◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형, 답을 표기할 때에는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 0이 포함된 경우, 0을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

2005학년도 11월 고2 전국연합학력평가 문제지

수 리 영 역 (가형)

제 2 교시

성명			수험번호						2

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수리 영역 (가형)

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수리 영역 (가형)

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[eqn: 4]

[eqn: SQRT {-27``} - `SQRT {16`` } + `SQRT {-1 ``}]

[eqn: 5]

[eqn: 3]

의 값은? [2점]

①  [eqn: -6]

②  [eqn: -5]

③  [eqn: -4]

④  [eqn: -3]

⑤  [eqn: -2]

8

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[eqn: (log_2``10) ( log_5 ``10) -( log_4`` 25+ log_25 ``4) `]를 간단히 하면?

[2점]

①    [eqn: 0]

②    [eqn: 2]

③    [eqn: 4]

④  [eqn: 2 log_5`` 2]

⑤  [eqn: 2 log_2`` 5]

[eqn: (x+y`i`) (1+i`) =3-5i `]를 만족하는 실수 [eqn: x,``y`]를 행렬을 이용하여 풀면, [eqn: pmatrix{x``#y``} =``A`` pmatrix{````````3`#-5`}]이다. 이 때, 이차정사각행렬 [eqn: A`]의 모든 성분의 합은? (단, [eqn: i= sqrt {-1`}] ) [3점]

①  [eqn: -3]

②  [eqn: -2]

③  [eqn: -1]

④     [eqn: 0]

⑤     [eqn: 1]

표는 어느 학교 등산 동아리 학생들이 지난 여름방학 동안 등산한 곳을 조사한 자료의 일부분이다.

번호	이 름		산 이름
1	김 ◦◦		소백산, 속리산, 오대산, 한라산
2	홍 ◦◦		내장산, 설악산
3	박 ◦◦		설악산, 속리산, 한라산
4	이 ◦◦		오대산, 설악산

[eqn: 3×3`]행렬 [eqn: M`]의 [eqn: (i,``j`)]성분 [eqn: a_ij `]를 다음과 같이 정의할 때, 행렬 [eqn: M`]으로 옳은 것은? [3점]

	(가) [eqn: i=j`]일 때, [eqn: a_ij `]는 [eqn: i``]번 학생이 등산한 산의 수 (나) [eqn: i` !=` j``]일 때, [eqn: a_ij `]는 [eqn: i``]번 학생과 [eqn: j``]번 학생이 같은 산을 등산한 산의 수

①  [eqn: PMATRIX { { 4}& {0 }& {1 }`# {0 }& { 2}& {1 }`# { 1}& { 1}& {3 }` }]	②  [eqn: PMATRIX { { 4}& {0 }& {2 }`# {0 }& { 2}& {1 }`# { 2}& { 1}& {3 }` }]

③  [eqn: PMATRIX { { 3}& {0 }& {2 }`# {0 }& { 2}& {2 }`# { 2}& { 2}& {4 }` }]	④  [eqn: PMATRIX { { 3}& {1 }& {2 }`# {1 }& { 2}& {0 }`# { 2}& { 0}& {4 }` }]

⑤  [eqn: PMATRIX { { 4}& {0 }& {0 }`# {0 }& { 2}& {1 }`# { 0}& { 1}& {3 }` }]

[eqn: LEFT ( { 2} over {3 } RIGHT ) ^{x^3 +6} = LEFT ( { 3} over {2 } RIGHT )^{-2x^2 -5x}]를 만족하는 모든 [eqn: x``]의 값들의 곱은?

[2점]

①  [eqn: -6]

②  [eqn: -4]

③  [eqn: -2]

④     [eqn: 2]

⑤     [eqn: 4]

함수 [eqn: f`(x`)=a^x -a^-x]([eqn: a≠1], [eqn: a＞0 `])에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면? [3점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: f`(0)=0] ㄴ. [eqn: f`(-x)=f`(x)] ㄷ. [eqn: f`(3x)= LEFT { f`(x) `RIGHT } ^3 +3 f`(x)]

①  ㄱ

②  ㄴ

③  ㄱ, ㄷ

④  ㄴ, ㄷ

⑤  ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: x,``y``]에 대한 연립일차방정식[eqn: cases{{a `x + b` y`=`s}_`# {c` x+d` y`=`t}^`}] 와 [eqn: s,``t``]에 대한 연립일차방정식 [eqn: cases{{e` s `+ f `t``=`3}_`# {g` s+h` t`=`2}^`}] 가 있다. 행렬[eqn: pmatrix{a&b``#c&d``}]의 역행렬이 [eqn: pmatrix{e&f``#g&h``}]일 때, [eqn: x+y`]의 값은? [3점]

①  [eqn: 1]

②  [eqn: 2]

③  [eqn: 3]

④  [eqn: 4]

⑤  [eqn: 5]

두 실수 [eqn: a``], [eqn: r``]에 대하여 무한등비급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ar ^{n-1}`]이 수렴하면 〔그림1〕, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ar ^{n-1}`]이 발산하면 〔그림2〕와 같이 나타내고,[eqn: 0`]이 아닌 실수 [eqn: k``]에 대하여 [eqn: |``k``|≦1``]인 경우 〔그림3〕, [eqn: |`` k`` |＞1`]인 경우에는 〔그림4〕와 같이 나타내기로 한다.

〔그림1〕

〔그림2〕

〔그림3〕

〔그림4〕

[eqn: a OVER {1-r}]

[eqn: - 1over k]

[eqn: 1OVER k]

[eqn: rm C]

[eqn: rm C]

[eqn: k`]

[eqn: k`]

[eqn: a^2]

[eqn: rm S]

[eqn: rm S]

[eqn: r`]

[eqn: r`]

[eqn: a`]

[eqn: a`]

아래 그림의 [eqn: alpha `], [eqn: beta `], [eqn: gamma `]에 대하여 [eqn: alpha + beta + gamma``]의 값은? [4점]

[eqn: rm S]

[eqn: bold beta `]

[eqn: bold alpha `]

[eqn: bold gamma `]

[eqn: -1]

[eqn: - 1over2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 3]

[eqn: 1over3]

[eqn: rm C]

[eqn: rm C]

[eqn: rm S]

[eqn: rm S]

①  [eqn: 23 over 12]

②  [eqn: 25 over 12]

③   [eqn: 9 over 4]

④  [eqn: 29 over 12]

⑤  [eqn: 31 over 12]

수열 [eqn: LEFT { a_n` RIGHT }`]의 첫째항부터 [eqn: n``]항까지의 합 [eqn: S_n`]이 [eqn: S_n = n^2 -4n`]  일 때, [eqn: lim from { n rarrow INF } {{a_n }^2 +2n^2 -1 } over {```` a_{ n }` +```n^2 +1 } } `]의 값은? [3점]

①  [eqn: 5]

②  [eqn: 6]

③  [eqn: 7]

④  [eqn: 8]

⑤  [eqn: 9]

우리나라에서 [eqn: 7`]명의 외교관을 [eqn: 2`]명, [eqn: 2`]명, [eqn: 3`]명으로 나누어 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C] 세 나라에 파견하기로 하였다. 파견 가능한 방법의 수는? [3점]

①   [eqn: 105]

②   [eqn: 210]

③   [eqn: 420]

④   [eqn: 630]

⑤   [eqn: 1260]

다음은 모든 자연수 [eqn: n`] 에 대하여 [eqn: LEFT ( a+b over 2 RIGHT )^n ≦ {a^n +b^n } over 2]이 성립함을 증명한 것이다. (단, [eqn: a,`b]는 양수이다.)

<증명>

(i)[eqn: n=1]일 때,

[eqn: {a +b} over 2 - {a+b} over 2 =0]이므로 주어진 식은 성립한다.

(ii)[eqn: n=k]일 때, 주어진 식이 성립한다고 가정하면

[eqn: LEFT ( a+b over 2 RIGHT )^k ≦ {a^k +b^k } over 2 ~~ cdotscdots ㉠] 이 성립한다.

㉠의 양변에           를 곱하면

[eqn: LEFT ( a+b over 2 RIGHT )^k+1 ≦`LEFT ( {a^k +b^k } over 2 RIGHT ) ``TIMES]

[eqn: ={ a^k+1 + b^k+1 +ab^k +a^k b }over 4]

이 때,

[eqn: a^k+1 + b^k+1 -ab^k -a^k b &= a^k (a-b)-b^k (a-b)##&=(a-b)(a^k -b^k `)~~~~~~~~~~~0]

이므로,

[eqn: LEFT ( a+b over2 RIGHT )^k+1 &≦ { a^k+1 + b^k+1 +ab^k +a^k b }over 4 ##&≦ { a^k+1 + b^k+1 }over2]

즉, [eqn: n=k+1]일 때, 주어진 식이 성립한다.

따라서, (i), (ii)에 의하여

모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 주어진 식은 성립한다.

(가)

(가)

(나)

위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은? [3점]

	(가)	(나)
①	[eqn: a+b over 2]	[eqn: ＜]
②	[eqn: a-b over 2]	[eqn: ≦]
③	[eqn: a+b over 2]	[eqn: ≦]
④	[eqn: a-b over 2]	[eqn: ≧]
⑤	[eqn: a+b over 2]	[eqn: ≧]

거듭제곱근에 대한 설명 중 <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면? (단, [eqn: [``x``]]는 [eqn: x``]를 넘지 않는 최대 정수이다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: 3][eqn: 8] [eqn: 7] [eqn: 4] [eqn: root{`root {5``}}^` =``ROOT {5`}] ㄴ. [eqn: [` root {1`}`] +[` root {2`}`]+[ `root {3`}`]+…+[`root {36`}`] =75] [eqn: 3][eqn: 8] [eqn: 3][eqn: 8] [eqn: 3][eqn: 8] [eqn: 3][eqn: 8] ㄷ. [eqn: [sqrt{a ``}] +[sqrt {10-a``} ]=[sqrt{ 10``} ]``]을 만족하는 자연수 [eqn: a``]는 [eqn: 5`]개이다.

①  ㄴ

②  ㄷ

③  ㄱ, ㄴ

④  ㄴ, ㄷ

⑤  ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: 1`]부터 [eqn: 5`]까지의 숫자가 적혀있는 카드를 그림과 같이 규칙적으로 배열하였다.

[eqn: 1]행	[eqn: 1]
[eqn: 2]행	[eqn: 2] [eqn: 3]
[eqn: 3]행	[eqn: 4] [eqn: 5] [eqn: 4] [eqn: 3]
[eqn: 4]행	[eqn: 2] [eqn: 1] [eqn: 1] [eqn: 2] [eqn: 3] [eqn: 4] [eqn: 5] [eqn: 4]
5행	[eqn: 3] [eqn: 4] [eqn: 1] [eqn: 2] [eqn: 5] [eqn: 2] [eqn: 1] [eqn: 4] [eqn: 3] [eqn: 1] [eqn: 3] [eqn: 4] [eqn: 1] [eqn: 2] [eqn: 3] [eqn: 2]
[eqn: vdots]	[eqn: vdots]
[eqn: 10]행	[eqn: cdots]

[eqn: bold a]

[eqn: bold b]

이 때, [eqn: a+b``]의 값은? [4점]

①   [eqn: 6]

②   [eqn: 7]

③   [eqn: 8]

④   [eqn: 9]

⑤  [eqn: 10]

양의 실수 [eqn: x``]를 [eqn: x=n+ alpha ``]([eqn: n``]은 정수, [eqn: 0≦ alpha ＜1`])로 나타낼 수 있다. [eqn: alpha`], [eqn: n`], [eqn: x`]가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: x``]의 값을 구하는 과정이다.

	[eqn: alpha`], [eqn: n`], [eqn: x`]가 등비수열이므로 [eqn: alpha over n =] 한편, [eqn: n` !=`0,~ alpha` != `0]이므로 [eqn: 1`≦`n`＜`n over alpha =] [eqn: 1over {`````````(가)^`^` ````````}][eqn: = n+alpha over n] [eqn: =1+] [eqn: ```＜```2] ∴ [eqn: n=1] 따라서, [eqn: n=1]을 [eqn: alpha over n =] 에 대입하여 [eqn: x``]의 값을 구하면 [eqn: x=] 이다. (가) (가) (가) (다) (나)

위에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: x over alpha]	[eqn: alpha over n]	[eqn: {sqrt {5`} -1} over 2]
②	[eqn: x over alpha]	[eqn: n over alpha]	[eqn: {sqrt {5`} +1} over 2]
③	[eqn: n over x]	[eqn: alpha over n]	[eqn: {sqrt {5`} +1} over 2]
④	[eqn: n over x]	[eqn: n over alpha]	[eqn: {sqrt {5`} +1} over 2]
⑤	[eqn: n over x]	[eqn: alpha over n]	[eqn: {sqrt {5`} -1} over 2]

CLASSIC 의 [eqn: 7`]개 영문자를 일렬로 배열할 때, 영문자 A 와 L이 이웃하게 배열되는 경우의 수는? [4점]

①  [eqn: 180]

②  [eqn: 240]

③  [eqn: 300]

④  [eqn: 360]

⑤  [eqn: 420]

수열 [eqn: LEFT { a_n `RIGHT }], [eqn: LEFT { b_n`RIGHT }]에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면? [3점]

		<보 기>
	ㄱ.[eqn: lim from { n -> inf }a_n =0`]이면 [eqn: SUM from { { n}^`=1 } to inf_` a_n `]이 수렴한다. ㄴ.[eqn: SUM from { { n}^`=1 } to inf_` a_n `]이 수렴하면 [eqn: lim from { n -> inf }a_n =0`]이다. ㄷ.[eqn: SUM from { { n}^`=1} to inf_` a_n b_n `]이 수렴하면 [eqn: lim from { n -> inf }a_n =0`], [eqn: lim from { n -> inf }b_n =0`]이다. ㄹ.[eqn: lim from { n -> inf } b_n `], [eqn: lim from { n -> inf } { a_n} over {b_n } `]이 모두 수렴하면 [eqn: lim from { n -> inf } a_n `]도 수렴한다. (단, [eqn: b_n ` != `0])

①  ㄱ, ㄴ

②  ㄱ, ㄷ

③  ㄴ, ㄹ

④  ㄱ, ㄷ, ㄹ

⑤  ㄴ, ㄷ, ㄹ

집합 [eqn: A= left{ `1`,~ 2`,~ 2^2`,~ cdots~ , `2^9 `right}`]의 공집합이 아닌 부분집합 중에서 모든 원소들의 합이 [eqn: 3`]의 배수인 부분집합의 개수는? [4점]

①  [eqn: 280]

②  [eqn: 341]

③  [eqn: 460]

④  [eqn: 521]

⑤  [eqn: 682]

그림과 같이[eqn: rm overline AB = 4`],[eqn: rm overline BC = 8``],[eqn: rm overline CA = 6`]인 [eqn: △rm ABC``]가 있다.

선분 [eqn: rm BC``]의 중점을 [eqn: rm M_1``],

선분 [eqn: rm AC``]의 중점을 [eqn: rm M_2``],

선분 [eqn: rm AM_1``]의 중점을 [eqn: rm M_3``],

선분 [eqn: rm AM_2``]의 중점을 [eqn: rm M_4``],

선분 [eqn: rm AM_3``]의 중점을 [eqn: rm M_5``],

[eqn: vdots]

선분 [eqn: rm AM_n``]의 중점을 [eqn: rm M_n+2``],

[eqn: vdots]

이라 할 때, [eqn: rm overline AM_1``+overline {M_1 M_2}`` +overline {M_2 M_3}``+overline {M_3 M_4}``+ ``cdots``] 의 값은? [4점]

[eqn: 4]

[eqn: 6]

[eqn: 8]

[eqn: RM M_5]

[eqn: RM M_4]

[eqn: RM M_3]

[eqn: RM M_2]

[eqn: RM M_1]

[eqn: RM C]

[eqn: RM B]

[eqn: rm A]

①  [eqn: 4+2root{3`}]

②  [eqn: 6+2root{2`}]

③  [eqn: 6+root{10`}]

④  [eqn: 8+2root{2`}]

⑤  [eqn: 8+root{10`}]

갑은 암호장치를 이용하여 4개의 알파벳으로 이루어진 단어를 암호화된 행렬로 바꾸려고 한다. 암호장치는 [eqn: 3]단계로 되어 있으며 그 과정은 다음과 같다.

[1단계] [eqn: 4]개의 알파벳을 코드표를 이용하여 순서대로

코드번호 [eqn: a_1 ,``a_2 ,``a_3 ,``a_4]를 얻는다.

[2단계] 코드번호 [eqn: a_1 ,``a_2 ,``a_3 ,``a_4]를 행렬 [eqn: pmatrix{a_1 &a_2``#a_3&a_4``}]로

만든다.

[3단계] 만들어진 행렬을 암호키인 이차정사각행렬

[eqn: A`]의 오른쪽에 곱하여 암호화된 행렬을 얻는다.

[코드표]

알파벳	a	b	c	d	e	f	g	h	i	j	k	l	m
코드번호	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
알파벳	n	o	p	q	r	s	t	u	v	w	x	y	z
코드번호	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26

그림은 ‘back’이 암호장치를 통하여 암호화된 행렬 [eqn: pmatrix{5&12`#3&11`}]로 바뀐 것이다.

[1단계]

'back'

⇨

⇨

행렬

[eqn: pmatrix{2&````1`#3&11`}]

[eqn: A pmatrix{2&```1`#3&11`}]

[eqn: pmatrix{5&12`#3&11`}]

[eqn: a_1 =````2#a_2 =````1#a_3 =````3 #a_4 =11]

⇨

[암호 장치]

⇨

입력

[2단계]

[3단계]

이 때, 갑이 [eqn: 4]개의 알파벳으로 이루어진 단어로 암호장치를 통하여 암호화된 행렬 [eqn: pmatrix{15&17`#````7&````8`}]를 얻었다면, 갑이 입력한 단어는? [4점]

①  code

②  high

③  math

④  note

⑤  stop

연립부등식 [eqn: cases { ``(log_2`` x)`^2 - log_2 ``x`^2 ``＜``3 # #~~4^x - 2^x+2 ``≦``32}]를 만족하는 모든 정수 [eqn: x``]의 값들의 합은? [4점]

①  [eqn: 3]

②  [eqn: 4]

③  [eqn: 5]

④  [eqn: 6]

⑤  [eqn: 7]

어떤 직사각형의 내부에 가로 또는 세로에 평행한 [eqn: n`]개의 직선을 그어 분할되는 영역의 최대 개수를 [eqn: a_n`]이라 하자. 예를 들면, [eqn: n=3]인 경우는 [그림1], [그림2], [그림3], [그림4]와 같이 4가지이고, 그 중에 영역의 개수가 최대일 때는 [그림2] 또는 [그림3]의 경우이므로 [eqn: a_3 =6]이다.

〔그림1〕

〔그림3〕

〔그림2〕

〔그림4〕

이 때, [eqn: a_25`]의 값은? [4점]

①  [eqn: 156]

②  [eqn: 169]

③  [eqn: 182]

④  [eqn: 196]

⑤  [eqn: 210]

단 답 형

[eqn: A+B= PMATRIX { -4& -1``# `````````1 &````````` 2``}], [eqn: A-B=PMATRIX{ 2& -3``# 1 & ````````4``}]를 만족하는 행렬[eqn: A],[eqn: B`]에 대하여 [eqn: AB = PMATRIX { a& b``# c& d `` } `]일 때,[eqn: LEFT |` ad-bc` RIGHT |]의 값을 구하시오.

[3점]

자연수의 집합에서 정의되는 두 함수 [eqn: f``]와 [eqn: g``]는

[eqn: f`(n+1)=f`(n)+3`], [eqn: f`(5)=23`]

[eqn: g`(n+1)=5g`(n)], [eqn: g`(1)=5`]

를 만족한다. [eqn: (f CIRC g`)`(k`)=383`]일 때, [eqn: 20k``]의 값을 구하시오.(단, [eqn: f` CIRC g`]는 [eqn: f``]와 [eqn: g``]의 합성함수이다.) [3점]

[eqn: a^{ 8x } =3+ sqrt { 8` } `]일 때, [eqn: { a^{ x }`` +``~a^{ 2x } ``+``a^{ 3x } } over { a^{ -x } +`a^{ -2x }` +a^{ -3x } } =m+root{n``}`]을 만족하는 유리수 [eqn: m``], [eqn: n``]에 대하여 [eqn: 100m+n``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a＞0`]) [3점]

그림은 [eqn: 1`]부터 [eqn: 8`]까지의 숫자가 적혀있는 자물쇠이다. 이 자물쇠는 서로 다른 특정한 [eqn: 4`]개의 숫자버튼을 순서에 관계없이 누른 후 밑에 있는 열림 장치를 누르면 열리도록 되어 있다. 이와 같이 서로 다른 특정한 [eqn: 4]개의 숫자를 비밀번호로 하는 자물쇠는 모두 몇 개 만들 수 있는지를 구하시오. [3점]

두 수열 [eqn: LEFT { a_n `RIGHT }], [eqn: LEFT { b_n`RIGHT }]이 [eqn: a_ n -b_ n = {2^n +3^n } over { 2^n -3^n } `], [eqn: lim from { n` rarrow `INF } { a_n } = 2`]를 만족할 때, [eqn: lim from { n` rarrow ` INF } {100` b_n } `]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: A=LEFT ( matrix { cos theta_` & `-sin theta_` ``# `sin theta^` &```````` cos theta^` } RIGHT )], [eqn: A+A^{ -1 } = PMATRIX{ { SQRT { 3`} }_`& {``` 0``}_`# {0^` }& { SQRT { 3`}`}^`}]일 때, [eqn: { pi ` } over { theta `}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0 ＜ theta `＜ pi `], [eqn: A^-1 `]는 [eqn: A`]의 역행렬이다.)

[3점]

[eqn: 3`]개의 주사위를 던져 나오는 눈의 수를 각각 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]라 할 때, [eqn: a+b+c + abc`]가 홀수가 되는 경우의 수를 구하시오. [4점]

[eqn: log_x`` (4- LEFT |`` x`` RIGHT | - LEFT | ``y ``RIGHT | `)]이 정의될 때, 점 [eqn: (x,~y`)`]의 개수를 구하시오. (단, [eqn: x,``y`]는 모두 정수이다.) [4점]

양의 정수 [eqn: a,``b`]가 [eqn: 1≦a`≦9], [eqn: a `TIMES 10^b ``＜`7^30 `＜(a+1) TIMES 10^b]을 만족할 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오.  (단, [eqn: log_10 ``2=0.30],

[eqn: log_10 ``3`=` 0.48], [eqn: log_10 ``7`=` 0.85] 로 계산한다.) [4점]

※ 확인사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.