수학 영역(가형)

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수학 영역(가형)

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2016학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(가형)

제 2 교시

5지선다형

1. [eqn: lim _{x -> 0} {{e ^{2x} -1} over {4x}} `]의 값은? [2점]

12

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① [eqn: 1over3]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: {2} over3]	④ [eqn: 5over6]	⑤ [eqn: 1]

2. [eqn: theta = {3 } over {4} pi]일 때, [eqn: sin theta +cos theta `]의 값은? [2점]

① [eqn: - sqrt {2}]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: sqrt {2}]

3. 함수 [eqn: f(x)= e^x overx]에 대하여 [eqn: f` prime LEFT ( 2 RIGHT )`]의 값은? [2점]

① [eqn: e^2 over4]	② [eqn: e^2 over2]	③ [eqn: e^2]	④ [eqn: 2e^2]	⑤ [eqn: 4e^2]

4. [eqn: int _{1} ^{{2}} 3x+2 overx^2 dx`]의 값은? [3점]

① [eqn: 2ln2 -1]	② [eqn: 3ln2 -1]	③ [eqn: ln2 +1]

④ [eqn: 2ln2 +1]	⑤ [eqn: 3ln2 +1]

5. 함수 [eqn: f(x)=a`sinx+1`]의 최댓값을 [eqn: M`], 최솟값을 [eqn: m`]이라 하자. [eqn: M-m=6`]일 때, 양수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: 4]

6. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: y= e^-x - n-1 overe`]의 그래프와 함수 [eqn: y= LEFT | `ln `x `RIGHT |`]의 그래프가 만나는 점의 개수를 [eqn: f(n)`]이라 할 때, [eqn: f(1)+f(2)`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

7. 함수 [eqn: f(x)`]가 모든 실수에서 연속일 때, 도함수 [eqn: f`'(x)`]가

[eqn: f` prime (x)= {cases{`e ^x-1~~~& LEFT ( x le1 RIGHT )#`{1} over {x} & LEFT ( x``＞`1 RIGHT )}}]

이다. [eqn: f(-1)=e+ 1overe^2]일 때, [eqn: f(e)`]의 값은? [3점]

① [eqn: e-2]	② [eqn: e-1]	③ [eqn: e]

④ [eqn: e+1]	⑤ [eqn: e+2]

8. 함수 [eqn: f(x)= sinx+a`cosx`]에 대하여 [eqn: lim_{x-> pi over2} {f(x)-1}over{x- pi over2} =3`]일 때, [eqn: f` left( pi over4 right)`]의 값은? (단, [eqn: a`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: -2root2]	② [eqn: -root2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: root2]	⑤ [eqn: 2root2]

9. 실수 전체의 집합에서 함수 [eqn: f`(x) = (x^2 +2ax+11 ) e^x`]이 증가하도록 하는 자연수 [eqn: a`]의 최댓값은? [3점]

①　[eqn: 3]	②　[eqn: 4]	③　[eqn: 5]	④　[eqn: 6]	⑤　[eqn: 7]

10. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: f(n) =sum_r=0^n {`_n{\C}_r}`left(1over9 right)^r}`]일 때, [eqn: log` f(n) >`1`]을 만족시키는 [eqn: n`]의 최솟값은? (단, [eqn: log`3 = 0.4771`]로 계산한다.)

[3점]

①　[eqn: 18]	②　[eqn: 22]	③　[eqn: 26]	④　[eqn: 30]	⑤　[eqn: 34]

11. 그림과 같이 제[eqn: 1`]사분면에 있는 점 [eqn: rm P`]에서 [eqn: x `]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 하고, [eqn: rm ANGLE POH`= theta `]라 하자. [eqn: {bar\OH}over{bar\PH}`]를 [eqn: f(theta)`]라 할 때, [eqn: int _{{pi } over {6}} ^{{pi } over {3}} {f LEFT ( theta RIGHT ) `d theta } `]의 값은? (단, [eqn: \O`]는 원점이다.) [3점]

① [eqn: {1} over {2} `ln3]	② [eqn: ln3]	③ [eqn: ln6]

④ [eqn: 2`ln3]	⑤ [eqn: 2`ln6]

12. 함수 [eqn: f(x)`]가

[eqn: f(x)= {cases{`e ^{x} ~~~~~~~&(x LEQ 0,```x GEQ 2)#`ln(x+1)&(0<x<2)}} `]

이고, 함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim _{x -> `2+} {f(g(x))} `+ lim _{x-> 0+} {g(f(x))`}]의 값은? [3점]

① [eqn: e]	② [eqn: e+1]	③ [eqn: e+2]

④ [eqn: e^2 +1]	⑤ [eqn: e^2 +2]

[13 ∼ 14] 좌표평면에 두 함수 [eqn: bold{f(x)=2 ^{x}`]의 그래프와 [eqn: bold{g(x)= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x}}`]의 그래프가 있다. 두 곡선 [eqn: boldy=f(x)], [eqn: boldy=g(x)`]가 직선 [eqn: bold{x=t}`][eqn: bold{(t>0)`}]과 만나는 점을 각각 [eqn: bold\A], [eqn: bold\B]라 하자.
13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

13. [eqn: t=1`]일 때, 두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)`]와 직선 [eqn: \AB`]로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점]

① [eqn: {5} over {4ln2}]	② [eqn: {1} over {ln2}]	③ [eqn: {3} over {4ln2}]

④ [eqn: {1} over {2ln2}]	⑤ [eqn: {1} over {4ln2}]

14. 점 [eqn: \A`]에서 [eqn: y`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 할 때, [eqn: lim _{t`-> `0+} {` {bar\AB} over {bar\AH}}`]의 값은? [4점]

① [eqn: 2ln2]	② [eqn: 7over4` ln2]	③ [eqn: 3 over2`ln2]	④ [eqn: 5over4 `ln2]	⑤ [eqn: ln2]

15. 한 변의 길이가 [eqn: a`]인 정사각형 모양의 시트지 [eqn: 2]장, 빗변의 길이가 [eqn: root2 a`]인 직각이등변삼각형 모양의 시트지 [eqn: 4]장이 있다. 정사각형 모양의 시트지의 색은 모두 노란색이고, 직각이등변삼각형 모양의 시트지의 색은 모두 서로 다르다.

[그림 1]과 같이 한 변의 길이가 [eqn: a`]인 정사각형 모양의 창문 네 개가 있는 집이 있다. [그림 2]는 이 집의 창문 네 개에 [eqn: 6]장의 시트지를 빈틈없이 붙인 경우의 예이다.

이 집의 창문 네 개에 시트지 [eqn: 6]장을 빈틈없이 붙이는 경우의 수는? (단, 붙이는 순서는 구분하지 않으며, 집의 외부에서만 시트지를 붙일 수 있다.) [4점]

[그림 1]                [그림 2]

① [eqn: 432]	② [eqn: 480]	③ [eqn: 528]	④ [eqn: 576]	⑤ [eqn: 624]

16. 함수 [eqn: f(x)= lim _{n -> INF } {{x ^{2n} +cos2 pi x} over {x ^{2n} +1}} `]에 대하여 함수 [eqn: g(x)`]를

[eqn: g(x)= int _{-x} ^{2} {f(t)`dt}` + int _{2} ^{x} {tf(t)`dt}]

라 할 때, [eqn: g(-2)`+g(2)`]의 값은? [4점]

① [eqn: -2]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

17. [eqn: 1`]부터 [eqn: 8`]까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있는 [eqn: 8`]장의 카드 중에서 동시에 [eqn: 5`]장의 카드를 선택하려고 한다. 선택한 카드에 적혀 있는 수의 합이 짝수인 경우의 수는? [4점]

① [eqn: 24]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 32]	④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 40]

18. 좌표평면에 중심이 원점 [eqn: \O`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 3`]인 원 [eqn: C_1]과 중심이 점 [eqn: \A(ITt,``6)`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 3`]인 원 [eqn: C_2`]가 있다. 그림과 같이 기울기가 양수인 직선 [eqn: l`]이 선분 [eqn: \OA`]와 만나고, 두 원 [eqn: C_1], [eqn: C_2`]에 각각 접할 때, 다음은 직선 [eqn: l`]의 기울기를 [eqn: t`]에 대한 식으로 나타내는 과정이다. (단, [eqn: t>6])

직선 [eqn: rm OA`]가 [eqn: x`]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: alpha`],

점 [eqn: rmO]를 지나고 직선 [eqn: l`]에 평행한 직선 [eqn: m`]이 직선 [eqn: rm OA`]와
이루는 예각의 크기를 [eqn: beta`]라 하면

[eqn: tan alpha = 6 overt`]

[eqn: tan beta =]

(가)

이다.

직선 [eqn: l`]이 [eqn: x`]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta`]라 하면

[eqn: theta = alpha + beta`]

이므로

[eqn: tan theta `=]

(나)

이다.

따라서 직선 [eqn: l`]의 기울기는 이다.

(나)

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(t)], [eqn: g(t)`]라 할 때, [eqn: g(8) overf(7)`]의 값은? [4점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 5 over2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 7over2]	⑤ [eqn: 4]

19. 함수 [eqn: f(x) = x over{x^2 +1}`]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: f` prime (0)=1`] ㄴ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)ge`- 1over2`]이다. ㄷ. [eqn: 0<a<b<1`]일 때, [eqn: {f(b)-f(a)} over {b-a} >1`]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

20. 그림과 같이 함수

[eqn: f(x)=cases{`e^-x ~~~~&(x<0)# sqrt{ln(x+1)+1} ~ &(x ge0)]

의 그래프 위의 점 [eqn: \P left(itx,``f(x) right)`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: \H`]라 하고, 선분 [eqn: \PH`]를 한 변으로 하는 정사각형을 [eqn: x`]축에 수직인 평면 위에 그린다. 점 [eqn: \P`]의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: x=`-ln 2`]에서 [eqn: x=e-1`]까지 변할 때, 이 정사각형이 만드는 입체도형의 부피는? [4점]

① [eqn: e- 3 over2]	② [eqn: e+ 2over3]	③ [eqn: 2e- 3 over2]

④ [eqn: e+ 3over2]	⑤ [eqn: 2e - 2over3]

21. 그림과 같이 중심이 원점 [eqn: \O`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원 [eqn: C`]가 있다. 원 [eqn: C`]가 [eqn: x`]축의 양의 방향과 만나는 점을 [eqn: \A], 원 [eqn: C] 위에 있고 제[eqn: 1`]사분면에 있는 점 [eqn: rmP`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`], [eqn: angle \POA =theta`]라 하자. 삼각형 [eqn: \APH`]에 내접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r(theta)`]라 할 때, [eqn: lim _{ theta->0+} {{r(theta)} over theta^2}`]의 값은? [4점]

① [eqn: 1 over10`]	② [eqn: 1 over8`]	③ [eqn: 1 over6`]	④ [eqn: 1 over4`]	⑤ [eqn: 1 over2`]

단답형

22. 방정식 [eqn: 2 ^{1over8 x -1} = 16`]의 해를 구하시오. [3점]

23. 곡선 [eqn: y=ln(x-7)`]에 접하고 기울기가 [eqn: 1`]인 직선이 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축과 만나는 점을 각각 [eqn: \A], [eqn: \B`]라 할 때, 삼각형 [eqn: \AOB`]의 넓이를 구하시오. (단, [eqn: \O`]는 원점이다.) [3점]

24. 원소의 개수가 [eqn: 8`]인 집합을 공집합이 아닌 [eqn: 2`]개의 서로소인 부분집합으로 분할하는 방법의 수를 구하시오. [3점]

25. 어느 필름의 사진농도를 [eqn: P`], 입사하는 빛의 세기를 [eqn: Q`], 투과하는 빛의 세기를 [eqn: R`]라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

[eqn: R=Q TIMES 10 ^{-P} `]

두 필름 [eqn: \A], [eqn: \B`]에 입사하는 빛의 세기가 서로 같고, 두 필름 [eqn: \A], [eqn: \B`]의 사진농도가 각각 [eqn: p], [eqn: p+2`]일 때, 투과하는 빛의 세기를 각각 [eqn: R _{\A} ,````R _{\B} `]라 하자. [eqn: {R _{\A}} over {R _{\B}}`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p>0]) [3점]

26. 그림과 같이 기울기가 [eqn: - {1} over {3}`]인 직선 [eqn: l`]이 원 [eqn: x^2 + y^2 =1`]과 점 [eqn: rm A`]에서 접하고, 기울기가 [eqn: 1`]인 직선 [eqn: m`]이 원 [eqn: x^2 + y^2 =1`]과 점 [eqn: rm B`]에서 접한다. [eqn: 100`cos ^{2}` left( ANGLE rm AOB right)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rm O`]는 원점이다.) [4점]

27. 다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: N`]의 개수를 구하시오. [4점]

(가) [eqn: N`]은 [eqn: 10] 이상 [eqn: 9999] 이하의 홀수이다.

(나) [eqn: N`]의 각 자리 수의 합은 [eqn: 7`]이다.

28. 함수 [eqn: f(x)= {e ^{`cos`x}} over {1+e ^{``cos`x}}]에 대하여

[eqn: a=f` LEFT ( pi -x RIGHT ) +f` LEFT ( x RIGHT )],   [eqn: b= int _{0} ^{pi } {f`(x)`dx]

일 때, [eqn: a+ {100} over {pi} b`]의 값을 구하시오. [4점]

29. 집합 [eqn: X = LEFT {-3,` -2,`-1,```1,```2, ```3` RIGHT }`]에 대하여 [eqn: X`]에서 [eqn: X`]로의 함수 [eqn: f(x)`]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: X`]의 모든 원소 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: LEFT | `f(x)+f(-x)` RIGHT | =1`]이다.

(나) [eqn: x>0`]이면 [eqn: f(x) >0`]이다.

함수 [eqn: f(x)`]의 개수를 구하시오. [4점]

30. 함수 [eqn: f(x)=x ^{2} e ^{ax} `][eqn: (a<0)`]에 대하여 부등식 [eqn: f(x) GEQ t`][eqn: (t>0)]을 만족시키는 [eqn: x`]의 최댓값을 [eqn: g(t)`]라 정의하자. 함수 [eqn: g(t)`]가 [eqn: t=` {16} over {e ^{2}}]에서 불연속일 때, [eqn: 100a ^{2}]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: lim_x->inf f(x) =0]) [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.