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2005학년도 6월 고2 전국연합학력평가

정답 및 해설

수리 영역

“가형”정답

1	④	2	⑤	3	③	4	②	5	①
6	②	7	②	8	⑤	9	③	10	③
11	①	12	⑤	13	⑤	14	③	15	⑤
16	②	17	④	18	①	19	③	20	④
21	④	22	9	23	2	24	12	25	26
26	3	27	16	28	4	29	6	30	24

해설

1. [출제의도] 집합의 포함관계 이해하기

① [eqn: phi⊂A]

② [eqn: LEFT{ {1,2 } RIGHT } ⊂A]

③ [eqn: LEFT{2,3 RIGHT } ⊄A]

⑤ [eqn: A-B= LEFT{ -1,0,1 RIGHT }]

2. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 계산하기

[eqn: {1} over {log _{2} 36} + {1} over {log _{3} 36}]

[eqn: =log _{36} 2`+log _{36} 3`]

[eqn: =log _{36} `6`]

[eqn: = {1} over {2}]

3. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 계산하기

[eqn: `( ^{3} sqrt {2 ^{4}} ) ^{{3} over {2}} TIMES ( {sqrt {2}} ) ^{{1} over {2}} ÷ {` ^{4} sqrt {2}}]

[eqn: =2 ^{{4} over {3} TIMES {3} over {2}} TIMES 2 ^{{1} over {2} TIMES {1} over {2}} DIVIDE 2 ^{ {1} over {4}}]

[eqn: =2 ^{2+ {1} over {4} - {1} over {4}][eqn: =4]

4. [출제의도] 두 복소수의 서로 같은 성질을 이용하여 복소수 계산하기

[eqn: LEFT( { x+i} RIGHT) LEFT( { y+i} RIGHT)= LEFT( { 1+i} RIGHT)^4]

[eqn: (xy-1)+(x+y)i=-4]

[eqn: xy-1=-4,``~x+y=0``]

∴[eqn: x ^{2} +y ^{2} & =0 ^2`{-`2 {(-3)}}`=`6~]

5. [출제의도] 지표와 가수의 성질을 이용하여 문제 해결하기

[eqn: log_10 A=n+ alpha]  [eqn: LEFT( ~n은 ~정수,~ { { 1} over { 2} < alpha< 1`} RIGHT)]

[eqn: {log_10 {1 }over A^2 } }][eqn: = -2log _{10} A =-2n-2 alpha]

조건으로부터 [eqn: -2< -2 alpha< -1] 이므로

[eqn: {log_10 {1 }over A^2 } } =(-2n-2) +(2-2 alpha)]

따라서 [eqn: LEFT[ { {log_10 {1 }over A^2 } } } RIGHT ]=-2n-2]

6. [출제의도] 연립방정식을 행렬로 표현하기

두 연립방정식을 각각 행렬로 표현하면

[eqn: pmatrix { x_{ 1 } # x_{ 2 } } = pmatrix { 0 & 2 & 1 # 1 & 2 & 0 } pmatrix { y_{ 1 } # y_{ 2 } # y_{ 3 } }]

[eqn: pmatrix { y_{ 1 } # y_{ 2 } # y_{ 3 } } = pmatrix {``````` 1 & ``````2 # ```````2 & -1 # -1 &`````` 1 } pmatrix { z_{ 1 } # z_{ 2 } } ``]

[eqn: pmatrix { x_{ 1 } # x_{ 2 } } = pmatrix { 0 & 2 & 1 # 1 & 2 & 0 } pmatrix { ``````1 & ``````````2 # ```````2 & ````-1 # -1 & ``````````1 } pmatrix { z_{ 1 } # z_{ 2 } } = pmatrix { 3 & ```-1 # 5 & ``````````0 } pmatrix { z_{ 1 } # z_{ 2 } }]

∴[eqn: A= pmatrix { 3 & ````-1 # 5 & ```````````0 }]

(별해)

대입하여 정리하면

[eqn: x_1 =2(2z_1 -z_2 ) +(-z_1 +z_2 ) =3z_1 -z_2]

[eqn: x_2 =(z_1 +2z_2 ) +2(2z_1 -z_2 ) =5z_1]

[eqn: pmatrix { x_{ 1 } # x_{ 2 } } = pmatrix { 3 & ```-1 # 5 & ``````````0 } pmatrix { z_{ 1 } # z_{ 2 } }]

∴[eqn: A= pmatrix { 3 & ````-1 # 5 & ```````````0 }]

7. [출제의도] 로그의 성질을 이용한 지수 계산하기

[eqn: A=4k,`B=5k,`C=2k``(k>0)``]라고 하면

(준식) [eqn: = 3^{2log_3 4k`+`log_3 5k`-3log_3 2k]

[eqn: =3^{log_3 10} =10]

8. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 실수의 대소관계 이해하기

[eqn: A=2 ^{{1} over {2}}]이면  [eqn: A ^{18} =(2 ^{{1} over {2}} ) ^{18} `=`2 ^{9} `=512]

[eqn: B=3 ^{{1} over {3}}]이면  [eqn: B ^{18`} =(3 ^{{1} over {3}} ) ^{18} `=3 ^{6} `=729]

[eqn: C=9 ^{{1} over {9}}]이면  [eqn: C ^{18} =(9 ^{{1} over {9}} ) ^{18} `=9^2 =81]

∴[eqn: C<A<B]

9. [출제의도] 자연수의 성질을 이용하여 증명하기

[eqn: A ^{2} = pmatrix{1&a#a ^{2}&a ^{3}} pmatrix{1&a#a ^{2}&a ^{3}} = pmatrix{1+a ^{3}&a+a ^{4}#a ^{2} +a ^{5}&a ^{3} +a ^{6}}``]이므로

[eqn: A^2]의 모든 성분의 합은

[eqn: (1+a ^{3} )+(a+a ^{4}) +(a ^{2} +a ^{5}) +(a ^{3} +a ^{6})]

[eqn: =(1+a^3 )(1+a+a ^{2} +a ^{3} )]

자연수 [eqn: a]가 홀수이므로

[eqn: 1+ a ^{3}] 과 [eqn: 1+a+a ^{2} +a ^{3}]은 모두 짝수이다.

따라서 [eqn: A ^{2}]의 모든 성분의 합은 [eqn: 4]의 배수가 된다.

10. [출제의도] 복소수와 제곱근의 성질 이해하기

ㄷ. [eqn: i ^{4n+2} ``=`i ^{4n} ・ i ^{2} =-1]

11. [출제의도] 삼각함수를 이용하여 수학 외적인 상황의 문제 해결하기

[eqn: rm barBD`` :`` rm barDC = 3:4``]이므로 [eqn: rmbarAD]는 [eqn: rm ANGLEA]의 이등분선이 된다.

[eqn: TRIANGLE rm ABC`=` TRIANGLE rm ABD`+` TRIANGLE rm ADC`]

[eqn: {1} over {2} TIMES 15 TIMES 20 TIMES sin120 DEG]

[eqn: =` {1} over {2} TIMES 15 TIMES rm bar{AD} TIMES sin60 DEG]

[eqn: +` {1} over {2} TIMES 20 TIMES rm bar{AD} TIMES sin60 DEG]

그러므로  [eqn: rm bar{AD} `=` { 60} over {7 }]

12. [출제의도] 삼각함수의 성질을 이용하여 삼각함수 계산하기

[eqn: 0<A< pi ,~~`0<B< pi]일 때,

[eqn: sinA=sinB]이므로 [eqn: A+B= pi ``]이다.

ㄱ.[eqn: sin {A+B} over {2} =sin {pi } over {2} =1]

ㄴ.[eqn: sin {A } over {2 } - cos { B} over {2 }]

[eqn: =sin {A } over { 2} - cos LEFT( { { pi} over { 2} - {A } over { 2}} RIGHT)]

[eqn: =sin {A} over { 2} -sin {A } over {2 }]

[eqn: =0]

ㄷ.[eqn: tanA+tanB]

[eqn: =tanA+tan( pi -A)]

[eqn: =tanA-tanA]

[eqn: =0]

13. [출제의도] 무리함수의 그래프를 이해하여 유리함수의 그래프 나타내기

[eqn: y=a SQRT {bx+c }``]의 그래프에서

[eqn: a<0,~b<0,``~c>0] 이다.

따라서 [eqn: y`=` {b} over {x+a} +c``]은

점근선이 [eqn: x=-a>0,````y=c>0``]이고,

[eqn: `b<0``]인 그래프이다.

14. [출제의도] 행렬과 역행렬의 관계를 이해하여 문제 해결하기

[eqn: A-E``=`` LEFT ( {a-1} atop {``c} {``b} atop {d-1} `` RIGHT )``]이

역행렬을 갖지 않으므로

[eqn: (a-1)(d-1)-bc=0]

[eqn: ad-bc=a+d-1 CDOTS ㉠]

[eqn: LEFT ( {a} atop {d} {-1} atop {```````1} `` RIGHT )``]이 역행렬을 갖지 않으므로

[eqn: a+d=0 CDOTS ㉡]

㉠과 ㉡에서

[eqn: ad-bc=-1``]…㉢

㉡, ㉢에서

[eqn: a^2 +bc=1], [eqn: ab+bd=0]

[eqn: ac+cd=0], [eqn: bc+d^2 =1]

[eqn: A``=`` LEFT ( {a} atop {c} {b} atop {d} `` RIGHT )``]에서

[eqn: A^2``=`` LEFT ( {a} atop {c} {b} atop {d} `` RIGHT )LEFT ( {a} atop {c} {b} atop {d} `` RIGHT )]

[eqn: =` LEFT ( {a ^{2} +bc} atop {ac+cd} ` {ab+bd} atop {bc+d ^{2}} `` RIGHT )]

[eqn: =` LEFT ( {1} atop {0} ` {0} atop {1} `` RIGHT )=E]

따라서 [eqn: A^3 = A]

(별해)

케일리-해밀턴의 정리에 의하여

[eqn: A ^{2} -(a+d)A+(ad-bc)E=0]

[eqn: A ^{2} -E=0]

[eqn: A ^{2} =E]

∴[eqn: A ^{3} =A]

15. [출제의도] 원의 중심이동 거리 구하기

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: {pi } over {3}]

[eqn: rm O]

직선으로 움직인 거리

[eqn: (4- sqrt {3})×2 =2(4- sqrt {3})]

곡선으로 움직인 거리

[eqn: l =r theta= 2 TIMES {5} over {3} pi = {10} over {3} pi ``]

그러므로 [eqn: {10} over {3} pi +2(4- sqrt {3})``]이다.

16.  [출제의도] 상용로그를 이용하여 문제 해결하기

[eqn: n]시간 후 소금물의 농도가 2배 이상이 되려면

[eqn: a over {100(1-0.1)}^n ×100≧2a]

[eqn: 100(0.9) ^{n} <= 50``]

[eqn: n≧ {-log2}over{2log3-1} =6.5rm xx]

최소의 자연수 [eqn: n]은 [eqn: 7]이다.

17. [출제의도] 정의된 함수를 이해하고 문제 해결하기

[eqn: 2f`(x)+f`(1-x)=3x ^{2}]   …㉠

㉠에[eqn: x]대신에[eqn: 1-x]를 대입하면,

[eqn: 2f`(1-x)+f`(x)=3(1-x) ^{2}]…㉡

㉠, ㉡를 연립하여 풀면

[eqn: f`(x)=x ^{2} +2x-1]

[eqn: =(x+1) ^{2} -2]

그러므로

ㄱ.[eqn: f`(0)=-1]

ㄴ.[eqn: f`(x)``]의 최소값은[eqn: -2]

ㄷ. 대칭축이 [eqn: x=-1]이므로

[eqn: f`(x)=f`(-2-x)``]가 성립한다.

18. [출제의도] 부등식의 영역을 이용한 행렬의 성분 구하기

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: 2]

[eqn: 2]

[eqn: ‑2]

[eqn: ‑2]

구하고자 하는 어두운 부분의 영역의 넓이는 [eqn: 8-2pi]

19. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 수학 외적인 상황의 문제 해결하기

[eqn: 2]월의 쓰레기 양 [eqn: 800=W _{0} LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{kt}]

6월의 쓰레기 양

[eqn: 600=W _{0} LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{k(t+4)} =W _{0} LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{kt} LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{4k}]이므로

[eqn: 600=800 LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{4k}]

그러므로 [eqn: k= {1} over {4}]

20. [출제의도] 대칭을 이용하여 공이 움직인 거리 구하기

					'

[eqn: rm `B prime]

[eqn: rm `A]

[eqn: rm `C]

[eqn: rm `P]

[eqn: rm `Q]

[eqn: rm `C prime]

[eqn: rm `B]

[eqn: rm `Q prime]

[eqn: rm P -> A -> B -> C -> Q``]의 길이는

[eqn: rm P -> A -> B prime -> C prime -> Q prime ``]의 길이와 같다.

따라서 가로의 길이 6, 세로의 길이 7인 직사각형의 대각선 길이이므로 [eqn: sqrt {85}``]이다.

21. [출제의도] 행렬의 여러 가지 성질 이해하기

ㄱ. 일반적으로 [eqn: AB =O] 이라 해서

[eqn: A=O]  또는 [eqn: B=O] 은 아니다.

(반례) [eqn: A``=`` LEFT ( {-1} atop {``2} {1} atop {0} `` RIGHT )]

ㄴ. [eqn: AB+A=E``]에서 [eqn: A(B+E)=E``]이므로

[eqn: A]의 역행렬은 [eqn: B+E``]이다.

ㄷ. [eqn: AB=E``] 이면 [eqn: B=A^{-1}, ```BA=E``]이다.

[eqn: (A-B) ^{2} `+2E]

[eqn: =A ^{2} -AB-BA+B ^{2} +2E]

[eqn: =A ^{2} +B ^{2}]

22.【출제의도】행렬의 곱과 역행렬 계산하기

[eqn: A``=`` LEFT ( {2} atop {3} {1} atop {2} RIGHT )],  [eqn: B``=`` LEFT ( {-1} atop {```````2} {1} atop {1}` RIGHT )]

[eqn: A ^{-1} ``=`` LEFT ( {```````2} atop {-3} {-1} atop {``````2} RIGHT )], [eqn: AB `` =``LEFT ( {0} atop {1 } {3} atop {5 }} RIGHT )]

[eqn: A^{-1} +`AB`` =``LEFT ( {```````2} atop {-2 } {````2} atop {````7 }} RIGHT )]

∴[eqn: 2+2-2+7=9]

23.【출제의도】합성함수의 함수값 구하기

[eqn: f ^{-1} (-3)=k``] 라 놓으면

[eqn: f(k)=-3``]이므로 [eqn: k=-1``]이다.

그러므로 [eqn: g ( f^-1 (-3))]

[eqn: =g(-1)]

[eqn: =2]

24.【출제의도】함수의 뜻을 알고 함수의 개수 구하기

[eqn: f`(-1)!=-1],[eqn: f`(1)!=1]이므로

[eqn: X]의 원소 [eqn: -1,~0,~1]에 대응할 수 있는 경

우의 수가 각각 [eqn: 2,~3,~2]가지이다.

∴[eqn: 2×3×2=12]

(별해)

함수[eqn: f]의 개수는 모두[eqn: 27]개이다.

i)[eqn: f`(-1)=-1]인 함수의 개수는[eqn: 9]개

ii)[eqn: f`(1)=1]인 함수의 개수는[eqn: 9]개

iii)[eqn: f`(-1)=-1],[eqn: f`(1)=1]인

함수의 개수는[eqn: 3]개이다.

∴ [eqn: 27-(9+9-3)=12]

25. 【출제의도】지수법칙을 이용하여 계산하기

[eqn: {8^x +8^-x }over {2^x +2^-x}]

[eqn: ={(2^x +2^-x )(4^x -2^x ・2^-x +4^-x ) }over {2^x +2^-x]

[eqn: =4^x -1 +4^-x ~]

[eqn: =5-1+ { 1} over {5 }= { 21} over { 5}]

26.【출제의도】선분의 내분점, 외분점을 활용하여 문제 해결하기

[eqn: rmO(0,`0)],  [eqn: rmO prime (4,`0) ``] 이라 놓으면

[eqn: rm bar {O O prime }]를 [eqn: 3`:`1]으로 내분하는 점[eqn: rm P]와 [eqn: 3`:1`]로 외분하는 점[eqn: rm Q]는

[eqn: rm P LEFT ( {12+0} over {3+1} ,`0 RIGHT ) `= rm P(3,`0)]

[eqn: rm Q LEFT( {12-0 } over {3-1 },`0 RIGHT)`= rmQ(6,0)]

[eqn: TRIANGLE rmOPA``:`TRIANGLE rmOQB]

[eqn: =` rm bar{OP} ``:`` bar{OQ}][eqn: =``1`:`2]

∴ [eqn: m+n`=`3]

27.【출제의도】역행렬을 구하고 산술․기하평균을 이용한 최소값 구하기

[eqn: A^-1 =pmatrix {``8 over a `` & 3 # `5 &`` 2a`` }]

모든 성분의 합은

[eqn: 2a+ {8} over {a} +8 >= 2 sqrt {2a``․`` {8} over {a}} +8=16]

(등호는 [eqn: a=2`]일 때 성립)

28.【출제의도】근과 계수와의 관계를 이해하고 삼각형의 무게중심의 좌표를 이용한 기울기 구하기

두 교점을 [eqn: (`x _{1} ,``y _{1}` ),```(`x _{2} ,``y _{2}` )] 라 하면

[eqn: x^2 -6x =mx +n]

[eqn: x^2 -(m+6)x-n=0]의 두 근이 [eqn: x _{1} ,``x _{2}~] 이므로

근과 계수와의 관계에 의해

[eqn: x_1 +x_2 =m+6] 이다.

두 점 [eqn: (`x _{1} ,``y _{1}` ),```(`x _{2} ,``y _{2}` )] 와 [eqn: rmP`(`2,``5`)~]의

무게중심이 [eqn: (`4,``1`)]이므로

[eqn: { x_1 +x_2 +2} over { 3}=4] 에서 [eqn: x_1 +x_2 =10] 이므로

[eqn: m+6=10]

∴ [eqn: m=4]

29. [출제의도]지수법칙을 이용하여 로그 계산하기

[eqn: 1]이 아닌 세 자연수 [eqn: a,b,c]에 대하여

[eqn: a ^{2} =b ^{3} =c ^{4} =k] 를 만족하는 [eqn: k]는 [eqn: 2,`3,`4]의 최소공배수가 [eqn: 12]이므로

[eqn: k=2^12 ,~3^12 ,~4^12 ,~…]

따라서 [eqn: k]의 최소값은 [eqn: 2 ^{12}] 이므로 [eqn: p=2 ^12]

⇒ [eqn: ``log _{4} ``2 ^{12}][eqn: =6]

30.【출제의도】실생활과 관련된 수학 외적 문제 상황을 식으로 표현하기

[eqn: A]

[eqn: CDOTS]

[eqn: B]

[eqn: C]

[eqn: D]

[eqn: E]

[eqn: F]

[eqn: G]

[eqn: A]

[eqn: G]

[eqn: THEREFORE ` {2} over {7} = {1} over {4} + {1} over {28}]

따라서 [eqn: 28-4=24]

“나형”정답

1	④	2	⑤	3	③	4	②	5	①
6	④	7	②	8	⑤	9	②	10	③
11	①	12	⑤	13	⑤	14	②	15	⑤
16	②	17	④	18	⑤	19	③	20	④
21	③	22	41	23	2	24	12	25	26
26	3	27	6	28	4	29	6	30	24

해설

1. [출제의도] 집합의 포함관계 이해하기

① [eqn: phi⊂A]

② [eqn: LEFT{ {1,2 } RIGHT } ⊂A]

③ [eqn: LEFT{2,3 RIGHT } ⊄A]

⑤ [eqn: A-B= LEFT{ -1,0,1 RIGHT }]

2. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 계산하기

[eqn: {1} over {log _{2} 36} + {1} over {log _{3} 36}]

[eqn: =log _{36} 2`+log _{36} 3`]

[eqn: =log _{36} `6`]

[eqn: = {1} over {2}]

3. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 계산하기

[eqn: `( ^{3} sqrt {2 ^{4}} ) ^{{3} over {2}} TIMES ( {sqrt {2}} ) ^{{1} over {2}} ÷ {` ^{4} sqrt {2}}]

[eqn: =2 ^{{4} over {3} TIMES {3} over {2}} TIMES 2 ^{{1} over {2} TIMES {1} over {2}} DIVIDE 2 ^{ {1} over {4}}]

[eqn: =2 ^{2+ {1} over {4} - {1} over {4}][eqn: =4]

4. [출제의도] 두 복소수의 서로 같은 성질을 이용하여 복소수 계산하기

[eqn: LEFT( { x+i} RIGHT) LEFT( { y+i} RIGHT)= LEFT( { 1+i} RIGHT)^4]

[eqn: (xy-1)+(x+y)i=-4]

[eqn: xy-1=-4,``~x+y=0``]

∴[eqn: x ^{2} +y ^{2} & =0 ^2`{-`2 {(-3)}}`=`6~]

5. [출제의도] 지표와 가수의 성질을 이용하여 문제 해결하기

[eqn: log_10 A=n+ alpha]  [eqn: LEFT( ~n은 ~정수,~ { { 1} over { 2} < alpha< 1`} RIGHT)]

[eqn: {log_10 {1 }over A^2 } }][eqn: = -2log _{10} A =-2n-2 alpha]

조건으로부터 [eqn: -2< -2 alpha< -1] 이므로

[eqn: {log_10 {1 }over A^2 } } =(-2n-2) +(2-2 alpha)]

따라서 [eqn: LEFT[ { {log_10 {1 }over A^2 } } } RIGHT ]=-2n-2]

6. [출제의도] 이차방정식의 한 허근을 이용하여 함수값 구하기

[eqn: omega = {-1+ sqrt {3} i} over {2}]로부터

[eqn: 2 omega +1= sqrt {3} i]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: omega ^{2} + omega +1=0], [eqn: omega ^{3} =1]

따라서 [eqn: f(x)=x ^{2} +x+1]에서

[eqn: f( omega ^{4} + omega ^{5} )=f( omega + omega ^{2} )=f(-1)=1]

7. [출제의도] 로그의 성질을 이용한 지수 계산하기

[eqn: A=4k,`B=5k,`C=2k``(k>0)``]라고 하면

(준식) [eqn: = 3^{2log_3 4k`+`log_3 5k`-3log_3 2k]

[eqn: =3^{log_3 10} =10]

8. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 실수의 대소관계 이해하기

[eqn: A=2 ^{{1} over {2}}]이면  [eqn: A ^{18} =(2 ^{{1} over {2}} ) ^{18} `=`2 ^{9} `=512]

[eqn: B=3 ^{{1} over {3}}]이면  [eqn: B ^{18`} =(3 ^{{1} over {3}} ) ^{18} `=3 ^{6} `=729]

[eqn: C=9 ^{{1} over {9}}]이면  [eqn: C ^{18} =(9 ^{{1} over {9}} ) ^{18} `=9^2 =81]

∴[eqn: C<A<B]

9. [출제의도] 상용로그의 성질을 이용하여 문제 해결하기

[eqn: {a^2}{b^5}=44.67, ~{a^5}=10``]

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: 2loga+5logb=log44.67]

[eqn: 2loga+5logb=1.65 CDOTS ㉠]

[eqn: 5loga=log10=1]

[eqn: loga= {1} over {5} CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠]과[eqn: ㉡]에서

[eqn: {2} over {5} +5logb=1.65]

[eqn: 5logb=1.25]

[eqn: logb= {1} over {4}]이므로  [eqn: b=10 ^{{1} over {4}}]

∴ [eqn: b ^{4} =10]

10. [출제의도] 복소수와 제곱근의 성질 이해하기

ㄷ. [eqn: i ^{4n+2} ``=`i ^{4n} ・ i ^{2} =-1]

11. [출제의도] 삼각함수를 이용하여 수학 외적인 상황의 문제 해결하기

[eqn: rm barBD`` :`` rm barDC = 3:4``]이므로 [eqn: rmbarAD]는 [eqn: rm ANGLEA]의 이등분선이 된다.

[eqn: TRIANGLE rm ABC`=` TRIANGLE rm ABD`+` TRIANGLE rm ADC`]

[eqn: {1} over {2} TIMES 15 TIMES 20 TIMES sin120 DEG]

[eqn: =` {1} over {2} TIMES 15 TIMES rm bar{AD} TIMES sin60 DEG]

[eqn: +` {1} over {2} TIMES 20 TIMES rm bar{AD} TIMES sin60 DEG]

그러므로  [eqn: rm bar{AD} `=` { 60} over {7 }]

12. [출제의도] 삼각함수의 성질을 이용하여 삼각함수 계산하기

[eqn: 0<A< pi ,~~`0<B< pi]일 때,

[eqn: sinA=sinB]이므로 [eqn: A+B= pi ``]이다.

ㄱ.[eqn: sin {A+B} over {2} =sin {pi } over {2} =1]

ㄴ.[eqn: sin {A } over {2 } - cos { B} over {2 }]

[eqn: =sin {A } over { 2} - cos LEFT( { { pi} over { 2} - {A } over { 2}} RIGHT)]

[eqn: =sin {A} over { 2} -sin {A } over {2 }]

[eqn: =0]

ㄷ.[eqn: tanA+tanB]

[eqn: =tanA+tan( pi -A)]

[eqn: =tanA-tanA]

[eqn: =0]

13. [출제의도] 무리함수의 그래프를 이해하여 유리함수의 그래프 나타내기

[eqn: y=a SQRT {bx+c }``]의 그래프에서

[eqn: a<0,~b<0,``~c>0] 이다.

따라서 [eqn: y`=` {b} over {x+a } +c ``]은

점근선이 [eqn: x=-a>0,````y=c>0``]이고,

[eqn: `b<0``]인 그래프이다.

14. [출제의도] 귀류법을 이용하여 완성형 증명하기

[eqn: rmbar{OQ}=bar{OR}+bar{RQ}=bar{OR}+bar{RP}]

[eqn: r^{ 2 } =rm(bar{OR}-bar{RP})(bar{OR}+bar{RP})={bar{OR}}`` ^{ 2 } -{bar{RP}}``^{ 2 }]

[eqn: `=(r ^{2} - rm bar{RS} `` ^{2} )-( bar{PS} `` ^{2} - bar{RS} `` ^{2} )]

(피타고라스 정리에 의해)

[eqn: {barOR}= rm{{ barOP}+barOQ } over { 2 } ``> sqrt { barOP ・ barOQ`` }]

(산술・기하평균에 의해)

15. [출제의도] 원의 중심이동 거리 구하기

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: {pi } over {3}]

[eqn: rm O]

직선으로 움직인 거리

[eqn: (4- sqrt {3})×2 =2(4- sqrt {3})]

곡선으로 움직인 거리

[eqn: l =r theta= 2 TIMES {5} over {3} pi = {10} over {3} pi ``]

그러므로 [eqn: {10} over {3} pi +2(4- sqrt {3})``]이다.

16.  [출제의도] 상용로그를 이용하여 문제 해결하기

[eqn: n]시간 후 소금물의 농도가 2배 이상이 되려면  [eqn: a over {100(1-0.1)}^n ×100≧2a]

[eqn: 100(0.9) ^{n} <= 50``]

[eqn: n≧ {-log2}over{2log3-1} =6.5rm xx]

최소의 자연수 [eqn: n]은 [eqn: 7]이다.

17. [출제의도] 정의된 함수를 이해하고 문제 해결하기

[eqn: 2f`(x)+f`(1-x)=3x ^{2}]   …㉠

㉠에[eqn: x]대신에[eqn: 1-x]를 대입하면,

[eqn: 2f`(1-x)+f`(x)=3(1-x) ^{2}]…㉡

㉠, ㉡를 연립하여 풀면

[eqn: f`(x)=x ^{2} +2x-1]

[eqn: =(x+1) ^{2} -2]

그러므로,

ㄱ.[eqn: f`(0)=-1]

ㄴ.[eqn: f`(x)``]의 최소값은[eqn: -2]

ㄷ. 대칭축이 [eqn: x=-1]이므로

[eqn: f`(x)=f`(-2-x)``]가 성립한다.

18. [출제의도]】제이 코사인 법칙을 이용한 두 정육각형의 넓이의 비 구하기

[eqn: rm F _{1}]

[eqn: rm F _{2}]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: b]

[eqn: F_2]의 한변의 길이를 [eqn: b]라 할 때,

정육각형의 한 내각이 [eqn: 120 DEG]이므로

어두운 부분의 삼각형에서 제이 코사인법칙을 이용하여

[eqn: b ^{2} =2^2 +1^2 -2 ・2 ・1 ・left (- {1} over {2} right)=7]

[eqn: { S_2} over {S_1 }= {{sqrt {3}} over {4}・ {sqrt {7 }} ^2 ・ 6} over {{sqrt {3}} over {4} ・3 ^{2} ・ 6} = {7} over {9}]

∴ [eqn: { S_2} over {S_1 }= { 7} over { 9}]

(별해)

[eqn: F_1 ,~F_2]가 닮은 육각형이다.

변의 길이의 비는 [eqn: 3:sqrt7]이므로

넓이의 비는 [eqn: 9:7]이다.

∴ [eqn: { S_2} over {S_1 }= { 7} over { 9}]

19. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 수학 외적인 상황의 문제 해결하기

[eqn: 2]월의 쓰레기 양 [eqn: 800=W _{0} LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{kt}]

6월의 쓰레기 양

[eqn: 600=W _{0} LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{k(t+4)} =W _{0} LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{kt} LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{4k}]이므로

[eqn: 600=800 LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{4k}]

그러므로 [eqn: k= {1} over {4}]

20. [출제의도] 대칭을 이용하여 공이 움직인 거리 구하기

					'

[eqn: rm `B prime]

[eqn: rm `A]

[eqn: rm `C]

[eqn: rm `P]

[eqn: rm `Q]

[eqn: rm `C prime]

[eqn: rm `B]

[eqn: rm `Q prime]

[eqn: rm P -> A -> B -> C -> Q``]의 길이는

[eqn: rm P -> A -> B prime -> C prime -> Q prime ``]의 길이와 같다.

따라서 가로의 길이 6, 세로의 길이 7인 직사각형의 대각선 길이이므로 [eqn: sqrt {85}``]이다.

21. [출제의도]상용로그의 지표와 가수의 성질을 이용하여 계산하기

(가) [eqn: logx`=n+ alpha], [eqn: logy`=n+ beta]

[eqn: LEFT ( n은```정수,```0 <= alpha ＜1,``0 <= beta ＜1 RIGHT )]

(나) [eqn: alpha + beta =1]

(다) [eqn: log`x ^{4} y ^{3} =4logx`+3logy`]

[eqn: =4(n+ alpha )+3(n+ beta )]                       [eqn: =7n+3( alpha + beta )+ alpha]

[eqn: =7n+3+ alpha]

그런데 지표가 [eqn: 10]이므로 [eqn: n=1]

[eqn: log` xy=log`x`+log`y`=n+ alpha +n+ beta =3]

따라서 [eqn: xy=10 ^{3}]

22. [출제의도]근과 계수와의 관계를 이해하고 문제 해결하기

[eqn: alpha - beta + sqrt { alpha +3 beta } = 3+ sqrt { 7}``]이고,

[eqn: alpha,beta``]가 유리수이므로

[eqn: alpha - beta =3], [eqn: alpha + 3beta=7``]를 만족하는

[eqn: alpha=4,~beta=1]

근과 계수와의 관계에 의해

[eqn: alpha + beta=-a=5~], [eqn: alpha beta=b=4]

[eqn: THEREFORE a=-5,~b=4]

따라서 [eqn: a^2 +b^2 =25+16=41]

23. [출제의도] 합성함수의 함수값 구하기

[eqn: f ^{-1} (-3)=k``] 라 놓으면

[eqn: f(k)=-3``]이므로 [eqn: k=-1``]이다.

그러므로 [eqn: g ( f^-1 (-3))]

[eqn: =g(-1)]

[eqn: =2]

24.【출제의도】함수의 뜻을 알고 함수의 개수 구하기

[eqn: f`(-1)!=-1],[eqn: f`(1)!=1]이므로

[eqn: X]의 원소 [eqn: -1,~0,~1]에 대응할 수 있는 경

우의 수가 각각 [eqn: 2,~3,~2]가지이다.

∴[eqn: 2×3×2=12]

(별해)

함수[eqn: f]의 개수는 모두[eqn: 27]개이다.

i)[eqn: f`(-1)=-1]인 함수의 개수는[eqn: 9]개

ii)[eqn: f`(1)=1]인 함수의 개수는[eqn: 9]개

iii)[eqn: f`(-1)=-1],[eqn: f`(1)=1]인

함수의 개수는[eqn: 3]개이다.

∴ [eqn: 27-(9+9-3)=12]

25. [출제의도]지수법칙을 이용하여 계산하기

[eqn: {8^x +8^-x }over {2^x +2^-x}]

[eqn: ={(2^x +2^-x )(4^x -2^x ・2^-x +4^-x ) }over {2^x +2^-x]

[eqn: =4 ^{x} -2 ^{x`} `․``2 ^{-x} +4 ^{-x} `]

[eqn: =5-1+ { 1} over {5 }= { 21} over { 5}]

26. [출제의도]선분의 내분점, 외분점을 활용하여 문제 해결하기

[eqn: rmO(0,`0)],  [eqn: rmO prime (4,`0) ``] 이라 놓으면

[eqn: rm bar {O O prime }]를 [eqn: 3`:`1]으로 내분하는 점[eqn: rm P]와 [eqn: 3`:1`]로 외분하는 점[eqn: rm Q]는

[eqn: rm P LEFT ( {12+0} over {3+1} ,`0 RIGHT ) `= rm P(3,`0)]

[eqn: rm Q LEFT( {12-0 } over {3-1 },`0 RIGHT)`= rmQ(6,0)]

[eqn: TRIANGLE rmOPA``:`TRIANGLE rmOQB]

[eqn: =` rm bar{OP} ``:`` bar{OQ}][eqn: =``1`:`2]

∴ [eqn: m+n`=`3]

27. [출제의도]실수의 성질을 이용하여 로그  계산하기

[eqn: {a^2}+{b^2}+{c^2}-{ab}-{bc}-{ca}=0][eqn: { 1} over {2 } LEFT{ { (a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2} RIGHT }=0]

∴ [eqn: a=b=c]

[eqn: log _{a} ``bc+log _{b} ``ca+log _{c} ``ab]

[eqn: =2+2+2]

[eqn: =`6]

28. [출제의도]근과 계수와의 관계를 이해하고 삼각형의 무게중심의 좌표를 이용한 기울기 구하기

두 교점을 [eqn: (`x _{1} ,``y _{1}` ),```(`x _{2} ,``y _{2}` )] 라 하면

[eqn: x^2 -6x =mx +n]

[eqn: x^2 -(m+6)x-n=0]의 두 근이 [eqn: x _{1} ,``x _{2}~] 이므로

근과 계수와의 관계에 의해

[eqn: x_1 +x_2 =m+6] 이다.

두 점 [eqn: (`x _{1} ,``y _{1}` ),```(`x _{2} ,``y _{2}` )] 와 [eqn: rmP`(`2,``5`)~]의

무게중심이 [eqn: (`4,``1`)]이므로

[eqn: { x_1 +x_2 +2} over { 3}=4] 에서 [eqn: x_1 +x_2 =10] 이므로

[eqn: m+6=10]

∴ [eqn: m=4]

29. [출제의도]지수법칙을 이용하여 로그 계산하기

[eqn: 1]이 아닌 세 자연수 [eqn: a,b,c]에 대하여

[eqn: a ^{2} =b ^{3} =c ^{4} =k] 를 만족하는 [eqn: k]는 [eqn: 2,`3,`4]의 최소공배수가 [eqn: 12]이므로

[eqn: k=2^12 ,~3^12 ,~4^12 ,~…]

따라서 [eqn: k]의 최소값은 [eqn: 2 ^{12}] 이므로 [eqn: p=2 ^12]

⇒ [eqn: ``log _{4} ``2 ^{12}][eqn: =6]

30. [출제의도]실생활과 관련된 수학 외적 문제 상황을 식으로 표현하기

[eqn: A]

[eqn: CDOTS]

[eqn: B]

[eqn: C]

[eqn: D]

[eqn: E]

[eqn: F]

[eqn: G]

[eqn: A]

[eqn: G]

[eqn: THEREFORE ` {2} over {7} = {1} over {4} + {1} over {28}]

따라서 [eqn: 28-4=24]