[eqn: 4 ^{{1} over {2}} TIMES log` _{2} `8]의 값은? [2점]

2013학년도 11월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(A형)

제 2 교시

수학 영역(A형)

수학 영역(A형)

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{`1&``````-1`#`0&````````````1}}], [eqn: B```= {pmatrix{`2&``````0`#`1&``````2`}}]에 대하여 행렬 [eqn: A+2B`]의
모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

지수부등식 [eqn: 9 ^{x} LEQ 3 ^{x+4} `]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x]의 값의 합은? [2점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 21]

12

다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의
성분 중 [eqn: 0]의 개수는? [3점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

정의역이 [eqn: LEFT { x`|`-2 LEQ x LEQ 1 RIGHT }]인 함수 [eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x} -3]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M-m]의 값은? [3점]

① [eqn: {7} over {2}]	② [eqn: 4]	③ [eqn: {9} over {2}]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: {11} over {2}]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} =`4], [eqn: sum _{n=1} ^{10} (2a _{n} -1) ^{2} =34]일 때,
[eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} ^{````2`}]의 값은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

공비가 실수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: {a _{5}} over {a _{2}} `=`2], [eqn: a _{4} +a _{7} =12]

일 때, [eqn: a _{13}]의 값은? [3점]

① [eqn: 30]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 34]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 38]

실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: 27 ^{`x} =5], [eqn: 125 ^{`y} =9]일 때, [eqn: xy]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {9}]	② [eqn: {2} over {9}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {4} over {9}]	⑤ [eqn: {5} over {9}]

로그부등식 [eqn: LEFT ( log _{`2`} `x RIGHT ) ^{2} -log _{`2`} `x ^{6} +8 LEQ 0]을 만족시키는
자연수 [eqn: x]의 개수는? [3점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B`]가 다음 조건을 만족시킨다.
(단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.)

(가) [eqn: AB``+A=E]

(나) [eqn: AB`` {pmatrix{`1`#`2`}} `= {pmatrix{`0`#`3`}}]

[eqn: LEFT ( `B+E`` RIGHT ) {pmatrix{`x`#`y`}} `=B`` {pmatrix{`2`#`4`}}]를 만족시키는 두 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여
[eqn: x+y]의 값은? [3점]

① [eqn: -6]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 6]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: `n`]항까지의 합 [eqn: S _{n}]이 [eqn: S _{n} = {n(n+3)} over {2}]
일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{20} {1} over {a _{n} `a _{n+1}}]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {11}]	② [eqn: {2} over {11}]	③ [eqn: {3} over {11}]

④ [eqn: {4} over {11}]	⑤ [eqn: {5} over {11}]

추진제를 연소하여 가스가 분사됨에 따라 로켓의 질량은 감소하고, 로켓의 속력은 증가한다.
질량이 [eqn: m _{0}] ([eqn: rm t o n]), 속력이 [eqn: v _{0}] ([eqn: rmkm/]초)인 로켓이 비행하는 동안
질량이 [eqn: m] ([eqn: rm t o n]), 속력이 [eqn: v] ([eqn: rmkm/]초)로 변할 때, 다음 식이 성립한다고 한다.

[eqn: v=k alpha `log` LEFT ( {m _{0}} over {m} RIGHT ) `+v _{0}]

(단, [eqn: k]는 상수, [eqn: alpha]는 로켓에서 본 분사 가스의 속력을 나타내는
상수이고 단위는 [eqn: rm km/]초이다.)
질량이 [eqn: 200] ([eqn: rm t o n]), 속력이 [eqn: 2] ([eqn: rmkm/]초)인 로켓이 비행하는 동안
질량이 [eqn: 160] ([eqn: rm t o n]), 속력이 [eqn: 2.5] ([eqn: rmkm/]초)로 변하였고,
이후 질량이 [eqn: a] ([eqn: rm t o n]), 속력이 [eqn: 3] ([eqn: rmkm/]초)으로 변하였다.
이때, [eqn: a]의 값은? (단, 로켓은 직선 궤도를 따라 비행하고 로켓에는 가스 분사로 인한 힘만 작용한다.) [3점]

① [eqn: 122]	② [eqn: 125]	③ [eqn: 128]

④ [eqn: 131]	⑤ [eqn: 134]

[13~14] 세 지수함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{x}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =4 ^{x}], [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =2 ^{x+2}]의
그래프가 그림과 같다. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: y`=h LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y`=g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y`=f LEFT ( x RIGHT )]

함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 함수 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rm A], [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmB]라 하자. 점 [eqn: rmA]를 지나고  [eqn: x]축에 평행한 직선이 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rm C]라 할 때,
삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는? [3점]

① [eqn: 24]	② [eqn: 26]	③ [eqn: 28]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 32]

양수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: x=k]에서의 함숫값 [eqn: f LEFT ( k RIGHT )], [eqn: g LEFT ( k RIGHT )], [eqn: h LEFT ( k RIGHT )]를
크기 순서대로 나열하였을 때, 이 순서대로 등비수열을 이루는
[eqn: k]의 값은? [4점]

① [eqn: {2} over {5}]	② [eqn: {4} over {5}]	③ [eqn: {8} over {5}]

④ [eqn: {12} over {5}]	⑤ [eqn: {14} over {5}]

좌표평면에서 지수함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=a ^{x}]에 대하여
함수 [eqn: y`=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동시킨 후,
[eqn: x]축의 방향으로 [eqn: m]만큼 평행이동시키면 지수함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 된다.
이때, 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: y`=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 함수 [eqn: y`=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는
직선 [eqn: x=1]에 대하여 대칭이다.

(나) [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) `=16g LEFT ( 3 RIGHT )]

두 양수 [eqn: a], [eqn: m]에 대하여 [eqn: a+m]의 값은? [4점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

두 자연수 [eqn: A], [eqn: B`]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: log` {10A} over {B} `=3]

(나) [eqn: log`AB`]의 지표는 [eqn: 4]이다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: A=100B] ㄴ. [eqn: A]는 네 자리 자연수이다. ㄷ. [eqn: log`B`]의 가수를 [eqn: alpha]라 하면 [eqn: 0 LEQ alpha < {1} over {2}]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 함수 [eqn: f(x)=2 ^{x} -k], [eqn: g(x)=log _{`2} (x-2k)]의 그래프가
[eqn: x]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하고, 두 함수의 그래프의 점근선이 만나는 점의 좌표를 [eqn: LEFT ( `a,``b` RIGHT )]라 하자.
[eqn: rm bar{AB} `= it 2k-1]일 때, [eqn: 2a+b]의 값은? (단, [eqn: k> {1} over {2}]) [4점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 15]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: y]

[eqn: y`=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y`=g LEFT ( x RIGHT )]

모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: a _{1} =1]이고,

[eqn: n LEFT ( n+2 RIGHT ) `a _{n+1} ` ^{2} = sum _{k=1} ^{n} `a _{k} ` ^{2}] [eqn: LEFT ( n GEQ 1 RIGHT )]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n}]을 구하는 과정의 일부이다.

[eqn: a _{n} ` ^{2} =b _{n}], [eqn: sum _{k=1} ^{n} `a _{k} ` ^{2} =S _{`n}]이라 하면

[eqn: b _{1} =1], [eqn: n LEFT ( n+2 RIGHT ) b _{n+1} =S _{n}]

[eqn: b _{n} =S _{n} -S _{n-1}][eqn: LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]이고, [eqn: b _{1} =1], [eqn: b _{2} = {1} over {3}]이므로
모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: b _{n+1} = BOX{~~ LEFT ( 가 RIGHT ) _{`} ^{{} ^{`}} ~~} `` TIMES b _{n}] [eqn: CDOTS CDOTS LEFT ( ＊ RIGHT )]

[eqn: LEFT ( ＊ RIGHT )]의 [eqn: n]에 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots`], [eqn: n-1]을 차례로 대입하여 얻어진

[eqn: LEFT ( n-1 RIGHT )]개의 등식을 변끼리 곱하여 정리하면
[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: b _{n} = BOX{~~(나) _{`} ^{{} ^{`}} ~~} `]

[eqn: VDOTS]

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )], [eqn: g LEFT ( n RIGHT )]이라 할 때, [eqn: {f LEFT ( 11 RIGHT )} over {g LEFT ( 12 RIGHT )}]의 값은? [4점]

① [eqn: 66]	② [eqn: 67]	③ [eqn: 68]

④ [eqn: 69]	⑤ [eqn: 70]

그림과 같이 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=log _{`2} ` LEFT ( x-4 RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `=log _{`4} `x]의
그래프가 만나는 점을 [eqn: rmA], 점 [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이
함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `=log _{`2} `x]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rm B], 점 [eqn: rmB]를 지나고
[eqn: y]축에 평행한 직선이 함수 [eqn: y`=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 만나는 점을
[eqn: rmC]라 하자.
또한, 점 [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 함수 [eqn: y`=h LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rmD], 점 [eqn: rmD]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이
함수 [eqn: y`=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rmE]라 하자.
두 삼각형 [eqn: rmABC], [eqn: rm AED]의 넓이를 각각 [eqn: S _{`1}], [eqn: S _{`2}]라 할 때,
[eqn: {S _{`1}} over {S _{`2}}]의 값은? [4점]

[eqn: y`=g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y`=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y`=h LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: rmA]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {5} over {12}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {7} over {12}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B`]가

[eqn: AB``+B``=A], [eqn: ABA``-A ^{2} =E` _{{} _{`}}]

를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: AB```=BA] ㄴ. [eqn: A ^{3} B ^{`3} ``=E] ㄷ. [eqn: LEFT ( A-E` RIGHT ) ^{30} =`-3 ^{15} E]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: A]가 있다. 그림과 같이 새로 그리는 정사각형의 한 변이 [eqn: A]의 한 변과 평행하도록 다음 [단계]에 따라
정사각형을 그린다.

[단계 [eqn: 1]] 정사각형 [eqn: A]의 각 꼭짓점을 한 꼭짓점으로 하고 한 변의 길이가 [eqn: {1} over {2}]인 정사각형을 [eqn: A]와 한 점에서만 만나도록 각각 그려 그림 [eqn: A _{1}]을 얻는다.

[단계 [eqn: 2]] [단계 [eqn: 1]]에서 새로 그린 정사각형의 꼭짓점 중
다른 정사각형과 만나지 않은 각 꼭짓점을 한 꼭짓점으로  하고, 한 변의 길이가 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2}]인 정사각형을 [eqn: A _{1}]과
한 점에서만 만나도록 각각 그려 그림 [eqn: A _{2}]를 얻는다.

[eqn: VDOTS _{{} _{`}} ^{{} ^{`}}]

[단계 [eqn: n]] [단계 [eqn: n-1]]에서 새로 그린 정사각형의 꼭짓점 중
다른 정사각형과 만나지 않은 각 꼭짓점을 한 꼭짓점으로 하고, 한 변의 길이가 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n}]인 정사각형을 [eqn: A _{n-1}]과
한 점에서만 만나도록 각각 그려 그림 [eqn: A _{n}]을 얻는다.

[eqn: cdots]

[eqn: A]

[eqn: A _{1}]

[eqn: A _{2}]

자연수 [eqn: n]에 대하여 그림 [eqn: A _{n}]의 정사각형의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 하자. 예를 들어, [eqn: a _{1} `=`5], [eqn: a _{2} `=`17]이다. [eqn: {a _{15} +1} over {a _{10} +1}]의 값은? [4점]

① [eqn: 237]	② [eqn: 240]	③ [eqn: 243]

④ [eqn: 246]	⑤ [eqn: 249]

단 답 형

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =1]이고,

[eqn: a _{n+1} =`a _{n} +3] ([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots`])

을 만족시킨다. [eqn: a _{30}]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: `2 ^{`a-1} +2 ^{`-a} =3]일 때, [eqn: 4 ^{a-1} +4 ^{-a}]의 값을 구하시오. [3점]

두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{`1``````&1`#`1``````&2``}}], [eqn: B```= {pmatrix{`a``````&0`#`1``````&a`}}]에 대하여 이차정사각행렬 [eqn: C`]가 [eqn: AB```=CA]를 만족시킨다. 행렬 [eqn: C`]의 모든 성분의 합이 [eqn: 9]일 때,
상수 [eqn: a]의 값을 구하시오. [3점]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm O( it `0,``0)], [eqn: ` rm A( it sqrt {23} ,``log` _{2} `k`)]에 대하여
선분 [eqn: rm OA]를 [eqn: 1`:3`]으로 내분하는 점을 [eqn: rm B]라 하자.
[eqn: rm bar{OB} ``= sqrt {2}]를 만족시키는 모든 양수 [eqn: k]의 값의 합을 [eqn: S`]라 할 때,
[eqn: 8S`]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: x]에 대한 이차방정식

[eqn: x ^{2} - LEFT ( 2n+1 RIGHT ) x+n LEFT ( n+1 RIGHT ) `=0`]

의 두 근을 [eqn: a _{n} `], [eqn: b _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} ` LEFT ( 1-a _{n} RIGHT ) LEFT ( 1-b _{n} RIGHT )]의 값을 구하시오.

[4점]

다음 순서도에서 인쇄되는 [eqn: a]의 값을 구하시오. [4점]

시작

[eqn: n`` & larrow `` & 1# a``` & larrow `` & 1]

[eqn: a``` larrow ``2a+n]

[eqn: n``=`5`?]

[eqn: a]를 인쇄

끝

[eqn: n``` larrow ```n+1]

아니오

예

첫째항이 [eqn: 1]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: a _{2} +a _{6} +a _{10} =8]

(나) [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{n} `=`25]

이때, [eqn: n]의 값을 구하시오. [4점]

좌표평면에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=a ^{x} - {5} over {4}] ([eqn: `a>1])의 그래프와
그 역함수의 그래프가 만나는 두 점을 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자.
선분 [eqn: rmAB]의 중점이 원점일 때, [eqn: a ^{3} `]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: x], [eqn: y]에 대한 연립일차방정식

[eqn: {cases{ax+by=p _{{} _{{} _{}}}#cx+dy=q ^{{} ^{{} ^{}}}}}]  ([eqn: `a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: p], [eqn: q]는 실수)

가 오직 한 쌍의 해 [eqn: x= alpha], [eqn: y= beta `]를 가질 때,
연립일차방정식 [eqn: {pmatrix{`b&``````a`#`d&``````c`}} {pmatrix{`x`#`y`}} `= {pmatrix{`p`#`q`}}]의 해는 [eqn: x=x _{1}], [eqn: y=`y _{1}]이고 연립일차방정식 [eqn: {pmatrix{`b&``````a`#`d&``````c`}} {pmatrix{`x`#`y`}} `= {pmatrix{`-p`#`-q`}}]의 해는 [eqn: x=x _{2}], [eqn: y=`y _{2}]이다.  좌표평면 위의 세 점 [eqn: rm A it LEFT ( ` alpha ,`` beta ` RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( `x _{1} ,``y _{1} ` RIGHT )], [eqn: rm C it LEFT ( `x _{2`} ,``y _{2} ` RIGHT )]에 대하여 [eqn: rm bar{BC} `=20]일 때, 삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이의 최댓값을 구하시오.
(단, [eqn: LEFT | ` alpha ` RIGHT | ` != LEFT | ` beta ` RIGHT |]) [4점]

※ 확인사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.