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2016학년도 11월 고2 전국연합학력평가

정답 및 해설

[가 형]

1	⑤	2	②	3	②	4	⑤	5	③
6	①	7	④	8	②	9	④	10	④
11	①	12	④	13	⑤	14	③	15	⑤
16	①	17	②	18	③	19	①	20	③
21	⑤	22	8	23	12	24	6	25	14
26	20	27	10	28	43	29	16	30	130

1. [출제의도] 삼각함수의 값 계산하기

[eqn: cos {13} over {6} pi =cos LEFT ( 2 pi + {pi } over {6} RIGHT ) =cos {pi } over {6} = {sqrt {3}} over {2}]

2. [출제의도] 다항함수의 미분계수 계산하기

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +3]이므로 [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =6]

3. [출제의도] 로그함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `0} {{4x} over {ln LEFT ( 1+2x RIGHT )}}][eqn: =2 TIMES lim _{x` -> `0} {{2x} over {ln LEFT ( 1+2x RIGHT )}}][eqn: =2]

4. [출제의도] 부정적분 이해하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +x+C] (단, [eqn: C`]는 적분상수)

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =C=1]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +x+1]

따라서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =7]

5. [출제의도] 미분계수 이해하기

[eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( -1+3h RIGHT ) -f LEFT ( -1 RIGHT )} over {h}}]

[eqn: =3 TIMES lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( -1+3h RIGHT ) -f LEFT ( -1 RIGHT )} over {3h}}]

[eqn: =3f` prime LEFT ( -1 RIGHT ) =4]

따라서 [eqn: f` prime LEFT ( -1 RIGHT ) = {4} over {3}]

6. [출제의도] 수열의 극한 이해하기

[eqn: lim _{n`->`inf} {LEFT ( 2a _{n} -5 RIGHT )} =0]이므로 [eqn: lim _{n`->`inf} {a _{n}} = {5} over {2}]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{4a _{n}} over {2a _{n} -3}}][eqn: = {4 TIMES lim _{n` -> ` INF } {a _{n}}} over {2 TIMES lim _{n` -> ` INF } {a _{n}} -3} =5]

7. [출제의도] 로그를 포함한 부등식 이해하기

진수의 조건에서 [eqn: 2x+1>0], [eqn: x-2>0]이므로

[eqn: x>2] [eqn: CDOTS CDOTS `㉠]

[eqn: log _{`3} ` LEFT ( 2x+1 RIGHT ) GEQ log _{`3} `3 LEFT ( x-2 RIGHT )]

[eqn: 2x+1 GEQ 3x-6]

[eqn: x LEQ 7] [eqn: CDOTS CDOTS `㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에서 [eqn: 2<x LEQ 7]

따라서 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7]이고 합은 [eqn: 25]

8. [출제의도] 지수함수의 미분 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `0-} {f LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x` -> `0+} {f LEFT ( x RIGHT )} =f LEFT ( 0 RIGHT ) =1]이므로
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서 연속이다.

[eqn: lim _{h` -> `0-} {{f LEFT ( 0+h RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT )} over {h}}][eqn: = lim _{h` -> `0-} {{LEFT ( 3h+1 RIGHT ) e ^{h} -1} over {h}}]
[eqn: = lim _{h` -> `0-} {{LEFT ( 3h+1 RIGHT ) LEFT ( e ^{h} -1 RIGHT ) +3h} over {h}}]
[eqn: =1+3=4]

[eqn: lim _{h` -> `0+} {{f LEFT ( 0+h RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT )} over {h}} = lim _{h` -> `0+} {{ah+1-1} over {h}} =a]

따라서 [eqn: a=4]

9. [출제의도] 수열의 극한 이해하기

조건 (나)에서 [eqn: lim _{n`->`inf} {a _{n} b _{n}} =3]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{b _{n}} over {n}} = lim _{n` -> ` INF } {{a _{n} b _{n}} over {na _{n}}} = {3} over {{1} over {2}} =6]

10. [출제의도] 삼각함수의 그래프 추론하기

[eqn: y=tanx]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( ` {pi} over {3} ,``c RIGHT )]를 지나므로 [eqn: c= sqrt {3}]

[eqn: y=a{sinbx}]의 주기가 [eqn: pi]이므로 [eqn: b=2]

[eqn: y=a sin2x]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( ` {pi } over {3} ,`` sqrt {3} RIGHT )]을 지나므로

[eqn: a`sin {2} over {3} pi= sqrt {3}]  [eqn: THEREFORE][eqn: a=2]

따라서 [eqn: abc=4 sqrt {3}]

11. [출제의도] 정적분 이해하기

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT ( 4x-3 RIGHT ) dx+ int _{1} ^{k} {LEFT ( 4x-3 RIGHT )} dx}]

[eqn: = int _{0} ^{k} {LEFT ( 4x-3 RIGHT ) dx}][eqn: = LEFT [ 2x ^{2} -3x RIGHT ] _{0} ^{k}]

[eqn: =2k ^{2} -3k=0]

[eqn: k LEFT ( 2k-3 RIGHT ) =0]

따라서 [eqn: k= {3} over {2}] ([eqn: k>0])

12. [출제의도] 지수함수를 활용하여 문제해결하기

[eqn: C _{g} =2], [eqn: C _{d} = {1} over {4}], [eqn: x=a], [eqn: n= {1} over {200}]이므로

[eqn: {1} over {200} = {1} over {4} TIMES 2 TIMES 10 ^{{4} over {5} LEFT ( a-9 RIGHT )}]

[eqn: 10 ^{{4} over {5} LEFT ( a-9 RIGHT )} =10 ^{-2}]

[eqn: {4} over {5} LEFT ( a-9 RIGHT ) =`-2]

따라서 [eqn: a= {13} over {2}]

13. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `3} {{x ^{2} -4x+a} over {sqrt {x+1} -2}} =b]이고 [eqn: lim _{x` -> `3} {LEFT ( sqrt {x+1} -2 RIGHT ) =0}]이므로

[eqn: lim _{x` -> `3} {LEFT ( x ^{2} -4x+a RIGHT ) =0}]  [eqn: THEREFORE][eqn: a=3]

[eqn: lim _{x` -> `3} {{x ^{2} -4x+3} over {sqrt {x+1} -2}}][eqn: = lim _{x` -> `3} {{LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( sqrt {x+1} +2 RIGHT )} over {LEFT ( sqrt {x+1} -2 RIGHT ) LEFT ( sqrt {x+1} +2 RIGHT )}}]
[eqn: = lim _{x` -> `3} {{LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( sqrt {x+1} +2 RIGHT )} over {x-3}}]
[eqn: = lim _{x` -> `3} {LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( sqrt {x+1} +2 RIGHT )}][eqn: =8]

[eqn: THEREFORE][eqn: b=8]

따라서 [eqn: a+b=11]

14. [출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기

점 [eqn: rmP]가 시각 [eqn: t=0]에서 시각 [eqn: t=7]까지 움직인 거리는

[eqn: int _{0} ^{7} {LEFT | v LEFT ( t RIGHT ) RIGHT | dt}]

[eqn: = int _{0} ^{3} {LEFT ( 6t-2t ^{2} RIGHT ) dt} + int _{3} ^{7} {LEFT ( {1} over {2} t- {3} over {2} RIGHT ) dt}]

[eqn: = LEFT [ 3t ^{2} - {2} over {3} t ^{3} RIGHT ] _{0} ^{3} + LEFT [ {1} over {4} t ^{2} - {3} over {2} t RIGHT ] _{3} ^{7}]

[eqn: =9+4=13]

15. [출제의도] 삼각함수의 미분 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `a} {{LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} - LEFT { f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT } ^{2}} over {x-a}}]

[eqn: = lim _{x` -> `a} {{LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT } LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT }} over {x-a}}]

[eqn: =2f` prime LEFT ( a RIGHT ) f LEFT ( a RIGHT ) =1]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =cosx-sinx]이므로

[eqn: 2 LEFT ( cosa-sina RIGHT ) LEFT ( sina+cosa RIGHT )]

[eqn: =2 LEFT ( cos ^{2} a-sin ^{2} a RIGHT )][eqn: =4cos ^{2} a-2=1]

따라서 [eqn: cos ^{2} a= {3} over {4}]

16. [출제의도] 등비급수를 활용하여 문제해결하기

그림 [eqn: R_1]에서

[eqn: R _{1}]

[eqn: rm 3]

[eqn: rmO]

[eqn: rm A _{1}]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm P _{1}]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: pi over 6]

[eqn: rm Q _{1}]

[eqn: 3]

[eqn: 3]

[eqn: pi over 3]

[eqn: rm M _{2}]

[eqn: rm M _{1}]

[eqn: S_1]은 직각삼각형 [eqn: rm OP_1 M_1]의 넓이에서 부채꼴
[eqn: rm M_1 P_1 M_2]의 넓이와 부채꼴 [eqn: rm O A_2 M_2]의 넓이를 뺀 값의
두 배이므로

[eqn: S _{1}][eqn: =2 TIMES LEFT { LEFT ( {1} over {2} TIMES 3 TIMES 3 sqrt {3} RIGHT ) - {1} over {2} TIMES LEFT ( 3 ^{2} TIMES {pi } over {3} +3 ^{2} TIMES {pi } over {6} RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: = 2 TIMES LEFT { {9ROOT3} OVER2 - left(3OVER2 pi + 3over4 pi RIGHT ) right}]
[eqn: = 9root3 - 9over2 pi]

다음은 그림 [eqn: R_n+1]의 일부이다.

[eqn: R _{n+1}]

[eqn: rmO]

[eqn: rm A _{itn}]

[eqn: rm B _{itn}]

[eqn: rm P _{it n}]

[eqn: rm A _{itn+1}]

[eqn: rm B _{it n+1}]

[eqn: rm M _{itn}]

[eqn: rm Q _{ it n}]

[eqn: rm M _{itn+1}]

[eqn: rm P _{itn+1}]

[eqn: rm A _{itn+2}]

[eqn: rm Q _{itn+1}]

[eqn: rm B _{itn+2}]

[eqn: bar{rmOM_{it n}} = a][eqn: LEFT ( a != 0 RIGHT )]라 하면 [eqn: bar{rmOM_{it n+1}} = a over2]

중심각의 크기가 같은 부채꼴 [eqn: {rm OA} _{n}{rm B} _{n}]과
부채꼴 [eqn: rm OA it _{itn+1} rm B it _{itn+1}]은 닮음이고
닮음비는 [eqn: bar{rmOM_{it n}} : bar{rmOM_{it n+1}} = a: a over2 = 1: 1over2]이다.

그러므로 그림 [eqn: R_n]과 [eqn: R_n+1]에서
새로 얻어진  모양의 도형도 서로 닮음이고
닮음비가 [eqn: 1: 1over2]이므로 넓이의 비는 [eqn: 1: {1} over {4}]이다.

따라서 [eqn: S_n]은 첫째항이 [eqn: 9root3 - 9over2 pi]이고 공비가 [eqn: 1over4]인

등비수열의 합이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {S _{n}}][eqn: = {9 sqrt {3} - {9} over {2} pi } over {1- {1} over {4}} = {4} over {3} LEFT ( 9 sqrt {3} - {9} over {2} pi RIGHT )]
[eqn: = 12root3 -6pi = 6 LEFT ( 2root3 -pi RIGHT )]

17. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 문제해결하기

[eqn: rmB]

[eqn: rm P]

[eqn: rmA]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: alpha]

[eqn: beta]

[eqn: rm O]

[eqn: y= {2} over {x}]

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rm P]를 지나는 직선이 [eqn: x]축의 양의 방향과

이루는 각의 크기를 [eqn: alpha]라 하면 [eqn: tanalpha= {{2} over {a} - LEFT ( -2 RIGHT )} over {a- LEFT ( -1 RIGHT )} = {2} over {a}]

두 점 [eqn: rm B], [eqn: rm P]를 지나는 직선이 [eqn: x]축의 양의 방향과

이루는 각의 크기를 [eqn: beta]라 하면 [eqn: tanbeta= {{2} over {a} -2} over {a-1} =`- {2} over {a}]

[eqn: beta - alpha = pi - {pi} over {4} = {3} over {4} pi]이므로

[eqn: tan LEFT ( beta - alpha RIGHT )][eqn: = {tan beta -tan alpha } over {1+tan beta `tan alpha }]
[eqn: = {- {4} over {a}} over {1- {4} over {a ^{2}}}][eqn: =`- {4a} over {a ^{2} -4}][eqn: =`-1]

[eqn: a ^{2} -4a-4=0]

따라서 [eqn: a=2+2 sqrt {2}] [eqn: LEFT ( a>1 RIGHT )]

18. [출제의도] 도함수를 활용하여 추론하기

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =x ^{n+2} -3 LEFT ( 3 ^{n+1} -1 RIGHT ) -3 ^{n+1} LEFT ( n+2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )]

[eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( n+2 RIGHT )]차 다항함수이다.

[eqn: h prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( n+2 RIGHT ) x ^{n+1} - LEFT ( n+2 RIGHT ) 3 ^{n+1}][eqn: = LEFT ( n+2 RIGHT ) TIMES LEFT ( `` {BOX{``````````x ^{n+1} -3 ^{n+1} ``` ^{` ^{`}} `` _{`} ````}} `` RIGHT )]

[eqn: x>3]에서 [eqn: h prime LEFT ( x RIGHT ) >0]이므로 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 증가한다.
[eqn: x GEQ 3]에서 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: h LEFT ( 3 RIGHT )]

[eqn: h LEFT ( 3 RIGHT ) =3 ^{n+2} -3 LEFT ( 3 ^{n+1} -1 RIGHT ) =3]

[eqn: h LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: {BOX{`````````` 3``` _{`}```` ^{`} ``}}]

[eqn: x GEQ 3]에서 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) GEQ {BOX{`````````` _{`} 3``````` ^{`} ```}} `>0]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) >0]

[eqn: x GEQ 3]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: THEREFORE `A LEFT ( x RIGHT ) =x ^{n+1} -3 ^{n+1}], [eqn: p=3]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{p TIMES A LEFT ( 4 RIGHT )} over {4 ^{n}}}][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{3 LEFT ( 4 ^{n+1} -3 ^{n+1} RIGHT )} over {4 ^{n}}}]
[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {LEFT { 12-9 TIMES LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n} RIGHT }} =12]

19. [출제의도] 수열의 극한을 이용하여 문제해결하기

점 [eqn: rm P]에서 직선 [eqn: rm AB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하자.

삼각형 [eqn: rm PAB]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rm AB it}} TIMES {bar{rm PH it}}]이고

선분 [eqn: rm PH]의 길이는 직선 [eqn: rm PH]가 원의 중심 [eqn: rm O]를

지날 때 최대이다.

직선 [eqn: rmAB]의 기울기가 [eqn: {1} over {2}]이므로

점 [eqn: rm P]는 직선 [eqn: y=`-2x]와 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =n]이 만나는

점 중 [eqn: x]좌표가 양수인 점이다.

점 [eqn: rm P LEFT ( ` it a _{n} ,``-2a _{n} RIGHT )]이라 하면

[eqn: a _{n} ^{2} +4a _{n} ^{2} =n]

[eqn: THEREFORE `a _{n} = {sqrt {n}} over {sqrt {5}}]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {sqrt {n} LEFT ( a _{n+1} -a _{n} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {sqrt {n} LEFT ( {sqrt {n+1} - sqrt {n}} over {sqrt {5}} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{sqrt {n}} over {sqrt {5} LEFT ( sqrt {n+1} + sqrt {n} RIGHT )}} = {sqrt {5}} over {10}]

20. [출제의도] 정적분을 활용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )] [eqn: LEFT ( a<0 RIGHT )]라 하자.
[eqn: 1<x<2]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >0]
[eqn: int _{1} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx>0}]  [eqn: THEREFORE](참)

ㄴ. [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =f` prime LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( 3x ^{2} -4x-1 RIGHT )]
[eqn: h LEFT ( 0 RIGHT ) =`-a>0]  [eqn: therefore](거짓)

ㄷ. 방정식 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =0]의 서로 다른 두 실근을
[eqn: alpha], [eqn: beta][eqn: LEFT ( alpha < beta RIGHT )]라 하자.

[eqn: y=h LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: rmO]

[eqn: alpha]

[eqn: beta]

[eqn: x``]

[eqn: y]

[eqn: int _{m} ^{n} {h LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 값이 최대가 되려면
닫힌 구간 [eqn: LEFT [`m,``n RIGHT ]]이 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0]를 만족시키는
구간과 일치하여야 하므로 [eqn: m= alpha], [eqn: n= beta]
[eqn: therefore][eqn: m+n= alpha + beta = {4} over {3}]  [eqn: therefore](참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

21. [출제의도] 함수의 연속성 추론하기

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} +bx+c]라 하자.

조건 (가)에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서
연속이므로 [eqn: x=1], [eqn: x=`-1]에서 연속이어야 한다.

[eqn: lim _{x` -> `1+} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) = lim _{x` -> `1-} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT ) g LEFT ( 1 RIGHT )}}]

[eqn: a+b+c=`-1]

[eqn: lim _{x` -> `-1+} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) = lim _{x` -> `-1-} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( -1 RIGHT ) g LEFT ( -1 RIGHT )}}]

[eqn: a-b+c=1]

[eqn: therefore `b=`-1], [eqn: c=`-a]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} -x-a= LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT )]

조건 (나)에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x+k RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서
연속이 되도록 하는 상수 [eqn: k]가 존재하므로

[eqn: x=1], [eqn: x=`-1]에서 연속이어야 한다.

[eqn: lim _{x` -> `1+} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x+k RIGHT ) = lim _{x` -> `1-} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x+k RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT ) g LEFT ( 1+k RIGHT )}}]

[eqn: k LEFT ( k+2 RIGHT ) LEFT ( k+a+1 RIGHT ) =0]

[eqn: k=`-2] 또는 [eqn: k=`-a-1] [eqn: LEFT ( k != 0 RIGHT )] [eqn: CDOTS CDOTS `㉠]

[eqn: lim _{x` -> `-1+} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x+k RIGHT )}][eqn: = lim _{x` -> `-1-} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x+k RIGHT )}]
[eqn: =f LEFT ( -1 RIGHT ) g LEFT ( -1+k RIGHT )]

[eqn: k LEFT ( k-2 RIGHT ) LEFT ( k+a-1 RIGHT ) =0]

[eqn: k=2] 또는 [eqn: k=`-a+1] [eqn: LEFT ( k != 0 RIGHT )] [eqn: CDOTS CDOTS `㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에 의해

[eqn: k=`-2]일 때, [eqn: a=3]

[eqn: k=2]일 때, [eqn: a=`-3]

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =`-a<0]이므로 [eqn: a=3]

따라서 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +3x ^{2} -x-3]이고 [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =15]

22. [출제의도] 수열의 극한 이해하기

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{8n ^{2} +5} over {n ^{2} +1}} = lim _{n` -> ` INF } {{8+ {5} over {n ^{2}}} over {1+ {1} over {n ^{2}}}} =8]

23. [출제의도] 함수의 연속 이해하기

[eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: x=1]에서 연속이어야 한다.

[eqn: lim _{x` -> `1} {LEFT ( 2x+10 RIGHT )} =f LEFT ( 1 RIGHT )]

따라서 [eqn: a=12]

24. [출제의도] 삼각함수를 활용하여 문제해결하기

방정식 [eqn: sinx= {sqrt {2}} over {2}]의 해는
함수 [eqn: y=sinx][eqn: LEFT ( 0 LEQ x LEQ 4 pi RIGHT )]의 그래프와
직선 [eqn: y= {sqrt {2}} over {2}]가 만나는 점의 [eqn: x]좌표와 같다.

[eqn: {pi } over {4}]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: y=sinx]

[eqn: y= {sqrt {2}} over {2}]

[eqn: {3} over {4} pi]

[eqn: {9} over {4} pi]

[eqn: {11} over {4} pi]

[eqn: 4 pi]

구하는 해는 [eqn: x= {pi } over {4}] 또는 [eqn: x= {3} over {4} pi] 또는 [eqn: x= {9} over {4} pi]
또는 [eqn: x= {11} over {4} pi]

따라서 모든 실근의 합은 [eqn: 6 pi]이고 [eqn: k=6]

25. [출제의도] 정적분과 미분의 관계 이해하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {d} over {dx} int _{1} ^{x} {LEFT ( t ^{3} +2t+5 RIGHT ) dt=x ^{3} +2x+5}]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +2]

따라서 [eqn: f` prime LEFT ( 2 RIGHT ) =14]

26. [출제의도] 정적분을 활용하여 추론하기

[eqn: y= {1} over {2} x ^{2}]과 [eqn: y=kx]가 만나는 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 0] 또는

[eqn: 2k]이므로

[eqn: A= int _{0} ^{2k} {LEFT ( kx- {1} over {2} x ^{2} RIGHT ) dx}], [eqn: B= int _{2k} ^{2} {LEFT ( {1} over {2} x ^{2} -kx RIGHT ) dx}]

[eqn: A=B]이므로

[eqn: int _{0} ^{2k} {LEFT ( kx- {1} over {2} x ^{2} RIGHT ) dx} = int _{2k} ^{2} {LEFT ( {1} over {2} x ^{2} -kx RIGHT ) dx}]

[eqn: int _{0} ^{2k} {LEFT ( kx- {1} over {2} x ^{2} RIGHT ) dx} - int _{2k} ^{2} {LEFT ( {1} over {2} x ^{2} -kx RIGHT ) dx} =0]

[eqn: int _{0} ^{2k} {LEFT ( kx- {1} over {2} x ^{2} RIGHT ) dx} + int _{2k} ^{2} {LEFT ( kx- {1} over {2} x ^{2} RIGHT ) dx} =0]

[eqn: int _{0} ^{2} {LEFT ( kx- {1} over {2} x ^{2} RIGHT ) dx} =0]

[eqn: LEFT [ {k} over {2} x ^{2} - {1} over {6} x ^{3} RIGHT ] _{0} ^{2} =2k- {4} over {3} =0]

따라서 [eqn: k= {2} over {3}]이고 [eqn: 30k=20]

27. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

조건 (가)에서 부등식의 각 변을 [eqn: x ^{2}]으로 나누면

[eqn: {2x ^{2} -5x} over {x ^{2}} LEQ {f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2}} LEQ {2x ^{2} +2} over {x ^{2}}]

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {{2x ^{2} -5x} over {x ^{2}}} = lim _{x` -> ` INF } {{2x ^{2} +2} over {x ^{2}}} =2]이므로

[eqn: lim _{x`->`inf} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2}}} =2]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 최고차항의 계수가 [eqn: 2]인 이차함수이다.

조건 (나)에서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2 LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT )]라 하자.

[eqn: lim _{x` -> `1} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2} +2x-3}}][eqn: = lim _{x` -> `1} {{2 LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT )} over {LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT )}}]
[eqn: = {2 LEFT ( 1+a RIGHT )} over {4}][eqn: = {1} over {4}]

[eqn: THEREFORE `a=`- {1} over {2}], [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2 LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x- {1} over {2} RIGHT )]

따라서 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =10]

28. [출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 문제해결하기

정사각형 [eqn: rm ACDB]의 한 변의 길이가 [eqn: 4]이므로

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: t]라 하면 두 점 [eqn: rm B], [eqn: rm D]의
[eqn: x]좌표는 [eqn: t+4]이다.

네 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D]의 [eqn: y]좌표가 각각
[eqn: a ^{t}], [eqn: b ^{t+4}], [eqn: b ^{t}], [eqn: c ^{t+4}]이므로

[eqn: a ^{t} =8], [eqn: b ^{t+4} =8], [eqn: b ^{t} =4], [eqn: c ^{t+4} =4]이다.

[eqn: b ^{t+4} =8], [eqn: b ^{t} =4]에서 [eqn: 4b ^{4} =8] [eqn: therefore][eqn: b=2 ^{{1} over {4}}]

[eqn: b ^{t} =4]에서 [eqn: LEFT ( 2 ^{{1} over {4}} RIGHT ) ^{t} =4] [eqn: therefore][eqn: t=8]

[eqn: a ^{t} =8]에서 [eqn: a ^{8} =8] [eqn: therefore][eqn: a=2 ^{{3} over {8}}]

[eqn: c ^{t+4} =4]에서 [eqn: c ^{12} =4] [eqn: therefore][eqn: c=2 ^{{1} over {6}}]

[eqn: abc=2 ^{{3} over {8} + {1} over {4} + {1} over {6}} =2 ^{{19} over {24}}]

따라서 [eqn: p=24], [eqn: q=19]이고 [eqn: p+q=43]

29. [출제의도] 삼각함수 극한을 활용하여 문제해결하기

[eqn: rmA]

[eqn: rm O]

[eqn: rm H]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm P]

[eqn: rm O']

[eqn: theta]

[eqn: rm D]

선분 [eqn: rmAP]와 호 [eqn: rmAP]에 동시에 접하는 가장 큰 원이

선분 [eqn: rmAP]와 접하는 점을 [eqn: rmC], 호 [eqn: rmAP]와 접하는 점을

[eqn: rmD]라 하자.

[eqn: {bar{rmCO }}=sintheta], [eqn: rm {bar{CD}} =1- {bar{CO}} =1-sin theta]이므로

선분 [eqn: rmAP]와 호 [eqn: rmAP]에 동시에 접하는 가장 큰 원의

반지름의 길이는 [eqn: {1-sintheta} over {2}]

[eqn: therefore][eqn: S` LEFT ( theta RIGHT ) = {pi } over {4} LEFT ( 1-sin theta RIGHT ) ^{2}]

삼각형 [eqn: rmPOQ]의 내접원의 중심을 [eqn: rmO'], 점 [eqn: rmO']에서

선분 [eqn: rm OQ]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면

[eqn: ANGLE rmPOQ=2theta], [eqn: ANGLE rmO'OH=theta]

삼각형 [eqn: rmPOQ]의 내접원의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면

[eqn: rm {bar{OH}} = {r} over {tan theta }], [eqn: rm {bar{HQ}} = it r]

[eqn: rm {bar{OQ}} = {bar{rm OH}} + {bar{rm HQ}} = {r} over {tan theta } +r=cos2 theta]

[eqn: r= {cos2 theta `tan theta } over {1+tan theta }]

[eqn: therefore][eqn: T` LEFT ( theta RIGHT ) = pi LEFT ( {cos2 theta `tan theta } over {1+tan theta } RIGHT ) ^{2}]

[eqn: S` LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) = {pi } over {4} LEFT { 1-sin LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) RIGHT } ^{2} = {pi } over {4} LEFT ( 1-cos theta RIGHT ) ^{2}]

[eqn: lim _{theta ` -> `0+} {{theta ^{2} TIMES T` LEFT ( theta RIGHT )} over {S` LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT )}} = lim _{theta ` -> `0+} {{theta ^{2} TIMES {pi `cos ^{2} 2 theta `tan ^{2} theta } over {LEFT ( 1+tan theta RIGHT ) ^{2}}} over {{pi } over {4} LEFT ( 1-cos theta RIGHT ) ^{2}}}]
[eqn: = lim _{theta ` -> `0+} {{4` theta ^{2} cos ^{2} 2 theta `tan ^{2} theta `} over {LEFT ( 1+tan theta RIGHT ) ^{2} LEFT ( 1-cos theta RIGHT ) ^{2}}}]

[eqn: = lim _{theta ` -> `0+} {{4 theta ^{2} cos ^{2} 2 theta `tan ^{2} theta LEFT ( 1+cos theta RIGHT ) ^{2} `} over {LEFT ( 1+tan theta RIGHT ) ^{2} sin ^{4} theta }}]

[eqn: = lim _{theta ` -> `0+} {LEFT { {4`cos ^{2} 2 theta LEFT ( 1+cos theta RIGHT ) ^{2}} over {LEFT ( 1+tan theta RIGHT ) ^{2}} TIMES {` theta ^{4}} over {sin ^{4} theta } TIMES {tan ^{2} theta } over {theta ^{2}} RIGHT }}]

[eqn: =16]

30. [출제의도] 도함수를 활용하여 추론하기

조건 (가)에서 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x]좌표가 [eqn: 2]인 점에서[eqn: x]축에 접하므로

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) -g LEFT ( 2 RIGHT ) =0], [eqn: f` prime LEFT ( 2 RIGHT ) -g` prime LEFT ( 2 RIGHT ) =0]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2}]을 인수로 갖는다. [eqn: CDOTS CDOTS `(✽)]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT )]라 하자.

조건 (나)에서 [eqn: y= LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]는 실수 전체의

집합에서 미분가능하므로 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0]

[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} GEQ 0]이므로
모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x ^{2} +ax+b GEQ 0]

판별식 [eqn: D=a ^{2} -4b LEQ 0] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =2 LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) + LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( 2x+a RIGHT ) +g` prime LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) =4x-1]이므로

[eqn: f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) =`-4b+4a-1=2]

[eqn: b=a- {3} over {4} `] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에서 [eqn: a ^{2} -4a+3 LEQ 0]

[eqn: therefore][eqn: 1 LEQ a LEQ 3]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = LEFT ( 1+a+b RIGHT ) +g LEFT ( 1 RIGHT ) =a+b-2=2a- {11} over {4}]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]은 [eqn: a=3]일 때 최댓값 [eqn: {13} over {4}]을 갖는다.

따라서 [eqn: alpha= {13} over {4}]이고 [eqn: 40alpha=130]

[참고]

[eqn: LEFT ( ✽ RIGHT )]에서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) -g LEFT ( 2 RIGHT ) =0]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x-2]를 인수로 갖는다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT )]라 하면

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) -g prime LEFT ( x RIGHT ) =Q` LEFT ( x RIGHT ) + LEFT ( x-2 RIGHT ) Q` prime LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: f` prime LEFT ( 2 RIGHT ) -g prime LEFT ( 2 RIGHT ) =Q` LEFT ( 2 RIGHT ) =0]

[eqn: therefore][eqn: Q` LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x-2]를 인수로 갖는다.

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2}]을 인수로 갖는다.

• 2교시 수학 영역 •

[나형]

1	②	2	③	3	④	4	②	5	④
6	④	7	③	8	⑤	9	①	10	④
11	②	12	①	13	⑤	14	③	15	③
16	⑤	17	①	18	①	19	⑤	20	②
21	③	22	2	23	5	24	100	25	15
26	181	27	16	28	48	29	4	30	23

1. [출제의도] 지수 계산하기

[eqn: 5 TIMES 9 ^{{1} over {2}} =5 TIMES LEFT ( 3 ^{2} RIGHT ) ^{{1} over {2}} = 5 TIMES 3 = 15]

2. [출제의도] 집합의 연산 이해하기

[eqn: A SMALLINTER B`= LEFT { `5,``7,``9 RIGHT }]

[eqn: THEREFORE] [eqn: n` LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT ) =3]

3. [출제의도] 수열의 극한 이해하기

[eqn: lim _{n `->` INF } {{4n ^{2} +n} over {5n ^{2} -7}} = lim _{n` ->` INF } {{4 + 1overn} over {5 - 7 over n^2}}= {4} over {5}]

4. [출제의도] 도함수 계산하기

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +3]이므로 [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =6]

5. [출제의도] 역함수 이해하기

[eqn: g LEFT ( 4 RIGHT ) =f `^{-1} LEFT ( 4 RIGHT ) =a]라 하면 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =4]

[eqn: 3a+1=4]

[eqn: a=1]

[eqn: therefore] [eqn: g LEFT ( 4 RIGHT ) = 1]

6. [출제의도] 함수의 연속 이해하기

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: x=3]에서 연속이다. 그러므로 [eqn: lim _{x` -> `3} {LEFT ( x ^{2} +3 RIGHT )} = f LEFT ( 3 RIGHT )]

[eqn: lim _{ x `->` 3} { LEFT ( x^2 + 3 RIGHT ) }=12], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) = a]이므로

[eqn: therefore] [eqn: a= 12]

7. [출제의도] 명제 추론하기

[eqn: p`:`x=4], [eqn: q`:` 2x^2 -ax +12=0]

일 때, 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합을 [eqn: P], [eqn: Q`]라 하면
[eqn: P` = left{ x `| `x=4 right}], [eqn: Q`= left{x `| `2x^2 -ax +12 =0right}]이다.

명제 [eqn: p` rarrow `q]가 참이면 [eqn: P SUBSET Q`]이므로

[eqn: x=4]는 방정식 [eqn: 2x^2 -ax +12=0]의 근이다.

[eqn: therefore] [eqn: a=11]

8. [출제의도] 부정적분 이해하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{ } ^{ } {3x^2 } dx = x^3 + C] (단, [eqn: C``]는 적분상수)

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =C=1]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +1]

[eqn: therefore] [eqn: `f LEFT ( 3 RIGHT ) =28]

9. [출제의도] 절대부등식 이해하기

[eqn: a]가 양수이므로

[eqn: 18a + { 1} over {2a } ge 2 sqrt { 18a times 1 over 2a } = 2 times sqrt 9 = 6]

(단, 등호는 [eqn: 18a = 1 OVER2a]일 때 성립한다.)

[eqn: therefore] 최솟값은 [eqn: 6]

10. [출제의도] 등비중항 이해하기

[eqn: a_4]는 [eqn: a_3]과 [eqn: a_5]의 등비중항이므로 [eqn: a_4 ^2 = a_3 `a_5 =1]

모든 항이 양수이므로 [eqn: a_4 = 1]

[eqn: a_4 = a_1 times LEFT ( { 1} over {3 } RIGHT ) ^3 = 1], [eqn: a_1 = 27]

[eqn: therefore] [eqn: a _{2} =27 TIMES {1} over {3} =9]

11. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x `->` 0-} {f(x)} `+ lim _{x `-> `1+} {f(x)} =`-1+1=0]

12. [출제의도] 급수와 일반항의 관계 이해하기

[eqn: lim _{n`->`inf} {LEFT ( 2a _{n} -5 RIGHT )} =0]이므로 [eqn: lim _{n`->`inf} {a _{n}} = {5} over {2}]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{4a _{n}} over {2a _{n} -3}}][eqn: = {4 TIMES lim _{n` -> ` INF } {a _{n}}} over {2 TIMES lim _{n` -> ` INF } {a _{n}} -3} =5]

13. [출제의도] 거듭제곱근 이해하기

[eqn: a]는 [eqn: 2]의 세제곱근이므로

[eqn: a^3 = 2]

[eqn: sqrt2]는 [eqn: b]의 네제곱근이므로

[eqn: LEFT ( sqrt { 2} RIGHT )^4 =b]

[eqn: therefore] [eqn: LEFT ( { b} over {a } RIGHT )^3 = b^3 over a^3 = 4^3 over 2 = 32]

14. [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

[eqn: f `prime LEFT ( x RIGHT ) = 3x^2 -18x + 15][eqn: =3 LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-5 RIGHT )]

[eqn: f `prime LEFT ( x RIGHT ) = 0]에서 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=5]

닫힌 구간 [eqn: LEFT [ `0,``5 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를
표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 5]
[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: a]	[eqn: NEARROW]	[eqn: a+7]	[eqn: SEARROW]	[eqn: a-25]

닫힌 구간 [eqn: LEFT [ `0,``5 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )]는 최댓값 [eqn: a+7],
최솟값 [eqn: a-25]를 갖는다.

[eqn: a-25 = `-15], [eqn: a=10]

[eqn: therefore] 최댓값은 [eqn: a+7 = 17]

15. [출제의도] 집합 사이의 포함 관계 추론하기

(가)에서 집합 [eqn: A]의 원소 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]은 모두
집합 [eqn: X`]의 원소이므로 [eqn: A SUBSET X]

(나)에서 집합 [eqn: X`]는 집합 [eqn: B]의 원소 [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]을
원소로 갖지 않으므로 [eqn: X SUBSET B^C]

그러므로 전체집합 [eqn: U`]의 부분집합 [eqn: X`]는

[eqn: LEFT{ `1,``2,``3 RIGHT } SUBSET X SUBSET LEFT{` 1,``2,``3,``7,``8,``9,``10 RIGHT }]

[eqn: therefore] [eqn: X`]의 개수는 [eqn: 2 ^{7-3} =2 ^{4} =16]

16. [출제의도] 로그를 활용하여 문제해결하기

[eqn: R=512], [eqn: H`=8], [eqn: h=6], 우물의 반지름의 길이가
[eqn: 1 {rm m}]인 우물 [eqn: A]의 양수량 [eqn: Q_A]는

[eqn: Q _{A} `= {k LEFT ( 8 ^{2} -6 ^{2} RIGHT )} over {`log LEFT ( {512} over {1} RIGHT ) ^{} ``} = {28k} over {9log LEFT 2 RIGHT .}]

[eqn: R=512], [eqn: H`=8], [eqn: h=6], 우물의 반지름의 길이가
[eqn: 2 {rm m}]인 우물 [eqn: B]의 양수량 [eqn: Q_B]는

[eqn: Q _{B} `={k LEFT ( 8 ^{2} -6 ^{2} RIGHT ) } over {`log LEFT ( {512} over {2} RIGHT ) ^{} ``} = {28k} over {8log LEFT 2 RIGHT .}]

[eqn: therefore] [eqn: { Q_A} over {Q_ B} = 8 over 9]

17. [출제의도] 유리함수의 그래프를 활용하여 문제해결하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = ax overx+1 = `- a over x+1 +a]의 그래프의
점근선의 방정식은 [eqn: x=`-1], [eqn: y=a]

[eqn: y]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = { ax} over {x+1 }]

[eqn: y=x]

[eqn: x=`-1]

[eqn: y=a]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

두 직선 [eqn: x=`-1], [eqn: y=a]와 직선 [eqn: y=x]로 둘러싸인
부분의 넓이는 [eqn: 1over2 { LEFT ( a+1 RIGHT )^2 } = 18]

[eqn: therefore] [eqn: a=5]

18. [출제의도] 등비급수를 활용하여 문제해결하기

그림 [eqn: R_1]에서

[eqn: R _{1}]

[eqn: rm 3]

[eqn: rmO]

[eqn: rm A _{1}]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm P _{1}]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm M _{1}]

[eqn: 30 DEG]

[eqn: rm Q _{1}]

[eqn: 3]

[eqn: 3]

[eqn: 60 DEG]

[eqn: rm M _{2}]

[eqn: S_1]은 직각삼각형 [eqn: rm OP_1 M_1]에서 부채꼴 [eqn: rm M_1 P_1 M_2]와
부채꼴 [eqn: rm O A_2 M_2]를 뺀 넓이의 두 배이므로

[eqn: S _{1} =2 TIMES LEFT { LEFT ( {1} over {2} TIMES 3 TIMES 3 sqrt {3} RIGHT )]

[eqn: LEFT . - LEFT ( pi TIMES 3 ^{2} TIMES {60} over {360} RIGHT ) - LEFT ( pi TIMES 3 ^{2} TIMES {30} over {360} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = 2 TIMES LEFT ( {9ROOT3} OVER2 - 9OVER4 pi RIGHT ) = 9root3 - 9over2 pi]

다음은 그림 [eqn: R_n+1]의 일부이다.

[eqn: R _{n+1}]

[eqn: rmO]

[eqn: rm A _{itn}]

[eqn: rm B _{itn}]

[eqn: rm P _{it n}]

[eqn: rm A _{itn+1}]

[eqn: rm B _{it n+1}]

[eqn: rm M _{itn}]

[eqn: rm Q _{ it n}]

[eqn: rm M _{itn+1}]

[eqn: rm P _{itn+1}]

[eqn: rm A _{itn+2}]

[eqn: rm Q _{itn+1}]

[eqn: rm B _{itn+2}]

[eqn: bar{rmOM_{it n}} = a][eqn: LEFT ( a != 0 RIGHT )]라 하면 [eqn: bar{rmOM_{it n+1}} = a over2]

중심각의 크기가 같은 부채꼴 [eqn: {rm OA} _{n}{rm B} _{n}]과
부채꼴 [eqn: rm OA it rm _{itn+1} rm B it rm _{n+1}]은 서로 닮음이고
닮음비는 [eqn: bar{rmOM_{it n}} : bar{rmOM_{it n+1}} = a: a over2 = 1: 1over2]이다.

그러므로 그림 [eqn: R_n]과 [eqn: R_n+1]에서

새로 얻어진  모양의 도형도 서로 닮음이고
닮음비가 [eqn: 1: 1over2]이므로 넓이비는 [eqn: 1: {1} over {4}]이다.

따라서 [eqn: S_n]은 첫째항이 [eqn: 9root3 - 9over2 pi]이고 공비가 [eqn: 1over4]인
등비수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이다.

[eqn: therefore] [eqn: lim _{n `-> ` INF } {S _{n}} = {9 sqrt {3} - 9 over {2} pi} over {1- {1} over {4}}]

[eqn: = 4over3 LEFT ( 9root3 - 9over2 pi RIGHT )]

[eqn: = 12root3 -6pi]

[eqn: = 6 LEFT ( 2root3 -pi RIGHT )]

19. [출제의도] 수학적 귀납법 추론하기

(1) [eqn: n=1]일 때,
(좌변)[eqn: =LEFT ( 2 times1 - 1 RIGHT ) times 2^0 =1],
(우변)[eqn: =(2 times 1-3) times 2^1 +3=1]이므로
[eqn: LEFT ( ✽ RIGHT )]이 성립한다.

(2) [eqn: n=m`]일 때, [eqn: LEFT ( ✽ RIGHT )]이 성립한다고 가정하면
[eqn: sum _{k=1} ^{m} LEFT ( 2k-1 RIGHT ) 2 ^{k-1} = LEFT ( 2m-3 RIGHT ) 2 ^{m} +3]이다.

[eqn: n=m+1]일 때, [eqn: LEFT ( ✽ RIGHT )]이 성립함을 보이자.
[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} LEFT ( 2k-1 RIGHT ) 2 ^{k-1}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( 2k-1 RIGHT ) 2 ^{k-1} + LEFT ( `` LEFT . {BOX{``````````2m+1 _{`} ^{`} `````````}} RIGHT . `` RIGHT ) TIMES 2 ^{m}]

[eqn: = LEFT ( `2m-3` RIGHT ) 2 ^{m} +3+ LEFT ( `` LEFT . {BOX{``````````2m+1 _{`} ^{`} `````````}} `` RIGHT . RIGHT ) TIMES 2 ^{m} `]

[eqn: = LEFT ( `4m-2` RIGHT ) 2 ^{m} +3]

[eqn: =` LEFT ( `` LEFT . {BOX{``````````2m-1 _{`} ^{`} `````````}} RIGHT . `` RIGHT ) ` TIMES 2 ^{m+1} +3]

따라서 [eqn: n=m+1]일 때도 [eqn: LEFT ( ✽ RIGHT )]이 성립한다.

(1), (2)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: LEFT ( ✽ RIGHT )]이 성립한다.
[eqn: therefore] [eqn: f(m) = 2m+1], [eqn: g(m) = 2m-1]

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) `TIMES` g LEFT ( 2 RIGHT ) =9 TIMES 3=27]

20. [출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기

선분 [eqn: rmOP]에 수직이고 점 [eqn: RMP]를 지나는 직선 [eqn: rm`PQ]의

기울기는 [eqn: -` {1} over {t}]이므로

직선 [eqn: rm`PQ]의 방정식은 [eqn: y-t ^{2`} =`-` {1} over {t} LEFT ( x-t RIGHT )]

따라서 [eqn: y]축과 만나는 점 [eqn: rm `Q LEFT ( `0, ``it 1+t^2 RIGHT )]

삼각형 [eqn: RmOPQ]의 넓이 [eqn: S` LEFT ( t RIGHT ) = 1 over 2 times t times LEFT ( 1+t^2 RIGHT )]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{t` -> `0+} {{S LEFT ( t RIGHT )} over {t} = lim _{t` ->` 0+} {{{1} over {2} TIMES t TIMES LEFT ( 1+t ^{2} RIGHT )} over {t}]
[eqn: =lim _{t `->` 0+}{1 over 2 times LEFT ( 1+t^2 RIGHT )}= 1 over 2]

21. [출제의도] 함수의 연속을 활용하여 추론하기

ㄱ.

[eqn: 3]

[eqn: y= f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: x=t]

[eqn: y= g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: lim _{t` ->` -1+} {h LEFT ( t RIGHT ) =3}] (참)

ㄴ.

[eqn: -1]

[eqn: rm O]

[eqn: y= f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: 1]

[eqn: 3]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: y= g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: lim _{t` ->` 1-} {h LEFT ( t RIGHT ) =3}], [eqn: lim _{t` ->` 1+} {h LEFT ( t RIGHT ) =3}], [eqn: h(1) = 3]이므로

함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t=1]에서 연속이다. (참)

ㄷ. 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 [eqn: t = { 5} over { 4}]에서
접하므로 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]는

[eqn: h LEFT ( t RIGHT ) = {cases{``2 _{`} ^{`} ```````&`` LEFT ( t LEQ -1 RIGHT ) _{`} ^{`}#``3 _{`} ^{`}&`` LEFT ( -1<t< {5} over {4} RIGHT ) _{`} ^{`}#``2 _{`} ^{`}&`` LEFT ( t= {5} over {4} RIGHT ) _{`} ^{`}#``1 _{`} ^{`}&`` LEFT ( {5} over {4} <t LEQ 3 RIGHT ) _{`} ^{`}#``2 _{`} ^{`}&`` LEFT ( t>3 RIGHT ) _{`} ^{`}}}]

[eqn: t]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: { 5} over { 4}]

[eqn: 3]

[eqn: 3]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: y = h LEFT ( t RIGHT )]

[eqn: -1]

함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]가 [eqn: t=`-1], [eqn: t= 5over4], [eqn: t=3]에서
불연속이므로 모든 [eqn: a]의 값의 합은
[eqn: -1+ 5over4 + 3 = 13over4]이다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ

22. [출제의도] 등차수열 이해하기

등차수열 [eqn: left{ a_n right}]의 첫째항을 [eqn: a_1], 공차를 [eqn: d]라 하면
[eqn: a_ 5 - a_3 = left( a_1 + 4d right) - LEFT ( a_1 + 2 d RIGHT ) = 2d = 4]

[eqn: therefore] [eqn: d=2]

23. [출제의도] 합성함수 이해하기

[eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( 3 RIGHT ) = g LEFT ( f LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT ) = g LEFT ( 6 RIGHT )=5]

24. [출제의도] 수열의 합 이해하기

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} =5][eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( b _{k} -4 RIGHT ) = sum _{k=1} ^{10} b _ {k} - sum _{k=1} ^{10}4 = sum _{k=1} ^{10} b_k -40 = 50] [eqn: sum _{k=1} ^{10} b _{k} =90]

[eqn: therefore] [eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 2a _{k} +b _{k} RIGHT ) `= 2 sum _{k=1} ^{10} a _{k} + sum _{k=1} ^{10 }b _{k}\= 10+90=100]

25. [출제의도] 로그의 성질 이해하기

[eqn: log _{`a} `8= log _{`a} `2^3 = 3 log _{`a} `2 = 2]

[eqn: log _{`a} `2= 2 over 3], [eqn: log _{`2} `a= 3 over 2]

[eqn: therefore] [eqn: 10 TIMES log _{`2} `a=10 TIMES {3} over {2} =15]

26. [출제의도] 미분계수 이해하기

[eqn: lim _{h `->` 0} {{f LEFT ( 2+h RIGHT ) -4} over {h} =3}]에서
[eqn: lim _{h `->` 0} {h=0]이므로 [eqn: lim _{h `->` 0} {left{f LEFT ( 2+h RIGHT ) -4 right}= 0]이다.
[eqn: therefore] [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =4]
[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =12 +2a+b=4]에서
[eqn: 2a+b=`-8] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 2+h RIGHT ) -4} over {h} = lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 2+h RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {h} =f` prime LEFT ( 2 RIGHT ) =3}}]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) = 6x +a]이므로
[eqn: f `prime LEFT ( 2 RIGHT ) =12+a=3], [eqn: a=`-9] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에서 [eqn: a=`-9], [eqn: b=10]

[eqn: therefore] [eqn: a^2 +b^2 =81+100=181]

27. [출제의도] 무리함수의 그래프를 활용하여 문제해결하기

[eqn: {rm A} LEFT (` a,` sqrt {a} RIGHT ) it], [eqn: rm B it LEFT (` a,` sqrt {3a} RIGHT )]

점 [eqn: rmC]의 [eqn: y]좌표는 점 [eqn: rmB]의 [eqn: y]좌표와 같으므로
[eqn: sqrt {x} = sqrt { 3a}], [eqn: x= 3a]

따라서 [eqn: rm C it LEFT ( `3a,` sqrt {3a} RIGHT )], [eqn: rm D it LEFT (` 3a,``3 sqrt {a} RIGHT )]

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmD]를 지나는 직선의 기울기는
[eqn: {3 sqrt {a} - sqrt {a}} over {3a-a} = {sqrt {a}} over {a} = 1 over {sqrt a] ([eqn: because] [eqn: a>0])

[eqn: 1 over { sqrt a} = 1 over 4]이므로 [eqn: sqrt {a} =4]

[eqn: therefore] [eqn: a=16]

28. [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]위의 점 [eqn: (`t,``t^3 -at)]에서
접선의 기울기는 [eqn: f` prime LEFT ( t RIGHT ) =3t ^{2} -a]이므로
접선의 방정식은
[eqn: y-(t^3 -at) = (3t^2 -a)(x-t)]이고

점 [eqn: (`0,``16)]을 지나므로

[eqn: 2t^3 =`-16]

[eqn: t^3 = `-8]

[eqn: t=`-2] ([eqn: BECAUSE] [eqn: t]는 실수)

접선의 기울기는 [eqn: 8]이므로
[eqn: f `prime LEFT ( -2 RIGHT )=3 timesLEFT ( -2 RIGHT ) ^2 -a = 12-a=8]

[eqn: a=4]

그러므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x^3 -4x]
[eqn: therefore] [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =f LEFT ( 4 RIGHT ) =4 ^{3} -4 TIMES 4=48]

29. [출제의도] 수열의 극한을 활용하여 문제해결하기

그림과 같이 점 [eqn: rm A]에서 원에 그은 두 접선의 접점 중
점 [eqn: rm C]가 아닌 점을 [eqn: rm E LEFT (it `2n,``0 RIGHT )]이라 하자.

[eqn: rm E]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: RMA]

[eqn: RM O]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: n+3]

[eqn: n]

[eqn: RM D]

[eqn: n]

[eqn: TRIANGLE rm AEB]와 [eqn: triangle rm BOD]는 서로 닮음이므로

[eqn: {bar{rm AE it}} : {bar{rm EB it}} = {bar{rm BO it}} : {bar{eqalign{rm OD} it}}}]

[eqn: n+3:n=n: {bar{rm OD it}}]

[eqn: therefore] [eqn: {bar{rm OD it}} = {n ^{2}} over {n+3}]

[eqn: {bar{rm OD it}} = {bar{rm CD it}}], [eqn: bar { rm BO } = bar { rm BC}]

[eqn: l _{n} = 2 times LEFT ( {n ^{2}} over {n+3} +n RIGHT )= {4n ^{2} +6n} over {n+3}]

[eqn: S _{n} =2 TIMES "(" TRIANGLE rm BOD]의 넓이[eqn: ")"]

[eqn: =it 2 TIMES LEFT ( {1} over {2} TIMES n TIMES {n ^{2}} over {n+3} RIGHT ) = {n ^{3}} over {n+3}]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{n -> INF } {} {l _{n} TIMES S _{n}} over {n ^{3}} = lim _{n -> INF } {} LEFT ( {1} over {n ^{3}} times {4n ^{2} +6n} over {n+3} times {n ^{3}} over {n+3} RIGHT )]

[eqn: = lim _{ n rarrow inf} { } { 4n^2 + 6n} over { LEFT ( n+3 RIGHT )^2 }=4]

30. [출제의도] 도함수를 활용하여 그래프 추론하기

조건 (가)에서 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) = 27], [eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT ) =0]

함수 [eqn: h` LEFT ( x RIGHT ) = f LEFT ( x RIGHT ) - g LEFT ( x RIGHT )]라 할 때,
조건 (나), (다)에서
함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 점 [eqn: LEFT ( -3,``0 RIGHT )]을 지나고
[eqn: x=a]([eqn: a ne `-3])에서 [eqn: x]축과 접한다.
따라서 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT )^2]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =27], [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로

[eqn: h LEFT ( 0 RIGHT ) =f LEFT ( 0 RIGHT ) -g LEFT ( 0 RIGHT )]

[eqn: 3a ^{2} =27], [eqn: a=3] ([eqn: because] [eqn: a ne `-3])

[eqn: THEREFORE] [eqn: h LEFT ( x RIGHT )= f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = x^3 -3x^2 -9x +27]

[eqn: h`' LEFT ( x RIGHT )= f`' LEFT ( x RIGHT ) -g`' LEFT ( x RIGHT ) = 3x ^{2} -6x-9]

[eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로 [eqn: f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) -g`' LEFT ( 0 RIGHT ) =`-9]

[eqn: THEREFORE] [eqn: g`' LEFT ( 0 RIGHT ) =9]

[eqn: y = g LEFT ( x RIGHT )]는 원점을 지나는 직선이므로 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =9x]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) - g LEFT ( x RIGHT ) = x^3 -3x^2 -9x +27]에서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = x^3 - 3x^2 +27]

[eqn: f `prime LEFT ( x RIGHT ) = 3x^2 - 6x = 3x LEFT ( x-2 RIGHT )]
[eqn: f `prime LEFT ( x RIGHT ) = 0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f `prime LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 27]	[eqn: SEARROW]	[eqn: 23]	[eqn: NEARROW]

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=2]에서 극솟값 [eqn: 23]을 갖는다.

[참고]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: -3]

[eqn: a]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y = g LEFT ( x RIGHT )]