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2004학년도 11월 고2 전국연합학력평가 문제지

국 어

공    통

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국 어

공    통

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국 어

공    통

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국 어

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국 어

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국 어

공    통

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수 리 영 역 (가형)

제 2 교시

성명			수험번호						2

수리 영역 (가형)

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수리 영역 (가형)

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◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형, 답을 표기할 때에는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 0이 포함된 경우, 0을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

1. [eqn: log _a ```3 = 5 over 2]일 때, [eqn: a^5]의 값은? (단, [eqn: a`＞``0 ,~ a ne 1]) [2점]

①  [eqn: 2]

②  [eqn: 3]

③  [eqn: 5]

④  [eqn: 9]

⑤ [eqn: 10]

2. 이차정사각행렬 [eqn: A,~B`]에 대하여

[eqn: A+B`= PMATRIX { 1 & -2 ``# 3 & ~~2 `` }], [eqn: AB+BA`= PMATRIX { -6 & -7 ``# ~~3 & ~~2 `` }]가 성립할 때,

[eqn: A^2 +B^2 `]은? [2점]

① [eqn: pmatrix{-5&-6``#~~9&-2``}]

② [eqn: pmatrix{~`~1&~~1``#~`~6&-4``}]

③ [eqn: pmatrix{-5&-9``#~~6&~~0``}]

④ [eqn: pmatrix{-1&~~1``#~~6&-4``}]

⑤ [eqn: pmatrix{-6&~`~7``#~~3&~`~2``}]

3. [eqn: lim from n->inf n left( root n+1 - root n-1 right) ^2 `]의 값은? [3점]

① [eqn: 0]

② [eqn: 1]

③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]

⑤ [eqn: 4]

4. [eqn: x,~y`]에 대한 연립방정식 [eqn: pmatrix { a+5 & 0`` # 2 &a`` } pmatrix { x``# y``} = pmatrix { 2x-y`` # y`` }]의 해가 무수히 많을 때, 상수 [eqn: a`]값들의 합은? [3점]

① [eqn: -2]

② [eqn: -1]

③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]

⑤ [eqn: 2]

5. 수열 [eqn: left{`a_n ` right}]에서 [eqn: a_1 + a_2 + a_3 + `` cdots`` + a_n-1 + a_n = n^2]일 때,

[eqn: a_1 - a_2 + a_3 - a_4 +`` cdots`` + a_2003 - a_2004]의 값은? [3점]

① [eqn: -2004]

② [eqn: -2002]

③     [eqn: 0]

④  [eqn: 2002]

⑤ [eqn: 2004]

6. 부등식 [eqn: 4^x `＜`` left( root{3+root{5``} } - root{3-root{5``} } ` right) ^3]의 해는? [3점]

① [eqn: x`＞` 1over 4]

② [eqn: x`＜` 3over 4]

③ [eqn: x```＞`` 1]

④ [eqn: 1over 4 ＜``x``＜`` 1]

⑤ [eqn: ` 1 `＜``x``＜`` 5 over 4]

7. 어떤 스키장에서 개장을 앞두고 안전관리요원 모집 공고를 했더니 남자 [eqn: 5]명, 여자 [eqn: 5]명이 지원하였다. 이들 지원자 중에서 [eqn: 4]명을 선발하려고 한다. 남자 [eqn: 2]명, 여자 [eqn: 2]명을 선발하는 경우의 수를 [eqn: a`], 적어도 여자 [eqn: 1]명을 선발하는 경우의 수를 [eqn: b`], 특정한 [eqn: 2]명을 반드시 선발하는 경우의 수를 [eqn: c`]라 할 때, [eqn: a,~ b,~c`]의 대소관계를 바르게 나타낸 것은? [3점]

① [eqn: a `＜``b`＜``c`]

② [eqn: a`＜``c`＜``b`]

③ [eqn: b `＜``a`＜``c`]

④ [eqn: b`＜``c`＜``a`]

⑤ [eqn: c`＜``a`＜``b`]

8. 그림과 같이 원 [eqn: rm C_1 ,~ C_2 , ~ C_3 , ~ C_4]는 이웃하는 두 원끼리 외접하며 이들 원의 중심은 지름의 길이가 [eqn: 15]인 원 [eqn: rm C`]의 지름 위에  모두 있고, 원 [eqn: rm C_1 `], [eqn: rm C_4`]는 원 [eqn: rmC`]와 내접하고 있다.  원 [eqn: rm C_1 ,][eqn: rm C_2 ,]

[eqn: rm C_3 , ~ C_4]의 지름의 길이가 차례로 등비수열을 이룰 때, 어두운 부분의 넓이는? (단, 원 [eqn: rm C_1]의 지름의 길이는 [eqn: 1]이다.) [4점]

[eqn: rm C_3]

[eqn: rm C_4]

[eqn: rm C_1]

[eqn: rm C_2]

[eqn: rm C]

① [eqn: 25 pi]

② [eqn: 30 pi]

③ [eqn: 35 pi]

④ [eqn: 40 pi]

⑤ [eqn: 45 pi]

9. 수열 [eqn: left{a_n `right}]에서 [eqn: a_1 = 1 , ~ a_n+1 = a_n + 1 over { 4n^2 -1}]([eqn: n `≧``1])일 때,

[eqn: lim from n->inf a_n]의 값은? [3점]

① [eqn: 1 over 3]

② [eqn: 1 over 2]

③  [eqn: 1]

④ [eqn: 5 over 4]

⑤ [eqn: 3 over 2]

10. [eqn: n`]이 [eqn: 2] 이상의 자연수일 때, <보기>에서 거듭제곱근에 대한 설명 중 옳은 것을 모두 고르면? [3점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: n`]이 홀수일 때, [eqn: `^n root {-5`} = - ^n root {5`}]이다. ㄴ. [eqn: n`]이 짝수일 때, [eqn: `^n root {(-5)^n `} = -5]이다. ㄷ. [eqn: n`]이 홀수일 때, [eqn: x^n = -5]를 만족하는 실수 [eqn: x`]는 [eqn: 1]개이다. ㄹ. [eqn: n`]이 짝수일 때, [eqn: x^n = 5]를 만족하는 실수 [eqn: x`]는 [eqn: n`]개이다.

① ㄱ, ㄷ

② ㄴ, ㄷ

③ ㄴ, ㄹ

④ ㄱ, ㄴ, ㄹ

⑤ ㄱ, ㄷ, ㄹ

11. 좌표평면에서 원점을 출발하여 [eqn: x`]축 또는 [eqn: y`]축의 양의 방향으로

[eqn: 1]씩 이동하여 점 [eqn: rm P(ita,~b)]까지 가는 방법의 수를 [eqn: f`(a,~b`)]로 나타내자. 예를 들면, [eqn: f`(1,~2) =3,] [eqn: f`(2,~2)=6]이다. <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면? (단, [eqn: a, ~b`]는 음이 아닌 정수이다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: f`(2,~3)=10] ㄴ. [eqn: f`(a,~ b ) = f`(b,~a)] ㄷ. [eqn: f`left(f`(1,~2),~3right) = f`left(1, ~f`(2,~3)right)] ㄹ. 직선 [eqn: x+y = 6] 위의 점 중에서 [eqn: f`(a,~b)=15]를 만족하는 점은 [eqn: 2]개이다.

① ㄱ, ㄷ

② ㄴ, ㄹ

③ ㄷ, ㄹ

④ ㄱ, ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄹ

12. 수열 [eqn: left{`a_n ` right}], [eqn: left{`b_n ` right}]에 대하여 다음 중 옳은 것은? [3점]

① [eqn: lim from n->inf a_n `^2 =9]이면 [eqn: lim from n->inf a_n =3]이다.

② [eqn: a_n `＜`` b_n]이면 [eqn: lim from n->inf a_n `＜`` lim from n->inf b_n]이다.

③ [eqn: lim from n->inf LEFT |a_n `RIGHT |]이 수렴하면 [eqn: lim from n->inf a_n =0]이다.

④ [eqn: lim from n->inf left(3n+1 right) a_n = 6]이면 [eqn: lim from n->inf n a_n = 2]이다.

⑤ [eqn: lim from n->inf a_n =1]이면 무한급수 [eqn: sum from n=1 to inf a_n]은 수렴한다.

13. 다음은 [eqn: 2] 이상의 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: 1 + 1over2^2 + 1over 3^2 + `` cdots + 1over n^2 `＜`` 2 - 1over n]임을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

	<증명> (ⅰ) [eqn: n=] 일 때, [eqn: (좌변) = 1 + 1 over 2^2 = 5 over 4 `＜`` 2- 1over 2 = 3over2 = (우변)] 따라서, [eqn: n =] 일 때, 주어진 식은 성립한다. (ⅱ) [eqn: n=k`]([eqn: n`≧``2])일 때, 주어진 식이 성립한다고 가정하면 [eqn: 1 + 1over2^2 + 1over 3^2 + `` cdots + 1over k^2 `＜`` 2 - 1over k]이다. 위 식의 양변에 [eqn: 1 over (k+1)^2]을 더하면 [eqn: 1 + 1over2^2 + 1over 3^2 + cdots + 1over k^2 + 1 over (k+1)^2 ＜ 2 - 1over k + 1 over (k+1)^2] 그런데 [eqn: left{ - 1 over k + 1 over (k+1)^2 right} -] [eqn: = - 1 over k(k+1)^2 `＜`` 0]이므로 [eqn: 2 - 1over k + 1 over (k+1)^2 `＜`` 2 - 1 over k+1]이다. 따라서, [eqn: n = k+1]일 때에도 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: n`≧`2]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: 1 + 1over2^2 + 1over 3^2 + `` cdots + 1over n^2 `＜`` 2 - 1over n]이 성립한다. (나) (가) (가)

이 증명 과정에서 (가), (나)에 알맞은 내용을 바르게 짝지은 것은? [3점]

(가)               (나)

①   [eqn: 1]	[eqn: 1 over k+1]

②   [eqn: 1]	[eqn: - 1 over k+1]

③   [eqn: 2]	[eqn: - 1 over k+1]

④   [eqn: 2]	[eqn: 1 over k(k+1)]

⑤   [eqn: 2]	[eqn: 1 over (k+1)^2]

14. 다음은 무한급수[eqn: SUM from n=1 to inf `LEFT [ 3^4 over 2^n + 1 over2 RIGHT ]]의 합을 구하는 과정을 나타낸 것이다. (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]를 넘지 않는 최대의 정수이다.)

	[eqn: LEFT [ x RIGHT ] =n(n은 ~정수)]로 놓으면, [eqn: n`≦``x`＜``n+1] (ⅰ) [eqn: n`≦``x`＜``n+ 1over 2]일 때, [eqn: LEFT [ x RIGHT ] =n,~LEFT [ x+ 1 over 2 RIGHT ]=n, ~ LEFT [ 2x RIGHT ] =2n] (ⅱ) [eqn: n+ 1 over 2 `≦``x`＜``n+ 1]일 때, [eqn: LEFT [ x RIGHT ] =n,~LEFT [ x+ 1 over 2 RIGHT ]=n+1, ~ LEFT [ 2x RIGHT ] =2n+1] (ⅰ), (ⅱ)에 의해서 [eqn: LEFT [ x RIGHT ] +LEFT [ x+ 1 over 2 RIGHT ]= LEFT [ 2x RIGHT ]]이다. 한편, [eqn: LEFT [ 3^4 over 2^n } RIGHT ] +LEFT [ 3^4 over 2^n + 1 over 2 RIGHT ]=] 이므로 [eqn: SUM from k=1to n `LEFT [ 3^4 over 2^k + 1 over 2 RIGHT ] ``=SUM from k=1 to n `LEFT { LEFT [ 3^4 over 2^k-1 RIGHT ]-LEFT [ 3^4 over 2^k RIGHT ]` RIGHT }][eqn: =] [eqn: therefore SUM from n=1 to inf `LEFT [ 3^4 over 2^n + 1 over 2 RIGHT ] =] (가) B A

이 과정에서 (가)에 알맞은 것은? [4점]

① [eqn: 55]

② [eqn: 67]

③ [eqn: 73]

④ [eqn: 79]

⑤ [eqn: 81]

15. 자연수를 다음과 같은 규칙으로 배열할 때, [eqn: 101]부터 [eqn: 104]까지의 수를 배열한 모양으로 알맞은 것은? [4점]

①	②

[eqn: 101]

[eqn: 102]

[eqn: 103]

[eqn: 104]

[eqn: 104]

[eqn: 103]

[eqn: 102]

[eqn: 101]

③	④

[eqn: 104]

[eqn: 103]

[eqn: 102]

[eqn: 101]

[eqn: 102]

[eqn: 103]

[eqn: 104]

[eqn: 101]

⑤

[eqn: 102]

[eqn: 103]

[eqn: 104]

[eqn: 101]

16. 곡선 [eqn: y = 2 cdot 3^x ```]과 기울기가 [eqn: 1]인 직선이 두 점 [eqn: rm A, ~B]에서 만난다. 두 점 [eqn: rm A, ~B]의 [eqn: x`]좌표는 각각 [eqn: a,~b~(a `＜``b`)]이고 선분 [eqn: RM AB`]의 길이가 [eqn: root2]일 때, [eqn: 3^a + 3^b]의 값은? [4점]

① [eqn: 1]

② [eqn: 2]

③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]

⑤ [eqn: 5]

17. 양수 [eqn: x,~y,~z`]가 이 순서로 등차수열을 이루고 [eqn: a^ {1over x} = b^{1over y} = c^{1over z}]일 때, [eqn: 4a+c over 3b]의 최소값은? (단, [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]는 [eqn: 1]이 아닌 양수이다.) [4점]

① [eqn: 1over2]

② [eqn: 2over3]

③  [eqn: 1]

④ [eqn: 4over 3]

⑤ [eqn: 3over2]

18. 정부에서는 흡연률과 간접흡연의 피해를 줄이고 청소년 흡연예방 등을 위해 담배 가격을 지속적으로 인상하려고 한다. 만약 정부가 담배 가격을 매년 일정한 시기에 바로 이전 연도 보다

[eqn: 15%]씩 올리기로 한다면, 현재 가격의 세 배 이상이 되는 것은 최소 [eqn: n`]년이 경과해야 한다. [eqn: n`]의 값은? (단, [eqn: log _10 ` 1.15 = 0.0607], [eqn: log _10 `3 = 0.4771]이다.) [3점]

①  [eqn: 6]

②  [eqn: 7]

③  [eqn: 8]

④  [eqn: 9]

⑤ [eqn: 10]

19. 다음은 [eqn: y = f`(x)]의 그래프이다.

[eqn: 2]

[eqn: 2]

[eqn: -2]

O

[eqn: y``]

[eqn: x``]

이 때, [eqn: y = log _ 2 `` f`(x)]의 그래프로 가장 적절한 것은? [4점]

①

②

③

④

⑤

[eqn: 1]

[eqn: y``]

[eqn: 2]

[eqn: -2]

O

[eqn: x``]

[eqn: 1]

[eqn: y``]

[eqn: 2]

[eqn: -2]

O

[eqn: x``]

[eqn: y``]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: -2]

O

[eqn: x``]

[eqn: 1]

[eqn: y``]

[eqn: 2]

[eqn: -2]

O

[eqn: x``]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: -2]

O

[eqn: y``]

[eqn: x``]

20. 좌표평면에서 이차함수 [eqn: y = 27^n x^2 - left( 9^n + 2 cdot 3^n `right) x + 2] 의

그래프가 [eqn: x`]축과 만나는 두 점 사이의 거리를 [eqn: l_n `]이라 할 때,

[eqn: sum from n=1 to inf l_n]은? (단, [eqn: n`]은 자연수이다.) [4점]

① [eqn: 1over 9]

② [eqn: 1 over 8]

③ [eqn: 1 over 6]

④ [eqn: 1 over 4]

⑤ [eqn: 1 over 3]

21. 다음은 [eqn: sum from k=1 to 50 2^k-1]의 값을 구하는 순서도이다. (가), (나)에 알맞은 내용을 바르게 짝지은 것은? [4점]

아니오

예

시작

(가)

[eqn: S``` <-``1 # N```<-``1]

끝

(나)

[eqn: S`]를 인쇄

[eqn: N```←``N+1]

(가)	(나)

① [eqn: S``←``2S-1]	[eqn: N= 49``?]

② [eqn: S``←``2S-1]	[eqn: N= 50``?]

③ [eqn: S``←``2S+1]	[eqn: N= 49``?]

④ [eqn: S``←``2S+1]	[eqn: N= 50``?]

⑤ [eqn: S``←``2S+1]	[eqn: N= 51``?]

단 답 형

22. 행렬 [eqn: A = PMATRIX { 24 over k&secθ``` ## sinθ & 1over 2 ``` }], [eqn: B = PMATRIX { tanθ ``& 13 over 5 ```## 12 over 13 `` & 1 over 2``` }]일 때,

[eqn: A = B`]를 만족하는 상수 [eqn: k`]의 값을 구하시오. [2점]

23. [eqn: 20^x = 32], [eqn: 5^y = 128]일 때, [eqn: 5 over x - 7 over y]의 값을 구하시오. [3점]

24. 이차정사각행렬 [eqn: A`]에 대하여 [eqn: A^2 = E`],  [eqn: A pmatrix { 4`` # 3`` }= pmatrix { 5`` # 4`` }]가

성립할 때, [eqn: A pmatrix {~~3``#-1``}]의 모든 성분의 합을 구하시오. (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [4점]

25. 행렬 [eqn: pmatrix {a&b``#c & d``}]가 좌표평면 위의 두 점 [eqn: ( a,~ c`),] [eqn: ( b, ~ d `)]를 나타낸다고 하자. 행렬 [eqn: A = pmatrix {1&~~2`` # 3& -1``}]에 대하여 [eqn: B=A^2 + A + 8E `]일 때,

원점 [eqn: rm O`]와 행렬 [eqn: B`]가 나타내는 두 점 [eqn: rm P( it alpha, ~beta `),] [eqn: rmQ ( it gamma , ~ delta `)]를 꼭지점으로 하는 삼각형 [eqn: rm OPQ]의 넓이를 구하시오. (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [4점]

26. 함수 [eqn: y = log _3 ``2x```]의 그래프를 [eqn: x`]축 방향으로 [eqn: m `]만큼, [eqn: y`]축 방향으로 [eqn: n`]만큼 평행이동하면 [eqn: y = log _3 `` (6x-72)]의 그래프와 일치한다. 이때, [eqn: m+n`]의 값을 구하시오. [3점]

27. [eqn: x`]에 대한 이차다항식 [eqn: f`(x) = a^2 ( x-1) ^ 2 +7a(x+1) +1]을

[eqn: x-1], [eqn: x+1], [eqn: x+2]로 나눈 나머지들을 차례로 나열하면 등차수열이 된다. 이때, [eqn: a^2]의 값을 구하시오. [3점]

28. 양수 [eqn: a`]를 연산 장치에 입력하면 이 출력된다고 한다.

[eqn: 4]

[eqn: root {a``` root{a^3 ```}}]

[eqn: root{a^3 ```}]을 이 장치에 입력하여 출력된 값이 [eqn: a^ {n over m}]과 같다. 이때,

[eqn: m+n`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: m`]과 [eqn: n`]은 서로 소인 양의 정수이다.) [3점]

29. 그림과 같이 합동인 삼각형 [eqn: 4]개로 된 정사각형 모양의 타일이 있다. 서로 다른 [eqn: n`]가지 색 중에서 [eqn: 4]가지를 골라 타일의 삼각형에 모두 칠하면 [eqn: 90]가지 종류의 다른 타일을 만들 수 있다. [eqn: n`]을 구하시오. (단, 뒤집는 경우는 생각하지 않는다.) [4점]

30. 그림과 같이 ‘수고하셨습니다’를 배열하였다. 이를 화살표 방향에 따라 읽을 수 있는 방법의 수를 구하시오. [4점]

※ 확인사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.