◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 선택 과목, 답을 표기할 때에는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점,  3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

2006학년도 11월 고1 전국연합학력평가 문제지

수리 영역

제 2 교시

성명			수험번호						1

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수리 영역

수리 영역

전체집합 [eqn: U``]에서 두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]를 만족하는 원소 전체의 집합을 각각 [eqn: P`], [eqn: Q`]라고 하자. [eqn: Q```subset P`]일 때, 항상 참인 명제는?   (단, [eqn: P != Q], [eqn: Q != phi]) [2점]

① [eqn: p`` -> ``q]

② [eqn: p`` -> `～`q]

③ [eqn: q`` -> ` SIM p]

④ [eqn: SIM q`` -> `p]

⑤ [eqn: SIM p`` -> ``～q]

8

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[eqn: a=root2 -1], [eqn: b=root2 +1]일 때, [eqn: 1 over a - 1 over b]의 값은? [2점]

① [eqn: {1 }over {2}]

②  [eqn: 1]

③ [eqn: 3 over 2]

④  [eqn: 2]

⑤ [eqn: 5 over 2]

전체집합 [eqn: U`]의 두 부분집합 [eqn: A`], [eqn: B`]에 대한 벤 다이어그램에서 어두운 부분을 집합으로 바르게 나타낸 것을 <보기>에서 모두 고르면? (단, [eqn: X ^{C}]은 [eqn: X]의 여집합이고, [eqn: A SMALLINTER B != phi]이다.) [3점]

[eqn: U]

[eqn: B]

[eqn: A]

		보 기
ㄱ. [eqn: (A CUP B)`-`(A SMALLINTER B)] ㄴ. [eqn: (A SMALLINTER B)` SMALLUNION `(A SMALLUNION B )^{ C}] ㄷ. [eqn: (A` CUP B^{ C}`` )` SMALLINTER `(B ``SMALLUNION A^ { C} ``)]

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 직선 [eqn: x+ky-1=0], [eqn: kx+(2k+3)y-3=0`]이 서로 평행할 때, 상수 [eqn: k`]의 값은? [3점]

① [eqn: -5]

② [eqn: -3]

③ [eqn: -1]

④   [eqn: 1]

⑤   [eqn: 3]

복소수 [eqn: z=` {1+i}]일 때, [eqn: LEFT ( z-{2} over {z} RIGHT ) ^2]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}])

[3점]

① [eqn: -4]

② [eqn: -2]

③   [eqn: 1]

④   [eqn: 2]

⑤   [eqn: 4]

[eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: (ax-1) ^{3} `]의 전개식에서 모든 항의 계수의 합이 [eqn: 64`]일 때, 실수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 2]

② [eqn: 3]

③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]

⑤ [eqn: 6]

다음은 ‘[eqn: 2006]보다 작은 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 2006]과 [eqn: n]이 서로소이면 [eqn: 2006]과 [eqn: 2006-n`]도 서로소이다.’를 증명한 것이다.

[증명]

‘[eqn: 2006]과 [eqn: 2006-n`]이  ’라고 가정하면

(가)

[eqn: 2006]과 [eqn: 2006-n`]은  이상의 공약수가 존재한다.

(나)

[eqn: 2006= a`t`], [eqn: 2006-n = b`t`]([eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: t`]는 자연수, [eqn: t >= 2])라 하면 [eqn: n=] (  )[eqn: timest]이므로 [eqn: t`]는 [eqn: 2006]과 [eqn: n`]의 공약수이다.

(다)

이것은 ‘[eqn: 2006]과 [eqn: n`]이 서로소이다.’에 모순이므로

[eqn: 2006]과 [eqn: 2006-n`]도 서로소이다.

위의 증명에서 (가) ~ (다)를 바르게 짝지은 것은? [3점]

(가)                (나)             (다)

①  서로소이다.                [eqn: 2]              [eqn: a+b]

②  서로소이다.                [eqn: 3]              [eqn: a-b]

③  서로소가 아니다.           [eqn: 2]              [eqn: a+b]

④  서로소가 아니다.           [eqn: 2]              [eqn: a-b]

⑤  서로소가 아니다.           [eqn: 3]              [eqn: a+b]

[eqn: x`], [eqn: y`], [eqn: z`]에 대한 다항식 [eqn: xy(x+y) -yz(y+z) -zx(z-x)`]의 인수는? [3점]

① [eqn: x-y]

② [eqn: x-z]

③ [eqn: y-z]

④ [eqn: x-y+z]

⑤ [eqn: x+y+z]

다음은 ‘서로 다른 두 점 [eqn: rmA(it `x _{1} ,~y _{1} `)], [eqn: rmB( it`x _{2} ,~y _{2} `)]를 지름의 양끝으로 하는 원의 방정식은

[eqn: (x-x _{1} )(x-x _{2} )+(y-y _{1} )(y-y _{2} )= `]이다.’를 증명한   것이다.

(가)

[증명]

원의 중심의 좌표는 ( , )이고

(나)

(다)

반지름의 길이는 [eqn: {1} over {2} sqrt {(x _{2} -x _{1} ) ^{2} +(y _{2} -y _{1} ) ^{2} `}]이므로

원의 방정식은 ([eqn: x-] )[eqn: `^{2}]+([eqn: y-`])[eqn: ` ^{2}]

(나)

(다)

[eqn: = {1} over {4} LEFT { (x _{2} -x _{1} ) ^{2} +(y _{2} -y _{1} ) ^{2} RIGHT }]이다.

위의 식을 정리하면

[eqn: (x-x _{1} )(x-x _{2} )+(y-y _{1} )(y-y _{2} )=`]이다.

(가)

위의 증명에서 (가) ~ (다)를 바르게 짝지은 것은? [3점]

(가)             (나)              (다)

①    [eqn: -1]           [eqn: {x_1 + x_2} over 2]          [eqn: {y_1 + y_2} over 2]

②      [eqn: 0]           [eqn: {x_1 + x_2} over 2]          [eqn: {y_1 + y_2} over 2]

③      [eqn: 0]           [eqn: {x_1 - x_2} over 2]          [eqn: {y_1 - y_2} over 2]

④      [eqn: 1]           [eqn: {x_1 + x_2} over 2]          [eqn: {y_1 + y_2} over 2]

⑤      [eqn: 1]           [eqn: {x_1 - x_2} over 2]          [eqn: {y_1 - y_2} over 2]

부등식 [eqn: (x ^{2} +y ^{2} -4)(x -y-1} )>0]을 만족하는 영역을 바르게 색칠한 것은? (단, 점선으로 된 경계는 영역에 포함되지 않는다.)

[3점]

①

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

②

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

③

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

④

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

⑤

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

[eqn: x]

[eqn: 2]

[eqn: x`]에 대한 두 다항식 [eqn: x ^{3} -x],  [eqn: x ^{2} +(a+1)x+a`]의 최대공약수가 이차식이 되도록 하는 모든 [eqn: a`]값의 합은? [3점]

① [eqn: -3]

② [eqn: -1]

③   [eqn: 1]

④   [eqn: 3]

⑤   [eqn: 5]

두 집합 [eqn: A= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 3,~4,~5 RIGHT }]에 대하여

[eqn: A SMALLINTER X=X`],   [eqn: LEFT ( A-B ``RIGHT ) CUP X=X`]

를 만족하고, 모든 원소의 합이 [eqn: 3`]의 배수인 집합 [eqn: X`]의 개수는?

[4점]

① [eqn: 4]

② [eqn: 5]

③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]

⑤ [eqn: 8]

복소수 [eqn: (a ^{2} +3a+2)+(a ^{2} +2a)`i`]를 제곱하면 음의 실수가 된다. 이 때, 실수 [eqn: a`]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]) [4점]

① [eqn: -3]

② [eqn: -2]

③ [eqn: -1]

④   [eqn: 0]

⑤   [eqn: 1]

이차방정식 [eqn: x ^{2} +x+1=0`]의 서로 다른 두 근을 [eqn: alpha`], [eqn: beta `]라 할 때, 집합 [eqn: S= LEFT { 1,~ alpha ,~ beta RIGHT }]에 대하여 옳은 것을 <보기>에서 모두 고르면? [4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: S`]는 곱셈에 대하여 닫혀 있다. ㄴ. [eqn: S`]는 나눗셈에 대하여 닫혀 있다. ㄷ. [eqn: S`]에서 [eqn: alpha]의 곱셈에 대한 역원은 [eqn: ` beta `]이다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 둘레의 길이가 [eqn: 12]인 [eqn: rm △ABC]의 각 변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이를 각각 [eqn: S_1`], [eqn: S_2`], [eqn: S_3 `]라 하자. [eqn: S_1 + S_2 + S_3]의 값이 최소가 될 때, [eqn: rm △ABC]의 넓이는? [4점]

[eqn: S _1]

[eqn: S _2]

[eqn: S _3]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

①   [eqn: 6]

② [eqn: 4root3]

③   [eqn: 8]

④ [eqn: 6root3]

⑤  [eqn: 10]

이차방정식 [eqn: x ^{2} +x-3=0`]의 두 근을 [eqn: alpha `], [eqn: beta`]라 할 때,

[eqn: f( alpha )=f(beta)=1]을 만족하는 이차식 [eqn: f(x)]는? (단, [eqn: f(x)]의  이차항의 계수는 [eqn: 1`]이다.) [4점]

① [eqn: x ^{2} +x-2]

② [eqn: x ^{2} -x-4]

③ [eqn: x ^{2} +x+4]

④ [eqn: x ^{2} -2x+2]

⑤ [eqn: x ^{2} +2x+4]

그림과 같이 좌표평면 위의 세 점 [eqn: rm P(3,```7)], [eqn: rm Q(1,```1)], [eqn: rm R(9,```3)]으로부터 같은 거리에 있는 직선 [eqn: l`]이 선분 [eqn: rm PQ], [eqn: rm PR`]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B]라 하자. 선분 [eqn: rm QR]의 중점을 [eqn: rm C`]라 할 때, [eqn: △rm ABC`]의 무게중심의 좌표를 [eqn: rm G( it x,~y)]라 하면 [eqn: x+y]의 값은?

[4점]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: rm C]

[eqn: l]

[eqn: rm R(9,``3)]

[eqn: rm Q(1,``1)]

[eqn: rm P(3,``7)]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

① [eqn: 16 over 3]

②  [eqn: 6]

③ [eqn: {20} over {3}]

④ [eqn: 22 over 3]

⑤  [eqn: 8]

연립부등식 [eqn: cases{``x ^{2} +x-6`>`0 _{`}#``LEFT | `x-a` RIGHT | ``` <= `1 ^{````}}] 가 항상 해를 갖기 위한 실수 [eqn: a]의 값의 범위는? [4점]

① [eqn: -2 < a< 1]

A

Q

P

D

C

B

② [eqn: -1 <= a <= 2]

③ [eqn: a< -1]  또는 [eqn: a>0]

④ [eqn: a<= -2]  또는 [eqn: a>=0]

⑤ [eqn: a< -2]  또는 [eqn: a>1]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형 모양의 종이를 꼭지점 [eqn: rm A]가 선분 [eqn: rm MN] 위에 놓이도록  접었을 때, 점 [eqn: rm A]가 선분 [eqn: rm MN]과 만나는 점을 [eqn: rm A prime]이라 하자. 이 때, 점 [eqn: rm A]와 직선 [eqn: rm A prime B] 사이의 거리는? (단, [eqn: rm M]은 선분 [eqn: rm{AB}]의 중점, [eqn: rm N]은 선분 [eqn: rm {CD}]의 중점이다.) [4점]

[eqn: rmM]

[eqn: rmN]

[eqn: rmD]

[eqn: rm A]

[eqn: rmC]

[eqn: rmB]

[eqn: rmA']

①  [eqn: root{2}]

②    [eqn: 3 over 2]

③  [eqn: sqrt {3}]

④    [eqn: 2]

⑤ [eqn: {3root2 }over 2]

[eqn: rm]

원 [eqn: C _{1}] : [eqn: x ^{2} -2x+y ^{2`} +4y+4=0]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여

대칭이동한 원을 [eqn: C _{2}`]라 하자. [eqn: C _{1}] 위의 임의의 점 [eqn: rm P]와 [eqn: C _{2}] 위의 임의의 점 [eqn: rm Q]에 대하여 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q] 사이의 최소 거리는? [4점]

① [eqn: 2root3 -2]

② [eqn: 2root3 +2]

③ [eqn: 3root2 -2]

④ [eqn: 3root2 +2]

⑤ [eqn: 3root3 -2]

세 집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C``]에 대하여

[eqn: A= LEFT { (x,~y) vert x ^{2} +y ^{2} <= 1 , ````x, ````y]는 실수[eqn: ` RIGHT }],
[eqn: B= LEFT { (x,~y) vert y=x+ sqrt {2} , ````x, ````y]는 실수[eqn: ` RIGHT }],

[eqn: C= LEFT { (x _{1} +x _{2} ```,`````y _{1} +y _{2} ) vert (x _{1} ``,````y _{1} ) IN A,~(x _{2`} ``,````y _{2} ) IN B`` RIGHT }]

라 할 때, [eqn: A` SMALLINTER C`]가 나타내는 영역의 넓이는? [4점]

①   [eqn: 1 over 2 pi]

② [eqn: root2 over 2 pi]

③ [eqn: root3 over 2 pi]

④   [eqn: 3 over 4 pi]

⑤     [eqn: pi]

단답형 (22～30)

유리수 [eqn: a`], [eqn: b`]가 [eqn: (1+2 sqrt {3} )a+(1- sqrt {3} )b=6]을 만족시킬 때, [eqn: a`b]의 값을 구하시오. [2점]

실수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]에 대하여 [eqn: {a} over {2} =b-1= {c+1} over {3}`!=0]일 때,

[eqn: 6a over b+c]의 값을 구하시오. [3점]

상수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 다항식 [eqn: ax ^{3} +bx ^{2} +1`]이 [eqn: x ^{2} -x-1`]로 나누어떨어질 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}`]의 값을 구하시오. [3점]

연립방정식 [eqn: cases{``x-y+2=0 _{`}#``x ^{2} +3x-y-1=0 ^{`}} ```]의 해를 [eqn: x= alpha `], [eqn: y= beta `]라 할 때, [eqn: LEFT | `alpha + beta ` RIGHT | `]의 값을 구하시오. [3점]

이차부등식 [eqn: x ^{2} +ax+b<0`]의 해가 [eqn: 3<x<8`]일 때,

상수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. [3점]

표는 학생 [eqn: 10]명의 수학 점수에 대한 도수와 편차를 나타낸 것이다.

위 표에서 [eqn: 10]명의 수학 점수에 대한 분산을 [eqn: S ^{2}`]이라 할 때, [eqn: 10S ^{2}`]의 값을 구하시오. [3점]

사과는 [eqn: 1]개에 [eqn: 1000]원, 배는 [eqn: 1]개에 [eqn: 1500]원에 판매하는 가게에서 배를 사과의 개수 이상으로 구입하려고 할 때, [eqn: 30000]원을 가지고 구입할 수 있는 사과의 개수를 [eqn: x], 배의 개수를 [eqn: y]라 하자. 이 때,  [eqn: x+y]의 최대값을 구하시오. [4점]

점 [eqn: rmP(4,~3)]에서 원 [eqn: x ^{2``} +y ^{2} =9]에 그은 두 접선 중 기울기가 양수인 접선의 기울기를 [eqn: q_` over p]라 할 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

[eqn: rmANGLE XOY=45 °`]인 반직선 [eqn: rm OX`] 위에 [eqn: rm bar{OA} =50], [eqn: rm bar{OB} = 120]인

두 점 [eqn: rm A`], [eqn: rmB`]가 있다. 반직선 [eqn: rmOY] 위의 임의의 점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: rm bar{AP} + bar{PB}]의 최소값을 구하시오. [4점]

[eqn: rmB]

[eqn: rmX]

[eqn: rmY]

[eqn: rmO]

[eqn: rmA]

[eqn: rm P]

[eqn: 45 DEG]

※ 확인사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.