◦ 먼저 수험생이 선택한 과목의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 선택 과목, 답을 표기할 때에는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

수리 영역(나형)

수리 영역(나형)

2007학년도 11월 고2 전국연합학력평가 문제지

수리 영역(나형)

제 2 교시

성명			수험번호						2

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[eqn: log _{2} `48-log _{2} `6]의 값은? [2점]

8

①  [eqn: 3]

②  [eqn: 4]

③  [eqn: 5]

④  [eqn: 6]

⑤  [eqn: 7]

8

이차정사각행렬 [eqn: A]가

[eqn: A ^{2} +A= pmatrix{``11&``-6``#```6&````````5`}],  [eqn: A ^{2} -A= pmatrix{``5```&-4``#4&``````1}]

을 만족시킬 때, 행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합은? [2점]

①  [eqn: 1]

②  [eqn: 2]

③  [eqn: 3]

④  [eqn: 4]

⑤  [eqn: 5]

[eqn: 10^a = 2]일 때, [eqn: log _{125} `4]를 [eqn: a]로 나타내면? [3점]

① [eqn: {2a} over {3(1-a)}]

② [eqn: {2a} over {3(1+a)}]

③ [eqn: {2a} over {3(1-2a)}]

④ [eqn: {2a} over {3(1+2a)}]

⑤ [eqn: {2a} over {3(2+a)}]

두 행렬 [eqn: A= LEFT ( matrix{```1~`&2```#```3~`&4```} RIGHT )], [eqn: B= LEFT ( matrix{~~4``&-2``#-3``&~~1``} RIGHT )]이 [eqn: B=pA+qE] 를 만족시킬 때, [eqn: pq]의 값은? (단, [eqn: E] 는 단위행렬이고, [eqn: p], [eqn: q]는 실수이다.)

[3점]

①  [eqn: -1]

②  [eqn: -2]

③  [eqn: -3]

④  [eqn: -4]

⑤  [eqn: -5]

행렬 [eqn: A= pmatrix{``a+1&```````1#``-2&``-a``}]에서 [eqn: A ^{2} =A]를 만족시키는 양수 [eqn: a]의 값은?

[3점]

①  [eqn: 1]

②  [eqn: 2]

③  [eqn: 3]

④  [eqn: 4]

⑤  [eqn: 5]

[eqn: 2 ^{x+2y} =a], [eqn: 2 ^{x-y} =b]일 때, [eqn: 2 ^{x+y}]을 [eqn: a]와 [eqn: b]로 나타내면? [3점]

① [eqn: sqrt {{a} over {b}}]

② [eqn: root {3} of {{b} over {a ^{2}}}]

③ [eqn: sqrt {ab}]

④ [eqn: root {3} of {ab ^{2}}]

⑤ [eqn: root {3} of {a ^{2} b}]

이차정사각행렬 [eqn: A]에 대하여 [eqn: A+E] 의 역행렬이 [eqn: A-E] 일 때,

[eqn: A]의 역행렬은? (단, [eqn: E] 는 단위행렬이다.) [3점]

① [eqn: 1 over 2 A - E]

② [eqn: 1 over 2 A]

③ [eqn: 1 over 2 A + E]

④ [eqn: A - 1over2 E]

⑤ [eqn: A + 1over2 E]

[eqn: a ^{2} +b ^{2} =1]을 만족시키는 모든 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: x], [eqn: y]에 대한 연립일차방정식이 단 한 쌍의 해를 갖는 것을 <보기>에서 모두 고르면? [4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: pmatrix{``a`````-b``#`b```````````a} pmatrix{``x``#``y``} ``= pmatrix{``1``#``2``}] ㄴ. [eqn: pmatrix{1`````````````1`````#``a``````b-2``} pmatrix{``x``#``y``} ``= pmatrix{``1``#``2``}] ㄷ. [eqn: pmatrix{`a```````-b`````#```b```````a-2`} pmatrix{``x``#``y``} ``= pmatrix{``1``#``2``}]

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]의 공비가 각각 [eqn: 3], [eqn: {1} over {2}]일 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고르면? (단, [eqn: a _{1} b _{1} != 0]) [3점]

		보 기
ㄱ. 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} over b _{n} RIGHT }]은 공비가 [eqn: 6]인 등비수열이다. ㄴ. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} +6b _{n} RIGHT }]은 공비가 [eqn: 3]인 등비수열이다. ㄷ. 수열 [eqn: LEFT { `a _{n+1} -2a _{n} RIGHT }]은 공비가 [eqn: 3]인 등비수열이다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: 2]이상의 자연수 [eqn: m], [eqn: n]과 양의 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고르면? [3점]

		보 기
ㄱ. [eqn: root {n} of {a} root {n} of {b} = root {n} of {ab}] ㄴ. [eqn: root {n} of {a} < root {n} of {b}]이면 [eqn: a<b]이다. ㄷ. [eqn: m<n]일 때, [eqn: root {m} of {a} = root {n} of {b}]이면 [eqn: a<b]이다.

① ㄱ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

행렬 [eqn: A= pmatrix{````````3~&``````5#-2~&`-3``}]에 대하여 [eqn: A+A ^{2} +A ^{3} + A^{4}+A ^{5}]을 계산하면? [3점]

① [eqn: pmatrix{```````2~&```````5``#`-2~&`-4``}]

② [eqn: pmatrix{-3~&-5``#````````2~&````````3``}]

③ [eqn: pmatrix{`-1~&``````0#````````0~&`-1``}]

④ [eqn: pmatrix{````````3~&``````5#-2~&`-3``}]

⑤ [eqn: pmatrix{````````4~&``````5#-2~&`-2``}]

두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B] 가 [eqn: AB=A-B] 를 만족시킬 때,

<보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고르면? (단, [eqn: E] 는 단위행렬이다.)

[4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: A-E] 의 역행렬이 존재한다. ㄴ. [eqn: B-E] 의 역행렬이 존재한다. ㄷ. [eqn: (A+B) ^{2} =A ^{2} +2AB+B ^{2}]

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

연립일차방정식 [eqn: pmatrix{a+2```````a``````#````````2````````a-1`} pmatrix{``x``#``y``} = pmatrix{``1``#``2``}]가 해를 갖지 않도록

하는 상수 [eqn: a]의 값은? [4점]

① [eqn: -1]

②  [eqn: 0]

③  [eqn: 1]

④  [eqn: 2]

⑤  [eqn: 3]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 두 조건을 만족시킨다.

이 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k}]의 값은? [3점]

Ⅰ. [eqn: a _{1} =1]

Ⅱ. [eqn: {a _{3} +a _{4}} over {``a _{2} +a _{3}``} `=`2]

①   [eqn: 511]

②   [eqn: 512]

③ [eqn: 1023]

④ [eqn: 1024]

⑤ [eqn: 2047]

[eqn: log _{``x} (-x ^{2} +2x+8`)]가 정의되기 위한 정수 [eqn: x]의 개수는? [3점]

①  [eqn: 1]

②  [eqn: 2]

③  [eqn: 3]

④  [eqn: 4]

⑤  [eqn: 5]

다음은 수열 [eqn: left{a _{n}right}]의 일반항 [eqn: a _{n}]이 [eqn: a _{n} =pn+q]일 때,

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: na _{1} +(n-1)a _{2} +(n-2)a _{3} + ~CDOTS~ +a _{n}]

[eqn: = {1} over {6} n(n+1)(pn+2p+3q)]

임을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

[증명]

ⅰ) [eqn: n=1]일 때, (좌변)[eqn: =](우변)[eqn: =]이므로 성립한다.

(가)

ⅱ) [eqn: n=k]일 때 성립한다고 가정하면

[eqn: ka _{1} +(k-1)a _{2} +(k-2)a _{3} + ~CDOTS~ +a _{k}]

[eqn: = {1} over {6} k(k+1)(pk+2p+3q)]

이 식의 양변에 를 더하면

(나)

[eqn: ka _{1} +(k-1)a _{2} +(k-2)a _{3} + ~CDOTS~ +a _{k}]+

(나)

[eqn: = {1} over {6} k(k+1)(pk+2p+3q)]+

(나)

(다)

[eqn: = 1 over 6 (k+1) left{ pk^2 + (5p+3q) k +~~~~~~~~~ right}]

[eqn: = {1} over {6} (k+1)(k+2)left{p(k+1)+2p+3q right}]

그러므로 [eqn: n=k+1]일 때도 성립한다.

ⅰ), ⅱ)에 의해서 주어진 등식은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립한다.

이 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: pq]	[eqn: a _{1} +a _{2} + ~CDOTS~ +a _{k}]	[eqn: 3(p+q)]
②	[eqn: pq]	[eqn: a _{1} +a _{2} + ~CDOTS ~+a _{k}]	[eqn: 4(p+q)]
③	[eqn: p+q]	[eqn: a _{1} +a _{2} + ~CDOTS ~+a _{k}]	[eqn: 6(p+q)]
④	[eqn: p+q]	[eqn: a _{1} +a _{2} + ~CDOTS~ +a _{k+1}]	[eqn: 4(p+q)]
⑤	[eqn: p+q]	[eqn: a _{1} +a _{2} + ~CDOTS~ +a _{k+1}]	[eqn: 6(p+q)]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형 [eqn: rmABCD]의 변 [eqn: rm AD] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: {rmbar{AP} }=x], 변 [eqn: rm CD] 위의 점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: rm bar{DQ} it =y]라 하자. [eqn: rm TRIANGLE ABP], [eqn: rm TRIANGLE PQD], [eqn: rm TRIANGLE QBC]의 넓이가 이 순서로 등차수열을 이룰 때, [eqn: x], [eqn: y] 사이의 관계를 그래프로 나타내면? [4점]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rmP]

[eqn: rm Q]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 2]

①	[eqn: 2] [eqn: 2] [eqn: y] [eqn: rm O] [eqn: {2} over {3}] [eqn: {4} over {3}]	②	[eqn: 2] [eqn: 2] [eqn: y] [eqn: x] [eqn: rm O] [eqn: {2} over {3}] [eqn: {4} over {3}]
③	[eqn: x] [eqn: 2] [eqn: 2] [eqn: y] [eqn: rm O] [eqn: {2} over {3}] [eqn: {4} over {3}]	④	[eqn: x] [eqn: 2] [eqn: 2] [eqn: y] [eqn: rm O] [eqn: {2} over {3}] [eqn: {4} over {3}]
⑤	[eqn: x] [eqn: 2] [eqn: 2] [eqn: y] [eqn: rm O] [eqn: {2} over {3}] [eqn: ` {4} over {3}]

다음은 [eqn: 11 ^{15} <55 ^{9} <11 ^{17} <33 ^{13} <11 ^{19}]임을 이용하여

세 수  [eqn: A=3 ^{273}], [eqn: B=5 ^{189}], [eqn: C=11 ^{126}]의 크기를 비교하는 과정이다.

먼저 [eqn: A]와 [eqn: B]의 크기를 비교해 보자.

[eqn: 189]와 [eqn: 273]의 최대공약수는 이므로

(가)

[eqn: {A} over {B} = {3 ^{273}} over {5 ^{189}} = LEFT ( {3 ^{13}} over {5 ^{9}} RIGHT ) ^{21} `]이다.

[eqn: 11 ^{15} <55 ^{9} <11 ^{17} <33 ^{13} <11 ^{19}]을 이용하면

[eqn: 3 ^{13}][eqn: 5 ^{9}]이므로

(나)

[eqn: {A} over {B} `][eqn: 1]이다.

(나)

[eqn: therefore] [eqn: A][eqn: B]

(나)

같은 방법으로 [eqn: A]와 [eqn: C],  [eqn: B]와 [eqn: C]의 크기를 비교할 수 있다.

따라서 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]의 대소 관계는 이다.

(다)

이 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: 21]	[eqn: >]	[eqn: B<A<C]
②	[eqn: 21]	[eqn: <]	[eqn: A<C<B]
③	[eqn: 21]	[eqn: <]	[eqn: C<A<B]
④	[eqn: 57]	[eqn: >]	[eqn: B<C<A]
⑤	[eqn: 57]	[eqn: <]	[eqn: C<A<B]

어떤 공장에서 [eqn: rmA]제품의 생산량은 전체 생산량의 [eqn: 80]%를 차지한다. [eqn: rmA]제품의 수요 감소가 예측되어 매년 [eqn: rmA]제품의 생산량을 전년도 A제품의 생산량에 비해 [eqn: 8]%씩 줄이고, 대신에 다른 제품의 생산량은 늘려 전체 생산량을 일정하게 유지하려고 한다. [eqn: 7]년 후 [eqn: rmA]제품의 생산량은 전체 생산량의 [eqn: a]%라 할 때, [eqn: a]의 값은? [4점]

<상용로그표>

① [eqn: 43.56]

② [eqn: 44.64]

③ [eqn: 45.72]

④ [eqn: 46.80]

⑤ [eqn: 47.88]

수열  [eqn: 1,~3,~ {1} over {3} ,~5,~1,~ {1} over {5} ,~7,~ {5} over {3} ,~ {3} over {5} ,~ {1} over {7} ,~ CDOTS] 에서

항의 값 [eqn: 1]이 [eqn: 7]번째로 나타나는 항은 몇 번째 항인가? [4점]

① [eqn: 76]

② [eqn: 79]

③ [eqn: 82]

④ [eqn: 85]

⑤ [eqn: 88]

표면 절대 온도가 [eqn: T], 반지름이 [eqn: R]인 구형의 별이 단위 시간동안 우주공간으로 방출하는 복사 에너지량의 크기, 즉 광도 [eqn: L]은 다음과 같다.

[eqn: L=4 pi kR ^{2} T ^{4}] ([eqn: k]는 상수)

전갈자리에는 안타레스 [eqn: rm A]와 안타레스 [eqn: rm B]라는 구형의 별이 있다.

[eqn: rm A]의 광도는 [eqn: rm B]의 [eqn: 40]배이고, [eqn: rm B]의 표면 절대 온도는 [eqn: rm A]의 [eqn: 5]배이다.

[eqn: rm A]의 반지름을 [eqn: a], [eqn: rm B]의 반지름을 [eqn: b]라 할 때, [eqn: {a} over {b}]의 값은? [4점]

① [eqn: 25 sqrt10]

② [eqn: 50 sqrt10]

③ [eqn: {2 sqrt {10}} over {125}]

④ [eqn: {2 sqrt {10}} over {25}]

⑤ [eqn: {25 sqrt {10}} over {4}]

단 답 형

[eqn: {16 ^{-4} TIMES 8 ^{2} TIMES 4 ^{-3}} over {8 ^{-9} TIMES 4} `]의 값을 구하시오. [2점]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]이 [eqn: S _{n} =n ^{2} +1]일 때, [eqn: a _{10} -a _{1}]의 값을 구하시오. [3점]

제[eqn: 4]항이 [eqn: 6], 제[eqn: 7]항이 [eqn: 12]인 등비수열이 있다. 이 수열의 제[eqn: 10]항의 값을 구하시오. [3점]

이차정사각행렬 [eqn: A]의 [eqn: (m,~n)] 성분 [eqn: a _{mn}]을

[eqn: a _{mn} =] (원점에서 직선 [eqn: y=mx+n]까지의 거리)

라고 하자. [eqn: a _{21} ^{~~2}]의 값을 [eqn: {q} over {p}]라 할 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [3점]

[eqn: log _{10} `50]의 지표와 가수를 각각 [eqn: n], [eqn: alpha]라고 할 때, [eqn: n+5 ^{{1} over {alpha }}]의 값을 구하시오. [3점]

다음과 같이 각 행의 등식이 성립하도록   안에 자연수를 넣으려고 한다.

제[eqn: 1]행에 있는 [eqn: 3]개의  안에 들어가는 수는 왼쪽부터 차례대로 공차가 [eqn: 1]인 등차수열을 이룬다.

제[eqn: 2]행에 있는 [eqn: 5]개의  안에 들어가는 수는 왼쪽부터 차례대로 공차가 [eqn: 2]인 등차수열을 이룬다.

제[eqn: 3]행에 있는 [eqn: 7]개의  안에 들어가는 수는 왼쪽부터 차례대로 공차가 [eqn: 3]인 등차수열을 이룬다.

[eqn: VDOTS]

제[eqn: n]행에 있는 [eqn: (2n+1)]개의  안에 들어가는 수는 왼쪽부터

차례대로 공차가 [eqn: n]인 등차수열을 이룬다.

제[eqn: 1]행

제[eqn: 2]행

제[eqn: 3]행

제[eqn: n]행

제 [eqn: n]행의 맨 왼쪽의 수를 [eqn: a _{n}]이라 할 때,  [eqn: sum _{k=1} ^{5} `a _{k}]의 값을 구하시오.

[4점]

두 행렬 [eqn: A= pmatrix{`````````sin theta ~~&cos theta ``#``-cos theta ~~&sin theta ``}], [eqn: P= pmatrix{`-1 ~~&0 ``#```````0 ~~&1`}]에 대하여

행렬 [eqn: B] 가 [eqn: A=PBP ^{-1}]를 만족시킨다. 행렬 [eqn: B] 의 모든 성분의 합이

[eqn: LEFT ( ````~~0< theta < {pi } over {2} RIGHT )]

단,

[eqn: {120} over {pi } theta]의 값을 구하시오.

[eqn: 1]일 때,

[4점]

자연수 [eqn: n`]에 대하여

집합 [eqn: A _{n} ="{"``(x,``y) vert y>2x], [eqn: `y <= x+n], [eqn: LEFT . `x RIGHT .]와 [eqn: y]는 자연수[eqn: `"}"]의 원소의 개수를 [eqn: a _{n} `]이라고 할 때,  [eqn: a _{10}]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 - 3x +k=0]의 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta] 라 하자. [eqn: {alpha } over {beta }], [eqn: alpha + beta], [eqn: alpha beta] 가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, [eqn: k^2]의 값을 구하시오. (단, [eqn: alpha beta != 0]) [4점]

※ 확인사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.