eqn: >]         [eqn: <]         [eqn: >]

⑤   [eqn: >]         [eqn: <]         [eqn: <]

16. 세 점 [eqn: rm O`(`0,~0`),~A`(` it a,~0`),~ rm B`(`0,~ it b`) ``]를 꼭지점으로 하는 직각삼각형 [eqn: rm OAB``]가 있다. 두 변 [eqn: rm OA,~OB ``]위에 [eqn: rm bar{`AB`} ``//`` bar{`CD`} ``]가 되도록 두 점 [eqn: rm C`(`it c,~0`),~rm D`(`0,~it d`) ``]를 잡는다.

다음은 두 직선 [eqn: rm AD,~ BC ``]의 교점을 [eqn: rm P``]라 할 때, 직선 [eqn: rm OP``]는 선분 [eqn: rm AB``]를 이등분함을 증명한 것이다.

<증명>

직선 [eqn: rm AD ``]의 방정식은  …… ㉠

(가)

직선 [eqn: rm BC ``]의 방정식은   …… ㉡

(나)

이제 점 [eqn: rm P``]의 좌표를 [eqn: (`p,~q`)``]라 하자.

㉠ × [eqn: c```-``]㉡ × [eqn: a``]를 계산하면 [eqn: x```=` {`ac(`d```-`b`)`} over {`cd```-`ab`}```=`p``]

㉡ × [eqn: d```-``]㉠ × [eqn: b``]를 계산하면 [eqn: y```=` {`bd(`c```-`a`)`} over {`cd```-`ab`}```=`q``]

그런데 [eqn: rm bar{`AB`} ``//`` bar{`CD`} ``]이므로 직선 [eqn: rm AB``]와 직선 [eqn: rm CD``]의 기울기는 같다.

∴ [eqn: - {`b`} over {`a`} ```=` - {`d`} over {`c`} ``]

이 때, [eqn: {`b`} over {`a`} ```=` {`d`} over {`c`} ``` = `k``]([eqn: k``]는 실수)라 하면

[eqn: {`q`} over {`p`}``][eqn: `=` {`bd(`c```-`a`)`} over {`ac(`d```-`b`)`} ```=``]

(다)

∴ [eqn: rm ANGLE OAB ```=` ANGLE POA``], [eqn: rm ANGLE OBA```=` ANGLE POB``]

직선 [eqn: rm OP``]와 [eqn: rm AB``]의 교점을 [eqn: rm M``]이라 하면

[eqn: rm bar{`BM`} ```=` bar{`OM`} ```=` bar{`AM`} ``]

따라서 직선 [eqn: rm OP``]는 선분 [eqn: rm AB``]를 이등분한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4 점]

(가)	(나)	(다)

① [eqn: ax```+`dy```=`ad``]	[eqn: bx```+`cy```=`bc``]	[eqn: {`a`} over {`b`} ``]

② [eqn: ax```+`dy```=`ad``]	[eqn: cx```+`by```=`bc``]	[eqn: {`b`} over {`a`} ``]

③ [eqn: dx```+`ay```=`ad``]	[eqn: cx```+`by```=`bc``]	[eqn: {`a`} over {`b`} ``]

④ [eqn: dx```+`ay```=`ad``]	[eqn: bx```+`cy```=`bc``]	[eqn: {`a`} over {`b`} ``]

⑤ [eqn: dx```+`ay```=`ad``]	[eqn: bx```+`cy```=`bc``]	[eqn: {`b`} over {`a`} ``]

17. 그림은 이차함수 [eqn: y```=`f(`x`)``]의 그래프이다. 방정식 [eqn: f(`f(`x`))```=`0``]의 서로 다른 세 실근의 합은? [4 점]

① [eqn: - {`5`} over {`2`}``]

② [eqn: - {`3`} over {`2`}``]

③ [eqn: - {`1`} over {`2`}``]

④  [eqn: 0``][eqn: 0 over 0]

⑤  [eqn: 1``][eqn: 0 over 0]

18. 좌표평면 위의 두 직선 [eqn: y```=`m`x], [eqn: y```=`n`x``][eqn: (`m```>`0,``n```>`0`)``]가 다음 두 조건을 만족한다.

(가) 직선 [eqn: y```=`m`x]가 [eqn: x``]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 직선 [eqn: y```=`n`x``]가 [eqn: x``]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기의 [eqn: 2``]배이다.

(나) 직선 [eqn: y```=`m`x]의 기울기는 직선 [eqn: y```=`n`x``]의 기울기의 [eqn: 4``]배이다.

두 상수 [eqn: m,~n``]의 곱 [eqn: m`n``]의 값은? [4 점]

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 2` sqrt {`2`}``]

④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 4` sqrt {`2`}``]

19. 그림과 같이

[eqn: rm bar{`AB`} ```=`3], [eqn: rm bar{`BC`} ```=` it a``], [eqn: rm bar{`AC`} ```=`4``]

인 삼각형 [eqn: rm ABC``]가 원에 내접하고 있다. 이 원의 반지름의 길이를 [eqn: R``]라 할 때, 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은?

[4 점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: a```=`5``]이면 [eqn: R ```=` {`5`} over {`2`}``]이다. ㄴ. [eqn: R`=4``]이면 [eqn: a`=`8`sinA``]이다. ㄷ. [eqn: 1```<`a``` <= ` sqrt {`13`} ``]일 때, [eqn: rm ANGLE A``]의 최대값은 [eqn: 60 DEG ``]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

20.

제품 재료	[eqn: rm P``]	[eqn: rm Q``]
[eqn: rm A``](톤)	[eqn: 0.8``]	[eqn: 0.4``]
[eqn: rm B``](톤)	[eqn: 0.2``]	[eqn: 0.6``]
<표>

두 종류의 재료 [eqn: rm A,~B``]를 수입하여 제품 [eqn: rm P,~Q``]를 생산ㆍ판매하는 공장이 있다.

표는 [eqn: rm P,~Q``]를 각각 [eqn: 1``]개씩 생산하는데 필요한 재료 [eqn: rm A,~B``]의 무게를 나타낸 것이다.

재료 [eqn: rm A,~B``]의 [eqn: 1``]톤 당 수입가격은 각각 [eqn: 40``]만 원, [eqn: 60``]만 원이고, 한 달 동안 [eqn: rm A,~B``]를 각각 [eqn: 2.4``]톤 이하, [eqn: 2.6``]톤 이하로 수입하고자 한다. 제품 [eqn: rm P,~Q``]의 [eqn: 1``]개 당 판매가격은 각각 [eqn: 70``]만 원, [eqn: 80``]만 원이다.

[eqn: T][eqn: =] ([eqn: rm P,~Q``]의 총 판매가격)[eqn: -] ([eqn: rm A,~B``]의 총 수입가격)

이라 할 때, 한 달 동안 이 공장에서 얻을 수 있는 [eqn: T]의 최대값은? [4 점]

① [eqn: 104``]만 원	② [eqn: 116``]만 원	③ [eqn: 124``]만 원

④ [eqn: 132``]만 원	⑤ [eqn: 138``]만 원

21. 다음은 그림과 같이 적도 부근의 해상 [eqn: rm A``]지점에서 발생한 태풍에 대한 정보이다.

(가) 태풍의 중심은 북동쪽으로 시속 [eqn: 10 sqrt {`2`} `rm km ``]의 일정한 속력으로 이동한다.

(나) 태풍의 반지름의 길이는 시간 당 [eqn: 5`rm km``]씩 증가한다.

이 정보에 의하면, [eqn: rm A``]지점으로부터 동쪽으로 [eqn: 100`rm km ``], 북쪽으로 [eqn: 150`rm km ``] 떨어진 [eqn: rm B``]지점이 태풍의 영향권에 있는 시간은 총 몇 시간인가? (단, 태풍은 항상 원 모양이고, 발생하는 순간의 태풍의 반지름의 길이는 [eqn: 0` rm km``]이며, 태풍의 중심은 직선 방향으로 이동한다고 가정한다. 또, 원의 내부에 있는 지역을 태풍의 영향권이라 한다.) [4 점]

① [eqn: {`30`} over {7} ``]시간	② [eqn: 5``]시간	③ [eqn: {`40`} over {7} ``]시간

④ [eqn: {`60`} over {7} ``]시간	⑤ [eqn: 9``]시간

단답형(22～30)

22. [eqn: a,~b``]가 실수일 때, 이차방정식 [eqn: x ^{2} ```+`ax```+`b```=`0``]의 한 근이 [eqn: 4```+`3i``]이다. [eqn: a```+`b``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: i```=` sqrt {`-1`}]이다.)

[3 점]

23. [eqn: a```=` sqrt {`2`}```+`1`,~b```=` sqrt {`2`}```-`1``]일 때, [eqn: {`a ^{3} ``+``b ^{3} `} over {`a``+``b`} ``]의 값을 구하시오. [3 점]

24. 자연수 전체의 집합의 두 부분집합 [eqn: A,~B``]가

[eqn: A it ```=` LEFT { `x``|``x`` RIGHT .]는 [eqn: 10 ^{2} ``]의 약수 }

[eqn: B it ```=` LEFT { `x``|``x`` RIGHT .]는 [eqn: 6 ^{3} ``]의 약수 }

일 때, [eqn: A ``smallinter`` B ``^{rm C}``]의 원소의 개수를 구하시오. [3 점]

25. 그림은 함수 [eqn: f(`x`)```=`a``sin``b` LEFT ( `x```+` {` pi `} over {`4`} ` RIGHT ) ``]의 그래프이다.

[eqn: a ^{2} ```+``b ^{2} ``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,~b``]는 상수이다.) [3 점]

26. 이차방정식 [eqn: x^2```-`(`m```+`5`)`x```-`m```-`1```=`0``]의 두 근이 정수가 되도록 하는 모든 정수 의 값의 곱을 구하시오. [4 점]

27. 다항식 [eqn: f(`x`)``]를 [eqn: (`x```+`1`)`(`x```-`2`)``]로 나눈 나머지가 [eqn: 2x```-`15``]일 때, 다항식 [eqn: x`f `left(` {`1`} over {`2`} `x`right)``]를 [eqn: x```+`2``]로 나눈 나머지를 구하시오. [3 점]

28. 두 분수함수 [eqn: y```=` {`ax```+`1`} over {`2x```-`6`}], [eqn: y```=` {`bx```+`1`} over {`2x```+`6`} ``]의 그래프가 직선 [eqn: y```=`x``]에 대하여 대칭일 때, [eqn: b```-`a``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,``b``]는 상수이다.) [3 점]

29. [eqn: rm A,~B,~C,~D``] [eqn: 4``]명의 학생이 원형의 탁자에 앉아 있다. 각자 하나의 수를 정하고 이웃하는 두 학생에게만 그 수를 알려 주었다. 학생들은 자신이 정한 수와 알게 된 두 수의 평균을 구하여 자기 자리 앞에 썼더니 그림과 같았다.

[eqn: rm D``]학생이 정한 수를 구하시오. [4 점]

30. 그림과 같이 폭이 [eqn: 100` rm cm``]인 긴 양철판을 접어서 두 줄기로 물이 가득 차서 흘러가도록 하려고 한다.

물이 흘러가는 방향에 수직으로 자른 단면이 서로 합동이고 한 변이 없는 두 개의 직사각형 모양이 되도록 할 때, 두 직사각형의 넓이의 합의 최대값을 [eqn: a` rm cm^2``]라 하자.

[eqn: a``]의 값을 구하시오. (단, 양철판의 두께는 무시한다.) [4 점]

※ 확인 사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.