수학 영역(A형)

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수학 영역(A형)

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2014학년도 3월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(A형)

제 2 교시

5지선다형

1. 다항식 [eqn: (3x+5)(x ^{2} +x-2)]의 전개식에서 [eqn: x ^{2}]의 계수는? [2점]

① [eqn: 5`]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

2. 다항식 [eqn: x ^{3} +3x+9]를 [eqn: x+1]로 나눈 나머지는? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

12

3. 수직선 위의 두 점 [eqn: rm A(1)], [eqn: {\B}(7)]에 대하여 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 1`:`3]으로 내분하는 점을 [eqn: {rm P}(a)]라 할 때, [eqn: a]의 값은? [2점]

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {5} over {2}]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

4. 두 조건

[eqn: p``:`x ^2 le9]

[eqn: q``:`x LEQ a]

에 대하여 명제 [eqn: p``->``q]가 참이 되도록 하는 실수 [eqn: a]의 최솟값은?

[3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

5. 두 복소수 [eqn: alpha =3+i], [eqn: beta =1-2i]에 대하여 [eqn: (` alpha - beta `)(` {bar{alpha `}} - {bar{beta `}} `)]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]이고, [eqn: bar{ alpha`}], [eqn: {bar{beta` }}]는 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]의 켤레복소수이다.)

[3점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

6. 무리함수 [eqn: f(x)= sqrt {ax+b}]의 역함수를 [eqn: g (x)]라 하자. [eqn: f(2)=3],[eqn: g(5)=10]일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

7. [eqn: a>1]인 실수 [eqn: a]의 덧셈과 곱셈에 대한 역원을 각각 [eqn: x], [eqn: y]라 할 때, [eqn: LEFT | `x+y` RIGHT | - LEFT | `x-y` RIGHT |]의 값은? [3점]

① [eqn: -2a]	② [eqn: -{ 2} over {a }]	③ [eqn: { 2} over {a }]	④ [eqn: a]	⑤ [eqn: 2a]

8. 그림과 같이 정사각형 [eqn: A]의 한 변의 길이와 정사각형 [eqn: B``]의 한 변의 길이의 합은 정사각형 [eqn: C``]의 한 변의 길이와 같다. 두 정사각형 [eqn: A], [eqn: B``]의 넓이가 각각 [eqn: 4-2 sqrt {3}], [eqn: 12+6 sqrt {3}]일 때, 정사각형 [eqn: C``]의 한 변의 길이는? [3점]

① [eqn: 2+2 sqrt {3}]	② [eqn: 2+3 sqrt {3}]	③ [eqn: 3+2 sqrt {3}]

④ [eqn: 4+ sqrt {3}]	⑤ [eqn: 4+2 sqrt {3}]

9. 그림은 함수 [eqn: y=`cos``a(x+b)+1]의 그래프이다. 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a`b`]의 값은? (단, [eqn: a>0`], [eqn: 0<b< pi `]이고, [eqn: rmO`]는 원점이다.)

[3점]

① [eqn: {2} over {3} pi]	② [eqn: pi]	③ [eqn: {4} over {3} pi]	④ [eqn: {5} over {3} pi]	⑤ [eqn: 2 pi]

10. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: sqrt {kx ^{2} -kx+3}]의 값이 실수가 되도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수는? [3점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

11. 다항식

[eqn: f(x)=x^3 -(a+4)x^2 +(4a-5)x+5a]

에 대하여 [eqn: f(a)=f(a+3)=0]을 만족시키는 실수 [eqn: a]의 값의 합은?

[3점]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

[12 ~ 13] 그림은 원 [eqn: bold{(x+1) ^{2} +(y-3) ^{2} =4}]와 직선 [eqn: bold {y=mx+2}]를 좌표평면 위에 나타낸 것이다. 12번과 13번의 두 물음에 답하시오. (단, [eqn: bold\O]는 원점이다.)

12. 원과 직선의 두 교점을 각각 [eqn: \A], [eqn: \B]라 할 때, 선분 [eqn: \AB]의 길이가 [eqn: 2sqrt { 2}]가 되도록 하는 상수 [eqn: m]의 값은? [3점]

① [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: sqrt {2}]	⑤ [eqn: sqrt {3}]

13. 직선이 원의 중심을 지날 때, 원의 내부는 직선과 [eqn: y]축에 의하여 [eqn: 4]개의 영역으로 나누어진다. 이 [eqn: 4]개의 영역에 서로 다른 [eqn: 5]가지의 색 중 [eqn: 4]가지를 택하여 칠하려 한다. [eqn: 4]개의 영역에 각각 다른 색을 사용하여 모두 색칠한 결과로 나올 수 있는 경우의 수는? [3점]

① [eqn: 120]	② [eqn: 144]	③ [eqn: 168]	④ [eqn: 192]	⑤ [eqn: 216]

14. 두 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여

[eqn: x AST y=x+y+xy`]

라 하자. [eqn: LEFT ( 1 ast a` RIGHT ) ast b`=3]을 만족시키는 정수 [eqn: a], [eqn: b]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,````b RIGHT )]의 개수는? [4점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

15. 어느 학교에서 토론, 글쓰기, 탐구 발표 대회가 열렸다. 다음은 [eqn: 3]가지 대회 중 적어도 한 대회에 참가한 학생 [eqn: 100]명에 대한 설명이다.

(가) 토론 대회에 참가한 학생 중 글쓰기 대회에 참가하지 않은 학생은 [eqn: 23`]명이다.

(나) 글쓰기 대회에 참가한 학생 중 탐구 발표 대회에 참가하지 않은 학생은 [eqn: 29`]명이다.

(다) [eqn: 3]가지 대회에 모두 참가한 학생은 [eqn: 17`]명이다.

탐구 발표 대회에 참가한 학생 중 토론 대회에 참가하지 않은 학생 수는? [4점]

① [eqn: 31]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 33]	④ [eqn: 34]	⑤ [eqn: 35]

16. 연립부등식

[eqn: {cases{`x ^{2} +y ^{2} -10x-6y-2 LEQ 0#`3x-4y+12 LEQ 0}} ``]

이 나타내는 영역의 넓이는? [4점]

① [eqn: 10 pi -3 sqrt {3}]	② [eqn: 10 pi -6 sqrt {3}]	③ [eqn: 10 pi -9 sqrt {3}]

④ [eqn: 12 pi -6 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 12 pi -9 sqrt {3}]

17. 그림과 같이 직선 [eqn: x+y=2`] 위의 점 [eqn: rm P it (a,``b)] ([eqn: ab !=0])에서 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmQ], [eqn: rmR]라 하고, 점 [eqn: rm P]를 지나고 직선 [eqn: rmQR]에 수직인 직선을 [eqn: l`]이라 하자.

다음은 직선 [eqn: l`]이 점 [eqn: rm P]의 위치에 관계없이 항상 일정한 점을 지남을 보이는 과정이다.

점 [eqn: {rm P}(a,``b)]는 직선 [eqn: x+y=2`] 위의 점이므로

[eqn: b`=`2-a]

이때 직선 [eqn: l`]의 기울기는

(가)

이므로 직선 [eqn: l`]의 방정식은

[eqn: y-(2-a)=`]

(가)

[eqn: `(x-a)`]   …… ㉠

한편, ㉠이 [eqn: a`]의 값에 관계없이 항상 성립하려면

[eqn: x=`]

(나)

, [eqn: y=`]

(다)

따라서 직선 [eqn: l`]은 점 [eqn: rm P]의 위치에 관계없이 항상 일정한 점을 지난다.

위의 과정에서 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f(a)`]라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, [eqn: f LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) + alpha + beta]의 값은?

(단, [eqn: \O]는 원점이다.) [4점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

18. 집합 [eqn: X= left{ 1,~2,~3,~4,~5right}`]에 대하여 함수 [eqn: f:`X``->``X``]가 그림과 같다.

함수 [eqn: g:`X```->``X``]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: g(1)=3`], [eqn: g(2)=5`]

(나) [eqn: g]의 역함수가 존재한다.

[eqn: (g CIRC f)(4)+(f CIRC g)(4)`]의 최댓값은? [4점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7`]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

19. 이차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 이차방정식 [eqn: f(x) =0]의 두 근의 곱은 [eqn: 7]이다.

(나) 이차방정식 [eqn: x ^{2} -3x+1=0]의 두 근 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여
[eqn: f ( alpha )+f(beta ) = 3]이다.

[eqn: f(7)]의 값은? [4점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

20. 그림과 같이 제[eqn: 1]사분면에 있는 곡선 [eqn: y= {2} over {x}] 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rm A LEFT ( ita,```` {2} over {a} RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( itb,```` {2} over {b} RIGHT )]에 대하여 직선 [eqn: \AB]가 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmC], 선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmD]라 하자.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

(단, [eqn: a<b]이고, [eqn: rmO]는 원점이다.) [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. 점 [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: a+b]이다. ㄴ. 두 직선 [eqn: rmAB]와 [eqn: rmOD]의 기울기의 합은 [eqn: 0]이다. ㄷ. [eqn: bar{\AB}=2bar{\OA}]일 때, [eqn: rm ANGLE AOC`= 3over2 ANGLE AOD]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. 함수 [eqn: f(x)]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: -2 LEQ x LEQ 2]에서 [eqn: f(x)= x^2 +2]이다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=f(x+4)]이다.

두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y= {ax} over {x+2}]의 그래프가 무수히 많은 점에서 만나도록 하는 정수 [eqn: a]의 값의 합은? [4점]

① [eqn: 14]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 18]	④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 22]

12

단답형

22. 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않은 [eqn: 5]개의 점 중 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 개수를 구하시오. [3점]

23. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 등식

[eqn: 3x ^{2} +x-2=a(x-1) ^{2} +b(x-1)+c]

가 성립할 때, [eqn: abc]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수이다.)

[3점]

24. 다음은 어느 회사에서 신제품 [eqn: \A]의 가격을 정하기 위하여 시장 조사를 한 결과이다.

(가) [eqn: \A]의 가격을 [eqn: 100]만 원으로 정하면 판매량은 [eqn: 2400]대이다.

(나) [eqn: \A]의 가격을 만 원 인상할 때마다 판매량은 [eqn: 20]대씩 줄어든다.

신제품 [eqn: \A]를 판매하여 얻은 전체 판매 금액이 최대가 되도록 하는 [eqn: \A]의 가격은 [eqn: a]만 원이다. [eqn: a]의 값을 구하시오. (단, [eqn: \A]의 가격은 [eqn: 100]만 원 이상이다.) [3점]

25. 그림과 같이 어떤 용수철에 질량이 [eqn: m`][eqn: \g]인 추를 매달아 아래쪽으로 [eqn: L`][eqn: \cm]만큼 잡아당겼다가 놓으면 추는 지면과 수직인 방향으로 진동한다. 추를 놓은 지 [eqn: t`]초가 지난 후의 추의 높이를 [eqn: h`{\cm}]라 하면 다음 관계식이 성립한다.

[eqn: h=20-L``cos {2 pi `t} over {sqrt {m}}]

이 용수철에 질량이 [eqn: 144`][eqn: \g]인 추를 매달아 아래쪽으로 [eqn: 10`][eqn: \cm]만큼 잡아당겼다가 놓은 지 [eqn: 2`]초가 지난 후의 추의 높이와, 질량이 [eqn: a` rm `g it]인 추를 매달아 아래쪽으로 [eqn: 5sqrt { 2}`][eqn: \cm]만큼 잡아당겼다가 놓은 지 [eqn: 2`]초가 지난 후의 추의 높이가 같을 때, [eqn: a`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: L<20]이고 [eqn: a GEQ 100]이다.) [3점]

26. [eqn: n] 이하의 자연수 중에서 양의 약수의 개수가 홀수인 자연수의 개수를 [eqn: <n>]이라 하자. 예를 들어 [eqn: 5] 이하의 자연수 중에서 양의 약수의 개수가 홀수인 자연수는 [eqn: 1], [eqn: 4]의 [eqn: 2]개이므로 [eqn: <5 > = 2]이다. [eqn: <n> =16]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최댓값을 구하시오. [4점]

27. 그림과 같이 원에 내접하는 사각형 [eqn: \ABCD]가 [eqn: {bar{rm AB it}} =10], [eqn: {bar{rm AD it}} =2], [eqn: cos( ANGLE rm BCD it )= {3} over {5}]을 만족시킨다. 이 원의 넓이가 [eqn: a` pi]일 때, [eqn: a`]의 값을 구하시오. [4점]

28. 전체집합 [eqn: U= it LEFT { `1,``2,``3,` CDOTS ,``10` RIGHT }]의 두 부분집합

[eqn: A= it LEFT { `1,``2,``3,``4,``5 RIGHT }], [eqn: B`= it LEFT { `1,``3,``5`,``7,``9 RIGHT }]

에 대하여 [eqn: A CUP C`=B` CUP C``]를 만족시키는 [eqn: U ``]의 부분집합 [eqn: C``]의 개수를 구하시오. [4점]

29. [eqn: 1<x<3]이고 [eqn: 3<y<5]인 두 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 집합 [eqn: A= LEFT { 1,``x,``3,``y,``5 RIGHT }]의 부분집합 중 원소의 개수가 [eqn: 2]인 부분집합을 각각 [eqn: A_1], [eqn: A_2], [eqn: A_3], ⋯, [eqn: A_10]이라 하고, 집합 [eqn: A_k] ([eqn: k=1,``2,``3,``cdots,``10])의 두 원소 중 작은 수를 [eqn: m_k], 큰 수를 [eqn: M_k]라 하자. [eqn: m_k]와 [eqn: M_k]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: 12x+6y]의 최댓값을 구하시오. [4점]

(가) [eqn: m _{1} +m _{2} +m _{3} +` CDOTS `+m _{10} LEQ 19]

(나) [eqn: M _{1} +M _{2} +M _{3} +` CDOTS `+M _{10} LEQ 41]

30. 그림과 같이 [eqn: rmbar{AB}=2`], [eqn: rmbar{AC}=3], [eqn: A=30°]인 삼각형 [eqn: rmABC`]의 변 [eqn: rmBC`] 위의 점 [eqn: rmP`]에서 두 직선 [eqn: rmAB`], [eqn: rm AC`] 위에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmM`], [eqn: rmN`]이라 하자. [eqn: {rm {bar{AB}} it} over {rm {bar{PM}} it} + { {bar{\AC}} it} over {rm {bar{PN}} it} `]의 최솟값이 [eqn: {q} over {p} `]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.