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2006년도 9월 고1 전국연합학력평가

정답 및 해설

정 답

1	③	2	④	3	⑤	4	①	5	④	6	③	7	②	8	⑤
9	②	10	①	11	④	12	⑤	13	②	14	①	15	④	16	③
17	⑤	18	①	19	③	20	③	21	④	22	[eqn: 80``]	23	[eqn: 213``]	24	[eqn: 117``]
25	[eqn: 29``]	26	[eqn: 12``]	27	[eqn: 64``]	28	[eqn: 29``]	29	[eqn: 105``]	30	[eqn: 23``]

해 설

1. [출제의도] 이중근호를 계산할 수 있는가를 묻는 문항이다.

[eqn: root{3+ 2root2} + root{3-2root2 } ``]

[eqn: = ( root2 +1) +(root2 -1) = 2root2``]

2. [출제의도] 분수식을 계산하여 주어진 식을 간단히 할 수 있는가를 묻는 문항이다.

분모, 분자에 [eqn: x^2 ``]을 곱하여 간단히 하면

[eqn: {x- {1} over {x}} over {1- {1} over {x ^{2}}} = {x ^{3} -x} over {x ^{2} -1} = {x`(x ^{2} -1)} over {x ^{2} -1} =x`]

3. [출제의도] 이차부등식을 풀 수 있는가를 묻는 문항이다.

[eqn: x^2 -4x+2<=2x-3 ``]에서

[eqn: x^2 -6x+5<=0``]

[eqn: (x-1)(x-5)<=0``]

[eqn: 1<=x<=5``]

따라서 주어진 부등식을 만족하는 정수는 [eqn: 1,``2,``3,``4,``5``]의 [eqn: 5``]개이다.

4. [출제의도] 근을 대입하여 삼차방정식의 계수를 구할 수 있는가를 묻는 문항이다.

[eqn: x=2``]가 [eqn: x ^{3} +x ^{2} +ax-8`=`0``]의 근이므로

[eqn: 2 ^{3} +2 ^{2} +2a-8`=`0``]

[eqn: 2a+4`=`0``]

∴ [eqn: a=-2``]

5. [출제의도] 집합의 기본연산 결과에 따른 두 집합 사이의 포함관계를 이해하는 문항이다.

[eqn: A∪B=B``]를 만족하는 [eqn: A``], [eqn: B``]를 벤다이어그램으로 나타내면 그림과 같다.

따라서 보기 중 [eqn: A∪B=B``]이기 위한 필요충분조건은 [eqn: A^c `⊃B^c``]이다.

[참고]

[eqn: A∪B=B``]가 성립하기 위한 필요충분조건들은

[eqn: A`⊂B``], [eqn: A^c `⊃B^c``], [eqn: A` cap `B``=A``], [eqn: A-B= ∅``], [eqn: B cup A^c =U``]등이 있다.

6. [출제의도] 명제 [eqn: p``-> ``q``]가 참이 되도록 하는 조건을 구할 수 있는가를 묻는 문항이다.

조건 [eqn: p,~ q``]를 만족하는 집합을 각각 [eqn: P,~ Q``]라 하면

다음과 같이 수직선으로 나타낼 수 있다.

[eqn: -2a-6`≦`a``]

[eqn: THEREFORE ~a `≧` -2]

따라서 상수 [eqn: a`]의 최소값은 [eqn: -2``]이다.

7. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 미정계수의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문항이다.

[eqn: x^2 + ax+b = 0``]의 두 근이 [eqn: a``], [eqn: b``]이므로

[eqn: a+b=-a``], [eqn: ab=b``]

두 식을 연립하여 풀면

[eqn: a=1``], [eqn: b=-2``]

∴ [eqn: a^2 + b^2 ` = 5]

[오답풀이]

[eqn: x=a``]를 대입하면 [eqn: 2a^2 +b=0``] ∴ [eqn: b=-2a^2``]   … ㉠

[eqn: x=b``]를 대입하면 [eqn: b^2 +ab +b=0``]   … ㉡

㉠을 ㉡에 대입하여 풀면

[eqn: a=1``], [eqn: b=-2``] 또는 [eqn: a= - 1 over 2 ``], [eqn: b=- 1 over 2``]

그런데 [eqn: a= - 1 over 2 ``], [eqn: b=- 1 over 2``]일 때 [eqn: x^2 - 1 over 2 x - 1 over 2 =0``]의 두 근은

[eqn: x=- 1 over 2``]과 [eqn: x=1``]이므로 [eqn: a,``b``]는 [eqn: x^2 +ax+b=0``]의 두 근이 아니다.

8. [출제의도] 절대값을 포함한 일차부등식을 풀 수 있는가를 묻는 문항이다.

[eqn: LEFT | `2x-1` RIGHT | <= a``]	[eqn: LRARROW] [eqn: -a` <= `2x-1` <= `a]
[eqn: LRARROW] [eqn: -a+1` <= `2x` <= `a+1]
[eqn: LRARROW]  [eqn: {-a+1} over {2} ` <= `x` <= ` {a+1} over {2} `]
[eqn: LRARROW] [eqn: b <= `x <= `3]

[eqn: {-a+1} over {2} =b,~ {a+1} over {2} =3`]에서

[eqn: -a+1=2b,~a+1=6`]

두 식을 연립하여 풀면

[eqn: THEREFORE `a=5,~b=-2`]

[eqn: THEREFORE `a+b=3]

9. [출제의도] 좌표평면에서 선분의 내분점을 구할 수 있는가를 묻는 문항이다.

선분 [eqn: rm AB``]를 [eqn: t``:``(1-t)``]로 내분하는 점의 좌표는

[eqn: LEFT ( {t`‧`6+(1-t)`‧`(-2)} over {t+(1-t)} ,~ {t`‧`(-3)+(1-t)`‧`5} over {t+(1-t)} RIGHT )``] =[eqn: (8t-2,``5-8t)``]

이 점이 제[eqn: 1``]사분면에 있을 때

[eqn: 8t-2>0,~5-8t>0``]

∴ [eqn: {1} over {4} <t< {5} over {8} ``]

10. [출제의도] 주어진 자료를 이해하여 표준편차를 비교할 수 있는가를 묻는 문항이다.

그래프에서 강수량이 평균을 중심으로 가장 많이 흩어져 있는 도시는 서울이고, 가장 적게 흩어져 있는 도시는 뉴욕이다.

따라서 표준편차가 큰 도시부터 차례로 나열하면 서울, 도쿄, 뉴욕이다.

[참고]

실제로 서울, 도쿄, 뉴욕의 표준편차는 각각 약 [eqn: 112.8``], [eqn: 49.3``], [eqn: 9.5``]이다.

[오답풀이]

주어진 그래프를 도수분포다각형으로 착각하여 서울이 표준편차가 가장 작은 도시로 오해할 수 있으나, 이 그래프는 가로축이 변량, 세로축이 도수를 나타내는 것이 아니다.

11. [출제의도] 산술평균과 기하평균의 관계를 이용하여 주어진 식의 최소값을 구할 수 있는가를 묻는 문항이다.

[eqn: x ^{2} -2x+a=0``]이 허근을 가지므로

[eqn: D over 4 =1-a``<``0``]에서 [eqn: a-1``>``0``]이다.

산술평균과 기하평균의 관계에서

[eqn: a-1+ {4} over {a-1} ``][eqn: >= ``2 sqrt {(a-1) TIMES {4} over {(a-1)}} =4``]

(단, 등호는 [eqn: a=3``]일 때 성립한다.)

따라서 [eqn: a-1+ 4 over a-1 ``]의 최소값은 [eqn: 4``]이다.

12. [출제의도] 주어진 조건을 이용하여 두 다항식의 최대공약수와 최소공배수를 추론할 수 있는가를 묻는 문항이다.

(나)와 [eqn: x(x-1)``]의 최소공배수가 [eqn: x(x-1)(x+1)(x+2)``]이므로 (나)는 [eqn: (x+1)(x+2)``]를 인수로 갖는다.

(가)와 [eqn: x(x-1)(x-2)``]의 최대공약수가 [eqn: x(x-1)``]이므로 (가)에는 [eqn: x(x-1)``]이라는 인수가 있다.

따라서 [eqn: x(x+1)(x-2)(x+2)``]와 (가)의 최대공약수인 (나)는 [eqn: x``]를 인수로 갖고, [eqn: x-1``]을 인수로 갖지 않는다.

그러므로 (나)에 알맞은 식은 [eqn: x(x+1)(x+2)``]이다.

[참고]

두 다항식 [eqn: A``], [eqn: B``]의 최대공약수와 최소공배수를 각각 [eqn: G``], [eqn: L``]이라 하면 [eqn: A=aG``], [eqn: B=bG``]([eqn: a,``b``]는 서로소)이고

[eqn: L=abG``], [eqn: AB=GL``]이 성립한다.

13. [출제의도] 삼차방정식의 허근이 주어졌을 때 켤레근 사이의 관계를 추론할 수 있는가를 묻는 문항이다.

ㄱ. [eqn: x^3 +1 =(x+1)(x^2 -x+1)=0``]에서 [eqn: alpha``]는 이차방정식
[eqn: x^2 -x+1=0``]의 근이므로 [eqn: alpha`^ 2 - alpha +1=0`](참)

ㄴ. [eqn: alpha ``]가  [eqn: x^2 -x+1=0``]의 근이므로 [eqn: bar alpha``]도 근이 된다.
근과 계수의 관계에서
[eqn: alpha + bar alpha = alpha `bar alpha =1``](참)

ㄷ. [eqn: alpha ``], [eqn: bar alpha``]가 방정식 [eqn: x^3 +1=0``]의 근이므로
[eqn: alpha^3 = (`bar alpha `)^3 =-1``]

∴ [eqn: alpha^3 + (` bar alpha `)^3 =-2``]

한편, [eqn: alpha + bar alpha = alpha `bar alpha =1``]이므로

[eqn: alpha^2 + ( `bar alpha` )^2 = ( alpha + bar alpha )^2 -2 alpha bar alpha = 1 -2 =-1``]

∴ [eqn: alpha^3 + ( `bar alpha` )^3 ≠ alpha^2 + ( bar alpha`) `^2 ``]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[다른 풀이]

ㄷ. [eqn: alpha^3 + ( `bar alpha` )^3 = ( alpha + bar alpha ) left{ alpha^2 - alpha bar alpha + ( bar alpha`) `^2 right}``]
[eqn: = alpha^2 + ( bar alpha )^2 -1 ``][eqn: ≠][eqn: alpha^2 +(` bar alpha `)^2 ``]

14. [출제의도] 이차부등식을 풀어 집합의 문제를 해결할 수 있는가를  묻는 문항이다.

[eqn: A= LEFT { x┃-4`` < ``x`` < ``1` RIGHT }]

[eqn: A`` CUP B= LEFT { x┃-4`` < ``x`` < ``3` RIGHT }]

[eqn: A`` SMALLINTER B= LEFT { x┃-1`` < ``x`` < ``1`RIGHT }]

수직선을 이용하면

[eqn: B= LEFT { x┃x ^{2} +ax+b`` < ``0` RIGHT } = LEFT { x┃-1`` < ``x`` < ``3` RIGHT } ``]

이므로 [eqn: x ^{2} +ax+b=(x+1)(x-3)=x^2 -2x-3 ``]이다.

[eqn: a=-2``], [eqn: b=-3``]이므로 [eqn: a+ b= -5``]이다.

15. [출제의도] 켤레복소수의 성질을 증명할 수 있는가를 묻는 문항이다.

복소수 [eqn: z= a +b i``]([eqn: a,``b``]는 실수, [eqn: i= root-1``])가 허수이므로

[eqn: b`≠`0``]

[eqn: z′ =x+y`i``]([eqn: x,``y``]는 실수)로 놓으면

[eqn: z+z′=(a+x)+(b+y)`i`=0``]이 실수이므로

… ㉠

[eqn: b+y=0``]

또, [eqn: z`z′`=(ax-by)+(ay+bx)i``]도 실수이므로

… ㉡

[eqn: ay+bx=0``]

㉠에서 [eqn: y=-b`]이고, 이것을 ㉡에 대입하면

[eqn: -ab+bx=0``]     ∴ [eqn: b(-a+x)=0``]

그런데 [eqn: b`!=`0``]이므로 [eqn: -a+x=0``] ∴ [eqn: x=a``]

따라서 [eqn: z′ =x+yi=a-bi``]이므로 [eqn: z``]의 켤레복소수이다.

[오답풀이]

복소수 [eqn: z= a +b i``]가 허수이면 [eqn: a=0``]으로 착각하기 쉬우나

[eqn: a=0``], [eqn: b=0``]이면 [eqn: z``]는 실수가 된다.

16. [출제의도] 주어진 유리식에서 문자 사이의 관계를 추론할 수 있는가를 묻는 문항이다.

ㄱ. [eqn: a= 3f `]이면 [eqn: 1over { 3f} + 1over b = { 1} over { f}`]에서
[eqn: b + 3f= 3b]       ∴ [eqn: b= { 3} over {2 }f `] (참)

ㄴ. 물체와 상의 크기가 같으면 [eqn: a=b`]이므로
[eqn: 1over a + 1over a = { 1} over { f}`]      ∴ [eqn: a=2f] (참)

ㄷ. (반례) [eqn: a= { 3} over {2 }f `]이면 [eqn: 1over { { 3} over { 2} f} + 1over b = { 1} over { f}`]에서 [eqn: b=3f``]이다.

따라서 물체와 상의 크기의 비는 [eqn: { 3} over { 2}f ``:`3f`=1``:``2`]이므로

상의 크기는 물체의 크기의 [eqn: 2``]배이다. (거짓)

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

17. [출제의도] 방정식을 풀어 두 집합의 합집합의 원소를 구할 수 있는가를 묻는 문항이다.

[eqn: A`cap`B= LEFT { ` 2`RIGHT } ``]이므로

[eqn: A= LEFT { 1,``a ^{3} -3a` RIGHT } ``]에서 [eqn: a^3 -3a=2``],  [eqn: (a+1)^2 (a-2)=0``]

∴ [eqn: a=-1``]또는 [eqn: a=2``]

(i) [eqn: a=-1``]일 때,
[eqn: B= LEFT { a+2, `` a^2 -a`RIGHT } = LEFT { 1, ``2 RIGHT } ``]이므로 적당하지 않다.

(ii) [eqn: a=2``]일 때,
[eqn: B= LEFT { a+2, `` a^2 -a`RIGHT } = LEFT { 2,``4` RIGHT } ``]이므로 적당하다.

(i), (ii)에서 [eqn: a=2``]이고 [eqn: A`cup`B` =LEFT { 1,``2,``4`RIGHT } ``]이다.

따라서 [eqn: A`cup`B``]의 모든 원소의 합은 [eqn: 7``]이다.

18. [출제의도] 주어진 입체의 부피를 다항식으로 나타내고 이를 인수분해할 수 있는가를 묻는 문항이다.

구하는 입체의 부피는 원래의 정육면체의 부피에서 구멍 부분의 부피를 빼면 된다.

구멍 부분의 부피는 밑면이 한 변의 길이가 [eqn: y``]인 정사각형이고 높이가 [eqn: x``]인 정사각기둥 [eqn: 3``]개의 부피에서 중복된 부분인 한 모서리의 길이가 [eqn: y``]인 정육면체의 부피를 두 번 빼면 된다.

따라서 구멍 부분의 부피가 [eqn: 3xy^2 -2y^3 ``]이므로

구하는 입체의 부피는 [eqn: x^3 - (3 xy^2 -2 y^3 )``][eqn: =x^3 - 3 xy^2 +2 y^3 ``]이다.

[eqn: x=y``]일 때 이 식의 값이 [eqn: 0``]이 되므로 [eqn: x-y``]가 인수이다.

조립제법에 의하여 인수분해하면

[eqn: 1``]	[eqn: 1``]	[eqn: 0``]	[eqn: -3``]	[eqn: 2``]
		[eqn: 1``]	[eqn: 1``]	[eqn: -2``]
	[eqn: 1``]	[eqn: 1``]	[eqn: -2``]	[eqn: 0``]

∴ [eqn: x^3 - 3 xy^2 +2 y^3 ``][eqn: =(x-y)(x^2 +xy-2y^2 )``]
[eqn: =(x-y)^2 (x+2y)``]

19. [출제의도] 주어진 자료에서 평균과 분산을 구할 수 있는가를 묻는 문항이다.

모둠 2의 학생들이 읽은 책의 권수의 평균은 [eqn: {6+6+3+1}over 4 =4``]이고

분산은

[eqn: {(6-4)^2 + (6-4)^2 +(3-4)^2 +(1-4)^2} over 4 ``][eqn: ={4+4+1+9}over 4 = 9 over 2``]
한편, 모둠 1의 학생들이 읽은 책의 권수의 평균이 모둠 2의 학생들이 읽은 책의 권수의 평균과 같으므로

[eqn: {7+x+y+2} over {4} =4``]

∴ [eqn: x+y =7``]  … ㉠

모둠 1의 학생들이 읽은 책의 권수의 분산이 [eqn: 9 over2``]보다 작으므로

[eqn: {(7-4)^2 + (x-4)^2 +(y-4)^2 +(2-4)^2} over 4 < 9over2``]

∴[eqn: { (x-4)^2 +(y-4)^2 } < 5``]    … ㉡

㉠, ㉡을 모두 만족하는 정수 [eqn: x,`` y``]는

[eqn: x=3``], [eqn: y=4``] 또는 [eqn: x=4``], [eqn: y=3``]

따라서 [eqn: xy =12``]이다.

20. [출제의도] 내분점을 이용하여 주어진 도형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문항이다.

선분 [eqn: rmAD``]와 [eqn: y``]축의 교점을 [eqn: rmE``], 선분 [eqn: rmCD``]와 [eqn: x`]축의 교점을 [eqn: \F``]라 하자.

이때, 점 [eqn: \E``]가 선분 [eqn: \AD``]를 [eqn: m:n]으로 내분한다면

[eqn: {\E} left( ma+n(-1) over {m+n} , ma over { m+n} right) ``]

[eqn: ma+n(-1) over {m+n} = 0]에서 [eqn: n = ma `], 즉 [eqn: {\E} left( 0, a over { a+1} right) ``]이다.

이때 사다리꼴 ABCE의 넓이는

[eqn: 1over2 times left { 1 + left( a over {a+1} +1 `right )` right } times 1``]

삼각형 CDE의 넓이는

[eqn: 1over2 times left( a over {a+1} +1 right ) times a``]

두 도형의 넓이가 같으므로

[eqn: 1over2 times {3a+2} overa+1 = 1over2 times { 2a+1}overa+1 timesa]

[eqn: 3a+2 = 2a^2 +a``], [eqn: a^2 -a -1 = 0``]

∴ [eqn: a = { 1 + root 5 } over 2](∵ [eqn: a>0``])

[다른 풀이]

[eqn: \△AOE = △COF``]이므로 [eqn: \□ABCO =□OFDE]이다.

따라서 [eqn: \△ODE = 1 over 2 □ rmABCO = 1 over 2 ``]이다.

점 D에서 [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 H라 하자.

점 E의 좌표를 [eqn: (0, ``k)]라 하면

[eqn: △{rmAOE} ``]□[eqn: △ {rmDHE}``]이므로

[eqn: \ bar{AO} : bar { DH } = bar { OE}:bar{HE}``]에서

[eqn: 1``: ``a = k``:`` (a-k )``], [eqn: ak = a-k]

[eqn: k = a over{a+1}]

∴ [eqn: {\△ODE} = 1 over 2 × a over a+1 ×a = 1 over 2``]

[eqn: a^2 over a+1 = 1] 에서 [eqn: a^2 - a -1 = 0 `]이므로

∴ [eqn: a = { 1 + root 5 } over 2](∵ [eqn: a>0``])

21. [출제의도] 주어진 상황을 집합으로 나타내고 이를 통해 유한집합의 원소의 개수를 구할 수 있는가를 묻는 문항이다.

주어진 상황을 벤다이어그램으로 나타내면

∴ [eqn: x= 35 -(2+1+2+10+8) =12`]

이때, A가 얻은 표는 [eqn: 2+10+8 =20`]
B가 얻은 표는 [eqn: 1+10+12=23`]
C가 얻은 표는 [eqn: 2+8+12 =22`]

따라서 표를 많이 얻은 후보의 순서는 B, C, A 이다.

22. [출제의도] 곱셈공식을 이용하여 주어진 식의 값을 계산할 수 있는가를 묻는 문항이다.

[eqn: a^3 +b^3`=(a+b)^3 -3a b (a+b) =5^3 -3 ×3×5 =80``]

23. [출제의도] 두 복소수가 서로 같을 조건을 이해하고 있는가를 묻는 문항이다.

양변에 [eqn: (1-i`)(1+i`)]를 곱하여 정리하면

[eqn: x(1+i`)+y(1-i`)=2(12-9i`)]

[eqn: (x+y)+(x-y)i=24-18i`]

두 복소수가 서로 같을 조건에 의하여

[eqn: x+y=24], [eqn: x-y=-18]

[eqn: THEREFORE] [eqn: `x=3,~y=21]

[eqn: THEREFORE] [eqn: x+10y``][eqn: =3 +10cdot 21 =213]

24. [출제의도] 나머지정리와 조립제법을 이용하여 식의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문항이다.

[eqn: f(x)= x^3 -ax+9]로 놓자.

[eqn: f(x)]를 [eqn: x-2]로 나누었을 때 나머지가 [eqn: 3]이므로 나머지 정리에 의해

[eqn: f(2)= 2^3 - 2 a +9=3]

[eqn: therefore] [eqn: a=7]

조립제법을 이용하여 [eqn: f(x)= x^3 -7x+9]를 [eqn: x-2]로 나눌 때의 몫 [eqn: Q(x)]를 구하면

[eqn: 2``]	[eqn: 1``]	[eqn: 0``]	[eqn: -7``]	[eqn: 9``]
		[eqn: 2``]	[eqn: 4``]	[eqn: -6``]
	[eqn: 1``]	[eqn: 2``]	[eqn: -3``]	[eqn: 3``]

[eqn: x^3 -7x+9][eqn: =(x-2)(x^2 +2x -3) +3]

[eqn: THEREFORE````][eqn: Q(x)= x^2 +2x -3]

따라서 [eqn: Q(10)= 10^2 +2cdot10 -3=117] 이다.

25. [출제의도] 항등식의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문항이다.

[eqn: x^2 -3x +6 =a(x-1)(x-2)+b(x-2)(x-3)+c(x-3)(x-1)]에서

[eqn: x=1`]을 대입하면 [eqn: 1^2 - 3 cdot1 + 6} =2b``]에서 [eqn: b=2``]

[eqn: x=2`]를 대입하면 [eqn: 2^2 - 3cdot2 + 6=-c``]에서 [eqn: c=-4``]

[eqn: x= 3 ``]을 대입하면 [eqn: 3^2 - 3cdot3+6=2a``]에서 [eqn: a=3``]

∴ [eqn: a^2 +b^2 +c^2 =9+4+16=29``]

[다른 풀이]

우변을 전개하면

[eqn: (a+b+c)x^2 -(3a+5b+4c)`x```+2a+6b+3c``]에서

[eqn: a+b+c=1``], [eqn: 3a+5b+4c=3``], [eqn: 2a+6b+3c=6``]

위의 식을 연립하여 풀면

[eqn: a=3``], [eqn: b=2``], [eqn: c=-4``]

∴ [eqn: a^2 +b^2 +c^2 =9+4+16=29``]

26. [출제의도] 편차의 성질을 이용하여 주어진 자료에서 분산을 구할 수 있는가를 묻는 문항이다.

수학 점수의 편차의 합은 [eqn: 0``]이므로

[eqn: -3 + x -5 +3 +1=0]   ∴ [eqn: x=4 `]

따라서 수학 점수의 분산은

[eqn: {(-3)^2 + 4^2 + (-5)^2 + 3^2 + 1^2 }over 5 = 60 over 5 =12]

27. [출제의도] 특정한 원소를 갖는 부분집합의 개수를 추론할 수 있는가를 묻는 문항이다.

[eqn: A`∪C =B`∪C`]이려면 벤다이어그램에서 어두운 부분에 속하는 원소가 없어야 한다.

즉, [eqn: A-B`⊂C`,`B-A`⊂C``]이므로 [eqn: C`]는 [eqn: LEFT { 1,` 5,`6,`7`RIGHT }]을 포함하는 [eqn: U`]의 부분집합이다.

따라서 구하는 집합 [eqn: C`]의 개수는

[eqn: 2^ 10-4 =2^6 =64`]

[참고]

[eqn: n(A)=k``]일 때,

(1) [eqn: A``]의 부분집합의 개수는 [eqn: 2^k ``]이다.

(2) [eqn: A``]의 특정한 원소 [eqn: m``]개를 갖는 [eqn: A``]의 부분집합의 개수는
[eqn: 2^k-m``]이다. (단, [eqn: m<=k``])

28. [출제의도] 두 이차방정식을 동시에 만족하는 근을 구할 수 있는가를 묻는 문항이다.

두 이차방정식을 동시에 만족하는 근을 [eqn: alpha]라 하면

[eqn: 9 alpha^2 + a alpha + 20 = 0 `]	… ㉠

[eqn: 20 alpha^2 + a alpha +9= 0 `]	… ㉡

㉠-㉡에서 [eqn: -11( alpha^2 - 1) = 0]이므로  [eqn: alpha=1``]또는 [eqn: alpha=-1``]이다.

[eqn: alpha=1``]이면 [eqn: 9 + a + 20 = 0 `]    ∴ [eqn: a = - 29`]

[eqn: alpha=-1``]이면 [eqn: 20 - a + 9 = 0 `]  ∴ [eqn: a = 29]

[eqn: a>0``]이므로 [eqn: a = 29]이다.

[다른 풀이]

[eqn: 9 x^2 + a x + 20 = 0 `]의 두 근이 [eqn: alpha``], [eqn: beta``]이면

[eqn: 20 x^2 + a x + 9 = 0 `]의 두 근은 [eqn: 1 over alpha``], [eqn: 1 over beta``]이다.

그런데 [eqn: alpha`beta = 20 over 9 ≠1``]이므로 두 방정식을 동시에 만족하는 근은

[eqn: alpha = 1 over alpha ``]이다. 따라서 [eqn: alpha=1``]또는 [eqn: alpha=-1``]이다.

[eqn: alpha=1``]이면 [eqn: 9 + a + 20 = 0 `]    ∴ [eqn: a = - 29`]

[eqn: alpha=-1``]이면 [eqn: 20 - a + 9 = 0 `]  ∴ [eqn: a = 29]

[eqn: a>0``]이므로 [eqn: a = 29]이다.

29. [출제의도] 비례식을 이용하여 삼각형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문항이다.

높이가 같은 삼각형의 넓이는 밑변의 길이에 비례하므로

[eqn: 18 ``:``45 = 42``:``S`]

[eqn: 45times 42 = 18×S`]

∴ [eqn: S=105`]

[다른 풀이]

네 선분 [eqn: rm AE ,`BE ,``CE ,``DE``]의 길이를 각각 [eqn: a,``b,``c,``d``]라 놓으면

[eqn: 1 over 2 ab =18``], [eqn: 1 over 2 ad =45``], [eqn: 1 over 2 bc =42 ``], [eqn: 1 over 2 cd =S``]

∴ [eqn: 1 over 4 abcd = ``][eqn: 18×S = 45×42 `]

∴ [eqn: S=105`]

30. [출제의도] 실생활의 상황을 비례식으로 표현하고 이를 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문항이다.

A가 부칠 수하물의 무게가 [eqn: 26]kg이고 B가 부칠 수하물의 무게가 [eqn: 27]kg이므로 두 사람이 부칠 수하물의 무게의 합은 [eqn: 53]kg이다.

이 수하물을 A 혼자서 모두 부칠 때의 초과 무게는 [eqn: (53-a)``]kg이고, 각자 자신의 수하물을 부칠 때의 초과 무게의 합은 [eqn: (53-2a)``]kg이다.

그런데 초과 무게에 대해 부과되는 [eqn: 1``]kg 당 요금은 일정하므로

[eqn: (53-a )``:`` 30 = (53-2a)`` : ``7``]

[eqn: (53-a) times 7 = 30 times ( 53-2a)]

[eqn: 7cdot53 - 7a = 30 cdot53 - 60a]

[eqn: 53a = 23cdot 53]

∴ [eqn: a= 23``]

따라서 운송 요금을 내지 않고 부칠 수 있는 수하물의 무게는 [eqn: 23]kg이다.