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2006년도 3월 고1 전국연합학력평가 정답 및 해설

정 답

1	①	2	④	3	①	4	②	5	②	6	④	7	⑤	8	③
9	⑤	10	⑤	11	⑤	12	①	13	④	14	①	15	③	16	②
17	③	18	④	19	③	20	④	21	②	22	[eqn: 14]	23	[eqn: 23]	24	[eqn: 10]
25	[eqn: 12]	26	[eqn: 40]	27	[eqn: 22]	28	[eqn: 270]	29	[eqn: 32]	30	[eqn: 154]

해 설

1. [출제의도] 유리수의 계산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 5 over 6 - {2} over {3} TIMES left(- {1} over {2} right) ^{2} = 5 over 6 - {2} over {3} TIMES {1} over {4}]

[eqn: `= 5 over 6 -` {1} over {6} = 4 OVER 6]

[eqn: = 2 over 3]

2. [출제의도] 무리수의 계산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {1} over {2- sqrt {3}} - {1} over {2+ sqrt {3}} = { 2+ROOT3 } over {( 2- sqrt {3} ) ( 2+ROOT3 ) } - { 2-ROOT3 } over {(2+ sqrt {3}) ( 2-ROOT3 )}]

[eqn: = {2+ sqrt {3}} over {4-3} - {2- sqrt {3}} over {4-3}]

[eqn: =2+ sqrt {3} -2+ sqrt {3}]

[eqn: = 2 sqrt {3}]

3. [출제의도] 이차방정식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x ^{2} -8x-48=0]의 근을 구하면

[eqn: (x-12)(x+4)=0]이므로 [eqn: x=12] 또는 [eqn: x=-4]이다.

그런데 [eqn: p>q]이므로 [eqn: p=12,````q=-4]

∴ [eqn: p+2q=12+2×(-4) = 12-8]

[eqn: =4]

4. [출제의도] 연립부등식의 해의 뜻을 알고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 2x-a>3], [eqn: x>` {3+a} over {2}]이므로 [eqn: {3+a} over {2} =2]

[eqn: THEREFORE ```a=`1]

[eqn: -2x+4>b], [eqn: x< {b-4} over {-2}]이므로 [eqn: {b-4} over {-2} =3]

[eqn: THEREFORE `` ~ b= `-2]

따라서 [eqn: a+b=1+(-2)=`-1]이다.

5. [출제의도] 입체도형의 부피를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

이 전개도로 만들어지는 입체도형은 그림과 같이 밑면은 한 변의 길이가 [eqn: 6 rmcm]인 정사각형이고 높이는 [eqn: 6 rmcm]인 사각뿔이므로

(부피)=[eqn: {1} over {3} TIMES (6 TIMES 6) TIMES 6]=[eqn: 72( rm cm ^{3} )]

6. [출제의도] 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

두 주머니 중 한 개의 주머니를 선택할 확률은 각각 [eqn: {1} over {2}]이므로

[eqn: rmA] 주머니가 선택될 경우 흰 공을 꺼낼 확률은

[eqn: {1} over {2} TIMES {1} over {4} = {1} over {8}]이고,

[eqn: rmB] 주머니가 선택될 경우 흰 공을 꺼낼 확률은

[eqn: {1} over {2} TIMES 1= {1} over {2}]이다.

따라서 꺼낸 공이 흰 공일 확률은

[eqn: {1} over {8} + {1} over {2} = {5} over {8}]이다.

[오답풀이]

(1) 두 주머니에 있는 공의 개수를 모두 합하면 흰 공이 3개, 검은 공이 3개이므로 흰 공을 꺼낼 확률은 [eqn: {3} over {6} `= {1} over {2}]이라고 잘못 생각할 수 있다.

(2) [eqn: rmA] 주머니에서 흰 공을 꺼낼 확률은 [eqn: {1} over {4}], [eqn: rmB] 주머니에서 흰 공을 꺼낼 확률은 [eqn: 1]로 생각하여, [eqn: rmA] 주머니 또는 [eqn: rmB] 주머니에서 흰 공을 꺼낼 확률이 [eqn: 1over4`+1 = 5 over 4]라고 잘못 답할 수 있다.

7. [출제의도] 일차함수의 그래프를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rmbarAB `=3]이므로 점 [eqn: rm A]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 3]이고, 점 [eqn: rm A]는 일차함수 [eqn: y=3x]의 그래프 위의 점이므로 [eqn: x]좌표가 [eqn: 1]이다.

점 [eqn: rm A]와 [eqn: x]좌표가 같은 점 [eqn: rm B]의 좌표는 [eqn: (1,~0)]이고, [eqn: rmbarBC `=3]이므로 점 [eqn: rmC]의 좌표는 [eqn: (4,~0)]이다.

점 [eqn: rmC]와 [eqn: x]좌표가 같고, 점 [eqn: rm A]와 [eqn: y]좌표가 같은 점 [eqn: rm D]의 좌표는 [eqn: (4,~3)]이다.

점 [eqn: rm D]가 일차함수 [eqn: y=ax+27] 위의 점이므로 [eqn: x=4], [eqn: y=3]을 대입하면 [eqn: 3=a times4+27]

∴[eqn: a =-6]

8. [출제의도] 평행선의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

직선 [eqn: l]에 평행하면서 점 [eqn: rm P`]를 지나는 직선과 점 [eqn: rm`Q]를 지나는 직선을 긋고, 두 직선이 평행하면 엇각의 크기가 같다는 성질을 이용하여 크기가 같은 각을 나타내면 그림과 같다.

따라서 [eqn: ANGLE x- ANGLE y=`180DEG-60DEG=120DEG]

9. [출제의도] 이차함수의 그래프를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

이차함수 [eqn: y=2x ^{2}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 2만큼, [eqn: y]축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것은 이차함수 [eqn: y=2(x-2) ^{2} +3]의 그래프이다.

[eqn: y=2(x-2) ^{2} +3]

[eqn: =2x ^{2} -8x+11]

따라서 [eqn: a=-8,``b=11]이다.

∴ [eqn: a+b=3]

[오답풀이]

이차함수 [eqn: y=2x ^{2}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 2만큼, [eqn: y]축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것은 이차함수 [eqn: y=2(x+2) ^{2} +3]의 그래프라고 잘못 생각할 수 있다.

10. [출제의도] 직선의 기울기 사이의 관계를 추측할 수 있는가를 묻는 문제이다.

선분 [eqn: rm AP`]의 기울기는 [eqn: {b} over {a} `], 선분 [eqn: rm PC`]의 기울기는 [eqn: {d} over {c} `], 선분 [eqn: rm AC`]의   기울기는 [eqn: {b+d} over {a+c} `]이므로 [eqn: {b} over {a} < {b+d} over {a+c} < {d} over {c} `]가 성립한다.

따라서 옳은 내용은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

11. [출제의도] 좌표평면에서 점의 이동에 대한 규칙을 이해하고 이동한 후의 좌표를 추측해 낼 수 있는가를 묻는 문제이다.

오른쪽 위(↗)로 [eqn: m`]회 이동하고, 오른쪽 아래(↘)로 [eqn: n`]회 이동하여 도착하는 점 [eqn: rm P`]의 좌표는 [eqn: (m+n,~m-n)`]이다.

[eqn: m+n=a`], [eqn: m-n=b`]라 하면 [eqn: m= {a+b} over {2} `], [eqn: n= {a-b} over {2} `]

[eqn: m`], [eqn: n]은 음이 아닌 정수이므로 다음 조건을 만족시켜야 한다.

(ⅰ) [eqn: a+b`]는 짝수

(ⅱ) [eqn: a-b`]는 짝수

(ⅲ) [eqn: a >= b`]

따라서 도착할 수 있는 점의 좌표는 [eqn: (`6,~-2`)`], [eqn: (`93,~39`)`]이다.

12. [출제의도] 원의 성질을 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.

반원에 대한 원주각의 크기가 [eqn: 90 DEG]이므로 [eqn: rm ANGLE `DCA`=`90 DEG]이고, 반지름과 접선이 이루는 각의 크기가 [eqn: 90 DEG]이므로 [eqn: rmangle`DAT`=`90 DEG]이다.

따라서, (가)에 알맞은 것은 [eqn: rm ANGLE `DCA]이다.

또, 호 [eqn: rm BD]에 대한 원주각은 [eqn: rm ANGLE DAB], [eqn: rm ANGLE DCB]이므로 (나)에 알맞은 것은 [eqn: rm ANGLE DCB]이다.

13. [출제의도] 삼각비를 이용하여 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: rm TRIANGLE ABD]에서[eqn: rmangle`B=60DEG]이므로 [eqn: {z} over {c} =sin`60` DEG `=` {sqrt {3}} over {2}]

∴ [eqn: z= {sqrt {3}} over {2} c] (거짓)

ㄴ. [eqn: rm TRIANGLE ABD]에서 [eqn: {z} over {x} =tan60 DEG `]

[eqn: rm TRIANGLE ACD]에서 [eqn: {y} over {z} =tan60 DEG]

∴ [eqn: {z} over {x} ={y} over {z}] (참)

ㄷ. [eqn: rm TRIANGLE ACD]에서 [eqn: y=b`cos30 DEG = root3 over 2 b], [eqn: z=b`sin30 DEG = 1 over 2 b]

∴ [eqn: y+z= {1+ sqrt {3}} over {2} b] (참)

따라서 옳은 내용은 ㄴ, ㄷ이다.

14. [출제의도] 삼각형의 닮음을 이용하여 다각형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: rm P]와 점 [eqn: rmQ]가 각각 [eqn: △ rm ABD``,~△DBC]의 무게중심이므로

[eqn: rm bar{BP} ``: bar{PM} = bar{BQ} ``: bar{QN} =2:1]이고 [eqn: rm bar{PQ} // bar{MN}]이다.

[eqn: △ rm PBQ]와 [eqn: △ rm MBN]의 닮음비가 [eqn: 2:3]이므로

[eqn: △ rm PBQ``:△MBN=4:9]이다.

따라서, [eqn: △ rm PBQ```:`□MPQN=4:5]이므로 [eqn: △ rm PBQ``:30=4:5]

∴ [eqn: △ rm PBQ=24 (cm^2 )]

15. [출제의도] 수의 성질을 이용하여 일차방정식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: kx`=`8-x]

[eqn: (k+1)x=8]

∴ [eqn: x= {8} over {k+1}]

[eqn: {8} over {k+1}]에서 분모가 분자의 약수일 때, 자연수가 되므로

[eqn: k+1=1,``2,``4,``8``]

∴ [eqn: `k=0,``1,``3,``7]

따라서 자연수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 3]이다.

16. [출제의도] 피타고라스의 정리를 이용하여 선분의 길이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm bar{AD}]는 한 변의 길이가 [eqn: 2 rm cm]인 정삼각형 [eqn: rm ABC]의 높이이므로

[eqn: rm bar{AD} `= bar{AE} = {sqrt {3}} over {2} TIMES 2= sqrt {3} `( rm cm)]

[eqn: rm ANGLE BAD=30°], [eqn: rm ANGLE DAE=60°]이므로 [eqn: rm ANGLE BAE=90°]이다.

따라서 [eqn: △ rm ABE]에서 [eqn: rm ` bar{BE} = sqrt {2 ^{2} +( sqrt {3} ) ^{2}} = sqrt {7} `( rm cm)]

17. [출제의도] 일차함수의 그래프의 성질을 이용하여 두 점 사이의 거리를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: rm P]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선의 방정식은 [eqn: y=3]이다.

점 [eqn: rm Q]의 [eqn: y]좌표가 [eqn: 3]이므로

[eqn: y=4x-5]에 [eqn: y=3]을 대입하면 [eqn: 3=4x-5] ∴ [eqn: x=2]

따라서 점 [eqn: rm Q]의 좌표는 [eqn: (`2,~3`)]이다.

∴ [eqn: rm bar{PQ} =2-(-5)=7]

18. [출제의도] 3의 배수 판정법에 대한 자료를 이해하고 3의 배수를 판정할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: 4+6+8+5+7=30] 이므로 [eqn: 46857]은 [eqn: 3]의 배수이다.

ㄴ. [eqn: 13+14+15+16=58] 이므로 [eqn: 13141516]은 [eqn: 3]의 배수가 아니다.

ㄷ. [eqn: 1+2+3+cdots +49+50=25 TIMES `51]이고, [eqn: 51]이 [eqn: 3]의 배수이므로

[eqn: 1]부터 [eqn: 50]까지의 자연수를 이어서 만든 수 [eqn: 12345cdots4950]는 [eqn: 3]의 배수이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

19. [출제의도] 식을 변형하여 식의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 3xy=x+y]이므로

[eqn: {5x-6xy+5y} over {x+y} = {5x-2(x+y)+5y} over {x+y} `]

[eqn: = {3x+3y} over {x+y} `]

[eqn: = {3(x+y)} over {x+y} `]

[eqn: =3`]

[다른풀이]

[eqn: {5x-6xy+5y} over {x+y} = {5(x+y)} over {x+y} - {6xy} over {x+y} =5-6 TIMES {1} over {3} =3]

20. [출제의도] 평행사변형의 성질을 이용하여 두 점 사이의 최단거리를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

평행사변형의 성질을 이용하여 그림과 같이 [eqn: rm B] 지점에서 위로 [eqn: 4]칸 이동한 지점 [eqn: rm B prime]을 잡으면 이동 거리는 [eqn: rm A] 지점에서 [eqn: rm B prime] 지점까지 이동한 후 [eqn: rm B prime] 지점에서 [eqn: rm B] 지점까지 이동하는 거리와 같다. 이동 거리가 가장 짧은 것은 [eqn: rm bar{AB prime } + bar{B'B}``]이므로 [eqn: rm bar{AB prime }] 위에 끝점이 있는 평균대 ㉣을 지나야 한다.

[다른풀이]

각 평균대의 한 끝점을 다른 한 끝점에 오도록 접으면 아래 그림과 같으므로 [eqn: rm bar{AB }] 위에 끝점이 있는 평균대 ㉣을 걸어서 지날 때 이동거리가 가장 짧다.

21. [출제의도] 일차부등식을 이용하여 실생활의 문제를 해결할 수  있는가를 묻는 문제이다.

피자의 가격을 [eqn: x]원이라 하면, 할인 카드를 사용할 때 지불해야 할 금액은 [eqn: (x+10000) TIMES 0.7](원)이고, 스파게티 무료 쿠폰을 사용할 때 지불해야 할 금액은 [eqn: x](원)이다.

[eqn: (x+10000) TIMES 0.7`<x],  [eqn: 7x+70000`<`10x]

[eqn: THEREFORE ``x> {70000} over {3}][eqn: =23333.33 CDOTS]

따라서 조건을 만족하는 것은 [eqn: 25,000]원과 [eqn: 28,000]원 짜리의 [eqn: 2]종류이다.

22. [출제의도] 곱셈공식을 이용하여 식의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: (x-y) ^{2} =`x ^{2} -2xy+y ^{2}]

[eqn: =(x ^{2} +y ^{2} )-2xy]

[eqn: =20-2 TIMES 3=14]

23. [출제의도] 이차함수의 최대값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: y=-2x ^{2} -8x+15`]

[eqn: =-2(x ^{2} +4x)+15`]

[eqn: =-2(x+2) ^{2} +23]

따라서 최대값은 [eqn: 23]이다.

24. [출제의도] 집합의 연산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 2]의 배수는 [eqn: 2,~4,~6,~cdots,~20]이므로 [eqn: n(A)=10]

[eqn: 3]의 배수는 [eqn: 3,~6,~9,~cdots,~18]이므로 [eqn: n(B)=6]

[eqn: 6]의 배수는 [eqn: 6,~12,``18]이므로 [eqn: n(A SMALLINTER B)`=3]

[eqn: A-B=A-(A SMALLINTER B)], [eqn: B-A=B-(A SMALLINTER B)]

그런데 [eqn: (A-B) cap (B-A) =∅]이므로

[eqn: n LEFT ( (A-B) CUP (B-A) RIGHT ) `=`(10-3)+(6-3)`=10]

[다른풀이]

두 집합 [eqn: A,`B`]를 벤다이어그램으로 나타내면 그림과 같다.

25. [출제의도] 원의 성질과 삼각비를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

사각형 [eqn: rm ABCD]가 원에 내접하므로 [eqn: rm ANGLE `C=60 DEG]이다.

[eqn: rm angle BDC =90°]이므로 [eqn: rm bar{BC}]는 외접원의 지름이다.

[eqn: cos60 DEG = rm {bar{CD}} over {bar{BC}} = {1} over {2}], [eqn: rm {6} over {bar{BC}} = {1} over {2}]

∴ [eqn: rm bar{BC} =12cm]

따라서 외접원의 지름의 길이는 [eqn: 12 rm cm]이다.

26. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

이차항의 계수가 [eqn: 2]이고, [eqn: 1], [eqn: 3]을 두 근으로 하는 이차방정식은

[eqn: 2(x-1)(x-3)=0]이므로  [eqn: 2x ^{2} -8x+6=0]

[eqn: THEREFORE ~~b=6]

이차항의 계수가 [eqn: 2]이고, [eqn: -1], [eqn: 2]를 두 근으로 하는 이차방정식은

[eqn: 2(x+1)(x-2)=0]이므로  [eqn: 2x ^{2} -2x-4=0]

[eqn: THEREFORE ~~a=`-2]

따라서 [eqn: a^2 + b^2 =40]

27. [출제의도] 새로운 기호의 정의를 이해하고 그 기호에 대한 조건을 만족하는 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 4+5=9=3` ^{2} `]이므로 [eqn: << 4,~2 >> =2`]  ∴ [eqn: a=2`]

[eqn: << b,~6 >> =3`]에서

[eqn: b+(b+1)+(b+2)+(b+3)+(b+4)+(b+5) =27`]

[eqn: 6b+15=27`]   ∴ [eqn: b=2`]

따라서 [eqn: 10`a+b=22`]

28. [출제의도] 연립방정식을 이용하여 실생활의 문제를 해결할 수  있는가를 묻는 문제이다.

비밀번호의 각 자리 숫자를 차례대로 [eqn: x,~y,~2,~5]라 하면

[eqn: x+y+2+5=19]    ∴ [eqn: x+y`=`12]

[eqn: (x+2)-(y+5)=3]   ∴ [eqn: x-y=6]

연립방정식 [eqn: cases{x+y=12#x-y=6}]을 풀면  [eqn: x=9`,```y=3]이므로

비밀번호의 각 자리의 숫자의 곱은 [eqn: 9 TIMES 3 TIMES 2 TIMES 5=270]이다.

29. [출제의도] 이진법을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: (2 ^{2} +1) TIMES 2 ^{5} +(2 ^{2} +1) TIMES 2 ^{3} +2 =2^7 + 2^5 + 2^5 + 2^3 + 2]

[eqn: =2^7 + 2×2^5 + 2^3 + 2]

[eqn: =2^7 + 2^6 + 2^3 + 2]

[eqn: =11001010_(2)]

따라서 [eqn: a=4], [eqn: b=4]이므로 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =32]

30. [출제의도] 유리수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {x} over {1100} `][eqn: = {x} over {2 ^{2} ` TIMES 5 ^{2} ` TIMES 11`} `]가 유한소수가 되려면 [eqn: x`]는 [eqn: 11`]의 배수이어야 한다.

그런데 [eqn: x`]는 [eqn: 7`]의 배수이므로 [eqn: 7`]과 [eqn: 11`]의 최소공배수인 [eqn: 77`]의 배수이다.

또, [eqn: x]가 세 자리 자연수이므로 [eqn: x]의 최소값은 [eqn: 77 TIMES 2=154]이다.