[eqn: lim _{x `-> `0} {{e ^{x} -1} over {4x}}]의 값은? [2점]

2016학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(가형)

제 2 교시

수학 영역(가형)

수학 영역(가형)

① [eqn: 1 over 5]	② [eqn: 1 over 4]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: 1 over 2]	⑤ [eqn: 1]

12

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[eqn: {} _{n} rm P _{it 2 rm} =56]일 때, 자연수 [eqn: n]의 값은? [2점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =sinx]일 때, [eqn: f`' LEFT ( pi over 3 RIGHT )]의 값은? [2점]

① [eqn: -1]	② [eqn: - 1 over 2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1 over 2]	⑤ [eqn: 1]

좌표평면에서 두 곡선 [eqn: y =log` _{2} `x], [eqn: y =log` _{4} `x]가 직선 [eqn: x=16]과
만나는 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자. 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ] 사이의 거리는? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B`]에 대하여 [eqn: rm P LEFT ( it A ^{C``} RIGHT ) = {1} over {4}], [eqn: rm P LEFT ( it B``|A RIGHT ) = {1} over {6}]일 때,
[eqn: rm P LEFT ( it A SMALLINTER B` RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: A ^{C}]은 [eqn: A]의 여사건이다.) [3점]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {7}]	③ [eqn: {1} over {6}]

④ [eqn: {1} over {5}]	⑤ [eqn: {1} over {4}]

자연수 [eqn: 8]을 세 개의 자연수로 분할하는 방법의 수는? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

[eqn: int _{{1} over {2}} ^{1} {` sqrt {2x`-1}} dx]의 값은? [3점]

① [eqn: 1 over 15]	② [eqn: { 2} over {15 }]	③ [eqn: {1} over {5}]

④ [eqn: {4} over {15}]	⑤ [eqn: {1} over {3}]

[eqn: sin theta = root3 over3]일 때, [eqn: 2sin LEFT ( theta - {pi } over {6} RIGHT ) +cos theta]의 값은?
(단, [eqn: 0 < theta < { pi} over {2 }]) [3점]

① [eqn: 1 over2]	② [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: sqrt {3}]	⑤ [eqn: 2]

실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 [eqn: f` LEFT ( x RIGHT )]가
[eqn: lim _{x `-> `1} {{f LEFT ( x RIGHT ) -2} over {x-1}} = {1} over {3}]을 만족시킨다. [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]라 할 때,
[eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) +g` prime LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: {4} over {3}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {8} over {3}]

④ [eqn: {10} over {3}]	⑤ [eqn: 4]

진동가속도레벨 [eqn: V`]([eqn: rm dB])는 공해진동에 사용되는 단위로
진동가속도 크기를 의미하며 편진폭 [eqn: A]([eqn: rm m]), 진동수 [eqn: w]([eqn: rm Hz])에
대하여 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

[eqn: V=20`log {Aw ^{2}} over {k}] (단, [eqn: k]는 양의 상수이다.)

편진폭이 [eqn: A_1], 진동수가 [eqn: 10 pi]일 때 진동가속도레벨이 [eqn: 83]이고,
편진폭이 [eqn: A_2], 진동수가 [eqn: 80 pi]일 때 진동가속도레벨이 [eqn: 91]이다.
[eqn: {A _{2}} over {A _{1}}]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {32} TIMES 10 ^{{1} over {5}}]	② [eqn: {1} over {32} TIMES 10 ^{{2} over {5}}]	③ [eqn: {1} over {64} TIMES 10 ^{{1} over {5}}]

④ [eqn: {1} over {64} TIMES 10 ^{{2} over {5}}]	⑤ [eqn: {1} over {64} TIMES 10 ^{{3} over {5}}]

[11 ~ 12] 그림과 같이 실수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x+k} `]의 그래프와
포물선 [eqn: y^2 = 4x]가 있다. 11번과 12번의 두 물음에 답하시오.

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: y= f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y^2 = 4x]

[eqn: k=1]일 때, 함수 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 포물선 [eqn: y^2 = 4x]의
준선, [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점]

① [eqn: e- 2]	② [eqn: e-1]	③ [eqn: e- { 1} over {2 }]

④ [eqn: e- {1} over {e}]	⑤ [eqn: e- {1} over {2e}]

포물선 [eqn: y^2 =4x] 위의 점 [eqn: LEFT ( `4,``4 RIGHT )]에서의 접선이 [eqn: y]축과 만나는 점을
함수 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 지날 때, [eqn: k]의 값은? [3점]

① [eqn: ln 2]	② [eqn: ln { 7} over {3 }]	③ [eqn: ln { 8} over {3 }]

④ [eqn: ln 3]	⑤ [eqn: ln { 10} over { 3}]

그림과 같이 초점이 [eqn: rm F]인 포물선 [eqn: y ^{2} =8x] 위의 점 [eqn: rm P]에서
[eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하자. 삼각형 [eqn: rm PFH]의 넓이가
[eqn: 3 sqrt {10}]일 때, 선분 [eqn: rm PF]의 길이는?
(단, 점 [eqn: rm `P]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: rm`F]의 [eqn: x]좌표보다 크다.) [3점]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: rm`F]

[eqn: rm H]

[eqn: rm P]

[eqn: y^2 = 8x]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

다음은 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: 2x-1 GEQ ke ^{x ^{2}}]을 성립시키는
실수 [eqn: k]의 최댓값을 구하는 과정이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 2x-1 RIGHT ) e ^{-x ^{2}}]이라 하자.

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( ` {BOX{``````````(가) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}} ``````````}} ` RIGHT ) TIMES e ^{-x ^{2}}]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=`- {1} over {2}] 또는 [eqn: x=1]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 조사하면

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 극솟값은 [eqn: BOX{``````````(나) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}} ``````````}] 이다.

또한 [eqn: lim _{x` -> ` INF } {f LEFT ( x RIGHT ) =0}], [eqn: lim _{x` ->` - INF } {f LEFT ( x RIGHT ) =0}]이므로
함수 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형을 그리면
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: BOX{``````````(나) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}} ``````````}] 이다.

따라서 [eqn: 2x-1 GEQ ke ^{x ^{2}}]을 성립시키는 실수 [eqn: k]의 최댓값은
[eqn: BOX{``````````(나) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}} ``````````}] 이다.

위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )], (나)에 알맞은 수를 [eqn: p]라 할 때,

[eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) TIMES p]의 값은? [4점]

① [eqn: {10} over {e}}]	② [eqn: {15} over {{e}}]	③ [eqn: {20} over {root {4} of {e}}]

④ [eqn: {25} over {root {4} of {e}}]	⑤ [eqn: {30} over {root {4} of {e}}]

[eqn: 1]부터 [eqn: 7]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 7]개의 공이 들어 있는
상자에서 임의로 [eqn: 1]개의 공을 꺼내는 시행을 반복할 때,
짝수가 적혀 있는 공을 모두 꺼내면 시행을 멈춘다.
[eqn: 5]번째까지 시행을 한 후 시행을 멈출 확률은? (단, 꺼낸 공은 다시
넣지 않는다.) [4점]

① [eqn: {6} over {35}]	② [eqn: 1 over 5]	③ [eqn: {8} over {35}]

④ [eqn: {9} over {35}]	⑤ [eqn: {2} over {7}]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =xe ^{-2x+1}]에 대하여 함수

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`f LEFT ( x RIGHT ) -a _{{} _{`}}&``````` LEFT ( x>b RIGHT ) _{{} _{`}}#`````````````0&``````` LEFT ( x LEQ b RIGHT )}}]

가 실수 전체에서 미분가능할 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 곱 [eqn: a b]의 값은?

[4점]
① [eqn: 1 over 10]	② [eqn: 1 over 8]	③ [eqn: 1 over 6]

④ [eqn: 1 over 4]	⑤ [eqn: 1 over 2]

그림과 같이 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]의 두 초점 중
[eqn: x]좌표가 양수인 점을 [eqn: rmF], 음수인 점을 [eqn: rm F']이라 하자. 타원 위의
점 [eqn: rmP]에 대하여 선분 [eqn: rm PF']의 중점 [eqn: rm M]의 좌표가 [eqn: LEFT ( `0,``1 RIGHT )]이고
[eqn: rm {bar{PM}} = {bar{PF}}]일 때, [eqn: a ^{2} + b ^{2}]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [4점]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmF]

[eqn: rmF`']

[eqn: rmM]

[eqn: rm P]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmF]

[eqn: rmF`']

[eqn: rmM]

[eqn: rm P]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmF]

[eqn: rmF`']

[eqn: rmM]

[eqn: rm P]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmF]

[eqn: rmF']

[eqn: rmM]

[eqn: rm P]

① [eqn: 14]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 18]

양의 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y = ln x] 위의 두 점 [eqn: rm P (`it t,``lnt )],
[eqn: rm Q ( `it 2t,``ln2t)]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rm R LEFT ( it `r LEFT ( t RIGHT ) ,``0 RIGHT )],
[eqn: rm S LEFT ( `it s LEFT ( t RIGHT ) ,``0 RIGHT )]이라 하자. 함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]를 [eqn: f` LEFT ( t RIGHT ) = r LEFT ( t RIGHT ) - s LEFT ( t RIGHT )]라 할 때,
함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]의 극솟값은? [4점]

① [eqn: - {1} over {2}]	② [eqn: - {1} over {3}]	③ [eqn: - 1 over 4]

④ [eqn: - {1} over {5}]	⑤ [eqn: - {1} over {6}]

그림과 같이 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `= sqrt {x LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) ^{`} sin LEFT ( x ^{2} RIGHT ) ^{`}}] [eqn: LEFT ( 0 LEQ x LEQ sqrt {pi } RIGHT )]
에 대하여 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분을 밑면으로
하는 입체도형이 있다. 두 점 [eqn: rm P LEFT ( it `x,``0 RIGHT )], [eqn: rmQ LEFT ( it`x,``f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )]를 지나고
[eqn: x]축에 수직인 평면으로 입체도형을 자른 단면이 선분 [eqn: rmPQ]를
한 변으로 하는 정삼각형이다. 이 입체도형의 부피는? [4점]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: sqrt pi]

① [eqn: {sqrt {3} LEFT ( pi +2 RIGHT )} over {8}]	② [eqn: {sqrt {3} LEFT ( pi +3 RIGHT )} over {8}]	③ [eqn: {sqrt {3} LEFT ( pi +4 RIGHT )} over {8}]

④ [eqn: {sqrt {3} LEFT ( pi +2 RIGHT )} over {4}]	⑤ [eqn: {sqrt {3} LEFT ( pi +3 RIGHT )} over {4}]

주머니에 [eqn: 1]부터 [eqn: 10]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 10]개의
공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 5]개의 공을 동시에 꺼낼 때
꺼낸 공에 적혀 있는 자연수 중 연속된 자연수의 최대 개수가 [eqn: 3]인
사건을 [eqn: A]라 하자.
예를 들어  은 연속된 자연수의 최대 개수가 [eqn: 3]이므로

사건 [eqn: A]에 속하고,  은 연속된 자연수의 최대 개수가
[eqn: 2]이므로 사건 [eqn: A]에 속하지 않는다.
사건 [eqn: A]가 일어날 확률은? [4점]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {3} over {14}]	③ [eqn: 11 over 42]

④ [eqn: 13 over 42]	⑤ [eqn: { 5} over { 14}]

닫힌 구간 [eqn: LEFT [ `-2,``2 RIGHT ]]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`````````x+2 _{{} _{`}}&``````` LEFT ( -2 LEQ x le 0 RIGHT ) _{{} _{`}}#`-x+2&``````` LEFT ( 0<x LEQ 2 RIGHT )}}]

이다. 좌표평면에서 [eqn: k>1]인 실수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의
그래프와 타원 [eqn: {x ^{2}} over {k ^{2}} +y ^{2} =1]이 만나는 서로 다른 점의 개수를

[eqn: g LEFT ( k RIGHT )]라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( k RIGHT )]가 불연속이 되는 모든 [eqn: k]의 값들의 제곱의
합은? [4점]

① [eqn: 6]	② [eqn: {25} over {4}]	③ [eqn: 13 OVER 2]

④ [eqn: {27} over {4}]	⑤ [eqn: 7]

단 답 형

다항식 [eqn: LEFT ( 2x+1 RIGHT ) ^{5}]의 전개식에서 [eqn: x ^{3}]의 계수를 구하시오. [3점]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B`]가 서로 배반사건이고

[eqn: rm P LEFT ( it A CUP B` RIGHT ) =0.85], [eqn: rm P LEFT ( it A RIGHT ) =0.24]

일 때, [eqn: rm P LEFT ( it B `RIGHT )]의 값은 [eqn: alpha]이다. [eqn: 100 alpha]의 값을 구하시오. [3점]

쌍곡선 [eqn: x^2 over a^2 - y^2 over b^2 = 1]이 점 [eqn: LEFT ( `5,``3 RIGHT )]을 지나고 두 점근선의 방정식이 [eqn: y =x], [eqn: y =`-x]이다. 이 쌍곡선의 주축의 길이를 구하시오.
(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [3점]

[eqn: int _{1} ^{5} {LEFT ( ` {1} over {x+1} + {1} over {x} RIGHT ) dx= ln alpha]일 때, 실수 [eqn: alpha]의 값을 구하시오.
[3점]

[eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: LEFT | cosx+ {1} over {4} RIGHT | =k]가 서로 다른 [eqn: 3]개의 실근을
갖도록 하는 실수 [eqn: k]의 값을 [eqn: alpha]라 할 때, [eqn: 40 alpha]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: 0 le x < 2 pi]) [4점]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x+2 RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )]이다.

(나) [eqn: 0 LEQ x LEQ 1]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =sin pi x+1]이다.

(다) [eqn: 1<x<2]일 때, [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0]이다.

[eqn: int _{0} ^{6} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} `=p+ {q} over {pi }]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p], [eqn: q]는 정수이다.) [4점]

다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z], [eqn: w]의 모든 순서쌍
[eqn: (`x,``y,``z,``w)]의 개수를 구하시오. [4점]

(가) [eqn: x+y+z+w=18]

(나) [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z], [eqn: w] 중에서 [eqn: 2]개는 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 [eqn: 1]이고,
[eqn: 2]개는 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 [eqn: 2]이다.

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rm AB]를 지름으로 하는 반원이 있다.
호 [eqn: rmAB] 위의 한 점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: angle rm PAB = theta]라 하자. 선분 [eqn: rm PB]의
중점 [eqn: rmM]에서 선분 [eqn: rm PB]에 접하고 호 [eqn: rm PB]에 접하는 원의 넓이를
[eqn: S` LEFT ( theta RIGHT )], 선분 [eqn: rm AP] 위에 [eqn: bar { rm AQ } = bar { rm BQ}]가 되도록 점 [eqn: rm Q]를 잡고
삼각형 [eqn: rm ABQ]에 내접하는 원의 넓이를 [eqn: T` LEFT ( theta RIGHT )]라 하자.
[eqn: lim _{theta ` -> `0+} {{theta ^{2} TIMEST` LEFT (theta RIGHT ) } over { S` LEFT ( theta RIGHT ) }}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0< theta < pi over 4]) [4점]

[eqn: rmA]

[eqn: rm P]

[eqn: rm B]

[eqn: rm Q]

[eqn: rmM]

[eqn: theta]

좌표평면에서 [eqn: x], [eqn: y]에 대한 연립부등식

[eqn: {cases{`x ge 0 _{{} _{`}}#`y ge LEFT | e^x -2 RIGHT |]

가 나타내는 영역을 [eqn: D`]라 하자. 양의 실수 [eqn: t]에 대하여 영역 [eqn: D`]의
서로 다른 네 점을 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: A]가 다음 조건을
만족시킨다.

(가) 정사각형 [eqn: A]의 한 변의 길이는 [eqn: t]이다.

(나) 정사각형 [eqn: A]의 한 변은 [eqn: x]축과 평행하다.

정사각형 [eqn: A]의 두 대각선의 교점의 [eqn: y]좌표의 최솟값을 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]라
할 때, [eqn: f` prime LEFT ( ln2 RIGHT ) +f` prime LEFT ( ln5 RIGHT ) = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: y= LEFT | e^x -2 RIGHT |]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.