	정답 및 해설	고 1

고 2	정답 및 해설	2006학년도 6월 전국연합학력평가

2006학년도 6월 전국연합학력평가	정답 및 해설	고 2

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2006학년도 6월 고2 전국연합학력평가

정답 및 해설

수리 영역

가형 정답

1	⑤	2	③	3	②	4	④	5	④
6	②	7	④	8	④	9	②	10	③
11	③	12	④	13	①	14	⑤	15	⑤
16	②	17	③	18	③	19	①	20	③
21	②	22	[eqn: 28]	23	[eqn: 14]	24	[eqn: 22]	25	[eqn: 10]
26	[eqn: 2]	27	[eqn: 11]	28	[eqn: 101]	29	[eqn: 50]	30	[eqn: 15]

해설

1. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 계산하기

[eqn: log` _{2} ` {4} over {3} +log ` _{2} `` 6 ``=log`_2 `` left({ 4} over { 3}×6 right) ``=``log`_2 ``8 `=``3]

2. [출제의도] 복소수의 사칙연산을 이용하여 계산하기

[eqn: z ^{2} = LEFT ( {1+i} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2} = {2i} over {2} =i] 이므로

[eqn: z ^{2006} =(z ^{2} ) ^{1003} `=i ^{1003} =i ^{3} =-i]

[eqn: z ^{2006} + {1} over {z ^{2006}}][eqn: =``-i- {1} over {i} =``-i+i=0]

3. [출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 역행렬 구하기

[eqn: AB= pmatrix { 2& ``1# 1&``1 } pmatrix { 0&``1 # 1& ``0} =pmatrix{1&``2#1&``1}]

[eqn: (AB) ^{-1} `=`- pmatrix { ```````1& ````-2# -1&```````````1 }= pmatrix { `-1&`````````2 # ```````1&```-1 }]

4. [출제의도] 상용로그로 이루어진 수들의 평균 구하기

[eqn: {log `1``+log`2+2``log`2+3``log`2+4``log`2+5``log`2} over {6}# `= {15``log`2} over {6} = { 5} over {2 } ``log`2]

5. [출제의도] 지수를 이용하여 수의 대소관계 구하기

[eqn: A=2^100 =(2^10 )^10 =1024^10]

[eqn: B=3^70 =(3^7 )^10 =2187^10]

[eqn: C=5^40 =(5^4 )^10 =625^10]

따라서 [eqn: C<A<B]

[별해]

[eqn: A,B,C] 에 각각 상용로그를 취하면

[eqn: log``A=log``2 ^{100} =100log``2=30.1]

[eqn: log``B=log``3 ^{70} ```=70`log``3=33.397]

[eqn: log``C=log``5 ^{40}```=40`log``5=27.96]

따라서 [eqn: C<A<B]

6. [출제의도] 다항식의 연산을 이용하여 넓이 구하기

[eqn: a`]

[eqn: b]

[eqn: b`]

[eqn: a-b`]

어두운 부분의 넓이는 직사각형의 넓이에서

세 삼각형의 넓이를 뺀 것이다.

[eqn: ab- {1} over {2} b LEFT ( a-b RIGHT ) = {1} over {2} b LEFT ( a+b RIGHT )]

7. [출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 행렬의 거듭제곱 계산하기

[eqn: A=A ^{-1} -E]

양변에 [eqn: A]를 곱하면

[eqn: A ^{2} =E-A]  즉 [eqn: A^2 +A =E]

[eqn: A^5 +A^4 +A^3 +A^2 +A+E]

[eqn: =A ^{3} (A ^{2} +A)+A (A ^{2} +A)+A+E]

[eqn: =A ^{3} +2A+E]

[eqn: =(2A-E)+2A+E]  (∵ [eqn: A^3 =2A-E] )

[eqn: =4A]

[eqn: =pA +qE]

[eqn: ∴``p=4~~q=0]

[eqn: p``+`q=4]

8. [출제의도] 집합의 연산법칙 이해하기

[eqn: A ◆ B=(A SMALLINTER B) CUP (A CUP B`) ^{c}] 에서

ㄱ. [eqn: A ◆ U=(A∩U``)∪(A∪U``)^c]

[eqn: =A`∪∅=A]  ∴ 참

ㄴ. [eqn: (A◆B`)]를 벤다이어그램으로 그리면

[eqn: (A◆B`)◆A]를 벤다이어그램으로 그리면

∴ 참

ㄷ. [eqn: A ◆ A= U] 이고

[eqn: A ◆ A ◆ A=A]

[eqn: A ◆ A ◆ A ◆ A= U]                                 [eqn: CDOTS CDOTS]

짝수개의 [eqn: A]를 연산하면 [eqn: U]

홀수개의 [eqn: A]를 연산하면 [eqn: A]

∴ 거짓

9. [출제의도] 나머지 정리를 이용하여 나머지 구하기

[eqn: f(1)=1,``f(-1)=-7]

[eqn: R(x)=ax+b] 라 놓으면

[eqn: f(x)=(x+1)(x-1)Q(x)+ax+b] 에서

[eqn: a+b=1]    --- ①

[eqn: -a+b=-7]  --- ②

①, ② 에서 [eqn: a=4,~b=-3]

[eqn: R(x)=4x-3]

∴ [eqn: R(3)=9]

10. [출제의도] 무리함수의 그래프 이해하기

[eqn: f(x)=ax+b] 에서 [eqn: a<0,``b>0]

[eqn: g(x)=cx+d] 에서 [eqn: c>0,``d<0]

따라서 무리함수 [eqn: y=a sqrt {bx+c}``+d] 의 그래프 개형은 아래의 그림과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

11. [출제의도] 자연수의 성질을 이용하여 증명문제 해결하기

[eqn: n] 의 일의 자리 수를 [eqn: p] 라 하면

[eqn: n+p] 는 짝수이고,

[eqn: n-p] 는 [eqn: 10]의 배수이다.

[eqn: n^2 -p^2 =(n-p)(n+p)] 이 [eqn: 20]의 배수이고

[eqn: n^2] 의 십의 자리수가 홀수이므로

[eqn: p^2] 의 십의 자리수는 홀수이다.

[eqn: 0<=p<=9] 이므로

만족하는 [eqn: p] 의 개수는 [eqn: 4]와 [eqn: 6]으로 [eqn: 2]개이다.

[eqn: n^2] 과 [eqn: p^2] 의 일의 자리수가 같으므로

[eqn: n^2] 의 일의 자리수는 [eqn: 6] 이다.

12. [출제의도] 행렬의 성질 이해하기

ㄱ. (반례) [eqn: A= pmatrix { 1&```0 # 0&```0 }], [eqn: B= pmatrix{1&``0#1&``1}]

[eqn: AB=A] 이지만 [eqn: B≠E]  ∴ 거짓

ㄴ. [eqn: AB=A] 에서 [eqn: ABA=A^2]

[eqn: AB=A^2]  [eqn: (`∵``BA=B`)]

[eqn: A=A^2]  [eqn: (`∵``AB=A`)]

마찬가지로 [eqn: B ^{2} =B]  ∴ 참

ㄷ. [eqn: AA(A^-1 A^-1 )=E] 이므로 역행렬은 존재

∴ 참

13. [출제의도] 수와 연산을 활용하여 문제해결하기

각 숫자의 자리수와 쉼표(,)와 공백의 칸 수를

더한다.

[eqn: 0]부터 [eqn: 9]까지는 [eqn: 3 TIMES 10=30]칸

[eqn: 10]부터 [eqn: 99]까지는 [eqn: 4 TIMES 90=360]칸

[eqn: 100]부터 [eqn: 221]까지는 [eqn: 5 TIMES 122=610]칸

따라서 [eqn: 1000]번째 칸에는 공백이 온다.

14. [출제의도] 이차함수의 성질 이해하기

ㄱ. [eqn: x=-q] 일 때, [eqn: f(q)=0]

[eqn: x=-r] 일 때, [eqn: f(r)=0] 이므로

[eqn: f(-x)=0] 의  근은 [eqn: x=-q]  또는 [eqn: x=-r]

∴ 참

ㄴ. [eqn: f(x)-2=0]의 두 근은 [eqn: p,~s] 이다.

[eqn: p+s=q+r] 이므로

두 근의 합은 [eqn: - b over a]   ∴ 참

ㄷ. 대칭축을 이용하면 [eqn: {p+s} over {2} = {q+r} over {2}]

[eqn: p+s=q+r``]  ∴ 참

15. [출제의도] 도형의 성질을 이용하여 증명문제 해결하기

ⅰ) 점 [eqn: rm A]에서

선분 [eqn: rm {AP}]의 연장선과 변 [eqn: rm BC] 가 만나는 점을

[eqn: rm D] 라 하자.

사인 법칙에 의하여 다음 식이 성립한다.

[eqn: {rm bar{BD} it} over {sin alpha } = {rm bar{AB} it} over {sin gamma }], [eqn: {rm bar{DC} it} over {sin beta } = {rm bar{CA} it} over {sin delta }]

∴ [eqn: {rm bar{BD} } over {rm bar{DC} } = {rm bar{AB} ``sin alpha ```sin delta } over {rm bar{CA} ``sin beta ``` sin gamma }]

[eqn: sin delta = sin ( pi - gamma )=sin gamma] 이므로

[eqn: {rm bar{BD} over {rm bar{DC} } = {rm bar{AB} ``sin alpha } over {rm bar{CA} ``sin beta } =][eqn: { {rm bar AB } ```ㆍ p over {rm bar AP } } over { {rm bar CA } ```ㆍ r over {rm bar AP }}=1]

[eqn: rm bar BD = bar DC]

따라서 선분 [eqn: rm {AD}]는  [eqn: rm △ABC] 의 중선이다.

ⅱ) 점 [eqn: rm B,~C] 에서도

위와 같은 방법으로 증명하면,

점 [eqn: rm P]가 [eqn: rm △ABC] 의 무게중심임을 알 수 있다.

16. [출제의도] 행렬을 이용하여 매출액 구하기

제 1문구점의 이틀 동안의 매출액

[eqn: pmatrix{6&```7#9&```4} pmatrix{250#150} = pmatrix{2550#2850}]

제 2문구점의 이틀 동안의 매출액

[eqn: pmatrix{7&```x(x-2)#x&```3} pmatrix{300#100} = pmatrix{2100+100x(x-2)#300x+300}]

[eqn: 100x(x-2) +300x +2400=5400]

[eqn: x^2 +x-30=0]

[eqn: x=-6] 또는 [eqn: x=5]

따라서 [eqn: x=5] [eqn: (∵~x≧2)]

따라서 제 [eqn: 2]문구점의 제 [eqn: 2]일 매출액은 [eqn: 1800]원

17. [출제의도] 원의 접선의 길이와 호의 길이 구하기

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rmE]

[eqn: rmF]

[eqn: rmG]

[eqn: rmH]

[eqn: rmP]

[eqn: rmQ]

[eqn: rmR]

[eqn: {rmbar{AB} = bar{GH}} =4]

[eqn: rm{arch{``CD```} = arch{``DE```}=arch{``EF```}} = pi]

[eqn: △rmPQR]은 정삼각형이므로

[eqn: {rmANGLE BQC= ANGLE GRF}= { pi} over { 6}]

[eqn: {rmANGLE APH}= { 2} over { 3}pi]

그러므로 굵은 선의 길이는 [eqn: 8+4pi]

18. [출제의도] 로그의 성질 이해하기

ㄱ. [eqn: (a,``b)` IN `A] 이므로 [eqn: b=log _{3} ``a]

양변에 [eqn: 1] 을 더하면, [eqn: b`+`1=log _{3} ``3a]

즉, [eqn: (3a,``b+1)` IN `A]  ∴ 참

ㄴ.  [eqn: LEFT ( {a} over {3} ,``b RIGHT ) ` IN `A] 이므로 [eqn: b=log _{3} ` {a} over {3}]

[eqn: log _{3} `a= b`+`1]

즉, [eqn: (a,``b-1)` NOTIN `A] ∴ 거짓

ㄷ.  [eqn: (a,``b)` IN `A,] [eqn: (c,``d)` IN `A] 이므로

[eqn: b=log`_3 ``a], [eqn: d=log`_3 ``c]

[eqn: b+d= log`_3 ``ac]

즉,  [eqn: (ac,``b+d)` IN `A] ∴ 참

19. [출제의도] 지수를 활용하여 실생활 문제 해결하기

[eqn: a=10^1-0.1 =10^0.9] 에 대하여

[eqn: 35]분이 지난 후 혈액 속에 남아있는 약품의 양은 [eqn: 10 ^{1-0.7} =10 ^{0.3} =a ^{{1} over {3}} = root {3} of {a}]

20. [출제의도] 정의된 행렬의 성질 이해하기

ㄱ. [eqn: M(a,a)M(b,b)=pmatrix{a&````a#a&``````a}pmatrix{b&```b#b&`````b}##`````````````````````````````````````````````````````=pmatrix{2ab&````2ab#2ab&``````2ab}=M(2ab,2ab)]

∴ 참

ㄴ. [eqn: a] 와 [eqn: b] 가 서로 소이면

[eqn: M(a,b)=pmatrix{a&````1#ab&``````b}≠M(b,a)=pmatrix{b&````1#ab&``````a}] ∴ 거짓

ㄷ. [eqn: a=a_1 g], [eqn: b=b_1 g]  ([eqn: a_1 , ``b_1]은 서로소)

따라서 [eqn: ab=gl] 이므로 [eqn: D=ab-gl=0]  ∴ 참

21. [출제의도] 제이코사인 법칙을 이용하여 길이 구하기

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rmP]

[eqn: rm theta]

[eqn: cos theta = { 3^2 +3^2 -2^2} over {2 TIMES3 TIMES3 }= 7 over 9]

∴ [eqn: rm bar PA = 7 over 3 ,~ bar DP = { 4 sqrt { 2} } over {3 }]

[eqn: rm bar BD^2 = LEFT ( { 4 sqrt { 2} } over { 3} RIGHT )^2 + LEFT ( 7 over 3 +3 RIGHT )^2]

[eqn: {rm bar BD } = 4 sqrt {2 }]

[별해]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rm P]

위 그림과 같이 선분 [eqn: rm AB]의 연장선 위에

[eqn: rm bar AB = bar AP]가 되도록 점 [eqn: rm P]를 잡으면

사각형 [eqn: rm DPBC] 는 등변사다리꼴이고,

원에 내접한다.

[eqn: rm bar PB]가 지름이므로

삼각형 [eqn: rm DPB]는 직각삼각형이다.

따라서 [eqn: {rm bar BD } = sqrt { 6^2 - 2^2}=4 sqrt {2 }]

22. [출제의도] 행렬의 연산을 이용하여 계산하기

[eqn: A+ { 1} over {2 }X=3B] 에서 [eqn: X=2(3B-A)=2 pmatrix{2&```10#14&```10}]

그러므로 [eqn: 2]행 [eqn: 1]열의 성분은 [eqn: 28]

23. [출제의도] 연립부등식의 해 구하기

ⅰ) [eqn: 2x-1< -1] 또는 [eqn: 2x-1>1]

∴ [eqn: x<0] 또는 [eqn: x>1]

ⅱ) [eqn: 2x ^{2} -11x+5 <= 0`````#```````````````````````` LRARROW `````(x-5)`(2x-1) <= 0]

∴ [eqn: { 1} over {2 } ≦ x ≦ 5]

ⅰ), ⅱ) 에서 [eqn: 1< x≦5]

그러므로 모든 정수의 합은 [eqn: 2+3+4+5=14]

24. [출제의도] 지수의 성질을 이용하여 만족하는 자연수 구하기

[eqn: x= left{{2 ^{11} (3 ^{4} +3 ^{2} +1)} over {(3 ^{2} -1)(3 ^{4} +3 ^{2} +1)}right}^ {{ 1} over {2n }}]

[eqn: = left ({2 ^{11}} over {3 ^{2} -1}right)^ {{ 1} over { 2n}} =2 ^ {{ 4} over {n }}]

양의 정수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: x] 가 자연수가 되기 위한 [eqn: n`]은 [eqn: 1,~2,~4`]이다.

따라서, [eqn: A= left {2,``` 4,``` 16 right }]

그러므로 집합 [eqn: A] 의 원소의 합은 [eqn: 22]

25. [출제의도] 도형의 성질을 이용하여 지수 계산하기

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmD]

[eqn: rmC]

작은 평행사변형의 넓이 [eqn: rm A,~B,~C,~D]에 대하여

[eqn: rm A:C=B:D]가 성립한다.

따라서 [eqn: 3^5 ×2^a ×2^5 × 3^b = 4^a × 9^b]

[eqn: 3^5 ×2^a ×2^5 × 3^b = 2^a ×2^a × 3^b ×3^b]

[eqn: 2^5 ×3^5 =2^a ×3^b]

따라서 [eqn: a=5,```b=5]

그러므로 [eqn: a+b=10]

26. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수 이해하기

[eqn: x=`log``2006+log``200.6-k``log``20.06] 에 대하여

[eqn: LEFT [ x RIGHT ]`=`x] 이므로 [eqn: alpha =log ``2.006]라 할 때,

[eqn: log``2006+log``200.6-k``log``20.06]

[eqn: = LEFT ( 3+ alpha RIGHT ) + LEFT ( 2+ alpha RIGHT ) -k LEFT ( 1+ alpha RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( 5-k RIGHT ) + LEFT ( 2-k RIGHT ) alpha ````````````(0<alpha<1)]

이므로 [eqn: x] 가 정수가 되려면 [eqn: 2-k=0]

그러므로 [eqn: k=2``]

27. [출제의도] 분수함수의 성질 이해하기

점 [eqn: rmA][eqn: left(p, ````{1} over {p} right)] 라 하면 점 [eqn: rmB][eqn: left(kp, ```{1} over {p} right)], 점 [eqn: rmC][eqn: left(p, ````{k} over {p} right)] 이다.

[eqn: {rmbar{AB}} = left |`kp-p` right |= left |`(k-1)p `right |]

[eqn: {rmbar{AC}} = left |`{k} over {p} - {1} over {p}`right | = left |`{k-1} over {p}` right |]

여기에서 [eqn: TRIANGLE rmABC] 의 넓이가 [eqn: 50]이므로

[eqn: 50= {1} over {2}× {rmbar{AB} `×`` bar{AC}} `= {1} over {2}× left | `(k-1)p` right |``×`` left |`{k-1} over {p}` right |]

[eqn: 100=left |k-1 right | ^{2}]   [eqn: k=11] 또는 [eqn: k=-9]

그러므로 [eqn: k=11] [eqn: (∵``k>0)]

28. [출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 만족하는 순서쌍의 개수 구하기

행렬[eqn: M= pmatrix{````m````````&2````#````2 ^{200} ````````&n````}] 이 역행렬을 갖지 않으려면

[eqn: D`=`mn``-``2 ^{201`} ``=0]이므로

[eqn: mn``=``2 ^{201`} ``]( [eqn: m``,``n``]은 양의 정수)

[eqn: m``<``n] 인 순서쌍 [eqn: LEFT ( m``,``n RIGHT )] 을 나타내면

[eqn: LEFT ( 2 ^{0} ``,``2 ^{201} RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2 ^{1} ``,``2 ^{200} RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2 ^{2} ``,``2 ^{199} RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2 ^{3} ``,``2 ^{198} RIGHT )],      …, [eqn: LEFT ( 2 ^{100} ``,``2 ^{101} RIGHT )] 으로 [eqn: 101]개이다.

29. [출제의도] 실생활에서 도형의 길이 구하기

[eqn: {rm bar{OP}} =a] 라 하면

어두운 부분의 넓이 [eqn: S]  는

[eqn: S ={ 1} over { 2}×` { 2} over {3 }pi `×(70^2 -a^2 ) `= 1500pi]

[eqn: a=20] 이므로

∴ [eqn: {rm bar{PQ}} =50]

[eqn: {rm bar{PC}}~ :{rm bar{CQ}}=3:2] 이므로

[eqn: {rm bar{PC}} =30]

따라서 [eqn: {rm bar{OC}} =50]

30. [출제의도] 부등식 영역에서 최대․최소를 이용하여 문제해결하기

놀이기구 [eqn: A, ``B] 를 각각 [eqn: x], [eqn: y] 번 탔다고 할 때,

연립부등식 [eqn: 5x+10y≦120],

[eqn: 1200x+800y≦15000]을 동시에 만족시키는

[eqn: x,y] 영역을 그리면

[eqn: LEFT ( {27} over {4} ,~ {69} over {8} RIGHT )]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: x]

이 중 [eqn: x,~y] 가 자연수이므로

주어진 조건에서 횟수를 최대인 것은

[eqn: (7,``8),~(6,``9)] 이다.

따라서 횟수의 최대값은 15이다.

나형 정답

1	⑤	2	③	3	②	4	④	5	④
6	②	7	①	8	④	9	②	10	③
11	③	12	④	13	①	14	⑤	15	⑤
16	③	17	③	18	③	19	①	20	④
21	②	22	[eqn: 204]	23	[eqn: 14]	24	[eqn: 22]	25	[eqn: 10]
26	[eqn: 2]	27	[eqn: 11]	28	[eqn: 33]	29	[eqn: 50]	30	[eqn: 15]

해설

1. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 계산하기

[eqn: log` _{2} ` {4} over {3} +log ` _{2} `` 6 ``=log`_2 `` left({ 4} over { 3}×6 right) ``=``log`_2 ``8 `=``3]

2. [출제의도] 복소수의 사칙연산을 이용하여 계산하기

[eqn: z ^{2} = LEFT ( {1+i} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2} = {2i} over {2} =i] 이므로

[eqn: z ^{2006} =(z ^{2} ) ^{1003} `=i ^{1003} =i ^{3} =-i]

[eqn: z ^{2006} + {1} over {z ^{2006}}][eqn: =``-i- {1} over {i} =``-i+i=0]

3. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 표현하기

[eqn: log`` _{3} ``18=2+``log`` _{3} ``2=p]

따라서 [eqn: log`` _{3} ``2= p-2]

[eqn: log`` _{2} ``54= { log``_3``54} over { log``_3 ``2} = { 3+ `log``_3 ``2} over {log``_3 ``2 }]

[eqn: = { 3+(p-2)} over {p-2 }= { p+1} over {p-2 }]

4. [출제의도] 상용로그로 이루어진 수들의 평균 구하기

[eqn: {log `1``+log`2+2``log`2+3``log`2+4``log`2+5``log`2} over {6}# `= {15``log`2} over {6} = { 5} over {2 } ``log`2]

5. [출제의도] 지수를 이용하여 수의 대소관계 구하기

[eqn: A=2^100 =(2^10 )^10 =1024^10]

[eqn: B=3^70 =(3^7 )^10 =2187^10]

[eqn: C=5^40 =(5^4 )^10 =625^10]

따라서 [eqn: C<A<B]

[별해]

[eqn: A,B,C] 에 각각 상용로그를 취하면

[eqn: log``A=log``2 ^{100} =100log``2=30.1]

[eqn: log``B=log``3 ^{70} ```=70`log``3=33.397]

[eqn: log``C=log``5 ^{40}```=40`log``5=27.96]

따라서 [eqn: C<A<B]

6. [출제의도] 다항식의 연산을 이용하여 넓이 구하기

[eqn: a`]

[eqn: b]

[eqn: b`]

[eqn: a-b`]

어두운 부분의 넓이는 직사각형의 넓이에서

세 삼각형의 넓이를 뺀 것이다.

[eqn: ab- {1} over {2} b LEFT ( a-b RIGHT ) = {1} over {2} b LEFT ( a+b RIGHT )]

7. [출제의도] 상용로그 계산하기

[eqn: log``0.601``=``log`` LEFT ( 601 TIMES 10 ^{-3} RIGHT )]

[eqn: =``log``601 ``-3=2.7789-3``=``-0.2211]

8. [출제의도] 집합의 연산법칙 이해하기

[eqn: A ◆ B=(A SMALLINTER B) CUP (A CUP B`) ^{c}] 에서

ㄱ. [eqn: A ◆ U=(A∩U``)∪(A∪U``)^c]

[eqn: =A`∪∅=A]  ∴ 참

ㄴ. [eqn: (A◆B`)]를 벤다이어그램으로 그리면

[eqn: (A◆B`)◆A]를 벤다이어그램으로 그리면

∴ 참

ㄷ. [eqn: A ◆ A= U] 이고

[eqn: A ◆ A ◆ A=A]

[eqn: A ◆ A ◆ A ◆ A= U]                                 [eqn: CDOTS CDOTS]

짝수개의 [eqn: A]를 연산하면 [eqn: U]

홀수개의 [eqn: A]를 연산하면 [eqn: A]

∴ 거짓

9. [출제의도] 나머지 정리를 이용하여 나머지 구하기

[eqn: f(1)=1,``f(-1)=-7]

[eqn: R(x)=ax+b] 라 놓으면

[eqn: f(x)=(x+1)(x-1)Q(x)+ax+b] 에서

[eqn: a+b=1]    --- ①

[eqn: -a+b=-7]  --- ②

①, ② 에서 [eqn: a=4,~b=-3]

[eqn: R(x)=4x-3]

∴ [eqn: R(3)=9]

10. [출제의도] 무리함수의 그래프 이해하기

[eqn: f(x)=ax+b]에서 [eqn: a<0,``b>0]

[eqn: g(x)=cx+d]에서 [eqn: c>0,``d<0]

따라서 무리함수 [eqn: y=a sqrt {bx+c}``+d] 의 그래프 개형은 아래의 그림과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

11. [출제의도] 자연수의 성질을 이용하여 증명문제 해결하기

[eqn: n] 의 일의 자리 수를 [eqn: p] 라 하면

[eqn: n+p] 는 짝수이고,

[eqn: n-p] 는 [eqn: 10]의 배수이다.

[eqn: n^2 -p^2 =(n-p)(n+p)] 이 [eqn: 20]의 배수이고

[eqn: n^2] 의 십의 자리수가 홀수이므로

[eqn: p^2] 의 십의 자리수는 홀수이다.

[eqn: 0<=p<=9] 이므로

만족하는 [eqn: p] 의 개수는 [eqn: 4]와 [eqn: 6]으로 [eqn: 2]개이다.

[eqn: n^2] 과 [eqn: p^2] 의 일의 자리수가 같으므로

[eqn: n^2] 의 일의 자리수는 [eqn: 6] 이다.

12. [출제의도] 인수분해를 이용하여 약수 구하기

[eqn: a ^{6} -b ^{6} =(a+b)(a-b)(a^2 -ab+b^2 )(a^2 +ab +b^2 )]

따라서 <보기> 중 약수는 [eqn: a +b ,~a^3 +b^3]

13. [출제의도] 수와 연산을 활용하여 문제해결하기

각 숫자의 자리수와 쉼표(,)와 공백의 칸 수를

더한다.

[eqn: 0]부터 [eqn: 9]까지는 [eqn: 3 TIMES 10=30]칸

[eqn: 10]부터 [eqn: 99]까지는 [eqn: 4 TIMES 90=360]칸

[eqn: 100]부터 [eqn: 221]까지는 [eqn: 5 TIMES 122=610]칸

따라서 [eqn: 1000]번째 칸에는 공백이 온다.

14. [출제의도] 이차함수의 성질 이해하기

ㄱ. [eqn: x=-q] 일 때, [eqn: f(q)=0]

[eqn: x=-r] 일 때, [eqn: f(r)=0] 이므로

[eqn: f(-x)=0] 의  근은 [eqn: x=-q]  또는 [eqn: x=-r]

∴ 참

ㄴ. [eqn: f(x)-2=0]의 두 근은 [eqn: p,~s] 이다.

[eqn: p+s=q+r] 이므로

두 근의 합은 [eqn: - b over a]   ∴ 참

ㄷ. 대칭축을 이용하면 [eqn: {p+s} over {2} = {q+r} over {2}]

[eqn: p+s=q+r``]  ∴ 참

15. [출제의도] 도형의 성질을 이용하여 증명문제 해결하기

ⅰ) 점 [eqn: rm A]에서

선분 [eqn: rm {AP}]의 연장선과 변 [eqn: rm BC] 가 만나는 점을

[eqn: rm D] 라 하자.

사인 법칙에 의하여 다음 식이 성립한다.

[eqn: {rm bar{BD} it} over {sin alpha } = {rm bar{AB} it} over {sin gamma }], [eqn: {rm bar{DC} it} over {sin beta } = {rm bar{CA} it} over {sin delta }]

∴ [eqn: {rm bar{BD} } over {rm bar{DC} } = {rm bar{AB} ``sin alpha ```sin delta } over {rm bar{CA} ``sin beta ``` sin gamma }]

[eqn: sin delta = sin ( pi - gamma )=sin gamma] 이므로

[eqn: {rm bar{BD} over {rm bar{DC} } = {rm bar{AB} ``sin alpha } over {rm bar{CA} ``sin beta } =][eqn: { {rm bar AB } ```ㆍ p over {rm bar AP } } over { {rm bar CA } ```ㆍ r over {rm bar AP }}=1]

[eqn: rm bar BD = bar DC]

따라서 선분 [eqn: rm {AD}]는  [eqn: rm △ABC] 의 중선이다.

ⅱ) 점 [eqn: rm B,~C] 에서도

위와 같은 방법으로 증명하면,

점 [eqn: rm P]가 [eqn: rm △ABC] 의 무게중심임을 알 수 있다.

16. [출제의도] 지표와 가수의 성질을 이용하여 문제해결하기

① [eqn: 10A]와 [eqn: A]의 숫자 배열이 같으므로 가수는 서로 같다.

② [eqn: log`A``]의 가수를 [eqn: alpha``]라 하면 [eqn: log` {1} over {A} ``]의 가수는 [eqn: 1- alpha``]

③ [eqn: log`A``]의 지표를 [eqn: n``]이라 하면 [eqn: log` 1 over A ``]의 지표는 [eqn: -n-1``]이므로 지표의 합은 일정하다.

④ [eqn: 3<log``A<4]일 때, [eqn: 1.5<log `` sqrt { A} <2]

따라서 [eqn: sqrt { A}]는 정수부분이 두자리인 수이다.

⑤ [eqn: 2<log``A<3]일 때, [eqn: -3<log `` { 1} over {A } < -2]

따라서 [eqn: { 1} over { A}]은 소수 셋째자리에서 처음으로 [eqn: 0]이 아닌 숫자가 나타난다.

17. [출제의도] 원의 접선의 길이와 호의 길이 구하기

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rmE]

[eqn: rmF]

[eqn: rmG]

[eqn: rmH]

[eqn: rmP]

[eqn: rmQ]

[eqn: rmR]

[eqn: {rmbar{AB} = bar{GH}} =4]

[eqn: rm{arch{``CD```} = arch{``DE```}=arch{``EF```}} = pi]

[eqn: △rmPQR]은 정삼각형이므로

[eqn: {rmANGLE BQC= ANGLE GRF}= { pi} over { 6}]

[eqn: {rmANGLE APH}= { 2} over { 3}pi]

그러므로 굵은 선의 길이는 [eqn: 8+4pi]

18. [출제의도] 로그의 성질 이해하기

ㄱ. [eqn: (a,``b)` IN `A] 이므로 [eqn: b=log _{3} ``a]

양변에 [eqn: 1]을 더하면, [eqn: b`+`1=log _{3} ``3a]

즉, [eqn: (3a,``b+1)` IN `A]  ∴ 참

ㄴ.  [eqn: LEFT ( {a} over {3} ,``b RIGHT ) ` IN `A] 이므로 [eqn: b=log _{3} ` {a} over {3}]

[eqn: log _{3} `a= b`+`1]

즉, [eqn: (a,``b-1)` NOTIN `A] ∴ 거짓

ㄷ.  [eqn: (a,``b)` IN `A,] [eqn: (c,``d)` IN `A] 이므로

[eqn: b=log`_3 ``a], [eqn: d=log`_3 ``c]

[eqn: b+d= log`_3 ``ac]

즉,  [eqn: (ac,``b+d)` IN `A] ∴ 참

19. [출제의도] 지수를 활용하여 실생활 문제 해결하기

[eqn: a=10^1-0.1 =10^0.9] 에 대하여

[eqn: 35]분이 지난 후 혈액 속에 남아있는 약품의 양은 [eqn: 10 ^{1-0.7} =10 ^{0.3} =a ^{{1} over {3}} = root {3} of {a}]

20. [출제의도] 두 원의 위치관계를 이용하여     넓이 구하기

원 [eqn: C_1 ,``C_2 , ``C_3]의 반지름의 길이를 각각 [eqn: r _{1`},` `r _{2}, ``r_3]라 하면 [eqn: rm TRIANGLE O_1 O_2 O_3]의 둘레의 길이가 [eqn: 22]이므로

[eqn: r_1 -r_2 + r_1 -r_3 +r_2 +r_3 =22]

[eqn: 2r_1 =22], [eqn: r_1 =11]

원 [eqn: C_1]의 넓이 [eqn: S] 는 [eqn: 121pi]

21. [출제의도] 제이코사인 법칙을 이용하여 길이 구하기

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rmP]

[eqn: rm theta]

[eqn: cos theta = { 3^2 +3^2 -2^2} over {2 TIMES3 TIMES3 }= 7 over 9]

∴ [eqn: rm bar PA = 7 over 3 ,~ bar DP = { 4 sqrt { 2} } over {3 }]

[eqn: rm bar BD^2 = LEFT ( { 4 sqrt { 2} } over { 3} RIGHT )^2 + LEFT ( 7 over 3 +3 RIGHT )^2]

[eqn: {rm bar BD } = 4 sqrt {2 }]

[별해]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rm P]

위 그림과 같이 선분 [eqn: rm AB]의 연장선 위에

[eqn: rm bar AB = bar AP]가 되도록 점 [eqn: rm P]를 잡으면

사각형 [eqn: rm DPBC] 는 등변사다리꼴이고,

원에 내접한다.

[eqn: rm bar PB]가 지름이므로

삼각형 [eqn: rm DPB]는 직각삼각형이다.

따라서 [eqn: {rm bar BD } = sqrt { 6^2 - 2^2}=4 sqrt {2 }]

22. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 계산하기

[eqn: 2 ^{206} -2 ^{205} -2 ^{204} ````# =``2 ^{204} `` LEFT ( 2 ^{2} -2-1` RIGHT ) ``=``2 ^{204}]

따라서  [eqn: log`` _{2} ``` LEFT ( 2 ^{206} -2 ^{205} -2 ^{204} RIGHT )# =``log`` _{2} ````2 ^{204} ``=``204]

23. [출제의도] 연립부등식의 해 구하기

ⅰ) [eqn: 2x-1< -1] 또는 [eqn: 2x-1>1]

∴ [eqn: x<0] 또는 [eqn: x>1]

ⅱ) [eqn: 2x ^{2} -11x+5 <= 0`````#```````````````````````` LRARROW `````(x-5)`(2x-1) <= 0]

∴ [eqn: { 1} over {2 } ≦ x ≦ 5]

ⅰ), ⅱ) 에서  [eqn: 1< x≦5]

그러므로 모든 정수의 합은 [eqn: 2+3+4+5=14]

24. [출제의도] 지수의 성질을 이용하여 만족하는 자연수 구하기

[eqn: x= left{{2 ^{11} (3 ^{4} +3 ^{2} +1)} over {(3 ^{2} -1)(3 ^{4} +3 ^{2} +1)}right}^ {{ 1} over {2n }}]

[eqn: = left ({2 ^{11}} over {3 ^{2} -1}right)^ {{ 1} over { 2n}} =2 ^ {{ 4} over {n }}]

양의 정수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: x] 가 자연수가 되기 위한 [eqn: n`]은 [eqn: 1,~2,~4`]이다.

따라서, [eqn: A= left {2,``` 4,``` 16 right }]

그러므로 집합 [eqn: A] 의 원소의 합은 [eqn: 22]

25. [출제의도] 도형의 성질을 이용하여 지수 계산하기

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmD]

[eqn: rmC]

작은 평행사변형의 넓이 [eqn: rm A,~B,~C,~D]에 대하여

[eqn: rm A:C=B:D]가 성립한다.

따라서 [eqn: 3^5 ×2^a ×2^5 × 3^b = 4^a × 9^b]

[eqn: 3^5 ×2^a ×2^5 × 3^b = 2^a ×2^a × 3^b ×3^b]

[eqn: 2^5 ×3^5 =2^a ×3^b]

따라서 [eqn: a=5,```b=5]

그러므로 [eqn: a+b=10]

26. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수 이해하기

[eqn: x=`log``2006+log``200.6-k``log``20.06] 에 대하여

[eqn: LEFT [ x RIGHT ]`=`x] 이므로 [eqn: alpha =log ``2.006]라 할 때,

[eqn: log``2006+log``200.6-k``log``20.06]

[eqn: = LEFT ( 3+ alpha RIGHT ) + LEFT ( 2+ alpha RIGHT ) -k LEFT ( 1+ alpha RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( 5-k RIGHT ) + LEFT ( 2-k RIGHT ) alpha ````````````(0<alpha<1)]

이므로 [eqn: x] 가 정수가 되려면 [eqn: 2-k=0]

그러므로 [eqn: k=2``]

27. [출제의도] 분수함수의 성질 이해하기

점 [eqn: rmA][eqn: left(p, ````{1} over {p} right)] 라 하면 점 [eqn: rmB][eqn: left(kp, ```{1} over {p} right)], 점 [eqn: rmC][eqn: left(p, ````{k} over {p} right)] 이다.

[eqn: {rmbar{AB}} = left |`kp-p` right |= left |`(k-1)p `right |]

[eqn: {rmbar{AC}} = left |`{k} over {p} - {1} over {p}`right | = left |`{k-1} over {p}` right |]

여기에서 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 넓이가 [eqn: 50]이므로

[eqn: 50= {1} over {2}× {rmbar{AB} `×`` bar{AC}} `= {1} over {2}× left | `(k-1)p` right |``×`` left |`{k-1} over {p}` right |]

[eqn: 100=left |k-1 right | ^{2}]   [eqn: k=11] 또는 [eqn: k=-9]

그러므로 [eqn: k=11] [eqn: (∵``k>0)]

28. [출제의도] 정의된 함수를 이용하여 함수값구하기

[eqn: g(f(4))=g(3)=3]

[eqn: g(2)=h(f`(2))`]에서 [eqn: h(1)`=3]

그러므로 [eqn: g(f(4))+10h(1)=33]

29. [출제의도] 실생활에서 도형의 길이 구하기

[eqn: {rm bar{OP}} =a]라 하면

어두운 부분의 넓이 [eqn: S] 는

[eqn: S ={ 1} over { 2}×` { 2} over {3 }pi `×(70^2 -a^2 ) `= 1500pi]

[eqn: a=20] 이므로

∴ [eqn: {rm bar{PQ}} =50]

[eqn: {rm bar{PC}}~ :{rm bar{CQ}}=3:2]이므로

[eqn: {rm bar{PC}} =30]

따라서 [eqn: {rm bar{OC}} =50]

30. [출제의도] 부등식 영역에서 최대․최소를 이용하여 문제해결하기

놀이기구 [eqn: A, ``B]를 각각 [eqn: x], [eqn: y]번 탔다고 할 때,

연립부등식 [eqn: 5x+10y≦120],

[eqn: 1200x+800y≦15000]을 동시에 만족시키는

[eqn: x,y] 영역을 그리면

[eqn: LEFT ( {27} over {4} ,~ {69} over {8} RIGHT )]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: x]

이 중 [eqn: x,~y]가 자연수이므로

주어진 조건에서 횟수를 최대인 것은

[eqn: (7,``8),~(6,``9)] 이다.

따라서 횟수의 최대값은 15이다.