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고 1

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2016학년도 6월 고1 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시              수학 영역

5지 선다형(1 ~ 21)

1. 두 다항식 [eqn: A= it 2x ^{2} +3xy+1`], [eqn: B= it 2x ^{2} +2xy-3 `]에 대하여 [eqn: A-B`]는? [2점]

① [eqn: xy+4]	② [eqn: xy +2]	③ [eqn: xy]

④ [eqn: xy-2]	⑤ [eqn: xy-4]

2. [eqn: (4+2i)+(1-3i)`]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1} `]이다.) [2점]

① [eqn: 3-i`]	② [eqn: 3+i]	③ [eqn: 4-i`]	④ [eqn: 5-i]	⑤ [eqn: 5`+i]

3. 다항식 [eqn: x ^{3} -ax+6`]이 [eqn: x-1`]로 나누어떨어지도록 하는 상수 [eqn: a`]의 값은? [2점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

4. 이차부등식 [eqn: x ^{2} +ax+b<0`]의 해가 [eqn: -1<x<5`]가 되도록 하는 두 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]의 곱 [eqn: a`b`]의 값은? [3점]

① [eqn: 20]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 30]	④ [eqn: 35]	⑤ [eqn: 40]

5. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 등식

[eqn: (x-1)(x+a)=b`x ^{2} -3x+2`]

가 성립할 때, [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: -1`]	② [eqn: -2`]	③ [eqn: -3`]	④ [eqn: -4`]	⑤ [eqn: -5`]

6. [eqn: { 2016^3 +1} over {2016^2 -2016+1 }`]의 값은? [3점]

① [eqn: 2016]	② [eqn: 2017]	③ [eqn: 2018]	④ [eqn: 2019]	⑤ [eqn: 2020]

7. [eqn: x`]에 대한 부등식

[eqn: LEFT | x-a RIGHT | <5]

를 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 최댓값이 [eqn: 12]일 때, 정수 [eqn: a`]의 값은?

[3점]

① [eqn: \4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

8. 다항식 [eqn: (x ^{2} -x) ^{2} +2x ^{2} -2x-15`]가 [eqn: (x ^{2} +ax+b)(x ^{2} +ax+c)`]로 인수분해될 때, 세 상수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]에 대하여 [eqn: a+b+c`]의 값은?

[3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

9. 삼차방정식

[eqn: x ^{3} +x ^{2} +x-3=0`]

의 두 허근을 [eqn: alpha`], [eqn: beta `]라 할 때, [eqn: (alpha-1)(beta -1)]의 값은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

10. 그림과 같이 모든 모서리 길이의 합이 [eqn: 20`]인 직육면체 [eqn: rmABCD-EFGH`]가 있다. [eqn: rmbarAG `=sqrt13`]일 때, 직육면체 [eqn: rmABCD-EFGH`]의 겉넓이는? [3점]

[eqn: rmB]

[eqn: rmA]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rmE]

[eqn: rmF]

[eqn: rmG]

[eqn: rmH]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

11. 연립일차방정식

[eqn: {x+y} over {4}` =`y-z`= `{z-x} over {2} `=``2`]

의 해를 [eqn: x=a`], [eqn: y=b`], [eqn: z=c`]라 할 때, 세 실수 [eqn: a`], [eqn: `b`], [eqn: c`]의 곱     [eqn: a`b`c`]의 값은?　[3점]

① [eqn: 25]	② [eqn: 30~]	③ [eqn: 35]	④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 45]

12. 사차방정식

[eqn: x^4 - 5x^3 +5x^2 +5x-6`=`0`]

의 네 실근 중 가장 작은 것을 [eqn: alpha`], 가장 큰 것을 [eqn: beta`]라 할 때,      [eqn: beta - alpha`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[13 ~ 14] 이차함수 [eqn: bold{f(x)=x ^{2} -2ax+5a}]의 그래프의 꼭짓점을 [eqn: bold{rmA`]라 하고, 점 [eqn: bold{rmA`]에서 [eqn: bold{x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: bold{rmB`]라 하자. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

(단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: a]는 [eqn: a != 0], [eqn: a != 5]인 실수이다.)

[eqn: RMA]

[eqn: RMB]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: RMO]

13. 이차함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프와 직선 [eqn: y=x`]가 오직 한 점에서 만나도록 하는 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 합은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

14. [eqn: 0<a<5`]일 때, [eqn: rm` barOB +rm {bar{AB}}`]의 최댓값은? [4점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

15. 복소수 [eqn: z`=` {`1`+`i`} over {sqrt {2}` i} `]에 대하여 [eqn: z ^{n} `` =1`]이 되도록 하는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1} `]이다.) [4점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

16. 한 변의 길이가 [eqn: 10`]인 정사각형 [eqn: rm`ABCD`]가 있다. 그림과 같이 정사각형 [eqn: rm`ABCD`]의 내부에 한 점 [eqn: rm`P`]를 잡고, 점 [eqn: rm`P`]를 지나고 정사각형의 각 변에 평행한 두 직선이 정사각형의 네 변과 만나는 점을 각각 [eqn: rm E`], [eqn: rm F`], [eqn: rm G`], [eqn: rm H`]라 하자.

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rmP]

[eqn: rmE]

[eqn: rmF]

[eqn: rmG]

[eqn: rmH]

직사각형 [eqn: rm`PFCG`]의 둘레의 길이가 [eqn: 28`]이고 넓이가 [eqn: 46]일 때, 두 선분 [eqn: rm` {{AE}} `]와 [eqn: rm ` {{AH}} `]의 길이를 두 근으로 하는 이차방정식은? (단, 이차방정식의 이차항의 계수는 [eqn: rm`1`]이다.) [4점]

① [eqn: x^2 -6x +4=0]	② [eqn: x^2 -6x +6=0]	③ [eqn: x^2 -6x +8=0]

④ [eqn: x^2 -8x +6=0]	⑤ [eqn: x ^{2} -8x+8=0]

17. 복소수 [eqn: z=a+b`i`]([eqn: a`], [eqn: b`]는 [eqn: 0]이 아닌 실수)에 대하여

[eqn: z `^2 -z`]가 실수일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: i=root-1`]이고, [eqn: {bar{z}} `]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: bar{ z ^{2} -z }`]는 실수이다. ㄴ. [eqn: z+barz `=1`] ㄷ. [eqn: z barz `> 1over4`]

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄴ]	③ [eqn: ㄱ,~ㄴ]

④ [eqn: ㄱ,~ㄷ]	⑤ [eqn: ㄱ,~ㄴ,~ㄷ]

18. 행성의 인력에 의하여 주위를 공전하는 천체를 위성이라고 한다.

행성과 위성 사이의 거리를 [eqn: r`](km), 위성의 공전 속력을 [eqn: v](km/sec), 행성의 질량을 [eqn: M`( rm kg)]이라고 할 때, 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

[eqn: M= {rv ^{2}} overG] (단, [eqn: G`]는 만유인력상수이다.)

행성 [eqn: A`]와 [eqn: A`]의 위성 사이의 거리가 행성 [eqn: B`]와 [eqn: B`]의 위성 사이의 거리의 [eqn: 45`]배일 때, 행성 [eqn: A`]의 위성의 공전 속력이

행성 [eqn: B`]의 위성의 공전 속력의 [eqn: 2over3]배이다. 행성 [eqn: A`]와 행성 [eqn: B`]의 질량을 각각 [eqn: M_A `], [eqn: M_B`]라 할 때, [eqn: M_A overM_B`]의 값은? [4점]

① [eqn: 4]      ② [eqn: 8]      ③ [eqn: 12]       ④ [eqn: 16]      ⑤ [eqn: 20]

19. 세 유리수 [eqn: a`], [eqn: b], [eqn: c`]에 대하여 [eqn: x`]에 대한 이차방정식	[eqn: a`x ^{2} + sqrt {3} b`x+c`=`0`]

의 한 근이 [eqn: alpha`=2+ sqrt {3}`]이다. 다른 한 근을 [eqn: beta `]라 할 때, [eqn: alpha `+` 1overbeta `]의 값은? [4점]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2root3]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2`root3]	⑤ [eqn: 4]

20. 다음은 [eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: ax ^{9} +bx ^{8} +1`]이 다항식 [eqn: x ^{2} -x-1`]로 나누어떨어지기 위한 정수 [eqn: a`], [eqn: b`]의 값을 구하는 과정의 일부이다.

방정식 [eqn: x ^{2} -x-1=0`]의 두 근을 [eqn: p`], [eqn: q`]라 하면

[eqn: p`+q=1`], [eqn: p`q`=`-1`]

이다.

따라서 [eqn: p ^{2} +q ^{2} =`` {BOX{``````(가)``````}}] , [eqn: p ^{4} +q ^{4} = {BOX{``````(나)`````}} `]이다.

[eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: ax ^{9} +bx ^{8} +1`]이 [eqn: x ^{2} -x-1`]로 나누어떨어지면

[eqn: ap ^{9} +bp ^{8} =`-1`]……[eqn: ①`]

[eqn: aq ^{9} +bq ^{8} =`-1`]……[eqn: ②`]

이다.

①, ②의 양변에 각각 [eqn: q ^{8} `], [eqn: p ^{8} `]을 곱하여 정리하면

[eqn: ap+b=-q ^{8}]……[eqn: ③]

[eqn: aq+b=-p ^{8}]……[eqn: ④]

이다.

③에서 ④를 뺀 식으로부터 [eqn: a(p-q)=p ^{8} -q ^{8} `]이고,

[eqn: p != q`]이므로 [eqn: a= {p ^{8} -q ^{8}} over {p-q} `]이다.

따라서 [eqn: a= {BOX{`````(다)`````}}]이다.

[eqn: vdots]

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: r`], [eqn: s`], [eqn: t`]라 할 때,    [eqn: r+s+t`]의 값은? [4점]

① [eqn: 27]	② [eqn: 29]	③ [eqn: 31]	④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 35]

21. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 부등식

[eqn: -x^2 +3x+2 le mx +n le x^2 -x+4`]

가 성립할 때, [eqn: m^ 2 +n^2 `]의 값은? (단, [eqn: m`], [eqn: n`]은 상수이다.) [4점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

단답형(22 ~ 30)

22. 등식 [eqn: a+2`i=4+(b-1)`i``]를 만족하는 두 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: i= root-1`]이다.) [3점]

23. [eqn: (6x+y-2z)`^2 `]의 전개식에서 [eqn: x`^2`]의 계수를 구하시오. [3점]

24. 연립부등식

[eqn: {cases{``x-1`ge 2 &#` x ^{2} -5x`le 0 &}}`]

의 해가 [eqn: alpha LEQ x LEQ beta`]이다. [eqn: alpha ^ 2``+ beta`^2`]의 값을 구하시오. [3점]

25. 이차방정식 [eqn: x ^{2`}+5x -2=0`]의 두 근을 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]라 할 때, [eqn: alpha^2 -5beta`]의 값을 구하시오. [3점]

26. 다항식 [eqn: f(x)`]를 [eqn: x-1`]로 나눈 몫은 [eqn: Q`(x)`], 나머지는 [eqn: 5`]이고, [eqn: Q`(x)`]를 [eqn: x-2`]로 나눈 나머지는 [eqn: 10`]이다. [eqn: f(x)`]를 [eqn: (x-1)(x-2)`]로 나눈 나머지를 [eqn: ax+b`]라 할 때, 두 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: 3`a+b]의 값을 구하시오. [4점]

27. 이차함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: f(x)=0`]의 두 근은 [eqn: `-2`]와 [eqn: 4`]이다.

(나) [eqn: 5 LEQ x LEQ 8`]에서 이차함수 [eqn: f(x)`]의 최댓값은 [eqn: 80]이다.

[eqn: f(`-5)`]의 값을 구하시오. [4점]

28. 세 학생 [eqn: A`], [eqn: B`], [eqn: C`]가 [eqn: 36`]개의 사탕을 다음의 단계에 따라 나누어 가지려고 한다.

(단계1) 학생 [eqn: A`]가 사탕 [eqn: p`]개를 가져와 [eqn: {1} over {2} p`]개는 자신이 가지고, 나머지 사탕은 두 학생 [eqn: B`], [eqn: C`]에게 같은 개수로 나누어준다.

(단계2) 학생 [eqn: B`]는 학생 [eqn: A`]가 가져가고 남은 사탕 중에서 [eqn: q`]개를 가져와 [eqn: {1} over {3} q`]개는 자신이 가지고, 나머지 사탕은 두 학생 [eqn: A`], [eqn: C`]에게 같은 개수로 나누어준다.

(단계3) 학생 [eqn: C`]는 학생 [eqn: A`], [eqn: B`]가 가져가고 남은 사탕 [eqn: r`]개를 가져와 [eqn: {1} over {4} r`]개는 자신이 가지고, 나머지 사탕은 두 학생 [eqn: A`], [eqn: B`]에게 같은 개수로 나누어준다.

위의 방법으로 사탕을 모두 나누어 가졌을 때, [eqn: A`], [eqn: B`], [eqn: C`]가 갖게 된 사탕의 개수는 각각 [eqn: 14`], [eqn: 12`], [eqn: 10`]개였다.

[eqn: p+2q`]의 값을 구하시오. [4점]

29. 그림과 같이 [eqn: angle`rmA=`90DEG`]이고 [eqn: rm {bar{AB}} `=6`]인 직각이등변삼각형 [eqn: rmABC`]가 있다. 변 [eqn: rmAB`] 위의 한 점 [eqn: rmP`]에서 변 [eqn: rm {{BC}}`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmrmQ]라 하고, 점 [eqn: rmP`]를 지나고 변 [eqn: rm {{BC}}`]와 평행한 직선이 변 [eqn: rmAC`]와 만나는 점을 [eqn: rmR`]라 하자. 사각형 [eqn: rmPQCR`]의 넓이의 최댓값을 구하시오.

(단, 점 [eqn: rmP`]는 꼭짓점 [eqn: rmA`]와 꼭짓점 [eqn: rmB`]가 아니다.) [4점]

[eqn: RMA]

[eqn: RMB]

[eqn: RMC]

[eqn: RMP]

[eqn: RMQ]

[eqn: RMR]

30. 그림과 같이 삼각형 [eqn: rmABC`]의 변 [eqn: rmAB`]와 변 [eqn: rmAC`]를 각각 지름으로 하는 두 원 [eqn: `O ` _{1} `], [eqn: O ` _{2} `]가 두 점 [eqn: rmA`], [eqn: rmD`]에서 만난다.

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: O_1]

[eqn: O_2]

[eqn: rm ` {bar{AD}} `], [eqn: rm ` {bar{AC}} `], [eqn: rm ` {bar{BC}} `], [eqn: rm ` {bar{AB}} `]가 이 순서대로 네 개의 연속된 짝수일 때, 두 원 [eqn: `O ` _{1} `], [eqn: O ` _{2} `]의 넓이의 합은 [eqn: S``]이다. [eqn: ` {S} over {pi } `]의 값을 구하시오.

[4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.