수학 영역(가형)

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수학 영역(가형)

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2016학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(가형)

제 2 교시

5지선다형

1. 두 벡터 [eqn: {vec{a}}` =(-1,``2)], [eqn: {vec{b}} `=(`2,``-3)`]에 대하여 [eqn: {vec{a}} `+ {vec{b}} `]는? [2점]

12

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① [eqn: (-1,```-1)]	② [eqn: (-1,```1)]	③ [eqn: (-1,```2)]

④ [eqn: (1,```-1)]	⑤ [eqn: (1,```2)]

2. [eqn: sin` theta = {1} over {3} `]일 때, [eqn: cos` LEFT ( ` theta +` {pi } over {2} ` RIGHT ) `]의 값은? [2점]

① [eqn: - {7} over {9}]	② [eqn: - {2} over {3}]	③ [eqn: - {5} over {9}]	④ [eqn: - {4} over {9}]	⑤ [eqn: - {1} over {3}]

3. [eqn: ` _{3`} rm H _{`5} `]의 값은? [2점]

① [eqn: 21]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 23]	④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 25]

4. [eqn: int _{0} ^{{pi } over {3}} {} tanx`cosx`dx`]의 값은? [3점]

① [eqn: {3} over {4}]	② [eqn: {4- sqrt {2}} over {4}]	③ [eqn: {4- sqrt {3}} over {4}]

④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: {4- sqrt {5} }over4]

5. 서로 독립인 두 사건 [eqn: A], [eqn: B``]에 대하여

[eqn: rm P LEFT ( it A }` RIGHT )` = {1} over {2}], [eqn: rm P( it A` SMALLINTER B`)`= {3} over {16}]
일 때, [eqn: rm P LEFT ( it B ^{`C`} ` RIGHT ) `]의 값은? (단, [eqn: B ^{`C} `]은 [eqn: B``]의 여사건이다.) [3점]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: 3 over 8]	③ [eqn: 1 over 2]	④ [eqn: 5 over 8]	⑤ [eqn: 3 over 4]

6. 매개변수 [eqn: theta`]로 나타내어진 함수

[eqn: {cases{`x=2`sin theta -1#`y=4`cos theta + sqrt {3}}}]
에 대하여 [eqn: theta= pi over3`]일 때, [eqn: dy overdx]의 값은? [3점]

① [eqn: -2 sqrt {3}]	② [eqn: -2root2]	③ [eqn: -root3]

④ [eqn: -root2]	⑤ [eqn: - root2 over2]

7. 그림과 같이 평면에 정삼각형 [eqn: rmABC`]와 [eqn: bar\CD` =1`]이고 [eqn: angle \ACD = pi over4`]인 점 [eqn: \D`]가 있다. 점 [eqn: \D`]와 직선 [eqn: rm BC] 사이의 거리는? (단, 선분 [eqn: \CD`]는 삼각형 [eqn: \ABC`]의 내부를 지나지 않는다.) [3점]

① [eqn: {sqrt {6} -root2} over {6}]	② [eqn: {sqrt {6} - sqrt {2}} over {4}]	③ [eqn: {sqrt {6} - sqrt {2}} over {3}]	④ [eqn: {sqrt {6} + sqrt {2}} over {6}]	⑤ [eqn: {sqrt {6} + sqrt {2}} over {4}]

8. 그림과 같이 어느 카페의 메뉴에는 서로 다른 [eqn: 3`]가지의 주스와 서로 다른 [eqn: 2`]가지의 아이스크림이 있다. 두 학생 [eqn: rmA], [eqn: rm B`]가 이 [eqn: 5`]가지 중 [eqn: 1`]가지씩을 임의로 주문했다고 한다. [eqn: rmA], [eqn: rm B`]가 주문한 것이 서로 다를 때, [eqn: rmA], [eqn: rm B`]가 주문한 것이 모두 아이스크림일 확률은? [3점]

① [eqn: 1over6]	② [eqn: 1over7]	③ [eqn: 1over8]	④ [eqn: 1over9]	⑤ [eqn: {1} over {10}]

[eqn: z]	[eqn: rm P(it0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

9. 어느 항공편 탑승객들의 [eqn: 1`]인당 수하물 무게는 평균이 [eqn: 15` rm kg`], 표준편차가 [eqn: 4` rm kg`]인 정규분포를 따른다고 한다.
이 항공편 탑승객들을 대상으로 [eqn: 16`]명을 임의추출하여 조사한 [eqn: 1`]인당 수하물 무게의 평균이 [eqn: 17` rm kg] 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]

① [eqn: 0.0228]	② [eqn: 0.0668]	③ [eqn: 0.1587]

④ [eqn: 0.3085]	⑤ [eqn: 0.3413]

10. Wi-Fi 네트워크의 신호 전송 범위 [eqn: d`]와 수신 신호 강도 [eqn: R`] 사이에는 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

[eqn: R`=k-10`log`d ^{``n}]

(단, 두 상수 [eqn: k`], [eqn: n`]은 환경에 따라 결정된다.)

어떤 환경에서 신호 전송 범위 [eqn: d`]와 수신 신호 강도 [eqn: R] 사이의 관계를 나타낸 그래프가 다음과 같다. 이 환경에서 수신 신호 강도가 [eqn: -65`]일 때, 신호 전송 범위는? [3점]

① [eqn: 10 ^{6over5]	② [eqn: 10 ^{{13} over {10}}]	③ [eqn: 10 ^{7over5]	④ [eqn: 10^{ 3over2}]	⑤ [eqn: 10 ^{8over5]

11. 두 평면 [eqn: x+root2 y-z=0], [eqn: z=0`]이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta`]라
할 때, [eqn: sin theta`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1over3]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: root3 over3]	④ [eqn: root2 over2]	⑤ [eqn: root3 over2]

12. 다음은 어느 회사의 직원 중 임의로 선택한 [eqn: 100`]명의 출근 소요 시간을 조사한 표이다.

소요 시간	인원수(명)
[eqn: 30]분 미만	[eqn: 4]
[eqn: 30]분 이상 [eqn: 60]분 미만	[eqn: 16]
[eqn: 60]분 이상 [eqn: 90]분 미만	[eqn: 50]
[eqn: 90]분 이상 [eqn: 120]분 미만	[eqn: 30]
합계	[eqn: 100]

이 결과를 이용하여 얻은 이 회사의 전체 직원 중 출근 소요 시간이 [eqn: 60]분 이상 [eqn: 120`]분 미만인 직원의 비율 [eqn: p`]에 대한 신뢰도 [eqn: 95`]%의 신뢰구간이 [eqn: a le p le b `]일 때, [eqn: 5000(b-a) `]의 값은?
(단, [eqn: Z `]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: rm P(` it |Z``| LEQ 1.96)=0.95`]로 계산한다.) [3점]

① [eqn: 392]	② [eqn: 784]	③ [eqn: 1176]	④ [eqn: 1568]	⑤ [eqn: 1960]

13. 함수 [eqn: f(x)= e^x+1 (x^2 +3x+1)]이 구간 [eqn: left(`a,``b`right)`]에서 감소할 때, [eqn: b-a`]의 최댓값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

14. 곡선 [eqn: x ^{2} +5xy-2y ^{2} +11=0] 위의 점 [eqn: (1,``4)`]에서의 접선과 [eqn: x`]축 및 [eqn: y`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

15. 길이가 [eqn: 5`]인 선분 [eqn: rmAB`]를 지름으로 하는 구 위에 점 [eqn: rmC`]가 있다. 점 [eqn: rmA`]를 지나고 직선 [eqn: rmAB`]에 수직인 직선 [eqn: l`]이 직선 [eqn: rmBC`]에 수직이다. 직선 [eqn: l] 위의 점 [eqn: rmD`]에 대하여 [eqn: rm {bar{BD}} =6], [eqn: rm {bar{CD}} =4`]일 때, 선분 [eqn: rmAC`]의 길이는? (단, 점 [eqn: rmC`]는 선분 [eqn: rm AB] 위에 있지 않다.)

[4점]

① [eqn: sqrt {3}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: root5]	④ [eqn: sqrt {6}]	⑤ [eqn: sqrt {7}]

16. 함수 [eqn: f(x)= {3 ^{`x}} over {3 ^{`x} +3} `]에 대하여 점 [eqn: LEFT ( `p,```q` RIGHT ) `]가 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점이면 실수 [eqn: p`]의 값에 관계없이 점 [eqn: (`2a-p`,```a-q)`]도 항상 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점이다. 다음은 상수 [eqn: a`]의 값을 구하는 과정이다.

점 [eqn: (`2a-p,``a-q)`]가 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점이므로

[eqn: {3 ^{`2a-p}} over {3 ^{`2a-p} +3} =a- {BOX{~(가)~}}]              [eqn: cdots cdots] ㉠

이다. ㉠은 실수 [eqn: p `]의 값에 관계없이 항상 성립하므로

[eqn: p=0`]일 때, [eqn: {3 ^{`2a}} over {3 ^{`2a} +3} =a- {1} over {4}]        [eqn: cdots cdots] ㉡

이고,

[eqn: p=1 `]일 때, [eqn: {3 ^{`2a}} over {3 ^{`2a} + {BOX{~(나)~}}} =a- {1} over {2}]  [eqn: cdots cdots] ㉢

이다. ㉡, ㉢에서

[eqn: LEFT ( 3 ^{`2a} +3 RIGHT ) LEFT ( 3 ^{`2a} + {BOX{~(나)~}} ` RIGHT ) `=24 TIMES 3 ^{`2a}]

이므로

[eqn: a= {1} over {2}] 또는 [eqn: a=box{~(다)`~}]

이다. 이때, ㉢에서 좌변이 양수이므로 [eqn: a> {1} over {2} `]이다.

따라서 [eqn: a=box{~(다)`~}`]이다.

위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: g(`p)`]라 하고 (나)와 (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: m], [eqn: n`]이라 할 때, [eqn: (m-n)timesg left( 2 right) `]의 값은? [4점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 9 over2]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 11over2]	⑤ [eqn: 6]

17. 밑면이 정오각형인 오각기둥 [eqn: \ABCDE-FGHIJ`]의 [eqn: 10`]개의 꼭짓점 중 임의로 [eqn: 3`]개를 택하여 삼각형을 만들 때, 이 삼각형의 어떤 변도 오각기둥 [eqn: \ABCDE-FGHIJ`]의 모서리가 아닐 확률은?

[4점]

① [eqn: 1 over6]	② [eqn: 1over5]	③ [eqn: 1over4]	④ [eqn: 1over3]	⑤ [eqn: 1over2]

18. [eqn: rm overline AB = 8], [eqn: rm overline BC = 6`]인 직사각형 [eqn: rm ABCD`]에 대하여
네 선분 [eqn: rm AB], [eqn: rm CD], [eqn: rm DA], [eqn: \BD`]의 중점을 각각 [eqn: rm E], [eqn: \F], [eqn: \G], [eqn: \H`]라 하자. 선분 [eqn: \CF`]를 지름으로 하는 원 위의 점 [eqn: \P`]에 대하여 [eqn: left|` vec { rmEG }+ vec { rm HP} `right|`]의 최댓값은? [4점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 2+2root10]	③ [eqn: 2+2root11]

④ [eqn: 2+4root3]	⑤ [eqn: 2+2root13]

19. 연속함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킬 때,
[eqn: int _{0} ^{a} {LEFT { `f(2x)+f(2a-x) RIGHT } `} dx`]의 값은? (단, [eqn: a`]는 상수이다.) [4점]

(가) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(a-x)=f(a+x)`]이다.

(나) [eqn: int _{0} ^{a} {f(x)`} dx=8]

① [eqn: 12]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 20]	④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 28]

20. 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1`]의 두 초점 [eqn: rm F(it6,~0)], [eqn: rm F'( it -6,~0)`]에 대하여 선분 [eqn: rmF'`F`]를 지름으로 하는 원이 있다. 타원과 원의 교점 중 제[eqn: `1`]사분면에 있는 점을 [eqn: rmP`]라 하자. 원 위의 점 [eqn: rmP`]에서의 접선이 [eqn: x`]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 [eqn: 5pi over6 `]일 때, 타원의 장축의 길이는? (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 [eqn: 0<} root2 b <a`]인 상수이다.) [4점]

① [eqn: 5+6root3]	② [eqn: 6+6 sqrt {3}]	③ [eqn: 7+6root3]

④ [eqn: 6+7root3]	⑤ [eqn: 7+7root3]

21. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(x)=f(-x)`]이다.

(나) 모든 양의 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f`'(x)>0`]이다.

(다) [eqn: lim _{x` -> `0} {`} `f(x)=0], [eqn: lim _{x`-> ` INF } {`} f(x)=pi]

함수 [eqn: g(x)= {sin`f(x)} over {x} `]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. 모든 양의 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: g(x)+g(-x)=0`]이다. ㄴ. [eqn: lim _{x` -> `0} {`} `g(x)=0] ㄷ. [eqn: f( alpha )= {pi} over {2}`][eqn: (`alpha >0`)`]이면 방정식 [eqn: LEFT | g(x) RIGHT | = {1} over {alpha } `]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2`]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단답형

22. 확률변수 [eqn: X``]가 이항분포 [eqn: rm B LEFT ( 10,`` {1} over {3} RIGHT ) ``]을 따를 때, [eqn: \V(it`6X`)`]의 값을 구하시오. [3점]

23. 함수 [eqn: f(x)`=`8x ^{2} `+1`]에 대하여 [eqn: int _{{pi } over {6}} ^{{pi } over {2}} {`f`prime(`sin`x)`cos`x``dx} `]의 값을 구하시오. [3점]

24. 함수 [eqn: f(x)=e ^{`x-1} `]의 역함수 [eqn: g(x)`]에 대하여
[eqn: lim _{h` -> `0} {{g(1+h)-g(1-2h)} over {h}} `]의 값을 구하시오. [3점]

25. 그림과 같이 [eqn: rm {bar{AB}} =15`]인 삼각형 [eqn: rm ABC`]에 내접하는 원의 중심을 [eqn: rm I`]라 하고, 점 [eqn: \I`]에서 변 [eqn: \BC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmD`]라 하자. [eqn: rm {bar{BD}} =8`]일 때, [eqn: rm {vec{BA} BULLET rm {vec{BI}} ``]의 값을 구하시오. [3점]

26. 장미 [eqn: 8`]송이, 카네이션 [eqn: 6`]송이, 백합 [eqn: 8`]송이가 있다. 이 중 [eqn: 1`]송이를 골라 꽃병 [eqn: \A`]에 꽂고, 이 꽃과는 다른 종류의 꽃들 중 꽃병 [eqn: \B`]에 꽂을 꽃 [eqn: 9`]송이를 고르는 경우의 수를 구하시오.
(단, 같은 종류의 꽃은 서로 구분하지 않는다.) [4점]

꽃병 [eqn: rm A]

꽃병 [eqn: rmB]

27. 그림과 같이 평면 [eqn: alpha] 위에 넓이가 [eqn: 27`]인 삼각형 [eqn: rm ABC`]가 있고, 평면 [eqn: beta] 위에 넓이가 [eqn: 35`]인 삼각형 [eqn: rm ABD`]가 있다. 선분 [eqn: rm BC`]를 [eqn: 1`:`2`]로 내분하는 점을 [eqn: rm P`]라 하고 선분 [eqn: \AP`]를 [eqn: 2`:`1`]로 내분하는 점을 [eqn: \Q`]라 하자. 점 [eqn: \D`]에서 평면 [eqn: alpha`]에 내린 수선의 발을 [eqn: \H`]라 하면 점 [eqn: \Q`]는 선분 [eqn: \BH`]의 중점이다. 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta`]가 이루는 각을 [eqn: theta`]라 할 때, [eqn: cos` theta = {q} over {p} `]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

28. 그림과 같이 [eqn: rm {bar{BC}} =1], [eqn: rm ANGLE A= {pi} over {2}], [eqn: rm ANGLE B= theta `][eqn: LEFT ( 0< theta < {pi } over {2} RIGHT ) `]인
삼각형 [eqn: rmABC`]가 있다. 선분 [eqn: rm AC] 위의 점 [eqn: rmD`]에 대하여
선분 [eqn: rmAD`]를 지름으로 하는 원이 선분 [eqn: rmBC`]와 접할 때, [eqn: lim _{theta ` -> `0+} {} {rm {bar{CD}} it} over {theta ^{`3}} =k``]라 하자. [eqn: 100k`]의 값을 구하시오. [4점]

29. 좌표공간에서 두 점 [eqn: rm A(0,``0,``2)], [eqn: rm`B(2,``4`,``-2)`]에 대하여
두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: rm {vec{OA}} BULLET {vec{OP}} `=`0], [eqn: LEFT | {vec{rm OP it}} RIGHT | =3`]

(나) [eqn: rm {vec{AB}} BULLET {vec{BQ}} `=`0], [eqn: LEFT | {vec{rm BQ it}} RIGHT | =2`]

[eqn: rm {vec{OP}} BULLET {vec{AQ}} ``]의 최댓값이 [eqn: a+b sqrt {5}]일 때, 두 유리수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: ab`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rm O]는 원점이다.) [4점]

30. [eqn: 1`]부터 [eqn: 9`]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 9`]개의 공이 주머니에 들어 있다. 이 주머니에서 공을 한 개씩 모두 꺼낼 때, [eqn: i`]번째 ([eqn: i=1], [eqn: 2], [eqn: CDOTS], [eqn: 9`]) 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 [eqn: a _{`i} `]라 하자. [eqn: 1<p<q<9`]인 두 자연수 [eqn: p], [eqn: q`]에 대하여 [eqn: a _{`i} `]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: 1 LEQ i<p`]이면 [eqn: a _{`i} <a _{`i+1} `]이다.

(나) [eqn: p LEQ i<q`]이면 [eqn: a _{`i} >a _{`i+1} `]이다.

(다) [eqn: q LEQ i<9`]이면 [eqn: a _{`i} <a _{`i+1} `]이다.

[eqn: a _{`1} =2], [eqn: a _{`p} =8`]인 모든 경우의 수를 구하시오. (단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.) [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.