정답 및 해설

2017학년도 6월

고 2

전국연합학력평가

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정답 및 해설

2017학년도 6월

고 2

전국연합학력평가

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2017학년도 6월 고2 전국연합학력평가 정답 및 해설

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• 수학 영역 [가형] •

정 답

1	②	2	①	3	③	4	⑤	5	④
6	②	7	⑤	8	④	9	⑤	10	⑤
11	③	12	②	13	④	14	①	15	③
16	③	17	⑤	18	①	19	④	20	②
21	①	22	[eqn: 17]	23	[eqn: 4]	24	[eqn: 13]	25	[eqn: 15]
26	[eqn: 36]	27	[eqn: 225]	28	[eqn: 60]	29	[eqn: 26]	30	[eqn: 27]

해 설

1. [출제의도] 집합의 원소들의 합 계산하기

[eqn: A= LEFT { `1,``2,``5,``7 RIGHT } `], [eqn: B= LEFT { `3,``5,``7 RIGHT } `]이므로

[eqn: A SMALLINTER B``= LEFT { 5,``7 RIGHT } `]이다. 따라서 원소의 합은 [eqn: 12`]이다.

2. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: log _{`6`} 2+log _{`6} `3=log _{`6} ` LEFT ( 2 TIMES 3 RIGHT ) =log _{`6} `6=1`]

3. [출제의도] 함수의 극한 계산하기

[eqn: lim _{x` -> `1} {LEFT ( x ^{2} -3x+5 RIGHT )} `=3`]

4. [출제의도] 수열의 합 계산하기

[eqn: sum _{k=1} ^{30} LEFT ( a _{k} +2b _{k} RIGHT ) = sum _{k=1} ^{30} a _{k} +2 sum _{k=1} ^{30} b _{k} =5+2 TIMES 20=45]

5. [출제의도] 등비수열의 일반항 이해하기

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항을 [eqn: a`], 공비를 [eqn: r`]라 하면

[eqn: a _{2} =ar=2`], [eqn: a _{3} =ar ^{2} =4`]에서 [eqn: a=1`], [eqn: r=2`]이다.

따라서 [eqn: a _{6} =ar ^{5} =32`]이다.

6. [출제의도] 무리함수의 그래프 이해하기

무리함수 [eqn: y= sqrt {x+4} +5]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: -4]

[eqn: 5]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

따라서 [eqn: x=`-3]일 때 최솟값 [eqn: sqrt {-3+4} +5=`6]을 갖는다.

7. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: x`` -> ``0-`]일 때, [eqn: f(x)``` -> ``3`]이므로 [eqn: lim _{x`` -> `0-} {f(x)`} =3`]이다.

또한 [eqn: x`` -> ``1+`]일 때, [eqn: f(x)``` -> ``3`]이므로 [eqn: lim _{x`` -> `1+} {f(x)`} =`3`]이다. 따라서 [eqn: lim _{x`` -> `0-} {f(x)`} + lim _{x``` -> `1+} {f(x)} =`3+3`=6`]이다.

8. [출제의도] 집합의 연산 이해하기

[eqn: A SMALLINTER B`= EMPTYSET `]이므로 집합 [eqn: B`]는 집합 [eqn: U`]의 부분집합 중 원소 [eqn: 2,`3,`5,`6`]을 모두 포함하지 않는 집합이다.

따라서 집합 [eqn: B`]의 개수는 [eqn: 2 ^{10-4} =2 ^{6} =64`]이다.

9. [출제의도] 명제의 필요조건 이해하기

두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]의 진리집합을 각각 [eqn: P`], [eqn: Q`]라 하자.

[eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 필요조건이 되기 위해서는

[eqn: Q` SUBSET P`]가 성립해야 한다.

[eqn: P]

[eqn: Q]

[eqn: P]

[eqn: 1]

[eqn: 3]

[eqn: 5]

[eqn: alpha]

[eqn: x]

따라서 [eqn: alpha GEQ `5]이므로 실수 [eqn: alpha`]의 최솟값은 [eqn: 5`]이다.

10. [출제의도] 유리함수와 그 역함수 이해하기

함수 [eqn: y= {2x+5} over {x+3}]를 [eqn: x]에 대하여 풀면 [eqn: x= {-3y+5} over {y-2}]이고 여기서 [eqn: x`]와 [eqn: y`]를 서로 바꾸면 [eqn: y= {-3x+5} over {x-2} `]이다.

[eqn: f ^{`-1} LEFT ( x RIGHT ) = {-3x+5} over {x-2} = {-3 LEFT ( x-2 RIGHT ) -1} over {x-2} = {-1} over {x-2} -3`]이므로

함수 [eqn: f ^{`-1} LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 점 [eqn: (2,``-3)]에 대하여 대칭이다. 따라서 [eqn: p=`2`,``q=`-3`]이므로 [eqn: p-q`=5`]이다.

[다른 풀이]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {2x+5} over {x+3} = {2 LEFT ( x+3 RIGHT ) -1} over {x+3} = {-1} over {x+3} +2`]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 점 [eqn: LEFT ( -3`,`2` RIGHT ) `]에 대하여 대칭이다.

또한 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 함수 [eqn: y=f ^{`-1} LEFT ( x RIGHT ) `]의

그래프는 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이다.

점 [eqn: LEFT ( -3`,`2` RIGHT ) `]를 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동하면

점 [eqn: LEFT ( `2`,`-3 RIGHT ) `]이므로 [eqn: y=f ^{`-1} LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 점 [eqn: LEFT ( `2`,`-3 RIGHT ) `]에 대하여 대칭이다.

따라서 [eqn: p=`2`,``q=`-3`]이므로 [eqn: p-q`=5`]이다.

11. [출제의도] 항등함수 이해하기

[eqn: f`:`X`` -> `X``]가 항등함수가 되기 위해서는

[eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) =`-2`], [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =`-1], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =3`]이어야 한다.

[eqn: x GEQ 0`]일 때 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =3]을 만족하고,

[eqn: x<0]일 때 [eqn: f(x)=ax ^{2} +bx-2`]이므로

[eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) =4a-2b-2=`-2`], [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =a-b-2=`-1`]이다.

따라서 [eqn: a=`-1], [eqn: b=`-2`]이므로 [eqn: a+b=`-3``]이다.

12. [출제의도] 집합의 연산을 이용하여 외적문제 해결하기

자격증 [eqn: rm A`]를 취득한 수강생의 집합을 [eqn: A`], 자격증 [eqn: rm B`] 를 취득한 수강생의 집합을 [eqn: B`], 자격증 [eqn: rm C`]를 취득한 수강생의 집합을 [eqn: C`]라 하자.

각 영역에 속하는 원소의 개수를 벤 다이어그램에 나타내면 아래 그림과 같다.

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: C]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: c]

[eqn: d]

[eqn: f]

[eqn: x]

[eqn: e]

수강생 수는 총 [eqn: 35``]명이고 세 자격증 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`], [eqn: rm C`] 중에서 어느 것도 취득하지 못한 수강생이 [eqn: 3`]명이므로 [eqn: n(A CUP B CUP C`)`=35-3=32`]이다.

이 학원의 수강생 중에서 세 자격증 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`], [eqn: rm C`]를

모두 취득한 수강생이 없으므로 [eqn: x=0`]이다.

자격증 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`], [eqn: rm C`]를 취득한 수강생이

각각 [eqn: 21`]명, [eqn: 18`]명, [eqn: 15`]명이므로

[eqn: a+d+f=21`]…①

[eqn: b+d+e`=18`]…②

[eqn: c+e+f`=15]…③

①[eqn: +]②[eqn: +]③을 하면

[eqn: a+b+c+2 (d+e+f)`=54]…④ 이고

[eqn: n(A SMALLUNIONB SMALLUNIONC)`=a+b+c+d+e+f`=32]…⑤ 이다.

④-⑤를 하면 [eqn: d+e+f=22`]이다.

따라서 세 자격증 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`], [eqn: rm C`] 중에서 두 종류의 자격증만 취득한 수강생 수는 [eqn: 22]이다.

13. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 외적문제 해결하기

[eqn: R=k` LEFT ( {W} over {D+10} RIGHT ) ^{{1} over {3}}]에서

[eqn: R _{1} =k` LEFT ( {160} over {d+10} RIGHT ) ^{{1} over {3}} `]이고, [eqn: R _{2} =k` LEFT ( {p} over {d+10} RIGHT ) ^{{1} over {3}} `]

이다.

[eqn: {R _{1}} over {R _{2}} = {k left ( 160 over {d+10} right ) ^{1over3}} over {k left ( p over {d+10} right ) ^{1 over 3}} = left ( 160 over p right ) ^{1over 3} =2`]이고

[eqn: root {3} of {{160} over {p}} =2`]에서 [eqn: 160 over p = 8 `]이고 [eqn: p=20`]이다.

14. [출제의도] 수열의 합을 이용하여 도형 문제 해결하기

[eqn: rm A _{itn}]

[eqn: rm B _{it n rm}]

[eqn: rm A _{it n rm +1}]

[eqn: rm B _{it n+1 rm}]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: x=n ^{2} `]

[eqn: x= LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2} `]

[eqn: y= sqrt {x} `]

[eqn: x]

사각형 [eqn: rm A _{it n rm} B _{it n rm} B _{it n+1 rm} A _{it n+1 rm} `]은 사다리꼴이므로

[eqn: S _{n} = {1} over {2} TIMES LEFT ( n+n+1 RIGHT ) TIMES LEFT { ` LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2} -n ^{2} ` RIGHT }][eqn: =` {1} over {2} LEFT ( 2n+1 RIGHT ) ^{2}]

이다. 따라서

[eqn: sum _{n=1} ^{10} S _{`n} `=` sum _{n=1} ^{10} LEFT ( `2n ^{2} +2n+ {1} over {2} ` RIGHT ) = 885`]이다.

15. [출제의도] 일대일 대응과 합성함수를 이용한 함숫값 문제 해결하기

[eqn: C`]

[eqn: A`]

[eqn: 7]

[eqn: 8]

[eqn: 9]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3`]

[eqn: LEFT ( `g CIRC f` RIGHT ) ^{-1}]

그림으로부터

[eqn: LEFT (` g` CIRC f `RIGHT ) (1)=8`], [eqn: LEFT (` g` CIRC f `RIGHT ) (2)=9`], [eqn: LEFT ( `g` CIRC f` RIGHT ) (3)=7`]이다.

[eqn: g(6)=9`]이고 함수 [eqn: g`]는 일대일 대응이므로 [eqn: f(2)=6`]이다. 또한 [eqn: f(1)=4`], [eqn: f(2)=6`]이고 함수 [eqn: f`]는 일대일 대응이므로 [eqn: f(3)=5`]이다.

[eqn: LEFT (` g` CIRC f `RIGHT ) (3)=7`]에서 [eqn: f(3)=5`]이므로 [eqn: g LEFT ( 5 RIGHT ) =7`]이다.

따라서 [eqn: f(2)+g(5)=6+7=13`]이다.

16. [출제의도] 수열의 극한을 이용하여 도형 문제 해결하기

직선 [eqn: rmOP``]의 기울기가 [eqn: {2n ^{2}} over {n} =2n``]이므로 점 [eqn: rm P LEFT ( it n`,`2n ^{2} ` RIGHT ) `]을 지나고 직선 [eqn: rmOP``]에 수직인 직선 [eqn: l`]의 방정식은

[eqn: y-2n ^{2} =`- {1} over {2n} (x-n)`]

이고 점 [eqn: rmQ`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,`2n ^{2} + {1} over {2} RIGHT ) `]이다.

또, [eqn: {bar{rm `OP it}} = it sqrt {n ^{2} +(2n ^{2} ) ^{2}} = sqrt {4n ^{4} +n ^{2}} `]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {rm ( {bar{OP}} - {bar{OQ}} )= it lim _{n -> INF } {LEFT { sqrt {4n ^{4} +n ^{2}} - LEFT ( 2n ^{2} + {1} over {2} RIGHT ) RIGHT } ```}}]         [eqn: = lim _{n -> INF } {} {( sqrt {4n ^{4} +n ^{2}} ) ^{2} - LEFT ( 2n ^{2} + {1} over {2} RIGHT ) ^{2}} over {sqrt {4n ^{4} +n ^{2}} + LEFT ( 2n ^{2} + {1} over {2} RIGHT )} ``]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {-n ^{2} - {1} over {4}} over {sqrt {4n ^{4} +n ^{2}} + LEFT ( 2n ^{2} + {1} over {2} RIGHT )} `]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {-1- {1} over {4n ^{2}}} over {sqrt {4+ {1} over {n ^{2}}} + LEFT ( 2+ {1} over {2n ^{2}} RIGHT )} `] [eqn: =`- {1} over {4} `]

이다. 따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {rm ( {bar{OP}} - {bar{OQ}} )=`- {1} over {4} it} `]이다.

17. [출제의도] 거듭제곱근의 정의를 이용하여 명제의 참, 거짓 추론하기

집합 [eqn: X`]의 원소는 [eqn: b`]의 [eqn: a`]제곱근 중에서 실수인 것들이다.

[eqn: a=3]일 때, [eqn: root {3} of {-9} ,`` root {3} of {-3} ,` root {3} of {3} `,` root {3} of {9} `]이고

[eqn: a=4]일 때, [eqn: ± root {4} of {3} `,`± root {4} of {9} `]이므로

집합 [eqn: X]를 구하면

[eqn: X= LEFT { root {3} of {-9} ,`` root {3} of {-3} ,` root {3} of {3} `,` root {3} of {9} ,`- sqrt {3} ,`- root {4} of {3} ,` root {4} of {3} ,` sqrt {3} RIGHT } `]

이다.

ㄱ. [eqn: root {3} of {-9} ` IN `X`] (참)

ㄴ. 집합 [eqn: X]의 원소의 개수는 [eqn: 8`]이다. (참)

ㄷ. 집합 [eqn: X``]의 원소 중 양수인 것은

[eqn: root {3} of {3} ,` root {3} of {9} ,` root {4} of {3} ,` sqrt {3} `]이므로 모든 원소의 곱의 값은

[eqn: 3 ^{{1} over {3} + {2} over {3} + {1} over {4} + {1} over {2}} =3 ^{{7} over {4}} = root {4} of {3 ^{7}} `]이다. (참)

18. [출제의도] 수학적 귀납법 추론하기

(ⅰ) [eqn: n=1`]일 때,

(좌변)[eqn: = sum _{k=1} ^{1} LEFT ( a _{k} `a _{k+1} RIGHT ) ^{2} = {BOX{``` {1} over {4 } ```}} `],
(우변)[eqn: = sum _{k=1} ^{1} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{2} + sum _{k=1} ^{1} LEFT ( a _{k+1} RIGHT ) ^{2} +2 LEFT ( a _{2} -1 RIGHT ) = {BOX{``` {1} over {4 }```} `]이므로 (*)이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m LEFT ( m GEQ 1 RIGHT )`]일 때, (*)이 성립한다고 가정하면
[eqn: sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k} `a _{k+1} RIGHT ) ^{2} = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{2} + sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k+1} RIGHT ) ^{2} +2 LEFT ( a _{m+1} -1 RIGHT ) `]

이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} LEFT ( a _{k} ``a _{k+1} RIGHT ) ^{2}][eqn: = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k} ``a _{k+1} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( a _{m+1`} a _{m+2} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{2} + sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k+1} RIGHT ) ^{2} +2 LEFT ( a _{m+1} -1 RIGHT ) `+ LEFT ( a _{m+1} a _{m+2} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{2} + sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k+1} RIGHT ) ^{2} +2 LEFT ( {1} over {m+1} -1 RIGHT ) `+ LEFT { {1} over {LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m+2 RIGHT )} RIGHT } ^{2}]  [eqn: = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{2} + sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k+1} RIGHT ) ^{2} +2 LEFT ( {1} over {m+1} -1 RIGHT ) `+ LEFT ( {1} over {m+1} - {1} over {m+2} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{2} + sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k+1} RIGHT ) ^{2} +2 LEFT { {1} over {m+1} -1- {1} over {LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m+2 RIGHT )} RIGHT } `]

[eqn: + LEFT ( {1} over {m+1} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {1} over {m+2} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m+1} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{2} + sum _{k=1} ^{m+1} LEFT ( a _{k+1} RIGHT ) ^{2} +2 LEFT { {1} over {m+1} -1- {BOX{``` {1} over {LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m+2 RIGHT ) ^{`}} ```}} RIGHT }]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m+1} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{2} + sum _{k=1} ^{m+1} LEFT ( a _{k+1} RIGHT ) ^{2} +2 LEFT ( {1} over {m+2} -1 RIGHT )]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m+1} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{2} + sum _{k=1} ^{m+1} LEFT ( a _{k+1} RIGHT ) ^{2} +2 LEFT ( a _{m+2} -1 RIGHT )]

이다. 따라서 [eqn: n=m+1`]일 때에도 (*)이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

(*)이 성립한다.

이 과정에서 [eqn: p= {1} over {4} `], [eqn: f(m)= {1} over {LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m+2 RIGHT )} `]이므로

[eqn: {p} over {f(14)} `=60`]이다.

19. [출제의도] 등비수열의 극한을 이용하여 수열의 합 문제 해결하기

[eqn: a _{k} = lim _{n -> INF } {{2 TIMES LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{2n+1} + LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{n}} over {LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{2n} + LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{n} +1} `}]에서

(ⅰ) [eqn: 0< {k} over {10} <1`]일 때, 즉 [eqn: 0<k<10`]일 때

[eqn: a _{k} = lim _{n -> INF } {{2 TIMES LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{2n+1} + LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{n}} over {LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{2n} + LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{n} +1}}][eqn: = {2 TIMES 0+0} over {0+0+1} =0`]

이다.

(ⅱ) [eqn: {k} over {10} =1`]일 때, 즉 [eqn: k=10`]일 때

[eqn: a _{k} = lim _{n -> INF } {{2 TIMES 1 ^{2n+1} +1 ^{n}} over {1 ^{2n} +1 ^{n} +1}} = {3} over {3} =1`]

(ⅲ) [eqn: {k} over {10} >1`], 즉 [eqn: k>10`]일 때

[eqn: a _{k} = lim _{n -> INF } {{2 TIMES LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{2n+1} + LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{n}} over {LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{2n} + LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{n} +1}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{2 TIMES LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) + {1} over {LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{n}}} over {1+ {1} over {LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{n}} + {1} over {LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{2n}}}}][eqn: = {{k} over {5} +0} over {1+0+0}][eqn: = {k} over {5}]

이다.

따라서 [eqn: a _{k} = {cases{` pile{````0#````1}&pile{```(k<10)#```(k=10)} `#``` {k} over {5}&```(k>10)}}] 이다.

그러므로

[eqn: sum _{k=1} ^{20} a _{k} = sum _{k=1} ^{9} a _{k} +a _{10} + sum _{k=11} ^{20} a _{k} `][eqn: = sum _{k=1} ^{9} 0+1+ sum _{k=11} ^{20} {k} over {5}][eqn: =1+ sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 2+ {k} over {5} RIGHT )][eqn: =1+20+ {1} over {5} TIMES {10 TIMES 11} over {2}][eqn: =32`]

이다.

20. [출제의도] 등비급수를 이용하여 도형 문제 추론하기

첫 번째 반원이 변 [eqn: rm BC`]와 만나는 점을 [eqn: rm R`], 변 [eqn: rm CD`]와 만나는 점을 [eqn: rm S`], 반지름의 길이를 [eqn: r _{1} `]이라 하자.

[eqn: r _{1}]

[eqn: r _{1}]

[eqn: r _{1}]

[eqn: r _{1}]

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rmR]

[eqn: rm S]

[eqn: rmO _{`1}]

[eqn: rm P _{`1}]

[eqn: rm Q _{`1}]

삼각형 [eqn: rm RCS`]는 직각이등변삼각형이고

점 [eqn: rm O _{1} `]은 빗변의 중점이므로 [eqn: {bar{rm CO _{1} it}} = {bar{rm SO _{1} it}} = {bar{rm RO _{1} it}} =r _{1} `]이다.

[eqn: {bar{rm AC it}} `= {bar{rm AO _{1} it}} + {bar{rm CO _{1} it}} `]이므로 [eqn: 4 sqrt {2} =r _{1} sqrt {2} `+r _{1} `]이다.

따라서 [eqn: r _{1} =4(2- sqrt {2} )`]이고,

[eqn: S _{1`} =2 TIMES LEFT ( {1} over {4} pi r _{1} ^{2} - {1} over {2} r _{1} ^{2} RIGHT ) =16( pi -2)( sqrt {2} -1) ^{2} ``]이다.

그림 [eqn: R_n `]에서 가장 작은 반원의 반지름의 길이를

[eqn: r_n `]이라 하고, 그림 [eqn: R_n `]을 얻은 과정에서 새로 얻은  모양의 넓이를 [eqn: a_n `]이라 하자.

[eqn: rm C]

[eqn: rm D _{it n-1 rm}]

[eqn: rm O _{itn}]

[eqn: rm D _{it n rm}]

[eqn: rm B _{itn}]

[eqn: rm O _{itn+1}]

[eqn: rm O _{itn-1}]

[eqn: rm P _{itn+1}]

[eqn: rm Q _{it n+1 rm}]

[eqn: rm Q _{it n}]

[eqn: rm P _{it n rm}]

[eqn: rm B _{it n rm -1}]

[eqn: rm r _{it n rm }]

[eqn: rm r _{it n rm }]

[eqn: rm r _{it n rm }]

[eqn: rm r _{it n rm }]

[eqn: r _{it n+1 rm}]

[eqn: {bar{rm O it rm _{n} rm C it}} rm = {bar{rm O it rm _{n} rm O it rm _{n+1} rm}} + {bar{rm O it rm _{n+1} rm C it rm}} rm]이므로 [eqn: r _{n} = sqrt {2} r _{n+1} +r _{n+1}]

[eqn: r _{n+1} = LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) r _{n}]이다. 그러므로

[eqn: a _{n+1} :a _{n} = LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) ^{2} :1 ^{2} `]에서 [eqn: a _{n+1} = LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) ^{2} a _{n} `]이다.

따라서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 16( pi -2)( sqrt {2} -1) ^{2} ``]이고 공비가 [eqn: LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) ^{2} `]인 등비수열이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {S _{n}} = sum _{n=1} ^{INF } a _{n} = {16 LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( pi -2 RIGHT )} over {1- LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) ^{2}} = {16 LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( pi -2 RIGHT )} over {2 LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT )}]

[eqn: = LEFT ( 8 sqrt {2} -8 RIGHT ) LEFT ( pi-2 RIGHT )]

이다. 따라서 [eqn: p=q=8`]이므로 [eqn: p+q=16`]이다.

21. [출제의도] 연립부등식의 영역과 수열을 이용하여 수열의 합 문제 해결하기

[eqn: n=1`]일 때,

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: {1} over {2}]

[eqn: rmO]

[eqn: 1]

[eqn: a _{1} =1+1`]

[eqn: n=2`]일 때,

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: rmO]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: a _{2} =1+1+2`]

[eqn: n=3]일 때,

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: rmO]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: 3]

[eqn: 2]

[eqn: a _{3} =1+1+2+2`]

[eqn: n=4]일 때,

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: a _{4} =1+1+2+2+3`]

[eqn: VDOTS]

이다. 따라서 [eqn: n`=2k-1`]일 때와 [eqn: n=2k`]일 때로

나누어 [eqn: a _{n} `]을 구하면 다음과 같다.

ⅰ) [eqn: n=2k-1`]([eqn: k`]는 자연수)일 때

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: rm 1]

[eqn: rm 2]

[eqn: rm 3]

[eqn: 2k-4]

[eqn: 2k-3]

[eqn: 2k-2]

[eqn: 2k-1]

[eqn: rm 1]

[eqn: itk-2]

[eqn: it k-1]

[eqn: a _{2k-1} =1+1+2+2+` CDOTS `+k+k][eqn: =2 TIMES {k(k+1)} over {2}][eqn: =k ^{2} +k]

ⅱ) [eqn: n=2k`]([eqn: k`]는 자연수)일 때,

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: k]

[eqn: k-1]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 2k-3]

[eqn: 2k-1]

[eqn: 2k]

[eqn: 2k-2]

[eqn: rmO]

[eqn: a _{2k} =1+1+2+2+` CDOTS `+k+k+(k+1)]

[eqn: =2 TIMES {k(k+1)} over {2} +k+1]=[eqn: k ^{2} +2k+1]

ⅰ), ⅱ) 에 의해

[eqn: sum _{n=1} ^{20} a _{n} `= sum _{k=1} ^{10} LEFT ( a _{2k-1} +a _{2k} RIGHT ) `][eqn: = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 2k ^{2} +3k+1 RIGHT )][eqn: =945`]이다.

22. [출제의도] 합성함수를 이용하여 함숫값 계산하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=2x+3`]이므로 [eqn: LEFT (` f CIRC f` RIGHT ) LEFT ( 2 RIGHT ) `=f LEFT ( `f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) `=f LEFT ( 7 RIGHT ) `=17`]이다.

23. [출제의도] 무리식이 포함된 수열의 극한 이해하기

[eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( sqrt {n ^{2} +8n+10} -n RIGHT ) `}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{LEFT ( sqrt {n ^{2} +8n+10} -n RIGHT ) LEFT ( sqrt {n ^{2} +8n+10} +n RIGHT )} over {sqrt {n ^{2} +8n+10} +n} `}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{8n+10} over {sqrt {n ^{2} +8n+10} +n} `} = lim _{n -> INF } {{8+ 10 over n} over {sqrt {{1 + 8 over n + 10 over n^2} } +1} `} =4]

24. [출제의도] 급수의 수렴 이해하기

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} -5 RIGHT ) `]가 수렴하므로

[eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( a _{n} -5 RIGHT ) =0} `]에서 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} =5`}]이다.

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( 2a _{n} +3 RIGHT )} =2 TIMES lim _{n -> INF } {a _{n} +3} =13`]이다.

25. [출제의도] 절대부등식의 성질 이해하기

[eqn: a>1`]이므로 [eqn: a-1>0`]이다.

절대부등식의 성질에 의해

[eqn: 9a+ {1} over {a-1} `=9 LEFT ( a-1 RIGHT ) + {1} over {a-1} +9`]

[eqn: GEQ 2 sqrt {9 LEFT ( a-1 RIGHT ) TIMES {1} over {a-1}} +9`=2 TIMES 3+9=15`]

(단, 등호는 [eqn: a= {4`} over {3`} `]일 때 성립한다.)

이므로 [eqn: 9a+ {1} over {a-1} `]의 최솟값은 [eqn: 15`]이다.

26. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 식의 값을 구하는 문제 해결하기

로그의 정의로부터 [eqn: a=2 ^{x} `], [eqn: b=2 ^{y} `]이다.

[eqn: log _{8} a ^{{1} over {y}} +log _{8} b ^{{1} over {x}} `][eqn: =log _{8} 2 ^{{x} over {y}} +log _{8} 2 ^{{y} over {x}} `][eqn: =log _{8} 2 ^{{x} over {y} + {y} over {x}} `][eqn: =log _{8} 2 ^{{x ^{2} +y ^{2}} over {xy}}][eqn: = {x ^{2} +y ^{2}} over {3xy}][eqn: = {4xy} over {3xy}][eqn: = {4} over {3}]

이므로 [eqn: k`= {4`} over {3`}]이다. 따라서 [eqn: 27k`=36`]이다.

[다른 풀이]

[eqn: log _{8} a ^{{1} over {y}} +log _{8} b ^{{1} over {x}} `=log _{`2 ^{3}} a ^{{1} over {y}} +log _{`2 ^{3}} b ^{{1} over {x}}]=[eqn: {1} over {3y} `log _{`2} a+ {1} over {3x} `log _{`2} b]

[eqn: = {x} over {3y} + {y} over {3x}][eqn: = {x ^{2} +y ^{2}} over {3xy}][eqn: = {4} over {3}]

이므로 [eqn: k`= {4} over {3}]이다. 따라서 [eqn: 27k`=36`]이다.

27. [출제의도] 지수법칙 이해하기

[eqn: 3 ^{a} =4 ^{b} =5 ^{c} `]이므로 [eqn: 4 ^{ab} =5 ^{ac} `]이고 [eqn: 3 ^{ac} =4 ^{bc} `]이다.

[eqn: ac=2`]이므로 [eqn: 4 ^{ab} =5 ^{2} `]이고 [eqn: 4 ^{bc} =3 ^{2} `]이다.

따라서 [eqn: 4 ^{ab+bc} =4 ^{ab} TIMES 4 ^{bc} =5 ^{2} TIMES 3 ^{2} =225`]이다.

[다른 풀이]

[eqn: 4 ^{ab+bc} ``=(4 ^{b} ) ^{a} ` TIMES (4 ^{b} ) ^{c} =(5 ^{c} ) ^{a} ` TIMES (3 ^{a} ) ^{c} =15 ^{ac} =15 ^{2} =225``]

28. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

(가)에서 모든 실수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: lim _{x`-> `a} {{f LEFT ( x RIGHT ) -5x} over {x ^{2} -4}} `]의 값이 존재하므로 (분모)[eqn: -> ``0`]이면 (분자)[eqn: -> ``0`]이다.

[eqn: lim _{x`-> `a} {{f LEFT ( x RIGHT ) -5x} over {x ^{2} -4}} `]에서 [eqn: lim _{x-> 2} {LEFT ( x ^{2} -4 RIGHT ) =0}]이고 [eqn: lim _{x -> -2} {LEFT ( x ^{2} -4 RIGHT ) =0}]이므로 [eqn: lim _{x -> 2} {LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) -5x RIGHT )} =0]이고[eqn: lim _{x -> -2} {LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) -5x RIGHT )} =0]이다.

즉, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) -10=0`], [eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) +10=0`]이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 다항함수이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -5x= LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) `]라 하자. (단, [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]는 다항식)

(나)에서 [eqn: lim _{x -> ` INF } {LEFT ( sqrt {f LEFT ( x RIGHT )} -3x+1 RIGHT ) `= lim _{x -> ` INF } {LEFT ( sqrt {f LEFT ( x RIGHT )} - LEFT ( 3x-1 RIGHT ) RIGHT )}}]

[eqn: {= lim _{x -> ` INF } {{f LEFT ( x RIGHT ) - LEFT ( 3x-1 RIGHT ) ^{2}} over {sqrt {f LEFT ( x RIGHT )} +3x-1}}}}]

의 값이 존재하기 위해서는 분모의 차수가 분자의 차수보다 크거나 같아야 하므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 최고차항의 계수가 [eqn: 9`]인 이차함수가 되어야 한다.

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -5x=9 LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )]이므로 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =`60`]이다.

29. [출제의도] 집합의 연산과 수열을 이용하여 미지의 값 추론하기

주어진 조건을 만족하는 집합 [eqn: A _{k} `]를 구하여 차례대로 나열해보면

[eqn: A _{1} = LEFT { 3,`5`,7`,`9,11 RIGHT } `]

[eqn: A _{2} = LEFT { 9,`11,`13, CDOTS ,`21 RIGHT } `]

[eqn: A _{3} = LEFT { `15,`17,`19, CDOTS ,31 RIGHT } `]

[eqn: A _{4} = LEFT { `21,`23,`25, CDOTS ,41 RIGHT } `]

[eqn: VDOTS]

[eqn: A _{k} = LEFT { 6k-3,`6k-1,`6k+1,` CDOTS ,10k+1 RIGHT } `]

이다.

따라서 [eqn: A _{15} = LEFT { 87,`89,`91,` CDOTS `,151 RIGHT } `]이다.

[eqn: p>15`]에서 [eqn: A _{15} ` SMALLINTER A _{p} `= EMPTYSET `]을 만족하려면 집합 [eqn: A _{p} `]의

가장 작은 원소 [eqn: LEFT ( 6p-3 RIGHT ) `]이 집합 [eqn: A _{15} `]의 가장 큰 원소보다 커야 하므로 [eqn: 6p-3>151`]이어야 한다.

[eqn: p`>` {154} over {6} =25.6 CDOTS]이므로 자연수 [eqn: p`]의 최솟값은 [eqn: 26`]이다.

30. [출제의도] 함수의 극한을 이용하여 함수의 연속성 문제 해결하기

(ⅰ) [eqn: t<8`]일 때,

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) &=x ^{2} -18x+2 LEFT ( x-t RIGHT ) +80 =x ^{2} -16x-2t+80]

[eqn: = LEFT ( x-8 RIGHT ) ^{2} -2t+16]

이므로 [eqn: 8 LEQ x LEQ 10`]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=8`]에서

최솟값 [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT ) =`-2t+16`]을 갖는다.

따라서 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =`-2t+16`]이다.

(ⅱ) [eqn: 8 LEQ t<10`]일 때,

(ㄱ) [eqn: x<t`]인 경우

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -18x-2 LEFT ( x-t RIGHT ) +80][eqn: =x ^{2} -20x+2t+80]

[eqn: = LEFT ( x-10 RIGHT ) ^{2} +2t-20]

(ㄴ) [eqn: x GEQ t`]인 경우

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -18x+2 LEFT ( x-t RIGHT ) +80][eqn: =x ^{2} -16x-2t+80]

[eqn: = LEFT ( x-8 RIGHT ) ^{2} -2t+16]

(ㄱ), (ㄴ)에 의해

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{LEFT ( x-10 RIGHT ) ^{2} +2t-20&`` LEFT ( 8 LEQ x<t RIGHT )#LEFT ( x-8 RIGHT ) ^{2} -2t+16&`` LEFT ( t LEQ x LEQ 10 RIGHT )}}]

이다. 이때 [eqn: 8 LEQ x LEQ 10`]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는

다음과 같다.

[eqn: x]

[eqn: 10]

[eqn: t]

[eqn: 8]

[eqn: LEFT ( x-8 RIGHT ) ^{2} -2t+16]

[eqn: LEFT ( x-10 RIGHT ) ^{2} +2t-20]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=t`]에서 최솟값 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = LEFT ( t-9 RIGHT ) ^{2} -1`]을

갖는다.

따라서 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = LEFT ( t-9 RIGHT ) ^{2} -1`]이다.

(ⅲ) [eqn: t GEQ 10`]일 때,

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -18x-2 LEFT ( x-t RIGHT ) +80] [eqn: =x ^{2} -20x+2t+80]

[eqn: = LEFT ( x-10 RIGHT ) ^{2} +2t-20]

이므로 [eqn: 8 LEQ x LEQ 10`]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=10`]에서

최솟값 [eqn: f LEFT ( 10 RIGHT ) =2t-20`]을 갖는다.

따라서 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =2t-20``]이다.

(ⅰ)~(ⅲ)에서 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) `]는

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =` {cases{pile{-2t+16#LEFT ( t-9 RIGHT ) ^{2} -1}&pile{LEFT ( t<8 RIGHT )#``` LEFT ( 8LEQ t<10 RIGHT )}#``````````2t-20&````````` LEFT ( t GEQ 10 RIGHT )}}]

이고 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) `]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: t]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: {15} over {2}]

[eqn: 9]

[eqn: {21} over {2}]

[eqn: g LEFT ( t RIGHT )]

① [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =`-1`]([eqn: t=9`])일 때,

[eqn: lim _{n`-> ` INF } {LEFT { g LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{2n} =1``}]이므로

[eqn: h LEFT ( t RIGHT ) = lim _{n` -> ` INF } {{1} over {1+ LEFT { g LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{2n}} = {1} over {1+1} = {1} over {2} `}]이다.

② [eqn: -1<g LEFT ( t RIGHT ) <1`]([eqn: {15} over {2} <t<9`]또는 [eqn: 9<t< {21} over {2} `])일 때,

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT { g LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{2n} =0`}]이므로

[eqn: h LEFT ( t RIGHT ) = lim _{n` -> ` INF } {{1} over {1+ LEFT { g LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{2n}} = {1} over {1+0} =1} `]이다.

③ [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =1`]([eqn: t= {15} over {2} `] 또는 [eqn: t= {21} over {2} `])일 때,

[eqn: lim _{n`-> ` INF } {LEFT { g LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{2n} =1``}]이므로

[eqn: h LEFT ( t RIGHT ) = lim _{n` -> ` INF } {{1} over {1+ LEFT { g LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{2n}} = {1} over {1+1} = {1} over {2} `}]이다.

④ [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) >1`]([eqn: t<` {15} over {2} `] 또는 [eqn: t> {21} over {2} `])일 때,

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT { g LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{2n} = INF `}]이므로

[eqn: h LEFT ( t RIGHT ) = lim _{n` -> ` INF } {{1} over {1+ LEFT { g LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{2n}} =0`} `]이다.

그러므로 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) `]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: h LEFT ( t RIGHT )]

[eqn: t]

[eqn: 1]

[eqn: {1} over {2}]

[eqn: {15} over {2}]

[eqn: 9]

[eqn: {21} over {2}]

따라서 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) `]는 [eqn: t= {15} over {2} `,``9`,` {21} over {2}]에서 불연속이므로 모든 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 9+ {15} over {2} + {21} over {2} =27`]이다.