2015학년도 11월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(나형)

제 2 교시

수학 영역(가형)

수학 영역(가형)

수학 영역(나형)

수학 영역(나형)

두 집합 [eqn: A= LEFT { `1,``3 RIGHT }], [eqn: B`= LEFT { `2,``4 RIGHT }]에 대하여 집합 [eqn: A CUP B`]의 모든
원소의 합은? [2점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

12

[eqn: log _{`6} `2+log _{`6} `3]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{5 TIMES 3 ^{n}} over {3 ^{n} +1}}]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{2} TIMES a _{4} =64]일 때,
[eqn: a _{3}]의 값은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 20]

유리함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {x+2} +a]의 그래프의 점근선의 방정식이
[eqn: x=b], [eqn: y=3]일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =2x+5]이다.
[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1]일 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 17]

명제 ‘[eqn: x ^{2} -ax+9 != 0]이면 [eqn: x != 3]이다.’ 가 참일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

[3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

등비급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {x-4} over {3} RIGHT ) ^{n}]이 수렴하도록 하는 정수 [eqn: x]의 개수는? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: x]가
[eqn: x=t ^{3} -4t ^{2} -3t+4]일 때, 점 [eqn: rm P]가 출발 후 운동 방향을 바꾸는
순간의 시각 [eqn: t]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} +5x]에 대하여 [eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 4+h RIGHT ) -f LEFT ( 4 RIGHT )} over {3h}}]의 값은?

[3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

첫째항이 [eqn: 1]이고 공비가 [eqn: 2]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여
[eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{2k-1}]의 값은? [3점]

① [eqn: 341]	② [eqn: 343]	③ [eqn: 345]

④ [eqn: 347]	⑤ [eqn: 349]

비행기가 항력을 이겨서 등속수평비행하는 데 필요한 동력을
필요마력이라 한다. 필요마력 [eqn: P`](마력)와 비행기의 항력계수 [eqn: C], 비행속력 [eqn: V`]([eqn: rm m/]초), 날개의 넓이 [eqn: S`]([eqn: rm m ^{2}]) 사이에는 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

[eqn: P`= {1} over {150} it k`C it `V` ^{``3} it S]  (단, [eqn: k]는 양의 상수이다.)

날개의 넓이의 비가 [eqn: 1:3]인 두 비행기 [eqn: A], [eqn: B`]가 동일한 항력계수를 갖고 각각 등속수평비행하고 있을 때, 필요마력의 비는 [eqn: 1: sqrt {3}]이고 비행속력은 각각 [eqn: V _{it A rm }] , [eqn: V _{it B} `]이다. [eqn: {V _{it A} } over {V _{it B}}]의 값은? [3점]

① [eqn: 3 ^{{1} over {6}}]	② [eqn: 3 ^{{1} over {3}}]	③ [eqn: 3 ^{{1} over {2}}]

④ [eqn: 3 ^{{2} over {3}}]	⑤ [eqn: 3 ^{{5} over {6}}]

[13 ~ 14] 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같다. 13번과 14번의
두 물음에 답하시오.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: -2]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

[eqn: lim _{x` -> `2-} {f LEFT ( x RIGHT ) f LEFT ( 1-x RIGHT )}]의 값은? [4점]

① [eqn: -6]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 6]

좌표평면에서 곡선 [eqn: y= sqrt {x+4} +1`]이 두 직선 [eqn: x=0], [eqn: y=`- {1} over {4} x]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm OAB]의 넓이는?
(단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [4점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 일반항 [eqn: a _{n} = sum _{k=1} ^{n} {1} over {k ^{2}}]일 때,
[eqn: n GEQ 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{n-1} + sum _{i=1} ^{n} {1} over {i} =na _{n}] [eqn: CDOTS CDOTS](*)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

(1) [eqn: n=2]일 때, (*)에서

(좌변)[eqn: =a _{1} + {1} over {1} + {1} over {2} = {BOX{``````````(가) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}} `````````}}]

(우변)[eqn: =2a _{2} = {BOX{``````````(가) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}} `````````}}]

(좌변)[eqn: =](우변)이므로 (*)이 성립한다.

(2) [eqn: n=m] ([eqn: m GEQ 2])일 때, (*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{m-1} + sum _{i=1} ^{m} {1} over {i} =ma _{m}]

이다.

[eqn: n=m+1]일 때, (*)이 성립함을 보이자.

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{m} + sum _{i=1} ^{m+1} {1} over {i}]

[eqn: = {BOX{``````````(나) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}} `````````}} `timesa _{m} + {1} over {m+1}]

[eqn: = LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT { a _{m+1} - {1} over {LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{2}} RIGHT } + {1} over {m+1}]

[eqn: = LEFT ( m+1 RIGHT ) a _{m+1}]

따라서 [eqn: n=m+1]일 때도 (*)이 성립한다.

(1), (2)에 의하여

[eqn: n GEQ 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 (*)이 성립한다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p], (나)에 알맞은 식을 [eqn: f LEFT ( m RIGHT )]이라 할 때,        [eqn: p TIMES f LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은? [4점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 조건 [eqn: p]가 조건 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이지만 필요조건이 아닌 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: p`:`a ^{2} +b ^{2} =0] [eqn: q`:`a=b] ㄴ. [eqn: p`:`ab<0] [eqn: q`:`a<0] 또는 [eqn: b<0] ㄷ. [eqn: p`:`a ^{3} -b ^{3} =0] [eqn: q`:`a ^{2} -b ^{2} =0]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =n ^{2}]과
곡선 [eqn: y= sqrt {x+n}]이 만나는 두 점 사이의 거리를 [eqn: a _{n}] , 원의 지름의 길이를 [eqn: b _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( b _{n} -a _{n} RIGHT )}]의 값은? [4점]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y= sqrt {x+n} `]

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =n ^{2}]

[eqn: n]

[eqn: n]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

집합 [eqn: X= LEFT { 1,``2,``3,``4 RIGHT }]에 대하여 [eqn: X`]에서 [eqn: X`]로의 함수 [eqn: f]가

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `= {cases{``````x ^{2} ```````````` LEFT ( x=1,`2 RIGHT ) _{{} _{`}}#`x+a``````` LEFT ( x=3,`4 RIGHT ) ` LEFT ( `a RIGHT .}}]

는 상수[eqn: )]

이고, 함수 [eqn: f]의 역함수 [eqn: g]가 존재한다.
[eqn: g ^{1} LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g ^{n+1} LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( g ^{n} LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )] ([eqn: n=1,`2,`3,` CDOTS])라 할 때,
[eqn: a+g ^{10} LEFT ( 2 RIGHT ) +g ^{11} LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은? [4점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 6]인 정육각형 [eqn: H _{1}]이 있다. 정육각형 [eqn: H _{1}]의 각 변에 대하여 변을 삼등분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 그리고, [eqn: 6]개의 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에 정육각형 [eqn: H _{1}]의 내부에 있는 각 반원의 호를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 [eqn: H _{2}]라 하자. 정육각형 [eqn: H _{2}]의

각 변에 대하여 변을 삼등분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는
원을 그리고, 새로 그려진 [eqn: 6]개의 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.

그림 [eqn: R _{2}]에 정육각형 [eqn: H _{2}]의 내부에 있는 각 반원의 호를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 [eqn: H _{3}]이라 하자. 정육각형 [eqn: H _{3}]의

각 변에 대하여 변을 삼등분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는
원을 그리고, 새로 그려진 [eqn: 6]개의 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{3}]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는
부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {S _{n}} =k` LEFT ( 3 sqrt {3} `-`m` RIGHT ) pi]이다.
[eqn: 11k+m]의 값은? (단, [eqn: k], [eqn: m]은 유리수이다.) [4점]

[eqn: H _{1}]

[eqn: H _{1}]

[eqn: H _{2}]

[eqn: R _{1}]

[eqn: R _{2}]

[eqn: CDOTS]

[eqn: CDOTS]

① [eqn: 90]	② [eqn: 101]	③ [eqn: 112]

④ [eqn: 123]	⑤ [eqn: 134]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정사각형 [eqn: rmABCD]에서
선분 [eqn: rm BC]와 선분 [eqn: rm CD]의 중점을 각각 [eqn: rm E], [eqn: rmF]라 하자. 점 [eqn: rm E]를 꼭짓점으로 하고 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm D]를 지나는 포물선과 선분 [eqn: rm AF]가 만나는 점을
[eqn: rmG]라 하자. 선분 [eqn: rm AG] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]를 지나고 직선 [eqn: rmAB]와
평행한 직선이 포물선과 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm AQP]의 넓이의 최댓값은? (단, 점 [eqn: rmP]는 점 [eqn: rm A]와 점 [eqn: rmG]가 아니다.) [4점]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

[eqn: rm G]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

① [eqn: {85} over {27}]	② [eqn: {343} over {108}]	③ [eqn: {173} over {54}]	④ [eqn: {349} over {108}]	⑤ [eqn: {88} over {27}]

단 답 형

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{2} -3x+1]에 대하여 [eqn: f` prime LEFT ( 6 RIGHT )]의 값을 구하시오. [3점]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]이 [eqn: S _{n} =n ^{2} +6n]
일 때, [eqn: a _{5}]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: lim _{x` -> `2} {{x ^{2} +x-6} over {sqrt {x+2} -2}}]의 값을 구하시오. [3점]

함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `= {cases{{x LEFT ( x ^{2} +a RIGHT )} over {x-3 _{{} _{{} _{`}}}} ``````` LEFT ( x != 3 RIGHT )#~~````````b`````````````````````` LEFT ( x=3 RIGHT )}}]

가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 합 [eqn: a+b]의
값을 구하시오. [3점]

두 집합 [eqn: A= LEFT { 1,``2,``3,``4,``a RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 1,``3,``5 RIGHT }]에 대하여
집합 [eqn: X= LEFT { `x+y│x` IN A`,```y` IN B` RIGHT }]라 할 때, [eqn: n LEFT ( X` RIGHT ) =10]이
되도록 하는 자연수 [eqn: a]의 최댓값을 구하시오. [4점]

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: 2 ^{a} =3 ^{b}], [eqn: a+b= {4} over {3} ab]일 때, [eqn: 8 ^{a} TIMES 3 ^{b}]의
값을 구하시오. [4점]

첫째항이 [eqn: 6]이고 공차가 양수인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여
이차방정식 [eqn: x ^{2} - LEFT ( a _{n} +a _{n+2} RIGHT ) x-a _{n+1} =0]의 서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha _{n}] , [eqn: beta _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{10} LEFT ( alpha _{n} +1 RIGHT ) LEFT ( beta _{n} +1 RIGHT ) =180]일 때, [eqn: a _{11}]의 값을
구하시오. [4점]

좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 두 곡선 [eqn: y= sqrt {x+n ^{2}}],
[eqn: y=`- sqrt {x} +n]과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포함되고 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 하자.
[eqn: sum _{n=1} ^{5} a _{n}]의 값을 구하시오. [4점]

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 직선 [eqn: y=t]가 만나는 서로 다른 점의 개수를 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 하자.
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0], [eqn: x=6]에서 불연속이다.

(나) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]는 모든 실수에서 연속이다.

(다) [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) f LEFT ( 7 RIGHT ) <0]

[eqn: f LEFT ( -4 RIGHT )]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.