수학 영역(나형)

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수학 영역(나형)

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2017학년도 3월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(나형)

제 2 교시

5지선다형

1. 두 다항식 [eqn: A=3x ^{2} -xy`], [eqn: B=xy+2y ^{2} `]에 대하여 [eqn: A+B``]를 간단히 하면? [2점]

① [eqn: 3x ^{2} -2y ^{2}]	② [eqn: 3x ^{2} -2xy-2y ^{2}]	③ [eqn: 3x ^{2} +2xy-2y ^{2}]

④ [eqn: 3x ^{2} +2y ^{2} `]	⑤ [eqn: 3x ^{2} +2xy+2y ^{2}]

2. 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A(3,```4)], [eqn: rmB][eqn: (-3,```2)]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]의 중점의 [eqn: y`]좌표는? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

12

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3. 이차방정식 [eqn: x ^{2} -x+2=0`]의 두 근의 곱은? [2점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

4. [eqn: LEFT ( 2+i RIGHT ) LEFT ( 1+i RIGHT ) `]의 값은? (단, [eqn: i=sqrt-1]) [3점]

① [eqn: 1][eqn: +3i]	② [eqn: 1+4i]	③ [eqn: 2][eqn: +3i]

④ [eqn: 3][eqn: +3i]	⑤ [eqn: 3 + 4i]

5. 무리함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a sqrt {x+1} +2`]에 대하여 [eqn: f ^{`-1} LEFT ( 10 RIGHT ) =3`]일 때,

상수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

6. [eqn: log _{`2} {1} over {3} TIMES log` _{3} {1} over {4}]의 값은? [3점]

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {5} over {2}]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

7. 두 집합 [eqn: A= LEFT { 1,```2,```3,```6 RIGHT }], [eqn: B`= LEFT { 2,```4,```6,```8 RIGHT }]에 대하여

집합 [eqn: LEFT ( A CUP B` RIGHT ) - LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT ) `]의 모든 원소의 합은? [3점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

8. 다항식 [eqn: x ^{2} +ax+4`]를 [eqn: x-1`]로 나누었을 때의 나머지와 [eqn: x-2`]로 나누었을 때의 나머지가 서로 같을 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

9. 어느 야구팀에서 등 번호가 [eqn: 2`]의 배수 또는 [eqn: 3`]의 배수인 선수는 모두 [eqn: 25`]명이다. 이 야구팀에서 등 번호가 [eqn: 2`]의 배수인 선수의 수와 등 번호가 [eqn: 3`]의 배수인 선수의 수는 같고, 등 번호가 [eqn: 6`]의 배수인 선수는 [eqn: 3`]명이다. 이 야구팀에서 등 번호가 [eqn: 2`]의 배수인 선수의 수는? (단, 모든 선수는 각각 한 개의 등 번호를 갖는다.) [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

10. 첫째항이 [eqn: a`]이고 공차가 [eqn: -2`]인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right}`]에 대하여

[eqn: a _{3} !=0`], [eqn: LEFT ( a _{2} +a _{4} RIGHT ) ^{2} =16`a _{3} `]

일 때, [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

11. [eqn: x], [eqn: y`]에 대한 연립방정식

[eqn: {cases{``x+y=k _{` _{`}}#``xy+2x-1=0 ^{` ^{`}}}} `]

이 오직 한 쌍의 해를 갖도록 하는 모든 실수 [eqn: k`]의 값의 합은?

[3점]

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]	④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

12. [eqn: {218 ^{3} +1} over {217 ^{3} -1} `]의 값은? [3점]

① [eqn: {73} over {72}]	② [eqn: {37} over {36}]	③ [eqn: {25} over {24}]	④ [eqn: {19} over {18}]	⑤ [eqn: {13} over {12}]

13. 어느 라면 전문점에서 라면 한 그릇의 가격이 [eqn: 2000`]원이면 하루에 [eqn: 200`]그릇이 판매되고, 라면 한 그릇의 가격을 [eqn: 100`]원씩 내릴 때마다 하루 판매량이 [eqn: 20`]그릇씩 늘어난다고 한다. 하루의 라면 판매액의 합계가 [eqn: 442000`]원 이상이 되기 위한 라면 한 그릇의 가격의 최댓값은? [3점]

① [eqn: 1500`]원	② [eqn: 1600`]원	③ [eqn: 1700`]원

④ [eqn: 1800`]원	⑤ [eqn: 1900`]원

14. [그림 1]과 같이 모든 모서리의 길이가 [eqn: 1`]보다 큰 직육면체 가 있다. 이 직육면체와 크기와 모양이 같은 나무토막의 한 모퉁이에서 한 모서리의 길이가 [eqn: 1`]인 정육면체 모양의 나무토막을 잘라내어 버리고 [그림 2]와 같은 입체도형을 만들었다. [그림 2]의 입체도형의 겉넓이는 [eqn: 236`]이고, 모든 모서리의 길이의 합은 [eqn: 82`]일 때, [그림 1]에서 직육면체의 대각선의 길이는? [4점]

[그림 1]

[그림 2]

① [eqn: 2 sqrt {30}]	② [eqn: 5 sqrt {5}]	③ [eqn: sqrt {130}]

④ [eqn: 3 sqrt {15}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {35}]

15. 유리함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {k} over {x} `]와 [eqn: a<b<12`]인 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: f LEFT ( a RIGHT )], [eqn: f LEFT ( b RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 12 RIGHT ) `]가 이 순서대로 등비수열을 이룬다.
[eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =3`]일 때, [eqn: a+b+k`]의 값은? (단, [eqn: k`]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

16. 세 양수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: root {3} of {a} = sqrt {b} = root {4} of {c}]

(나) [eqn: log` _{8} `a+log` _{4} `b+log` _{2} `c=2]

[eqn: log` _{2} `abc`]의 값은? [4점]

① [eqn: 2]	② [eqn: {7} over {3}]	③ [eqn: {8} over {3}]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {10} over {3}]

17. 자연수 [eqn: N``]을 음이 아닌 정수 [eqn: m`]과 홀수 [eqn: p`]에 대하여

[eqn: N`=2 ^{m} TIMES p`]

로 나타낼 때, [eqn: f LEFT ( N` RIGHT ) =m`]이라 하자.

예를 들어, [eqn: 72=2 ^{3} TIMES 9`]이므로 [eqn: f LEFT ( 72 RIGHT ) =3`]이다.

다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: f LEFT ( 3 ^{2n} +1 RIGHT ) =1`] …… (*)

임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

(ⅰ) [eqn: n=1`]일 때,

[eqn: 3 ^{2} +1=2 TIMES 5`]이므로 [eqn: f LEFT ( 3 ^{2} +1 RIGHT ) =1`]이다.

따라서 [eqn: n=1`]일 때 (*)이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k`]일 때 (*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: f LEFT ( 3 ^{2k} +1 RIGHT ) =1`]

음이 아닌 정수 [eqn: m`]과 홀수 [eqn: p`]에 대하여

[eqn: 3 ^{2k} +1=2 ^{m} TIMES p`]

로 나타낼 수 있으므로

[eqn: 3 ^{2k} +1= {BOX{~(가) _{`}^{`} ~}} ` TIMES `p`]

이다.

[eqn: 3 ^{2 LEFT ( k+1 RIGHT )} +1][eqn: =9times3 ^{2k} +1]
[eqn: =2 TIMES LEFT ( `` {BOX{~ ^{`} (나) _{`} ~}} `` RIGHT )]

이고, [eqn: p`]는 홀수이므로 [eqn: {BOX{~ _{`} (나) ^{`} ~}} `]도 홀수이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( 3 ^{2 LEFT ( k+1 RIGHT )} +1 RIGHT ) =1`]이다.

그러므로 [eqn: n=k+1`]일 때도 (*)이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: f LEFT ( 3 ^{2n} +1 RIGHT ) =1]이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: a], (나)에 알맞은 식을 [eqn: g LEFT ( p RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: a+g LEFT ( 11 RIGHT ) `]의 값은? [4점]

① [eqn: 95]	② [eqn: 97]	③ [eqn: 99]	④ [eqn: 101]	⑤ [eqn: 103]

18. 그림과 같이 좌표평면에서 직선 [eqn: l:`x-2y+5=0`]이 원 [eqn: C``]와 점 [eqn: rmP]에서 접하고, 직선 [eqn: l`]과 평행한 직선 [eqn: l` prime `]이 원 [eqn: C``]와 점 [eqn: rmQ]에서 접한다. 삼각형 [eqn: rmPOQ]가 정삼각형이 되도록 하는 원 [eqn: C``]의 중심이 점 [eqn: LEFT ( a,```b RIGHT ) `]일 때, [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 양수이고, [eqn: rmO`]는 원점이다.) [4점]

① [eqn: 3 sqrt {3}]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 3 sqrt {5}]	④ [eqn: 3 sqrt {6}]	⑤ [eqn: 3 sqrt {7}]

19. 유리함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {2x+b} over {x-a} `]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: 2`]가 아닌 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여
[eqn: f ^{`-1} LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x-4 RIGHT ) -4]
이다.

(나) 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프를 평행이동하면 함수 [eqn: y= {3} over {x} `]의 그래프와 일치한다.

[eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

20. 집합 [eqn: X= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5 RIGHT } `]에 대하여 함수 [eqn: f:`X``` -> ```X``]가 있다. 함수 [eqn: f`]가 일대일 대응일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) {times}f LEFT ( 2 RIGHT ) =6`]이면 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) +f LEFT ( 4 RIGHT ) +f LEFT ( 5 RIGHT ) =10`]이다. ㄴ. 집합 [eqn: X``]의 모든 원소 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: LEFT ( `f CIRC f` RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) =x`]이면 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =a`]인 집합 [eqn: X``]의 원소 [eqn: a`]가 존재한다. ㄷ. 집합 [eqn: X``]의 어떤 원소 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: LEFT ( `f CIRC f CIRC f` RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) =x`]이면 [eqn: f LEFT ( b RIGHT ) =b`]인 집합 [eqn: X``]의 원소 [eqn: b`]가 존재한다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. 첫째항이 [eqn: 1`]인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right}`]에 대하여 수열 [eqn: left{b _{n} right}`]을

[eqn: b _{n} =a _{1} +2a _{2} +3a _{3} +`cdots`+na _{n} `] [eqn: LEFT ( n{ge}1 RIGHT )]

이라 하자. [eqn: b _{10} =715`]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} {b _{n}} over {n LEFT ( n+1 RIGHT )} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 30]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 40]	④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 50]

단답형

22. 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 2,```0 RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( 0,```5 RIGHT ) `]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]의 길이를 [eqn: l`]이라 할 때, [eqn: l ^{`2} `]의 값을 구하시오. [3점]

23. [eqn: 0 LEQ x LEQ 3`]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} -4x+1`]의 최댓값을 구하시오.

[3점]

24. 수열 [eqn: left{a _{n} right}`]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} =n ^{2} -2n`]일 때, [eqn: sum _{k=6} ^{10} a _{k} `]의 값을 구하시오. [3점]

25. 좌표평면에서 두 점 [eqn: rm A LEFT ( -1,```log _{`3} `a` RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( 3,```log _{`3} `b` RIGHT )]를 지나는 직선이 직선 [eqn: y=it-x+4`]에 수직일 때, [eqn: {b} over {a}]의 값을 구하시오.

[3점]

26. 두 실수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여

[eqn: 5 ^{2a+b} =32], [eqn: 5 ^{a-b} =2`]

일 때, [eqn: 4 ^{{a+b} over {ab}}]의 값을 구하시오. [4점]

27. 다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -x ^{2} +ax+b`]를 다항식 [eqn: x ^{2} -2x-2`]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) `], 나머지를 [eqn: R` LEFT ( x RIGHT ) `]라 하자. [eqn: R` LEFT ( 2 RIGHT ) =9`]이고 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) `]로 나누어떨어질 때, [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수이다.) [4점]

28. 그림과 같이 좌표평면에서 원 [eqn: C _{`1} :`x ^{2} +y ^{2} =4`]를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 4`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -3`]만큼 평행이동한 원을 [eqn: C _{`2} `]라 하자. 원 [eqn: C _{`1} `]과 직선 [eqn: 4x-3y-6=0`]이 만나는 두 점

[eqn: rmA], [eqn: rmB`]를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 4`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -3`]만큼 평행이동한 점을 각각 [eqn: rmC], [eqn: rmD`]라 하자. 선분 [eqn: rmAC], 선분 [eqn: rmBD],

호 [eqn: rmAB] 및 호 [eqn: rmCD`]로 둘러싸인 색칠된 부분의 넓이를 구하시오.

[4점]

29. 그림과 같이 좌표평면에서 두 직선 [eqn: x-3y=0`], [eqn: 3x-y=0`]에 모두 접하고 반지름의 길이가 [eqn: 4`]인 네 원의 중심을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]라 할 때, 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이를 구하시오. [4점]

30. 실수 [eqn: x], [eqn: y`]에 대한 두 조건

[eqn: p:` LEFT | x-6 RIGHT | LEQ a`]이고 [eqn: LEFT | y-3 RIGHT | LEQ b],

[eqn: q:` LEFT ( 2x+y-6 RIGHT ) LEFT ( x-2y+7 RIGHT ) GEQ 0]

이 있다. [eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이 되도록 하는 두 양수

[eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 최댓값을 [eqn: M``]이라 할 때, [eqn: 30M``]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.