2004년도 6월 고1 전국연합학력평가

정답 및 해설

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• 제 2 교시 수리 영역 •

정 답

1	②	2	①	3	③	4	⑤	5	③	6	①	7	④	8	②
9	⑤	10	⑤	11	④	12	③	13	④	14	②	15	①	16	④
17	④	18	①	19	⑤	20	③	21	②	22	31	23	52	24	166
25	18	26	12	27	90	28	26	29	24	30	21

해 설

[출제 의도] 무리수의 계산을 할 수 있다.

[eqn: 1 over { 2- sqrt { 2 } } + 1 over { 2+ sqrt { 2 } } = { (2+root2 ) + ( 2 -root2 )} over { ( 2- root2 )( 2+root2 ) }]

[eqn: = 4 over { 2^2 - ({root2})^2 } `= `4 over 2 `=` 2]

[출제 의도] 복소수의 계산을 할 수 있다.

[eqn: left({1-i}over{i}right)^2`={-2i}over{-1}`=`2i`], [eqn: left({1+i}over{i}right)^2`={2i}over{-1}`=`-2i`]

∴ (주어진 식)[eqn: =`(2i`)^2`+(-2i`)^2`] [eqn: =`(-4`)`+(-4`)`][eqn: =`-8]

[출제 의도] 이중근호를 풀고 식의 값을 구할 수 있다.

[eqn: x= root { 3 + root 8}][eqn: = root { 3 + 2 root 2}][eqn: = root 2 +1]

[eqn: x-1 = root 2]

양변을 제곱하면

[eqn: (x-1)^2 = 2]

[eqn: x^2 - 2 x + 1=2]

∴ [eqn: x^2 - 2 x + 2=3]

[출제 의도] 집합의 벤 다이어그램을 이해할 수 있다.

벤 다이어그램의 어두운 부분은 집합 [eqn: B`]에는 속하고 집합 [eqn: A`]와 [eqn: C`]에는 속하지 않는 원소로 이루어진 집합이다.

따라서, 어두운 부분을 집합 [eqn: A, ``B, ``C``]로 나타내면 [eqn: B- ( A ∪ C``)] 이다.

[출제 의도] 유리수와 무리수를 구별할 수 있다.

ㄱ. 반지름의 길이가 [eqn: r``(r` != `0)]인 원둘레의 길이 [eqn: 2` pi `r``]에서 [eqn: 2r``]는 유리수이므로 [eqn: 2` pi `r``]는 무리수이다.

ㄴ. 한 변의 길이가 [eqn: a``(a neq 0)]인 정삼각형의 높이는 [eqn: { sqrt { 3 } a } over { 2 }] 에서 [eqn: { a } over { 2 }] 가 유리수이므로[eqn: { sqrt { 3 } a } over { 2 }] 는 무리수이다.

ㄷ. 가로의 길이가 [eqn: 3`], 세로의 길이가 [eqn: 4`]이면 대각선의 길이는 [eqn: 5`]가 되어 이것은 무리수가 아니다.

6. [출제 의도] 항등식의 미정계수를 구할 수 있다.

[eqn: a(x-1)(x-2)``+`b(x-1)``+c`=`x^{ 2 }] 의 양변에

[eqn: x=1`] 을 대입하면,   [eqn: c=1]

[eqn: x=2``] 를 대입하면,  [eqn: b+`c`=4````````````` THEREFORE ```````b=3]

[eqn: x^2] 의 계수가 [eqn: 1`] 이므로, [eqn: a=1]

∴ [eqn: a^{ 2 } ``+`b^{ 2 } `+`c^{ 2 } ```=11]

7. [출제 의도] 명체의 참, 거짓을 판별할 수 있다.

ㄱ의 역은 ‘[eqn: x`＞`0`]이면 [eqn: x^2 `＞`0`]이다.’ 이다.

[eqn: 0]이 아닌 실수의 제곱은 양수가 되므로  참

ㄴ의 역은 ‘[eqn: x `＞`0`]이면 [eqn: x `＞`1`]이다.’ 이므로 거짓

ㄷ의 역은 ‘[eqn: x`＞`1`]이면 [eqn: x^2 `＞`x`]이다.’ 이다.

[eqn: 1`]보다 큰 수 [eqn: x`]의 제곱은 [eqn: x`]보다 크므로 참

따라서 역이 참이 되는 명제는 ㄱ, ㄷ

8. [출제 의도] 무리식의 성질을 이해할 수 있다.

ㄱ. [eqn: b`＜`0`] 이므로 [eqn: root{b^2`}`=`left| b ``right | `=`-b`]

ㄴ. [eqn: a`＞`0`], [eqn: b`＜`0`] 이므로 [eqn: root{a``}root{b``}`=`root{a`b```}]

ㄷ. [eqn: a`＞`0`], [eqn: b`＜`0`] 이므로 [eqn: root{a``}over{root{b``}``}^`=`-`root{{a}over{b}``}]

따라서 옳은 것은 ㄴ 뿐이다.

9. [출제 의도] 집합의 포함관계를 따지고 부분집합의 개수를 구할 수 있다.

[eqn: A_n+1 ` = A_n` ∪ `left{ `A_n `right}`]에서

ㄱ. [eqn: A_4 ` = A_3` ∪ `left{ `A_3 `right}`]이므로 [eqn: A_ 4 = left{ emptyset , LEFT { emptysetRIGHT } , left{ emptyset , left{ emptyset right} right} right}]  ∴참

ㄴ. [eqn: A_n`` in ``A_n+1]   ∴참

ㄷ. [eqn: A_2 = left{ emptyset right} = left{ A_1` right}]

[eqn: A_3 = left{ emptyset , left{ emptyset right} right} =left{ A_1`,A_2` right}]

[eqn: A_ 4 = left{ emptyset , LEFT { emptysetRIGHT } , left{ emptyset , left{ emptyset right} right} right} =left{ A_1 ,`A_2 ,`A_3` right}]

[eqn: vdots`]

[eqn: A_n+1 = left{ A_1`, ``A_2`, ``A_3`, cdots` , ``A_n `right}]    ∴참

[참고] ㄴ에서 [eqn: A_n`` in ``A_n+1 ``]도 되지만 [eqn: A_n`` ⊂ ``A_n+1 ``]도 된다.

10. [출제 의도] 실수의 성질을 이용하여 필요․충분조건을 판단할 수 있다.

[eqn: ab＜0]이면 [eqn: a＜0,``b＞0] 또는 [eqn: a＞0,``b＜0]이므로

[eqn: a＜0`] 또는 [eqn: b＜0`]이 성립한다.

그리고 [eqn: a`=`-1`,`b`=`-1`]이면 [eqn: a`b＜0`]은 성립하지 않는다.

따라서 [eqn: p`]는 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이다.

[eqn: ｜a+b｜＜｜a-b｜]의 양변이 모두 [eqn: 0`] 또는 양수이므로

양변을 제곱해도 부등호는 변하지 않는다.

[eqn: ｜a+b｜＜｜a-b｜] ⇔ [eqn: a^2 +2ab+b^2 ＜a^2 -2a b+b^2`]

⇔ [eqn: ab`＜`0]

따라서 [eqn: r``⇒``q`] 이므로 [eqn: q`]는 [eqn: r`]이기 위한 필요조건이다.

11. [출제 의도] 실생활에서의 문제를 수학적으로 추론할 수 있다.

[그림 1]에서 1, 2, 3, 4 중에 가벼운 것이 있거나 5, 6, 7, 8 중에 무거운 것이 있음을 알 수 있다.

[그림 2]에서 2, 7, 8 중에 가벼운 것이 있거나 1, 5, 6 중에 무거운 것이 있음을 알 수 있다.

결국 [그림 1]과 [그림 2]에서 2가 가벼운 것이거나 5, 6 중에 무거운 것이 있음을 알 수 있다.

따라서 저울의 양쪽에 5와 6을 올려서 둘 중에 무거운 것이 있으면 그것이 무게가 다른 하나이고, 둘의 무게가 같으면 2가 무게가 다른 하나가 된다. 그러므로 철수는 마지막에 5와 6을 저울의 양쪽에 올려놓으면 무게가 다른 구슬을 찾을 수 있다.

[참고] 만일 저울의 양쪽에 1, 2를 올려 놓으면 1, 2의 무게가 같을 경우  5와 6 중 어느 것이 무거운 것인지 알 수 없게 된다.

12. [출제의도] 실생활에서 일차방정식을 활용할 수 있다.

농도가 [eqn: a`%`]인 설탕물 100 g에 들어 있는 설탕의 양은 [eqn: a`] g이다.

10 g의설탕을 넣었을 때 농도가 [eqn: (a+7)` %]가 되므로

[eqn: {a+10}over{100+10} ×100 =a+7]

[eqn: 100a+1000 =110a +770]

[eqn: 10a =230] ∴[eqn: a= 23`]

13. [출제 의도] 자연수의 성질을 증명할 수 있다.

[eqn: a=2p-1`,``b=2q-1`,``c=2r-1``](단, [eqn: p`,`q`,`r`]는 자연수)로 놓으면

[eqn: a^2 +b^2 +c^2 =4left{p(p-1)+q(q-1)+r(r-1)`right}`+`]  …(가)

[eqn: 3`]

그런데 [eqn: p`(p-1),`q`(q-1),`r`(r-1)``]은 각각 연속한 두 정수의 곱이므로 2의 배수이다. 따라서

[eqn: p(p-1)+q(q-1)+r(r-1)``]은 의 배수 …(나)

[eqn: 2`]

[eqn: p(p-1)+q(q-1)+r(r-1)`=2k`]([eqn: k`]는 [eqn: 0`] 또는 자연수 )로 놓으면

[eqn: a^2`+b^2`+c^2`=8k+3`]

즉, [eqn: a^2`+b^2`+c^2`]을 로 나눈 나머지는   …(다)

[eqn: 8`]

[eqn: 3`]

14. [출제 의도] 기하학적 증명의 흐름을 추론할 수 있다.

[eqn: rm barAP = barBP]이므로 이등변삼각형[eqn: rm OAB`]에서 점[eqn: rm P]는 중심[eqn: rm O]에서 선분[eqn: rm AB]에 내린 수선의 발이다.

∴  …(가)

[eqn: rm barOP ⊥ barAB]

마찬가지로  …(나)

[eqn: rm barOP ⊥ barCD`]

또, 한 점을 지나는 직선 중에서 주어진 직선에 수직인 것은 오직 하나뿐이므로 점 P를 지나는 직선 중에서 [eqn: rm barOP]와 이다.…(다)

수직인 직선은 하나 뿐

15. [출제 의도] 조립제법 과정을 이해할 수 있다.

빈 칸을 채워 보면 다음과 같다.

1

0

-1

2

-2

2

2

-1

-2

3

0

[eqn: 1 OVER 2]

∴ [eqn: a+b+c = 1 over 2 + (-2) + 2 = 1 over 2]

[참고] [eqn: 2 x^3 - x^2 -2 x +3][eqn: = left( x - 1 over 2 right) ( 2 x^2 -2 ) +2]

[eqn: = ( 2x - 1 ) (x^2 -1 )+2]

따라서 몫은 [eqn: x^2`-1`]이고 나머지는 [eqn: 2`]이다.

16. [출제 의도] 피타고라스의 정리를 이용하여 도형의 문제를 해결할 수 있다.

그림에서 한 원의 반지름의 길이는 1이다. 또, 한 변의 길이가 [eqn: 2] 인 정삼각형의 높이는 [eqn: `{`root3`}over{2} ×`2 `=` sqrt{3``}] 이므로 구하는 세로의 길이는 [eqn: 1`+`2root{3`}+1`][eqn: =][eqn: 2`+2root3]	2 4

17. [출제 의도] 인수정리를 이용하여 다항식을 인수분해할 수 있다.

[eqn: P(x) = 3x^3 +9x^2 -4x+k]가 [eqn: x+3`]으로 나누어 떨어지므로

[eqn: P(-3) = 3(-3)^3 +9(-3)^2 -4(-3)+k`]

[eqn: = k+12=0`]   ∴[eqn: k=-12]

[eqn: ∴~P(x) = 3x^3 +9x^2 -4x-12`][eqn: = (x+3)(3x^2 -4)]

따라서 [eqn: P(x)`]의 인수는 [eqn: 3x^2 -4`]이다.

18. [출제 의도] 수와 식으로 실생활 문제를 해결할 수 있다.

2004년 4월의 판매 가격을 [eqn: a``]라 하면

5월의 판매 가격은 [eqn: a`-`0.15`a``=`0.85`a``] 이고,

6월의 판매 가격은 [eqn: 0.85`a`-`0.85`a` TIMES 0.1`=`0.765`a``]

따라서, 6월의 판매 가격은 4월의 판매 가격의 [eqn: 76.5`%``]이므로

[eqn: 23.5%``] 할인된 것이다.

19. [출제 의도] 집합의 연산법칙을 활용하여 실생활 문제를 해결할 수 있다.

토요일 봉사 활동에 참여한 학생의 집합을 [eqn: A`], 일요일 봉사 활동에 참여한 학생의 집합을 [eqn: B`]라 하면, 이틀 모두 봉사 활동에 참여하지 않은 학생의 집합은 [eqn: A^c ∩ B^c =(A∪B)^c`]이다.

[eqn: n`((A∪B)^c` )=17`]에서

[eqn: n`(A∪B )=n(U``)-n((A∪B)^c `) =35-17=18`]이다.

∴ [eqn: n(A ∩B) =n(A)+n(B)-n(A∪B)]

[eqn: =14+11-18]

[eqn: =7]

20. [출제 의도] 입체도형과 그 전개도의 관계를 파악하여 문제를 해결 할 수 있다.

전개도를 접어 생긴 입체도형을 각 면의 번호를 알기 쉽도록 다시 나타내면 아래 그림과 같다.

⇨

1

2

3

4

5

7

8

이 그림에서 보이지 않는 뒷면의 번호는 6이다.

따라서, 6의 면과 서로 이웃한 세 면은 2, 3, 4이다.

21. [출제 의도] 두 수의 최소공배수의 성질을 활용하여 실생활의 문제를 해결할 수 있다.

빨강 전구는 4초마다 같은 상태가 반복되고, 노랑 전구는 6초마다 같은 상태가 반복되므로 두 전구는 4와 6의 최소공배수인 12초마다 같은 상태가 반복된다. 따라서 2(분)[eqn: = `2 times60`=` 120](초) 동안 같은 상태가 10번 반복된다.

시각(초)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
빨강			꺼짐				꺼짐				꺼짐
노랑				꺼짐						꺼짐

그림과 같이 12초 동안 두 개의 전구가 모두 켜져 있는 시간은 3초이다.

그러므로 두 전구가 모두 켜져 있는 시간은 [eqn: `3 times 10`=` 30](초)이다.

22. [출제 의도] 부분집합의 개수를 계산할 수 있다.

[eqn: A∩B=B`]이면 [eqn: B⊂A`]이다.

따라서, [eqn: A∩B=B`],[eqn: ``B`!=`∅`]인 집합 [eqn: B`]는 공집합이 아닌 [eqn: A`]의 부분집합이므로 그 개수는

[eqn: 2^5 -1=31`](개)

23. [출제 의도] 식의 값을 구할 수 있다.

[eqn: x+y = 4`],[eqn: `x y = 1``]이므로

[eqn: x^3 +y^3][eqn: = ( x+y)^3 - 3 x y `( x +y )]

[eqn: = 4^3 - 3 cdot 1 cdot 4 `=`52]

24. [출제 의도] 최대공약수와 최소공배수의 관계를 이용하여 문제를 해결할 수 있다.

두 이차 다항식 [eqn: `A`], [eqn: B`]의 최대공약수 [eqn: G=][eqn: x-3``]이고 최소공배수

[eqn: L` `=`` (x-1)(x-2)(x-3) ``]이다.

[eqn: A=aG, ~B=bG `], [eqn: L=abG^{ }] (단, [eqn: a,`b`]는 서로소)이므로,

두 다항식 [eqn: A, ~B``]는

[eqn: A=(x-1)(x-3)````,```B=(x-2)(x-3)`]

또는 [eqn: A=(x-2)(x-3)````,```B=(x-1)(x-3)`]이다.

∴ [eqn: A+B`=`2x^{ 2 } -9x+9]

[eqn: a = 2,`` b= -9 , ``c= 9 `~ ~~therefore~ a^2 + b^2 + c^2 `= 166]

25. [출제 의도] 복소수의 서로 같음을 이해할 수 있다.

[eqn: (x+y`i`)(1+i`) `=`3+9`i``]에서

[eqn: (x-y)+(x+y)i `=`3+9`i``]

∴ [eqn: x-y = 3], [eqn: x+y = 9]

이것을 풀면, [eqn: x=6], [eqn: y = 3]

∴ [eqn: x`y`=`18]

26. [출제 의도] 평행사변형의 성질을 이용하여 도형 문제를 해결할 수 있다.

꼭지점[eqn: rm D`]를 지나고 [eqn: rm barAB`]와 평행한 직선과 변[eqn: rm BC`]의 교점을[eqn: rm E`]라 하면

[eqn: rm ANGLE DEC= 180^o -130^o =50^o`]에서 [eqn: rm ANGLE EDC=180^o -(50^o +65^o )] [eqn: rm = `65^o` = ANGLE ECD``]이므로 [eqn: rm barDE = bar EC] ∴[eqn: rm barBC = bar BE + barEC] [eqn: rm = bar AD + barDE`] [eqn: rm = bar AD + barAB] [eqn: =5+7=12`]	B C D A 5 7 E 50° 65° 65° 130°

27. [출제 의도] 두 지점 사이의 거리를 구하는 과정을 추론할 수 있다.

[eqn: A`]지점과 [eqn: B`]지점을 왕복하는 데 갈 때는 [eqn: 1`]km에 [eqn: 60 over 20 =3``](분),

올 때는 [eqn: 1`]km 에 [eqn: 60over15 =4`](분) 걸리므로 [eqn: 1`]km 가는데 [eqn: 4-3 =1`]분씩 차이가 난다.

따라서, [eqn: a``]km 가는데 [eqn: a``]분 차이가 난다.

1시간 30분은 90분이므로 에 알맞은 수는 [eqn: 90`]이다.

(다)

그러므로 [eqn: A`]지점과 [eqn: B`]지점 사이의 거리는 [eqn: 90 rm km`]이다.

28. [출제 의도] 자연수의 성질을 이용하여 집합 문제를 해결할 수 있다.

[eqn: A= left{ 1,``2,``3,``4,`6,``12 right}] 이므로 [eqn: A∩B = left{ 1,``2 right}]가 되기 위해서 □에 들어갈 수 있는 수는 [eqn: 3,``4`]를 약수로 갖지 않는 [eqn: 2`]의 배수이다.

[eqn: 20`]보다 작은 자연수 중 이를 만족하는 것은 [eqn: 2, ``10, ``14`]이다.

따라서 이들의 합은 [eqn: 2+10+14`=`26`]

29. [출제 의도] 삼각형과 내접원 관계를 이용한 도형 문제를 해결할 수 있다.

그림에서[eqn: rm TRIANGLE ABC``]의 내접원의 반지름의 길이를 [eqn: r`] 라 하면 [eqn: rm barAB =it 4+r,~rm barBC = it 6+r``]이다. [eqn: rm {barAB}^2 +{barBC}^2 ={barAC}^2`]이므로 [eqn: (4+r)^2 +(6+r)^2 = 10^2`] [eqn: r^2 +10r-24=0], [eqn: (r-2)(r+12)=0`] 그런데 [eqn: r``＞``0`]이므로 [eqn: r=2`] ∴[eqn: rm barAB =6,~barBC =8``] 따라서 삼각형[eqn: rm ABC`]의 넓이 [eqn: S`]는 [eqn: S= 1over2 rm times barAB TIMES barBC = 1over2 TIMES 6 TIMES 8 =24]	4 6 [eqn: r`] 4 6 [eqn: rm C] [eqn: rm B] [eqn: rm D] [eqn: rm A]

30. [출제 의도] 십진법을 이해하여 실생활 문제를 해결할 수 있다.

영희는 20세기에 태어났으므로 영희가 태어난 연도의 각 자리의 수를

[eqn: 1,``9,``a,``b`]라고 하면 문제의 조건에서

[eqn: 2004-(1900+10a+b)=1+9+a+b`]

∴ [eqn: 11a=94-2b`]

[eqn: a`=`{94-2b}over11]에서 [eqn: 94-2b]는 11의 배수이고

[eqn: b=0,`1,cdots,9`]이므로 [eqn: b=3]

이 때, [eqn: a=`{94-6}over11`=`8]

∴ [eqn: a=8,``b=3`]

따라서 영희는[eqn: 1983]년에 태어났으므로 영희의 나이는

[eqn: 2004-1983 = 21] (세)

[참고] 20세기는 2000년까지이지만 영희가 2000년에 태어났다면

[eqn: 2004-2000=4`,```2+0+0+0=2`]가 되어 주어진 조건을 만족하지 않는다.