2004학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지

국 어

공    통

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국 어

공    통

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국 어

공    통

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국 어

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국 어

공    통

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국 어

공    통

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수 리 영 역 (나형)

제 2 교시

성명			수험번호						3

수리 영역 (나형)

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수리 영역 (나형)

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◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형, 답을 표기할 때에는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 0이 포함된 경우, 0을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

[2점]

[eqn: a= SQRT {2 } `], [eqn: b=][eqn: root{3``}]일 때, [eqn: SQRT {6 } `]을 [eqn: a`], [eqn: b``]로 나타내면?

[eqn: 4]

[eqn: 8]

①

[eqn: root{a``}` root{b``}]

[eqn: 4]

②

[eqn: root{a``}` root{b``}]

[eqn: 3]

③ [eqn: root{a``}`b]

④ [eqn: a^2 `b]

⑤ [eqn: a^4 `b^2]

[eqn: log_5``10 + 2`log_5``2 -log_5``8``]의 값은? [2점]

① [eqn: { 1} over {2 }]

② [eqn: 1``]

③ [eqn: 2``]

④ [eqn: log_5`2]

⑤ [eqn: log_5 `4`]

<표 1>은 어느 과학공원의 관람료, <표 2>는 과학공원을 관람할 사람 수를 나타낸 것이다. <표 2>와 같이 [eqn: 9`]명이 평일에 과학공원을 관람한다면 주말 관람에 비해 절약할 수 있는 금액은? [2점]

<표 1>				<표 2>
구분	어른	청소년		대상	사람수
평일	[eqn: 8,000`]원	[eqn: 6,000`]원		어른	[eqn: 4]
주말	[eqn: 10,000`]원	[eqn: 7,000`]원		청소년	[eqn: 5]

① [eqn: 7,000`]원

② [eqn: 9,000`]원

③ [eqn: 11,000`]원

④ [eqn: 13,000`]원

⑤ [eqn: 15,000`]원

[eqn: { LEFT ( { 1} over {root 2}RIGHT )} ^20`]은 소수점 아래 [eqn: n`] 번째 자리에서 처음으로 [eqn: 0`]이 아닌 숫자가 나타난다. 이 때, [eqn: log_2``n`]의 값은? (단, [eqn: log_10 ``2 =0.3010`])

[3점]

① [eqn: 2``]

② [eqn: 4``]

③ [eqn: 6``]

④ [eqn: 8``]

⑤ [eqn: 10``]

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이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B`]에 대하여 옳은 것을 <보기>에서 모두 고르면? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [3점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: A^5 =A^7 =E`]이면 [eqn: A=E`]이다. ㄴ. [eqn: (A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2] ㄷ. [eqn: (kA)B=A(kB)=k(AB)`] (단, [eqn: k`]는 실수)

① ㄱ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: x ={{2 ^ {{ 1} over {4}}}+ 2 ^ {-{ 1} over {4 }}} `]일 때, [eqn: root{x^2 -4``} `+ x`]의 값은? [3점]

① [eqn: 2^{{1} over { 4}}]

② [eqn: 2^{{3} over { 4}}]

③ [eqn: 2^{{5} over { 4}}]

④ [eqn: 2^{{7} over { 4}}]

⑤ [eqn: 2^{{9} over { 4}}]

다음 순서도에서 인쇄되는 [eqn: a`]의 값은? [3점]

아니오

[eqn: a```←``a+n]

[eqn: n``>``10]

[eqn: n```←```1]

끝

예

[eqn: a]

시작

[eqn: a```←```1]

[eqn: n```←``n+1]

① [eqn: 10]

② [eqn: 11]

③ [eqn: 46]

④ [eqn: 55]

⑤ [eqn: 66]

[eqn: a_1 = 1`], [eqn: a_2 = 9`], [eqn: 3a_n+2 -2 a_n+1 -a_n =0`]([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3],[eqn: cdots])으로 정의된 수열 [eqn: LEFT { a_n `RIGHT }`]에 대하여 [eqn: lim from { n` ->` inf } a_n`]의 값은? [4점]

① [eqn: 6]

② [eqn: 7]

③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]

⑤ [eqn: 10]

다음은 지수법칙 [eqn: { a^p } over {a^q } = a^p-q `]을 이용하여 양의 실수 [eqn: x`], [eqn: y`]에 대하여 [eqn: log_a ``{ x} over {y } = log_a ``x - log_a``y`]가 성립함을 증명한 과정이다. (단, [eqn: a>0`], [eqn: a!=1`])

	<증명> [eqn: p=log_a``x`], [eqn: q=log_a``y`]로 놓으면 [eqn: a^p =`] , [eqn: a^q =`] 이고 [eqn: a^p-q = { a^p } over { a^q } =`] 이다. 그러므로, 로그의 정의에 의하여 [eqn: p-q=log_a`] 이다. 따라서 [eqn: log_a { x} over {y } = log_a ``x - log_a``y`]이다. (가) (다) (나) (다)

위의 빈칸 (가), (나), (다)에 들어가기에 알맞은 것은? [3점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: x]	[eqn: x]	[eqn: xy]
②	[eqn: x]	[eqn: y]	[eqn: xy]
③	[eqn: y]	[eqn: x]	[eqn: xy]
④	[eqn: x]	[eqn: y]	[eqn: { x} over {y }]
⑤	[eqn: y]	[eqn: x]	[eqn: { x} over {y }]

[eqn: n`]이 양의 정수일 때, [eqn: 6^n` `]의 양의 약수의 총합은 [eqn: T`(n)]이다. 이 때,[eqn: lim_{n`->`inf} { 6^n } over { T`(n) }]의 값을 구하면? [4점]

① [eqn: {1 } over {2 }]

② [eqn: { 1} over {3}]

③ [eqn: { 1} over {6}]

④ [eqn: { 1} over { 12}]

⑤ [eqn: { 1} over { 18}]

[eqn: 1`]부터 [eqn: 9`]까지 번호가 적힌 [eqn: 9`]개의 공이 있다. 아래 그림과 같이 가로, 세로, 대각선 방향에 놓여 있는 공에 적힌 수들의 합이 각각 [eqn: 15`]가 되도록 [eqn: 3times 3] 격자판 위에 빈칸 없이 공을 배열하였다.

위와 같은 방법으로 [eqn: 5`]부터 [eqn: 40`]까지 번호가 적힌 [eqn: 36`]개의 공을 가로, 세로, 대각선 방향에 놓여있는 공에 적힌 수들의 합이 각각 [eqn: m`]이 되도록 [eqn: n times n] 격자판 위에 빈 칸 없이 모두 배열할 때, [eqn: m+n`]의 값은? [4점]

① [eqn: 137]

② [eqn: 139]

③ [eqn: 141]

④ [eqn: 143]

⑤ [eqn: 145]

두 이차정사각행렬 [eqn: A = pmatrix { ``x &`` 0``` `#`` 0 &`` x``` `}], [eqn: P = pmatrix { ``5 &`` 0``` `#`` 0 &`` 5``` `} `]가

[eqn: A`P`A^-1 = A + A^-1 `]을 만족시킬 때, 실수 [eqn: x`]의 값들의 합은?

(단, [eqn: A^-1 `]은 [eqn: A`]의 역행렬이고 [eqn: x!=0`]이다.) [3점]

① [eqn: 5``]

② [eqn: 6``]

③ [eqn: 7``]

④ [eqn: 8``]

⑤ [eqn: 9``]

다음은 무한수열 [eqn: {1 } over {2 } `], [eqn: { 2} over {2^2 } `], [eqn: { 3} over { 2^3 } `], [eqn: cdots`], [eqn: { n} over { 2^n } `],[eqn: cdots``]이

수렴함을 증명하는 과정이다.

	<증명> 먼저 [eqn: n`≧`5`]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여, [eqn: 2^n` >`n^2`][eqn: cdots cdots]㉠ 이 성립함을 증명하자. (ⅰ) [eqn: n=5`]일 때, (좌변)[eqn: =][eqn: 2^5 =32`], (우변)=[eqn: 5^2 =25`]이므로 ㉠이 성립한다. (ⅱ) [eqn: n=k`]([eqn: k`≧`5`])일 때, [eqn: 2^k` >`k^2`]이 성립한다고 가정하면 [eqn: 2^k+1 -(k+1)^2 =2·2^k -(k+1)^2 `] [eqn: >`2·] [eqn: -(k^2 + 2k +1)] [eqn: = k^2 -2k -1][eqn: >0`] [eqn: THEREFORE] [eqn: 2^k+1 `>` (k+1)^2] 그러므로 ㉠은 [eqn: n=k+1`]일 때도 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: n≧5`]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여[eqn: 2^n` >`n^2`]이 성립한다. 위에서 [eqn: 2^n` >`n^2`]이므로 [eqn: 0`<` { n} over { 2^n } `<`] 이다. [eqn: THEREFORE] [eqn: lim from { n -> inf } { n} over { 2^n }=] 이다. 따라서 무한수열 [eqn: {1 } over {2 } `], [eqn: { 2} over {2^2 } `], [eqn: { 3} over { 2^3 } `], [eqn: cdots`], [eqn: { n} over { 2^n } `],[eqn: cdots`]은 수렴한다. (다) (가) (나)

위의 빈칸 (가), (나), (다)에 들어가기에 알맞은 것은? [4점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: k]	[eqn: { 1} over { n}]	[eqn: 0]
②	[eqn: k]	[eqn: { 1} over { n^2}]	[eqn: 1]
③	[eqn: k^2]	[eqn: { 1} over { n}]	[eqn: 0]
④	[eqn: k^2]	[eqn: { 1} over { n}]	[eqn: 1]
⑤	[eqn: k^2]	[eqn: { 1} over { n^2}]	[eqn: 0]

무한급수 [eqn: 1+(x+1)+(x+1)^2 +cdots+(x+1)^n-1 + cdots]가

수렴할 때, 그 합을 [eqn: f`(x`)]라고 하자. 이 때, [eqn: y=f`(x`)]의 그래프는? [3점]

[eqn: -2]

[eqn: rm O]

①

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: -2]

[eqn: rm O]

②

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: -2]

[eqn: rm O]

③

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: -1]

[eqn: -2]

[eqn: rm O]

④

[eqn: x]

[eqn: y]

⑤

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: -2]

[eqn: -1]

[eqn: rm O]

그림과 같은 모양의 [eqn: 4`]층 탑을 쌓았을 때, 크기가 같은 [eqn: 44`]개의 정육면체가 필요하였다. 이와 같은 규칙으로 [eqn: 10`]층 탑을 쌓으려고 할 때, 필요한 정육면체의 총 개수를 구하면? [4점]

① [eqn: 650]

② [eqn: 670]

③ [eqn: 690]

④ [eqn: 710]

⑤ [eqn: 730]

행렬 [eqn: A`], [eqn: B`]에 대하여 연산 [eqn: ◎`]을 [eqn: A`◎`B`=`AB-BA``]로 정의할 때, 옳은 것을 <보기>에서 모두 고르면? (단, 행렬 [eqn: A,~B,~C``]는 이차정사각행렬이다.) [3점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: A`◎`B`=B`◎`A`] ㄴ. [eqn: 3A`◎`2B`=`6(A`◎`B`)``] ㄷ. [eqn: (A-B`)`◎`C`=`(A`◎`C)-(B`◎`C)``]

① ㄴ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

이차정사각행렬 [eqn: pmatrix {t-1 & t+1 # a^2 &` b+1`` }]이 모든 실수 [eqn: t`]에 대하여 역행렬이 존재할 때, 실수 [eqn: a ``], [eqn: b ``]의 관계를 그래프로 나타내면?

[4점]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: rm O]

[eqn: b]

[eqn: a]

①

[eqn: -1]

[eqn: a]

[eqn: -1]

②

[eqn: rm O]

[eqn: b]

③

[eqn: 1]

[eqn: rm O]

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: -1]

[eqn: -1]

④

[eqn: 1]

[eqn: rm O]

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: -1]

[eqn: -1]

⑤

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: rm O]

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: -1]

다음과 같이 어떤 규칙에 의하여 [eqn: 0`]부터 [eqn: 6]까지의 정수를 각 칸에 써 넣을 때, 위로부터 [eqn: 12`]번째, 왼쪽에서 [eqn: 3`]번째 칸에 있는 수는? [4점]

[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	⋯
[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	⋯
[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	⋯
[eqn: 6]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	⋯
[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 0]	⋯
[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	⋯
⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋱

① [eqn: 1]

② [eqn: 2]

③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]

⑤ [eqn: 5]

프로야구 선수 [eqn: rm A`],[eqn: rmB`]는 매년 초마다  전년도의 연봉에 대한 인상률을 적용하여 연봉을 받기로 소속 구단과 아래 표와 같이 계약하였다. [eqn: 2005`]년부터 인상률을 적용시킬 때, [eqn: rm A`]의 연봉이 처음으로 [eqn: rm B`]의 연봉을 초과하는 연도는?

(단, [eqn: log_10``2 =0.3010,~log_10``3 =0.4771``]) [4점]

구분	[eqn: 2004]년 초 연봉	인상률
[eqn: rm A]	[eqn: 6``]천만원	[eqn: 28%``]
[eqn: rm B]	[eqn: 8``]천만원	[eqn: 20%``]

① [eqn: 2009``]년

② [eqn: 2010``]년

③ [eqn: 2011``]년

④ [eqn: 2012``]년

⑤ [eqn: 2013``]년

다음과 같이 [eqn: 4`]와 [eqn: 109`]사이에 [eqn: k``]개의 수를 넣어 항의 개수가 [eqn: k+2`]인 등차수열을 만들려고 한다. 만들 수 있는 등차수열 중 공차가 [eqn: 1`]이 아닌 최소의 자연수일 때, [eqn: k``]의 값은? [3점]

	[eqn: k`]개 □―――□―――□ [eqn: 4``], □, □, [eqn: cdots``], □, [eqn: 109``]

① [eqn: 26``]

② [eqn: 28``]

③ [eqn: 30``]

④ [eqn: 32``]

⑤ [eqn: 34``]

그림과 같이 직각이등변삼각형 [eqn: rm ABC`]에서 꼭지점 [eqn: rm A`]를 중심, [eqn: rm bar AB`]를 반지름으로 하는 원을 그렸을 때, [eqn: rm barAC`]와 만나는 점을 [eqn: rm A_1`], [eqn: rm barAC BOT bar{A_1 B_1}`]이면서 [eqn: rm bar BC`]위에 있는 점을 [eqn: rm B_1`], 다시 꼭지점 [eqn: rm B_1`]을 중심, [eqn: rm bar{A_1 B_1}`]을 반지름으로 하는 원을 그렸을 때, [eqn: rm barCB_1`]과 만나는 점을 [eqn: rm B_2`], [eqn: rm barCB_1 `BOT` bar{A_2 B_2}`]이면서 [eqn: rm bar {A_1 C`}] 위에 있는 점을 [eqn: rm A_2`]라고 정하기로 한다.

[eqn: rmB_2]

[eqn: rmB_3]

[eqn: rmA_2]

[eqn: rmB_1]

[eqn: rm B]

[eqn: rmA]

[eqn: rmA_3]

[eqn: rm C]

[eqn: rm A_1]

․

․

․

위와 같은 과정을 계속 반복해 나갈 때,

[eqn: rm bar AB `+` bar{A_1 B_1}`+` bar{A_2 B_2} `+` cdots``]의 값은? (단, [eqn: rm bar AB `=`2`]) [4점]

① [eqn: 2+ { root2} over {2 }]

② [eqn: 4 -root2]

③ [eqn: 2root2]

④ [eqn: 2+ root2]

⑤ [eqn: 2+2 root2]

단답형

일 때, [eqn: k``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`>`0``], [eqn: a`!=`1`]) [3점]

[eqn: 3]

[eqn: (a^root3 )^{2root3} ` DIV `a^3 `times][eqn: (` root{a``})^6 =a^k ``]

[eqn: log_(x-2) (-x^2 +5x +14)`]가 정의되도록 하는 모든 양의 정수 [eqn: x``]의 합을 구하시오. [3점]

두 수열 [eqn: LEFT { a_n `RIGHT } `], [eqn: LEFT { b_n `RIGHT } `]에 대하여

[eqn: lim from { n -> inf } a_n =-2`], [eqn: lim from { n -> inf }b_n =2`]일 때, [eqn: lim from { n -> inf } { 2a_n - b_n } over { a_n `b_n +1 } `]의 값을 구하시오. [3점]

이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B`]가 [eqn: A - 3` B `=` pmatrix{ ```4 &`` ~4 ```#```4 & ~14```}],

[eqn: 2`A - B `=` pmatrix{`13 &~3 ````#```3 &~8````}]을 만족시킬 때, 행렬 [eqn: A-B`]의 모든

성분의 합을 구하시오. [3점]

수열 [eqn: LEFT { a_n `RIGHT } `]의 첫째항에서 제[eqn: n``]항까지의 합 [eqn: S_n``]이

[eqn: S_n = { n(n+1)(n+2) } over {3 } ``]일 때, [eqn: a_15``]를 구하시오. [3점]

[eqn: rm A`], [eqn: rm B], [eqn: rm C`] 세 사람은 아래와 같은 규칙으로 전자우편을  보내기로 하였다.

	Ⅰ. [eqn: rm A`]는 [eqn: rm B`]에게만 보낸다. Ⅱ. [eqn: rm B`]는 [eqn: rm A`]와 [eqn: rm C`] 모두에게 각각 한 통씩 보낸다. Ⅲ. [eqn: rm C`]는 [eqn: rm A`]와 [eqn: rmB`] 모두에게 각각 한 통씩 보낸다.

아래 그림과 같이 [eqn: rmB`]부터 전자우편을 보내기 시작할 때,  [[eqn: 1`]단계 ], [[eqn: 2`]단계 ], [[eqn: 3`]단계 ]에서[eqn: rm A`]가 받은 전자우편의 개수를 각각  [eqn: a_1`], [eqn: a_2`], [eqn: a_3`]라 할 때, [eqn: a_10]의 값을 구하시오. (예를 들면 [eqn: a_3 =2`]이며, 전자우편의 개수와 용량은 제한하지 않는다.)

[4점]

[eqn: cdotscdotscdots][[eqn: 2`]단계]

[eqn: cdotscdotscdots][[eqn: 1`]단계]

[eqn: cdotscdotscdots][[eqn: 3`]단계]

[eqn: rm C]

[eqn: rm A]

[eqn: rm A]

[eqn: rm A]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm B]

[eqn: rm B]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm C]

이차정사각행렬 [eqn: A = pmatrix { ``1 &-1 `` # ``0 &~~ 1`` } `]에 대하여

[eqn: A - A^2 + A^3 - A^4 + cdots +A^1003 - A^1004 =pmatrix{`a & b````#`c&d````}`]일 때,

[eqn: a+b+c+d`] 의 값을 구하시오. (단, [eqn: A^n = A^{n-1} A ``]) [4점]

양의 정수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: SQRT { n^2 +3n +1``} `]의 소수부분을 [eqn: a_n ``]이라 할 때, [eqn: lim from { n -> inf }100` a_n``]의 값을 구하시오. [4점]

다음 세 조건을 동시에 만족시키는 양의 실수 [eqn: x,~y``]가 있다.

	Ⅰ. [eqn: log_10 ``x^2` y^3`=12.5]이다. Ⅱ. [eqn: x`]와 [eqn: y`]의 상용로그의 지표는 같다. Ⅲ. [eqn: x`]와 [eqn: 1 over y]의 상용로그의 가수는 같다.

이 때, [eqn: { x} over {y }`]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.