◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.

수 리 영 역

‘나’형

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수 리 영 역

‘나’형

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2006학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시

수 리 영 역

성명			수험번호						3

‘나’형

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2 점, 3 점 또는 4 점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

8

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1. [eqn: root {3} of {`2 sqrt {`2`} `} `` TIMES `` root {6} of {`8`}``]의 값은? [2 점]

① [eqn: 1``]	②[eqn: root {3} of {`2`} ``]	③ [eqn: sqrt {`2`} ``]	④ [eqn: 2``]	⑤ [eqn: 2 sqrt {`2`}``]

2. [eqn: sum _{k=1} ^{10} `(`k```+`1`)^{2} ```-`2` sum _{k=1} ^{10} `(`k```+`2`)```+` SUM FROM k=1 TO10 3``]의 값은? [2 점]

① [eqn: 365``]	② [eqn: 370``]	③ [eqn: 375``]	④ [eqn: 380``]	⑤ [eqn: 385``]

3. [eqn: lim from { n -> inf }`` {`(`n```+`3`)`(`n```+`4`)```-`n^2`}over {`(`n```+`1`)`(`n```+`2`)```-`n^2`}``]의 값은? [2 점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {`5`} over {2}]	④ [eqn: {`7`} over {3}]	⑤ [eqn: 2]

4. 등식 [eqn: pmatrix{``x``&``y``#``1``&``1``} `` pmatrix{``y``#``x``} ```=` pmatrix{``14``#``6``} ``]을 만족시키는 두 실수 [eqn: x,``y``]에 대하여 [eqn: x^2 ```+` y^2``]의 값은? [3 점]

① [eqn: 22``]	② [eqn: 23``]	③ [eqn: 24``]	④ [eqn: 25``]	⑤ [eqn: 26``]

5. 집합 [eqn: A ```=` LEFT {` x``|``x```=``][eqn: left ( {`1`} over {`256`} right ) ^{{`1`} over {`n`}} ``], [eqn: n``]은 [eqn: 0``]이 아닌 정수 }의 원소 중 자연수인 것의 개수는? [3 점]

① 1	② 2	③ 3	④ 4	⑤ [eqn: 5]

6. 등차수열 [eqn: LEFT { `a_{n} ` RIGHT }``]에 대하여 [eqn: (`a _{1} ``+``a _{2} `)```:``(`a _{3} ``+``a _{4} `)```=`1```:``2``]가 성립할 때, [eqn: a _{1} ```:``a _{4} ``]는? (단, [eqn: a _{1} ` !=` 0]이다.) [3 점]

①[eqn: 1```:``2``]	② [eqn: 1```:``3``]	③ [eqn: 2```:``3``]	④ [eqn: 2```:``5``]	⑤ [eqn: 3```:``5``]

7. 집합 [eqn: X```=`left { `1,```2` right } ``]에서 [eqn: X``]로의 함수 [eqn: f``]의 대응관계가 그림과 같을 때, 이차정사각행렬 [eqn: A``]의 [eqn: LEFT ( `i,``j` RIGHT ) ``]성분 [eqn: a _{ij} ``]를

[eqn: a _{ij} ```=`]	[eqn: left { ##]	[eqn: 0``] ([eqn: ``f(i) != j``]일 때)
		[eqn: 1``] ([eqn: ``f(i)```=`j``]일 때)

로 정의한다. 행렬 [eqn: A^2006 ``]과 같은 것은?

(단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.)  [3 점]

① [eqn: A```-`E``]	② [eqn: A``]	③ [eqn: E``]	④ [eqn: A```+`E``]	⑤ [eqn: 2A``]

8. 이차정사각행렬 [eqn: A``]에 대하여 [eqn: A ^{4} ```=`O``]일 때, 역행렬이 존재하는 것을 <보기>에서 모두 고른 것은?

(단, [eqn: E``]는 단위행렬이고 [eqn: O``]는 영행렬이다.) [3 점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: E```-`A``] ㄴ. [eqn: E```+`A``] ㄷ. [eqn: E```+`A^2``]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ，ㄷ

④ ㄴ，ㄷ	⑤ ㄱ，ㄴ，ㄷ

9. 언어영역 [eqn: 3``]문항, 수리영역 [eqn: 4``]문항, 외국어영역 [eqn: 3``]문항, 사회탐구영역 [eqn: 2``]문항이 있다. [eqn: rm A,``B,``C,``D``] 네 사람에게 [eqn: 3``]문항씩 각각 다른 영역의 문항을 서로 중복되지 않게 나누어 풀게 하였다. 다음은 네 사람이 푼 문항을 조사한 결과의 일부이다.

◦ [eqn: rm A``]는 언어영역과 수리영역 [eqn: 1``]문항씩을 풀었다.

◦ [eqn: rm B``]는 외국어영역 [eqn: 1``]문항을 풀었다.

◦ [eqn: rm C``]는 사회탐구영역 [eqn: 1``]문항을 풀었다.

◦ [eqn: rm D``]는 수리영역과 외국어영역 [eqn: 1``]문항씩을 풀었다.

만일 [eqn: rm C``]가 언어영역 문항을 풀었다고 할 때, 다음 중 항상 옳은 것은? [3 점]

① [eqn: rm A``]는 외국어영역 문항을 풀었다.

② [eqn: rm A``]는 사회탐구영역 문항을 풀었다.

③ [eqn: rm B``]는 사회탐구영역 문항을 풀었다.

④ [eqn: rm D``]는 언어영역 문항을 풀었다.

⑤ [eqn: rm D``]는 사회탐구영역 문항을 풀었다.

10. 행렬 [eqn: A```=` LEFT (` matrix{~2~0#~0~3} `` RIGHT ) ``]에 대하여 [eqn: A ^{n``} ```=` LEFT (`` matrix{a _{n} ~``` 0``#0~``b _{n} } ` RIGHT ) ``]이라 할 때,  [eqn: lim _{n` -> ` INF } {`3a _{n} ```-`2b _{n}`} over {`2a _{n} ```+`3b _{n}`} ``]의 값은? [3 점]

① [eqn: - {`3`} over {`2`}``]	② [eqn: - {`2`} over {`3`}``]	③ [eqn: 0``]	④ [eqn: {`2`} over {`3`}``]	⑤ [eqn: {`3`} over {`2`}``]

11. 이차정사각행렬 [eqn: A,``B``]에 대하여 등식

[eqn: A```+`B`````=`3E,~AB```=`4B``]

가 성립할 때, 항상 옳은 것을 <보기>에서 모두 고른 것은?

(단, [eqn: E``]는 단위행렬이고 [eqn: O``]는 영행렬이다.) [4 점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: A```=`4`E``] ㄴ. [eqn: B^2 ```+ B `````=` O ``] ㄷ. [eqn: A^2```-`B^2`` ```=`3`(`A```-`B`)``]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

12. 자연수 [eqn: i``]에 대하여 [eqn: H_i ```=` 1```+`{{`1`}over{`2`}}```+`{{`1`}over{`3`}}```+` CDOTS `+`{{`1`}over{`i`}}``]이라 할 때, 다음은 부등식

[eqn: H _{2 ^{n}} ``` >= `1```+` {`n`} over {`2`} ``(n```=`0,``1,``2,`` CDOTS `)``]…… ㉠

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

(ⅰ) [eqn: n```=`0``]일 때,

(좌변) [eqn: =`H_{2^0}```=`H_1```=``]

(가)

(우변) [eqn: =`1```+`{`0`} over {`2`} ```=`1``]

그러므로 ㉠이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n```=`k``]일 때,

[eqn: H_ {2^k }``` ≧` 1 ```+` {`k`} over {`2`}``]가 성립한다고 가정하면

[eqn: H_ {2^k+1 }``` =` 1 ```+` {`1`} over {`2`} ```+` {`1`} over {`3`} ```+`cdots `+` {`1`} over {`2^k`} ```+ ``]

(나)

[eqn: =` H_ {2^k } ```+ ``]

(나)

[eqn: >= ` LEFT (` 1```+` {`k`} over {`2`} `RIGHT ) ```+``]

(나)

[eqn: >= ` LEFT (` 1```+` {`k`} over {`2`}` RIGHT ) ```+``] ㆍ[eqn: {`1`} over {`2 ^{k```+`1}`}``]

(다)

[eqn: =`1```+` {`k```+`1`} over {`2`}``]

그러므로 [eqn: n```=`k```+`1``]일 때도 ㉠이 성립한다.

따라서 [eqn: 0``]과 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 ㉠이 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4 점]

(가)	(나)	(다)

①  [eqn: 1``]	[eqn: sum _{l=1 } ^{2^k } {1} over {`2^k ``+` l`}]	[eqn: 2 ^{k```-`1}``]

②  [eqn: 1``]	[eqn: sum _{l=1 } ^{2^k } {1} over {`2^k ``+` l`}]	[eqn: 2 ^{k}``]

③  [eqn: 1``]            [eqn: {`1`} over {`2 ^{k```+`1}`}``]	[eqn: 2 ^{k}``]

④ [eqn: {`3} over {`2`}``]           [eqn: {`1`} over {`2 ^{k```+`1}`}``]	[eqn: 2 ^{k```-`1}``]

⑤ [eqn: {`3} over {`2`}``]           [eqn: {`1`} over {`2 ^{k```+`1}`}``]	[eqn: 2 ^{k}``]

13.  [eqn: 5``]이하의 세 자연수 [eqn: x,``y,``z``]에 대하여 두 행렬 [eqn: A,`B``]를 [eqn: A```=` pmatrix{``x``&``y``#``1``&``z``},~B```=` pmatrix{``log``x~&``log``y``#``0~&``log``z``}``]라 하자.

[eqn: A``]의 역행렬 [eqn: A ^{-1}``]가 존재할 때, [eqn: A ^{-1} BA```=`B``]를 만족시키는 행렬 [eqn: A``]의 개수는? [4 점]

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 4``]	④ [eqn: 8``]	⑤ [eqn: 16``]

14. 그림과 같이 좌표축 위의 다섯 개의 점 [eqn: rm A,~B,~C,~D,~E``]에 대하여 [eqn: rm barAB bot bar BC ,~ barBC bot bar CD ,~ barCD bot bar DE``]가 성립한다.

세 선분 [eqn: rm {AO} ,~ {OC} ,~ {EA} ``]의 길이가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 직선 [eqn: rm AB``]의 기울기는?

(단, [eqn: rm O``]는 원점이고 [eqn: rm bar{`OA`} ```<` bar{`OB`} ``]이다.) [4 점]

① [eqn: sqrt {`2`} ``]	② [eqn: sqrt {`3`} ``]	③ [eqn: 2``]	④ [eqn: root {`5`}``]	⑤ [eqn: sqrt {`6`} ``]

15. 넓이가 [eqn: 20`pi ``]인 원 [eqn: rm O _{1}``]을 그리고, 원 [eqn: rm O _{1}``]의 사분원의 넓이보다 [eqn: 12` pi ``] 더 넓은 원 [eqn: rm O _{2}``]를 그린다. 또 원 [eqn: rm O _{2}``]의 사분원의 넓이보다 [eqn: 12` pi ``] 더 넓은 원 [eqn: rm O _{3}``]를 그린다.

이와 같이 원 [eqn: rm O _{it n} ``]의 사분원의 넓이보다 [eqn: 12` pi ``] 더 넓은 원 [eqn: rm O _{it n+1}``]을 계속하여 그려 간다. 원 [eqn: rm O _{it n}``]의 넓이를 [eqn: S _{n}``]이라 할 때, [eqn: lim _{n `->` INF } {} S _{n}``]의 값은? [4 점]

① [eqn: 14` pi ``]	② [eqn: 15` pi ``]	③ [eqn: 16` pi ``]	④ [eqn: 17` pi ``]	⑤ [eqn: 18` pi ``]

16. 어느 도시의 [eqn: t``]년도 인구수를 [eqn: P```times ` 10 ^6 ``](명)이라 하면

[eqn: P```=`5 ㆍ 2 ^{{`t```-`2001`} over {15}}``]

인 관계가 성립한다고 한다. 이 도시의 인구수가 [eqn: 2006``]년 인구수의 [eqn: 2``]배가 되는 해는? [4 점]

① [eqn: 2017``]년	② [eqn: 2019``]년	③ [eqn: 2021``]년	④ [eqn: 2023``]년	⑤ [eqn: 2025``]년

17. 두 약국 P, Q 에서 판매하는 혈압약과 관절염약의 1갑의 가격은 <표1>과 같고, 갑, 을 두 환자가 매월 구입해야 하는 혈압약과 관절염약의 수량은 <표2>와 같다.

<표1>

(단위: 원)
	혈압약	관절염약
P 약국	[eqn: 30,000]	[eqn: 10,000]
Q 약국	[eqn: 20,000]	[eqn: 20,000]

<표2>

(단위: 갑)
	갑	을
혈압약	[eqn: 1]	[eqn: 2]
관절염약	[eqn: 1]	[eqn: 3]

갑이 [eqn: x``]개월, 을이 [eqn: y``]개월 동안 혈압약과 관절염약을 P 약국에서 구입하면 갑과 을의 약값의 합은 [eqn: 600,000``]원이고, Q 약국에서 구입하면 갑과 을의 약값의 합은 [eqn: 640,000``]원이다.

행렬을 이용하여 [eqn: x,~y``]의 값을 구하는 과정에서 다음 등식을 얻었다.

[eqn: pmatrix{``x``#``y``} ```=` {1} over {`4`} ` pmatrix{~~`a~&-9``#``-4~&~`````b``} ` pmatrix{``60``#``64``} ``]

두 상수 [eqn: a,~b``]의 합 [eqn: a``+``b``]의 값은? [4 점]

① [eqn: 10``]	② [eqn: 11``]	③ [eqn: 12``]	④ [eqn: 13``]	⑤ [eqn: 14``]

단답형(18 ~ 25)

18. 등식 [eqn: {1} over {`log` _{3} `2`} ```+` {1} over {`log` _{5} `2`} ```+` {1} over {`log` _{6} `2`} ```=` {1} over {`log` _{k} `2`} ```]이 성립할 때, 상수 [eqn: k``]의 값을 구하시오. [3 점]

19. 그림과 같이 한 개의 직사각형을 [eqn: 6``]개의 직사각형으로 나누었을 때, [eqn: 6``]개의 직사각형의 넓이가 각각 [eqn: 8,~a,~9,~b,~6,~c````]이었다.

[eqn: 8]

[eqn: a]

[eqn: 9]

[eqn: b]

[eqn: c]

[eqn: 6]

[eqn: a(`b```+`c`)``]의 값을 구하시오. [3 점]

20. 마주 보는 면에 있는 눈의 수의 합이 [eqn: 7]인 똑같은 세 개의 주사위를 그림과 같이 붙여 놓으면, 이웃한 주사위와 접한 면은 모두 네 개가 된다.

이 네 면에 있는 눈의 수의 총합을 구하시오. [3 점]

21. 이차방정식 [eqn: x ^{2} ```-`6x```+`2```=`0``]의 두 실근 [eqn: alpha ,~beta ``]에 대하여 행렬 [eqn: A``]를 [eqn: A```=` pmatrix{`alpha `&`1#1`&` beta `}``]라 할 때, 행렬 [eqn: A ^{2}]의 역행렬 [eqn: (`A ^{2} `) ^{-1} ``]의 모든 성분의 합을 구하시오. [3 점]

22. 양수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: <x>``]는 [eqn: x``]보다 크거나 같은 최소의 정수를 나타내기로 한다. 예를 들면, [eqn: <2>`=`2,~<2.5```>` =`3``]이다. 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } ``]을 [eqn: a _{1} ```=`10,~a _{n} ```=`a~~~+`1``(`n```=`2,~3,~4,~ CDOTS `)``]로 정의할 때, [eqn: a _{50}``]의 값을 구하시오. [4 점]

[eqn: bold { < {n} over {2} > }]

23. 양수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: log``x``]의 지표와 가수를 각각 [eqn: f`(`x`),~g`(`x`)``]라 하자. 두 등식

[eqn: f`(`a`)```=`f`(`b`)``+`2,~g`(`a`)```=`g`(`b`)```-`log``3``]

을 만족시키는 두 양수 [eqn: a,~b``]에 대하여 [eqn: 3a``+` {`25`} over {`b`} ``]의 최소값을 구하시오. [4 점]

24. 그림과 같이 홀수를 삼각형 모양으로 배열하고 어두운 부분에 있는 수를 크기순으로 나열하여 수열

[eqn: 1 ,~3,~7,~ 9,~13,~17,~19 ,~cdots``]

을 만들었다. 이 수열의 제 [eqn: 66``]항을 구하시오. [4 점]

25. 선미는 문제 수가 [eqn: x``]인 수학책을 첫째 날에는 [eqn: 15``]문제를 풀고 둘째 날부터 매일 문제 수를 [eqn: d``]만큼씩 증가시키면서 풀어 아홉째 날까지 문제를 풀고 나면 [eqn: 24``]문제가 남게 된다. 또, 첫째 날에는 [eqn: 30``]문제를 풀고 둘째 날부터 매일 문제 수를 [eqn: d``]만큼씩 증가시키면서 풀어 일곱째 날까지 문제를 풀고 나면 [eqn: 39``]문제가 남게 된다. 선미가 풀고자 하는 이 수학책의 문제 수 [eqn: x``]의 값을 구하시오. [4 점]

5지선다형(26 ~ 29)

26. 실수 [eqn: a``]의 값에 관계없이 로그가 정의될 수 있는 것을 <보기>에서 모두 고른 것은? [3 점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: log` _{a ^{2} -a+2} (`a ^{2} ``+`1`)] ㄴ. [eqn: log` _{2` |`a`|+1} (`a ^{2} ``+`1`)] ㄷ. [eqn: log` _{a ^{2} +2} (`a ^{2} ``-`2`a ``+`1`)]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

27. 세 양수 [eqn: a,~b,~c``]는 이 순서대로 등비수열을 이루고, 다음 두 조건을 만족한다.

(가) [eqn: a``+`b```+`c```=` {7} over {`2`} ``]

(나) [eqn: a`b`c```=`1``]

[eqn: a ^{2} ```+`b ^{2} ```+`c ^{2}``]의 값은? [3 점]

① [eqn: {`13`} over {4} ``]	② [eqn: {`15`} over {4} ``]	③ [eqn: {`17`} over {4} ``]	④ [eqn: {`19`} over {4} ``]	⑤ [eqn: {`21`} over {4} ``]

28. 세 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,~ LEFT { b _{n} RIGHT } `,~ LEFT { c _{n} RIGHT } `]에 대한 옳은 설명을 <보기>에서 모두 고른 것은? [3 점]

		< 보 기 >
	ㄱ. 두 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } ,~ LEFT { `a _{n}` b _{n} ` RIGHT } ``]이 모두 수렴하면, 수열 [eqn: LEFT { ` b _{n} ` RIGHT } ``]은 수렴한다. ㄴ. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} (`a _{n} ``-``2b _{n} `)```=`0``]이고 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} b _{n} ```=`1``]이면, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} a _{n} ```=`2``]이다. ㄷ. [eqn: a _{n} ``<``b _{n} ``<``c _{n} ``]이고 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} (`c _{n} ``-``a _{n} `)```=`0``]이면, 수열 [eqn: LEFT { ` b _{n} ` RIGHT } ``]은 수렴한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ	④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

29. 두 행렬 [eqn: A```=` pmatrix{``4&` ```1 ``#``1&````0``} ``], [eqn: B```=` pmatrix{``17&` ```4 ``#``4&````1``} ``]에 대하여 등식

[eqn: (`x ^{2} ```+`y ^{2} `)`A```-`(`x```-`y`)`E````=`B``]를 만족시키는 실수 [eqn: x``], [eqn: y``]를

[eqn: cases{``x```=` alpha _{1}#``y```=` beta _{1}}], [eqn: cases{``x```=` alpha _{2}#``y```=` beta _{2}}``] 라 하자.

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm P `(` alpha _{1} ,~ beta _{1} `) ``], [eqn: rm Q`(` alpha _{2} ,~ beta _{2} `) ``] 사이의 거리는? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [4 점]

① [eqn: sqrt {`10`}]	② [eqn: sqrt {`11`}]	③ [eqn: 2`sqrt {`3`}]	④ [eqn: sqrt {`13`}]	⑤ [eqn: sqrt {`14`}]

단답형(30)

30. 그림과 같이 [eqn: rm bar{`AC`} ```=`15,~ bar{`BC`} ```=`20``]이고, [eqn: rm ANGLE C```=`90 DEG ``]인 직각삼각형 [eqn: rm ABC``]가 있다.

변 [eqn: rm AB``]를 [eqn: 25``]등분하는 점 [eqn: rm P _{1} ,```P _{2} ,```` CDOTS ``,~P _{24} ``]를 지나 변 [eqn: rm AB``]에 수직인 직선을 그어 변 [eqn: rm AC``] 또는 변 [eqn: rm CB``]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm Q _{1} ,```Q _{2} ,```` CDOTS ``,~Q _{24} ``]라 하자.

[eqn: rm bar{`P _{1} Q _{1} `} ``+`` bar{`P _{2} Q _{2} `} ``+`` bar{`P _{3} Q _{3} `} ``+``` CDOTS ``+`` bar{`P _{24} Q _{24} `} ``]

의 값을 구하시오. [4 점]

※ 확인 사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.