[eqn: lim _{x` -> `0} {{ln LEFT ( 1+4x RIGHT )} over {3x}}]의 값은? [2점]

2017학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(가형)

제 2 교시

수학 영역(가형)

수학 영역(가형)

12

로그인/회원가입 필요 없는 무료 학습자료 사이트

레전드스터디 닷컴!

http://LegendStudy.com

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

함수 [eqn: y=2sinx+1]의 최댓값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT ( e ^{x} +1 RIGHT ) dx}]의 값은? [2점]

① [eqn: e-2]	② [eqn: e-1]	③ [eqn: e]	④ [eqn: e+1]	⑤ [eqn: e+2]

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {9} =1]의 주축의 길이는? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =cosx]에 대하여 [eqn: f` prime LEFT ( {pi } over {2} RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: -1]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

방정식 [eqn: LEFT ( {1} over {8} RIGHT ) ^{2-x} =`2 ^{x+4}]을 만족시키는 실수 [eqn: x]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

같은 종류의 컴퓨터용 사인펜 [eqn: 9]자루를 같은 종류의 필통 [eqn: 3]개에
나누어 넣을 때, 빈 필통이 없도록 넣는 경우의 수는? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +3x]의 역함수를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]라 할 때,

[eqn: lim _{x` -> `4} {{g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 4 RIGHT )} over {x-4}}]

의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: {1} over {4}]	④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

[eqn: 0 LEQ x<2 pi]일 때, 방정식

[eqn: LEFT | sin2x RIGHT | = {1} over {2}]

의 모든 실근의 개수는? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

좌표평면 위의 곡선 [eqn: y= sqrt {x} -3]과 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인
부분의 넓이는? [3점]

① [eqn: 7]	② [eqn: {15} over {2}]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: {17} over {2}]	⑤ [eqn: 9]

좌표평면에서 곡선 [eqn: y=e ^{x-2}] 위의 점 [eqn: LEFT ( `3,``e RIGHT )]에서의 접선이 [eqn: x]축,
[eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자. 삼각형 [eqn: rm OAB]의 넓이는?
(단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [3점]

① [eqn: e]	② [eqn: {3} over {2} e]	③ [eqn: 2e]	④ [eqn: {5} over {2} e]	⑤ [eqn: 3e]

집합 [eqn: X= LEFT { `1,``2 RIGHT }]에서 집합 [eqn: Y= LEFT { `1,``2,``3,``4,``5,``6 RIGHT }]으로의
함수 [eqn: f] 중에서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT )]가 [eqn: 4]의 배수가 되도록 하는 함수 [eqn: f]의
개수는? [3점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =12x lnx-x ^{3} +2x]에 대하여 [eqn: f`'' LEFT ( a RIGHT ) =0]인 실수 [eqn: a]의
값은? [3점]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: sqrt {2}]	⑤ [eqn: 2]

그림과 같이 타원 [eqn: {x ^{2}} over {100} + {y ^{2}} over {k} =1] 위의 제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: rmP]와
두 초점 [eqn: rm F], [eqn: rm F prime]에 대하여 삼각형 [eqn: rm PF'F]의 둘레의 길이가 [eqn: 34]일 때,
상수 [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: 0<k<100]) [4점]

[eqn: {x ^{2}} over {100} + {y ^{2}} over {k} =1]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: rmF']

[eqn: rmF]

[eqn: rm P]

① [eqn: 36]	② [eqn: 41]	③ [eqn: 46]	④ [eqn: 51]	⑤ [eqn: 56]

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {LEFT ( x+1 RIGHT ) cosx} `dx]의 값은? [4점]

① [eqn: {pi} over {4}]	② [eqn: {pi} over {2}]	③ [eqn: {3} over {4} pi]	④ [eqn: pi]	⑤ [eqn: {5} over {4} pi]

그림과 같이 선분 [eqn: rm AB]의 길이가 [eqn: 8], 선분 [eqn: rm AD]의 길이가 [eqn: 6]인
직사각형 [eqn: rmABCD]가 있다. 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 1:3]으로 내분하는 점을 [eqn: rmE],
선분 [eqn: rm AD]의 중점을 [eqn: rm F]라 하자. [eqn: ANGLE rm EFC it = theta]라 할 때, [eqn: tan theta]의 값은?

[4점]

[eqn: rmA]

[eqn: rm F]

[eqn: rm B]

[eqn: rm E]

[eqn: theta]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

① [eqn: {22} over {7}]	② [eqn: {26} over {7}]	③ [eqn: {30} over {7}]	④ [eqn: {34} over {7}]	⑤ [eqn: {38} over {7}]

두 집합

[eqn: A= LEFT { x _{`} LEFT | x ^{2} -5x+4 LEQ 0 _{`} RIGHT } RIGHT .],

[eqn: B`` it = LEFT { x _{`} LEFT | LEFT ( log _{2} `x RIGHT ) ^{2} -2k`log _{2} `x+k ^{2} -1 LEQ 0 _{`} RIGHT } RIGHT .]

에 대하여 [eqn: A SMALLINTER B != EMPTYSET]을 만족시키는 정수 [eqn: k]의 개수는? [4점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

다음은 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식 [eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {k} over {k+1} TIMES _{n} rm C _{it k rm} RIGHT ) <100]을
만족시키는 [eqn: n]의 최댓값을 구하는 과정이다.

이항정리를 이용하여 [eqn: LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{n}]을 전개하면

[eqn: LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{n} = sum _{k=0} ^{n} LEFT ( ` {BOX{``````````(가) _{`}^{`} ``````````}} ` TIMES x ^{k} ` RIGHT )]      [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

위 식의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 2 ^{n} = _{n} rm C _{0} + _{it n rm} rm C _{1} it + _{it n} rm C _{2} it +` CDOTS `+ _{it n} rm C _{it n rm} it]      [eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠의 양변을 [eqn: 0]에서 [eqn: 1]까지 적분하여

[eqn: {2 ^{n+1}} over {n+1} - {1} over {n+1} = _{n} rm C _{0} + {1} over {2} ` _{it n rm} rm C _{1} it + {1} over {3} ` _{it n} rm C _{2} it +` CDOTS `+ {1} over {n+1} ` _{it n} rm C _{it n rm} it]

[eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

을 얻는다.

㉡과 ㉢에서

[eqn: {BOX{``````````(나) _{`}^{`} ``````````}} `+ {1} over {n+1}][eqn: = {1} over {2} ` _{n} rm C _{1} + {2} over {3} ` _{it n rm} rm C _{2} it + {3} over {4} ` _{it n} rm C _{3} it +` CDOTS `+ {n} over {n+1} ` _{it n} rm C _{it n rm}][eqn: = sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {k} over {k+1} TIMES _{n} rm C _{it k rm} RIGHT )]이므로

부등식 [eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {k} over {k+1} TIMES _{n} rm C _{it k rm} RIGHT ) <100]을 만족시키는 [eqn: n]의 최댓값은

[eqn: {BOX{``````````(다) _{`}^{`} ``````````}} `]이다.

위의 과정에서 (가)에 알맞은 식에 대하여 [eqn: k=1]일 때의 식을
[eqn: f LEFT ( n RIGHT )], (나)에 알맞은 식을 [eqn: g LEFT ( n RIGHT )], (다)에 알맞은 수를 [eqn: p]라 할 때,
[eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) TIMES g LEFT ( 5 RIGHT ) +p]의 값은? [4점]

① [eqn: 115]	② [eqn: 120]	③ [eqn: 125]	④ [eqn: 130]	⑤ [eqn: 135]

좌표평면에서 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]의 점근선의 방정식이
[eqn: y=± {sqrt {3}} over {3} x]이고 한 초점이 [eqn: rm F it LEFT ( `4 sqrt {3} ,``0 RIGHT )]이다. 점 [eqn: rmF]를 지나고
[eqn: x]축에 수직인 직선이 이 쌍곡선과 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을
[eqn: rmP]라 하자. 쌍곡선 위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선의 기울기는?
(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: {2 sqrt {3}} over {3}]	② [eqn: sqrt {3}]	③ [eqn: {4 sqrt {3}} over {3}]	④ [eqn: {5 sqrt {3}} over {3}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {3}]

그림과 같이 세 점 [eqn: rm A LEFT ( `1,``1 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( `4,``1 RIGHT )], [eqn: rm C LEFT ( `4,``5 RIGHT )]를 꼭짓점으로
하는 삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 점 [eqn: rmP]는 점 [eqn: rmA]를 출발하여
삼각형 [eqn: rm ABC]의 변을 따라 점 [eqn: rmrmB]를 지나 점 [eqn: rmC]까지 매초 [eqn: 1]의 일정한
속력으로 움직이고 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =kx ^{2}]의 그래프가 점 [eqn: rmP]를 지난다.
[eqn: t]초 후 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선의 기울기를 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라
하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
(단, 점 [eqn: rmP]는 한 번 지나간 점은 다시 지나가지 않는다.) [4점]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =kx ^{2}]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rm P``]

		보 기
ㄱ. [eqn: 0 LEQ t<3]일 때 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: LEFT ( `t+1,``1 RIGHT )] ㄴ. [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = {2} over {t+1}] ([eqn: 0 LEQ t<3]) ㄷ. [eqn: int _{0} ^{7} {g LEFT ( t RIGHT )} dt=6+4ln2]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 길이가 [eqn: 1]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원이 있다.
호 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: {bar{rm BP }} = {bar{rm BC }}]가 되도록 선분 [eqn: rm AB] 위의
점 [eqn: rm C]를 잡고, [eqn: {bar{rm AC}} = {bar{rm AD}}]가 되도록 선분 [eqn: rm AP] 위의 점 [eqn: rm D]를 잡는다.
[eqn: angle{rmPAB}=theta]에 대하여 선분 [eqn: rmCD]를 반지름으로 하고 중심각의
크기가 [eqn: ANGLE rm PCD]인 부채꼴의 넓이를 [eqn: S` LEFT ( theta RIGHT )], 선분 [eqn: rmCP]를 반지름으로
하고 중심각의 크기가 [eqn: ANGLE rm PCD]인 부채꼴의 넓이를 [eqn: T` LEFT ( theta RIGHT )]라 할 때,
[eqn: lim _{theta ` -> `0+} {{T` LEFT ( theta RIGHT ) -S` LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{2}}}]의 값은? (단, [eqn: 0<theta< {pi} over {2}]이고 [eqn: ANGLE rm PCD]는
예각이다.) [4점]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmP]

[eqn: rmD]

[eqn: rmC]

[eqn: theta]

① [eqn: {pi} over {16}]	② [eqn: {pi} over {8}]	③ [eqn: {3} over {16} pi]	④ [eqn: {pi } over {4}]	⑤ [eqn: {5} over {16} pi]

단 답 형

[eqn: {}_{5} SMALLPROD _{2}]의 값을 구하시오. [3점]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =it- {1} over {x ^{2}}]에 대하여 [eqn: f` prime LEFT ( {1} over {3} RIGHT )]의 값을 구하시오. [3점]

매개변수 [eqn: t]([eqn: t>0])로 나타내어진 함수

[eqn: x=t+2 sqrt {t}],  [eqn: y=4t ^{3}]

에 대하여 [eqn: t=1]일 때, [eqn: {dy} over {dx}]의 값을 구하시오. [3점]

좌표평면에서 점 [eqn: LEFT ( `2,``0 RIGHT )]을 지나고 기울기가 양수인 직선이
포물선 [eqn: y ^{2} =8x]와 만나는 두 점을 각각 [eqn: rm P], [eqn: rmQ]라 하자.
선분 [eqn: rmPQ]의 길이가 [eqn: 17]일 때, 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표의 합을 구하시오.

[3점]

네 개의 자연수 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 7] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 8]개를
선택할 때, 선택된 [eqn: 8]개의 수의 곱이 [eqn: 60]의 배수가 되도록 하는
경우의 수를 구하시오. [4점]

그림과 같이 곡선 [eqn: y= sqrt {x+ {pi } over {4} `sin LEFT ( {pi } over {2} x RIGHT ) ^{`}}]와 [eqn: x]축 및 두 직선
[eqn: x=1], [eqn: x=4]로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다.
이 입체도형을 [eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두
정사각형일 때, 이 입체도형의 부피를 구하시오. [4점]

[eqn: y= sqrt {x+ {pi } over {4} `sin LEFT ( {pi } over {2} x RIGHT ) ^{`}}]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: 4]

[eqn: 1]

[eqn: rmO]

그림과 같이 주머니에 숫자 [eqn: 1]이 적힌 흰 공과 검은 공이 각각
[eqn: 2]개, 숫자 [eqn: 2]가 적힌 흰 공과 검은 공이 각각 [eqn: 2]개가 들어 있고,
비어 있는 [eqn: 8]개의 칸에 [eqn: 1]부터 [eqn: 8]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는
진열장이 있다.

숫자가 적힌 [eqn: 8]개의 칸에 주머니 안의 공을 한 칸에 한 개씩 모두
넣을 때, 숫자 [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이 적힌 칸에 넣는 세 개의 공이 적힌 수의
합이 [eqn: 5]이고 모두 같은 색이 되도록 하는 경우의 수를 구하시오.
(단, 모든 공은 크기와 모양이 같다.) [4점]

좌표평면에서 [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 두 곡선 [eqn: y=3 ^{x} -n],
[eqn: y=log _{`3} ` LEFT ( x+n RIGHT )]으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에
포함되고 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 자연수인 점의 개수가 [eqn: 4]가 되도록
하는 자연수 [eqn: n]의 개수를 구하시오. [4점]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 함수

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x- {f LEFT ( x RIGHT )} over {f` prime LEFT ( x RIGHT )}]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]의 실근은 [eqn: 0]과 [eqn: 2]뿐이고 허근은 존재하지
않는다.

(나) [eqn: lim _{x`->`2} {{LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{3}} over {f LEFT ( x RIGHT )}}]이 존재한다.

(다) 함수 [eqn: LEFT | {g LEFT ( x RIGHT )} over {x} RIGHT |]는 [eqn: x= {5} over {4}]에서 연속이고 미분가능하지 않다.

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 극솟값을 [eqn: k]라 할 때, [eqn: 27k]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.