◦먼저 수험생이 선택한 계열의 문제인지 확인하시오.

2004학년도 6월 고2 전국연합학력평가 문제지

국 어

공    통

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국 어

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제 2 교시

수 리 영 역

성명			수험번호						2

‘가’형

수 리 영 역

‘가’형

수 리 영 역

‘가’형

◦문제지에 성명과 수험번호를 정확히 기입하시오.

◦답안지에 수험번호, 응시계열, 답을 표기할 때에는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦단답형 답의 숫자에 0이 포함된 경우, 0을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

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1. [eqn: (`1+i``)^4`]을 간단히 하면? (단, [eqn: i=root-1`]) [2점]

① [eqn: -4`]	② [eqn: 0`]	③ [eqn: 4`]

④ [eqn: -4i`]	⑤ [eqn: 4i`]

2. 이차방정식 [eqn: x^2`-x-12=0`]의 두 근을 [eqn: alpha ,``` beta `]라 할 때, [eqn: beta over alpha `]의 값은? (단, [eqn: alpha` `>` beta `] ) [2점]

① [eqn: -`3over4`]	② [eqn: -`2over3`]	③ [eqn: 1over2`]

④ [eqn: 2over3`]	⑤ [eqn: 3over4`]

3. 두 함수 [eqn: f``(`x`)=x^2`-x`], [eqn: g``(`x`)=2x+1`]에 대하여

[eqn: (`f CIRC g CIRC f``)(`1`)`]의 값은? [3점]

① [eqn: -2`]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 0`]

④ [eqn: 1`]	⑤ [eqn: 2`]

4. 행렬 [eqn: A`=pmatrix { 3 & -1` # 5 & -3` }]에 대하여 [eqn: (A^8 )^-1` = pmatrix { a & b` # c & d`}`]일 때, [eqn: a+d`]의 값은? [3점]

① [eqn: 2^-9`]	② [eqn: 2^-8`]	③ [eqn: 2^-7`]

④ [eqn: 2^-6`]	⑤ [eqn: 2^-5`]

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5. 세 수 [eqn: A= `^4 sqrt {2``} `], [eqn: B= `^12 sqrt {9``} `],	[eqn: C= `^6 sqrt sqrt{7``}`]의 대소 관계를 바르게 나타낸 것은? [3점]

① [eqn: A`<`B`<`C`]	② [eqn: A`<`C`<`B`]	③ [eqn: B`<`A`<`C`]

④ [eqn: C`<`A`<`B`]	⑤ [eqn: `C`<`B`<`A`]

6. 두 원

[eqn: (`x+2`)^2`+(`y-1`)^2`=1`]

[eqn: (`x-2`)^2`+(`y-5`)^2`=1`]

은 직선 [eqn: l`]에 대하여 서로 대칭이다. 직선 [eqn: l`]의 방정식은? [3점]

① [eqn: y=-2x+3`]	② [eqn: y=-x+2`]	③ [eqn: y=x+3`]

④ [eqn: y=-x+3`]	⑤ [eqn: y=2x-1`]

7. 연산장치[eqn: rm A`]에 [eqn: a`], [eqn: b`]를 입력하면 [eqn: a×b`] 가 출력되고, 연산장치[eqn: rmB`]에 [eqn: a`]를 입력하면 [eqn: a^a`] 이 출력된다.

다음과 같이 연결된 두 연산장치에 실수[eqn: {x`}]와 [eqn: 1over2`]을 입력하였더니 [eqn: sqrt{2``}`]가 출력되었다. 이 때, [eqn: x`]의 값은? [3점]

① [eqn: `sqrt{2``}`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 4`]

④ [eqn: 3sqrt{2``}`]	⑤ [eqn: 4sqrt{2``}`]

8. [eqn: 2^x =3`], [eqn: 3^y`=5`], [eqn: 5^z`=2`]를 만족하는 세 실수 [eqn: x`],[eqn: y`],[eqn: z`]에 대하여 [eqn: x`y``z ``]의 값은? [3점]

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 1``]	③ [eqn: 3 over 2]

④ [eqn: 2``]	⑤ [eqn: 5 over 2 ``]

9. 행렬 [eqn: A=pmatrix { 0 & 2 `# 2 & 0 `}`]와 행렬 [eqn: B=A+E`]에 대하여

[eqn: B`^4`=pA+qE`]이다. 이 때, 두 상수 [eqn: p`], [eqn: q`]의 합 [eqn: p+q`]의 값은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [3점]

① [eqn: 57`]	② [eqn: 58`]	③ [eqn: 59`]

④ [eqn: 60`]	⑤ [eqn: 61`]

10. 행렬 [eqn: A = pmatrix { ````````0 & 1` `# -1 & 2 ``}`]에 대하여 행렬 [eqn: A^n`]의 제[eqn: 2`]행의 두 성분의 차가 [eqn: 25`]일 때, 자연수 [eqn: n`]의 값은? [3점]

① [eqn: 12`]	② [eqn: 13`]	③ [eqn: 14`]

④ [eqn: 15`]	⑤ [eqn: 16`]

11. 이차방정식 [eqn: x^2`+3x+1=0`]의 두 근을 [eqn: alpha ,~beta `]라 하자.

두 행렬 [eqn: A = pmatrix { alpha &`````````` 1 `# 0 & - alpha `}`], [eqn: B = pmatrix { beta & -1 `# 0 & - beta `}`]에 대하여 [eqn: B^-1`A^-1`]은? [3점]

① [eqn: pmatrix { 1 & ~3 `# 0 & ~ 1 `}`]	② [eqn: pmatrix { 1 & -3 `# 0 & ~~ 1 `}`]	③ [eqn: pmatrix { -1 & -3 `# ~~0 & ~~ 1 `}`]

④ [eqn: pmatrix { 1 & -3 `# 0 & - 1 `}`]	⑤ [eqn: pmatrix { -1 & ~~3 `# ~~0 & -1 `}`]

12. 다음 규칙에 따라 자연수를 나열한다.

규칙[eqn: 1`] : 제1행에는 자연수를 차례로 나열한다.

규칙[eqn: 2`] : 제[eqn: n`]행에 나열된 수 [eqn: k`]가 [eqn: n`]의 배수이면 한 칸

아래에 [eqn: k+1`]을 쓰고, 그렇지 않으면 [eqn: k`]를 쓴다.

위의 규칙에 따라 자연수를 나열하면 다음과 같다.

	제1열	제2열	제3열	제4열	제5열	제6열	제7열	제8열	…
제1행	1	2	3	4	5	6	7	8	…
제2행	2	3	4	5	6	7	8	9	…
제3행	3	3	5	5	7	7	9	9	…
제4행	4	4	5	5	7	7	10	10	…
⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋱

<보기> 중 옳은 것을 모두 고르면? [4점]

<보기>

ㄱ. 제[eqn: 5`]행에서 제[eqn: 8`]열의 수는 [eqn: 10`]이다.

ㄴ. 제[eqn: 6`]열에서 [eqn: 7`]은 [eqn: 6`]번 나타난다.

ㄷ. 제[eqn: 22`]열에서 처음으로 [eqn: 24`]가 나타나는 행은 제[eqn: 23`]행

이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

13. 다음은 삼각형[eqn: rm ABC`]의 각 꼭지점을 지나는 원에 대한 어떤 성질을 증명한 것이다.

<증명>

그림처럼 세 점[eqn: rm A,```D,```F`] 를 지나는 원[eqn: C_1`]과 세 점 [eqn: rm B, ```D, ```E`]를 지나는 원[eqn: C_2`]의 교점[eqn: rm P`]가 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 내부에 존재하도록 세 변 [eqn: rm AB, ```BC, ```CA`] 위에 각각 점 [eqn: rm D,```E,```F`]를 잡는다.

[eqn: rm ∠DPF+]      [eqn: = 180°`]

(나)

(다)

(가)

(가)

(가)

(나)

(나)

[eqn: rm ∠DPE`+]      [eqn: =180°`]

이므로[eqn: rm ∠DPF+∠DPE=360]°[eqn: -```(`]     [eqn: +`]     [eqn: )`]에서

[eqn: rm ∠FPE=`]      [eqn: +`]

∴[eqn: rm ∠FPE+∠C=180°`]

따라서 세 점 [eqn: rm C,```F,```E`]를 지나는 원을 [eqn: C_3`]라 할 때,

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

(가)   (나)                (다)

①[eqn: rm ∠A`] [eqn: rm ∠B`]  세 원 [eqn: C_1`], [eqn: C_2`], [eqn: C_3`]는 한 점[eqn: rm P`]에서 만난다.

②[eqn: rm ∠B`] [eqn: rm ∠A`]  세 원 [eqn: C_1`], [eqn: C_2`], [eqn: C_3`]는 한 점[eqn: rm P`]에서 만난다.

③[eqn: rm ∠A`] [eqn: rm ∠B`]  원[eqn: C_3`]의 내부에 점[eqn: rm P`]가 존재한다.

④[eqn: rm ∠B`] [eqn: rm ∠A`]  원[eqn: C_3`]의 내부에 점[eqn: rm P`]가 존재한다.

⑤[eqn: rm ∠A`] [eqn: rm ∠B`]  원[eqn: C_3`]의 외부에 점[eqn: rm P`]가 존재한다.

14. [eqn: 3`]과 [eqn: 5`], [eqn: 5`]와 [eqn: 7`], [eqn: 11`]과 [eqn: 13`],  … 등과 같이 소수인 두 개의 연속한 홀수를 쌍동이 소수라고 한다. 다음은 [eqn: a-1`], [eqn: a+1`]이 쌍동이 소수이고 [eqn: a^2 +3`]도 소수가 되는 자연수 [eqn: a`]의 값은 [eqn: 4`]뿐임을 증명하는 과정이다.

<증명>

자연수 [eqn: n`]에 대하여

(다)

(나)

(가)

(ⅰ)[eqn: a-1=3n`] 일 때, [eqn: n≧2`]이면        이 소수가 아니므로 [eqn: n=1`]이다.

따라서 [eqn: a-1=3`], [eqn: a+1=5`], [eqn: a^2 +3=19`]이므로 주어진 조건을 만족한다.

(ⅱ)[eqn: a-1=3n-1`]일 때,        이 소수가 아니다.

(ⅲ)[eqn: a-1=3n-2`]일 때, [eqn: n≧2`]이면       이 소수가 아니고, [eqn: n=1`]이면 [eqn: a-1=1`]이다.

이상에서 주어진 조건을 만족시키는 자연수[eqn: a`]는 [eqn: 4`]뿐이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

(가)       (나)       (다)

① [eqn: a-1`]     [eqn: a+1`]     [eqn: a^2 +3`]

② [eqn: a+1`]     [eqn: a-1`]     [eqn: a^2 +3`]

③ [eqn: a^2 +3`]    [eqn: a-1`]     [eqn: a+1`]

④ [eqn: a^2 +3`]    [eqn: a+1`]     [eqn: a-1`]

⑤ [eqn: a-1`]     [eqn: a^2 +3`]    [eqn: a+1`]

15. 두 이차 정사각행렬 [eqn: A`],[eqn: B``]가 [eqn: A+B=E`], [eqn: AB=O`]를 만족할 때, [eqn: A^10 +B^10`]을 다음과 같이 간단히 하였다.

(단, [eqn: E`]는 단위행렬, [eqn: O`]는 영행렬이다.)

[eqn: A+B=E`], [eqn: AB=O`]이므로

[eqn: BA=(E-A)A=A-A^2 = A(E-A)=`]       이다.

(가)

(나)

(다)

따라서

[eqn: A^10 +B`^10`= A^9 `A+B`^9 `B`]

[eqn: = A^9 (E-B)+B^9 (E-A)`]

[eqn: =A^9 +B`^9 -A^8 `]      [eqn: -B`^8 `]

[eqn: =A^9 +B`^9`]

임을 알 수 있다.

같은 방법으로 계속해 나가면

[eqn: A^10 +B`^10 =A^9 +B`^9 =A^8 +B`^8 = … =A+B`=E`]이다.

위에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

(가)	(나)	(다)

① [eqn: O`]        [eqn: AB`]        [eqn: BA`]

② [eqn: O`]         [eqn: A`]         [eqn: B`]

③ [eqn: O`]         [eqn: B`]         [eqn: A`]

④ [eqn: E`]        [eqn: AB`]        [eqn: BA`]

⑤ [eqn: E`]         [eqn: B`]         [eqn: A`]

16. 두 함수 [eqn: f``(x`)=x^2 -6x+12`], [eqn: g`(x`)=-2x^2 +4x+k`]에 대하여 합성함수[eqn: (`g CIRC f``)`(`x`)`]의 최대값이 [eqn: 10`]이 되도록 하는 상수 [eqn: k`]의 값은? [4점]

① [eqn: 15`]	② [eqn: 16`]	③ [eqn: 17`]

④ [eqn: 18`]	⑤ [eqn: 19`]

17. 어떤 복사기로 확대 복사를 한 후 출력된 복사본으로 같은 배율의 확대 복사본을 또 만든다. 이와 같은 작업을 계속해 나갔더니 [eqn: 5`]회째 복사본에서 도형의 넓이는 처음 도형의 넓이의 [eqn: 2`]배가 되었다.

[eqn: 7`]회째 복사본에서 도형의 넓이는 [eqn: 4`]회째 복사본에서 도형의 넓이의 몇 배인가? [4점]

①[eqn: `^7 root {8``}`]	②[eqn: `^5 root {8``}`]	③[eqn: `^3 root {8``}`]

④[eqn: `^5 root {4``}`]	⑤[eqn: `^3 root {4``}`]

18. 음이 아닌 정수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: F_n =2^2^n +1]을 [eqn: n]번째 ‘페르마 수’라 하고, [eqn: F_n]이 소수일 때 이것을 ‘페르마 소수’라고 한다.

예를 들면

[eqn: F_0`=2^2^0`+1=2+1=3`], [eqn: F_1`=2^2^1`+1=2^2`+1=5`],

[eqn: F_2`,```F_3`,```F_4`]는 페르마 소수이다.

[eqn: N=2^32 - 1]을 소인수 분해할 때, <보기> 중 [eqn: N] 의 약수인 것을 모두 고르면? [4점]

<보기>

ㄱ. [eqn: F_0 ․ F_1 `]      ㄴ. [eqn: F_0 ․F_2 ․ F_4`]     ㄷ. [eqn: F_2 ․ F_3 ․ F_4 `]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

19. 중심이[eqn: rm O`]이고 반지름의 길이가 [eqn: r``]인 원 [eqn: C`]와 이 원 위의 한 점[eqn: rm A`]에서 접하는 직선 [eqn: l``]이 있다.

점[eqn: rmP`]가 직선 [eqn: l``]위를 움직일 때, [eqn: {rm bar OP ․bar OP'} =r`^2``]을 만족시키는 선분[eqn: rmOP`]위의 점[eqn: rmP`'`]의 자취를 가장 옳게 나타낸 것은? (단, 점선은 원[eqn: C`]이다.) [4점]

①                ②               ③

④                 ⑤

20. 그림과 같이 높이가 모두 같은 원기둥 모양의 유리관이 있다.

네 개의 유리관[eqn: rmA`],[eqn: rmB`],[eqn: rmC`],[eqn: rmD`]는 모두 밑면의 넓이가 같고,  유리관[eqn: rm E`]의 밑면은 다른 유리관의 밑면의 넓이의 [eqn: 4`]배이다. 갑은 유리관[eqn: rmA`],[eqn: rmB`],[eqn: rmC`],[eqn: rmD`]의 순서대로 각 유리관에 물을 가득 찰 때까지 부어 나가고, 을은 유리관[eqn: rm E`]에만 물을 붓는다.

두 사람이 동시에 물을 붓기 시작하여 40분만에 동시에 끝마쳤다. 유리관[eqn: rmC`]와 유리관[eqn: rm E`]의 물의 높이가 같아지는 시각은 두 사람이 물을 붓기 시작하여 몇 분이 지난 후인가? (단, 모든 유리관의 밑은 막혀있고, 갑, 을 두 사람이 단위시간당 붓는 물의 양은 같다.) [4점]

① [eqn: 74over3`]분	② [eqn: 76over3`]분	③ [eqn: 26`]분

④ [eqn: 80over3`]분	⑤ [eqn: 82over3`]분

21. 어떤 물체와 그것을 둘러싸고 있는 공기의 온도차의 변화를 나타내는 뉴턴의 냉각법칙은 다음과 같다.

[eqn: log `D`(t`)` = -k`t + log `D_0 `]

[eqn: D`(t`) `] : [eqn: t``]시간 후 물체와 공기의 온도 차

[eqn: D_0 `] : 처음 상태에서 물체와 공기의 온도 차

[eqn: k`] : 비례상수

공기의 온도가 [eqn: 35`]℃인 상태에서 처음 온도가 [eqn: 15`]℃인 물체가 [eqn: 25`]℃로 되는데 [eqn: 1`]시간이 걸렸다. 처음 온도가 [eqn: 15`]℃이던 이 물체의 [eqn: 3`]시간이 지난 후의 온도는? (단, 공기의 온도는 일정하다.) [4점]

① [eqn: 29.5`]℃	② [eqn: 30`]℃	③ [eqn: 31.5`]℃

④ [eqn: 32`]℃	⑤ [eqn: 32.5`]℃

단답형(22～30)

22. 두 행렬 [eqn: X= PMATRIX { { 1}& {2 ```}# {3 }& {4 }` }` ,```Y= PMATRIX { { 3}& {``-4 ```}# {5 }& {-1 } }`]에 대하여 행렬 [eqn: X`^2`-2Y`]의 [eqn: (`1,```2`)`]성분을 구하시오. [2점]

23. [eqn: 7`]개의 수

[eqn: 1~~~~~3~~~~~5~~~~~7~~~~~9~~~~~11~~~~~13`]

의 분산을 [eqn: sigma `^2`]이라 할 때, [eqn: 7 sigma `^2`]의 값을 구하시오. [3점]

24. [eqn: sinA=`1over2`,```cosB`=`1over3`]일 때, [eqn: 36(`cos^2`A+sin^2`B`)`]  의 값을 구하시오. [3점]

25. 양의 실수 [eqn: x`], [eqn: y`] 가 [eqn: x```:``y= 1``:``2`], [eqn: x^{y}`=y^{x}`]를 만족할 때, [eqn: {x^{2} +y^{2}`}]의 값을 구하시오. [3점]

26. 자연수 [eqn: n]에 대하여 집합 [eqn: A_n`]을

[eqn: A_n``= LEFT { x` left vert left vert`x over n`-2`right vert`≦1`,~x`는~자연수`RIGHT }]

라 하고, [eqn: S_n``]을 집합 [eqn: A_n``]의 모든 원소들의 합이라 한다.

이 때, [eqn: S_1`+S_2`+S_3``]의 값을 구하시오. [4점]

27. 분수함수[eqn: y= {x+p}over{x+q}`]의 그래프가 그림과 같을 때, 상수 [eqn: p,~q`]의 곱 [eqn: p`q`]를 구하시오. [3점]

28.  두 원 [eqn: C_1`], [eqn: C_2`]가 그림과 같이 두 점 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]에서 만난다. 선분[eqn: rmAB`]의 길이는 [eqn: 12`]이고, 그에 대한 원주각의 크기는 각각 [eqn: 60]°, [eqn: 30]°이다.

두 원 [eqn: C_1`], [eqn: C_2`]의 반지름의 길이를 각각 [eqn: R_1 `,~R_2 `]라고 할 때, [eqn: R_1 `^2`+R_2 `^2 `]의 값을 구하시오. [4점]

29. 이차 정사각행렬 [eqn: A`]의 [eqn: (i,```j``)`]성분을 [eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: sin(`i+j``)x= 1over 2`]([eqn: 0`≦`x`≦` 2pi `])의 실근의 개수로 정의할 때, 행렬 [eqn: A`]의 모든 성분의 합을 구하시오. [4점]

30. 어느 도시의 버스 요금은 매년 [eqn: 4`]%씩 인상된다고 한다. 버스 요금이 처음으로 지금의 두 배를 넘게 될 때는 현재로부터 [eqn: n`]년 후이다.  자연수 [eqn: n`]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: log``1.04=0.017`], [eqn: log``2=0.301`]이다.) [4점]

※ 확인사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.