•2교시 수리 영역•

2005학년도 11월 고1 전국연합학력평가

정답 및 해설

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1.［출제의도］집합의 연산 이해하기

［해설］[eqn: A = left{``a,~b,~c,~f``right}]이므로 [eqn: A^C = left{``d,~e``right}]

[eqn: B-A = B`` ∩ A^C = left{``b,~d,~e right} ``∩ left{``d,~e``right} = left{``d,~e``right}]                 □ ④

2.［출제의도］명제의 뜻을 알고 참, 거짓 판별하기

［해설］ ① [eqn: x^2 =1]이면 [eqn: x = 1] 또는 [eqn: x=-1] : 거짓

② [eqn: x^2 ``＞``1]이면 [eqn: x``＜-1] 또는 [eqn: x``＞``1] : 거짓

④ 반례) [eqn: x=3], [eqn: y=-1] : 거짓

⑤ [eqn: (홀수)+(홀수)=(짝수)] : 거짓                        □ ③

3.［출제의도］필요조건과 충분조건, 필요충분조건 구별하기

［해설］[eqn: p ``:`` a^2 + b^2 + c^2 = 0~~⇔~~a=b=c=0]

[eqn: q``:`` LEFT | a RIGHT | + LEFT | b RIGHT | + LEFT | c RIGHT | =0 ~~⇔~~~a=b=c=0]

[eqn: r``:``(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 =0~~⇔~~a=b=c`]이므로

[eqn: p~⇔~q], [eqn: p~⇒~r`]

∴ [eqn: p`]는 [eqn: q`]이기 위한 필요충분조건, [eqn: p`]는 [eqn: r`]이기 위한 충분조건  □ ④

4.［출제의도］실수의 연산에 대한 성질 이해하기

［해설］연산 [eqn: ◉]에 대한 항등원을 [eqn: e]라 하면 [eqn: a``◉``e = a+e -11 = a`]이므로 [eqn: e = 11], [eqn: 17]의 역원을 [eqn: x`]라 하면 [eqn: 17``◉``x=x``◉``17=11]에서 [eqn: 17+x -11=11] 따라서 [eqn: x=5]                                              □ ⑤

5.［출제의도］연립부등식의 풀이 이해하기

［해설］[eqn: x^2 - 4x -12``＜``0], [eqn: (x-6)(x+2) ``＜``0], [eqn: -2 ``＜``x``＜6~cdots①]

[eqn: x^2 - 2x -3 ``≧``0], [eqn: (x-3)(x+1)``≧``0], [eqn: x``≦``-1] 또는 [eqn: x``≧``3~ cdots ②]

①, ②의 공통부분은 [eqn: -2``＜``x````≦-1~또는 ~3``≦``x``＜``6]이다. 이를 만족시키는 정수 [eqn: x`]는 [eqn: -1,~3, ~4,~5]이므로 [eqn: 4]개                           □ ④

6.［출제의도］복소수의 연산에 대한 성질 이해하기

［해설］[eqn: (a+2 i `)(2-bi `) = (2a +2b)+(4-ab)i` = 6 + 5i]에서

[eqn: a+b=3,~ ab = -1]이므로

[eqn: a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab `= 3^2 - 2times(-1)=11]                      □ ⑤

7.［출제의도］다항식을 일차식으로 나눈 나머지 구하기

［해설］나머지 정리에 의해 [eqn: f``(-3)=1]

[eqn: f``(x+2005)]를 [eqn: x+2008]로 나눈 몫을 [eqn: Q`(x)], 나머지를 [eqn: R`]이라 하면[eqn: f``(x+2005) = (x+2008)Q`(x)+R]이다. 양변에 [eqn: x=-2008]을 대입하면 [eqn: f``(-2008+2005) = (-2008 + 2008) Q`(-2008) +R]이므로

[eqn: R=f``(-3)=1]                                            □ ①

8.［출제의도］복소수의 연산에 대한 성질 이해하기

［해설］[eqn: z_1 = a+bi ,~ z_2 = c+di`]([eqn: a,~b,~c,~d`]는 실수)라 하면

[eqn: bar z_2 = c-di`]이고 [eqn: z_1 = bar z_2]에서 [eqn: a+bi = c-di]이므로 [eqn: a=c,~ b = -d`]

ㄱ. [eqn: z_1 + z_2 = (a+c)+(b+d`)i=2a] : 참

ㄴ. [eqn: z_1 z_2 = (a+bi`)(c+di `)=(a+bi`)(a-bi`)=a^2 + b^2 =0]이면

[eqn: a=b=0]이므로 [eqn: z_1 = 0] : 참

ㄷ. 반례) [eqn: z_1 = 1+i `,~z_2 = 1-i] : 거짓                       □ ③

9.［출제의도］다항식의 사칙연산을 이해하고 인수분해하기

［해설］직사각형 [eqn: 1]개의 넓이는 [eqn: xy`], 서로 겹친 부분의 넓이는 [eqn: y^2]

각각 [eqn: 4]개씩이므로 [eqn: 4xy - 4y^2 = 4y`(x-y)]                   □ ②

10.［출제의도］다항식의 나눗셈 성질 이해하기

［해설］[eqn: f``(x) = g``(x) Q`(x) + R`(x)]

ㄱ. [eqn: f``(x)]의 차수는 [eqn: g``(x)]의 차수와 [eqn: Q`(x)]의 차수의 합이므로 [eqn: Q`(x)]의 차수는 [eqn: m-n`] : 참

ㄴ. 반례) [eqn: f``(x) = 2x^2 +4x+3], [eqn: g``(x)=x^2 + x] 일 때, [eqn: Q`(x) =2]이고

[eqn: R`(x)= 2x+3] : 거짓

ㄷ. [eqn: R`(x)]의 차수는 [eqn: g``(x)]의 차수보다 작다. : 참             □ ③

11.［출제의도］삼각형의 무게중심 좌표 구하기

［해설］[eqn: rm△ABC`]의 무게중심과 각 변의 중점을 연결하여 만든

[eqn: rm △PQR`]의 무게중심은 같다. [eqn: rm△ABC`]의 무게중심의 좌표는

[eqn: left( {2 + (-2) + 6} over 3 ,~ {4+6+8}over 3 right) = ( 2,~6)]

따라서 [eqn: a= 2, ~ b = 6], [eqn: a+b = 8]                            □ ⑤

12.［출제의도］두 원의 위치관계를 이용하여 반지름 길이 구하기

［해설］세 원의 중심을 연결하면 한 변의 길이가 [eqn: 6]인 정삼각형이다. 세 원과 동시에 외접하는 원의 중심은 정삼각형의 무게중심이고, 반지름의 길이를 [eqn: x`]라 하면 [eqn: 3+x = 6 times root3over2 times 2over 3], [eqn: x= 2 root 3 - 3]  □ ③

13.［출제의도］평행이동의 뜻을 알고 이를 활용하기

［해설］점 [eqn: rm P( it x,~y)]를 이동시키는 경우의 평행이동 된 점의 좌표는 다음과 같다.

앞면이 나오는 경우 : [eqn: (x,~y) →(x+1, ~y-1)]

뒷면이 나오는 경우 : [eqn: (x,~y) →( x-1,~ y +2)]

앞면이 [eqn: 6]회 나오고 뒷면이 [eqn: 4]회 나오면

[eqn: (x,~y ) →(x+6-4 ,~y-6+8)=(x+2,~y+2)]

[eqn: x=1, ~y=1]을 대입하면 [eqn: rmQ`]의 좌표는 [eqn: (3,~3)]

선분 [eqn: rm PQ`]의 길이는 [eqn: root{(3-1)^2 + (3-1)^2 } = root8 =2 root2]             □ ①

14.［출제의도］무리수의 성질을 이용한 증명과정 이해하기

［해설］(나) [eqn: 0]이 아닌 수로 나눌 수 있으므로 [eqn: b-d ne 0] 즉 [eqn: b ne d]

(다) [eqn: b ne d]인 경우가 모순이므로 [eqn: b =d]

(가) [eqn: a=c`] 이고  [eqn: b =d]                                    □ ①

15.［출제의도］도형의 대칭이동을 활용하여 최소값 구하기

［해설］선분 [eqn: rm OP], [eqn: rmOQ]에 대한 점 [eqn: rm C`]의 대칭점 [eqn: rm C prime,~rm C primeprime]

[eqn: rm bar AC = bar {AC prime}], [eqn: rm bar BC = bar {BC prime prime}]이므로

[eqn: 60°]

50

[eqn: 25 root 3]

C'

C''

O

A

C

B

P

Q

[eqn: 60°]

[eqn: rm △ ABC`]에서 [eqn: rm bar AB + bar BC + bar CA = bar AB + bar {BC primeprime} + bar {AC prime}``≧``bar {C prime C prime prime}]

[eqn: rm bar AB + bar BC + bar CA]의 최소값은 [eqn: rm bar { C prime C prime prime}]이고, [eqn: rm △ OC prime C prime prime]는

[eqn: rm angle C prime O C prime prime = 120°]인 이등변삼각형이므로

[eqn: rm bar {C prime C prime prime} = 20 root 3]           □ ④

[eqn: 60°]

20

[eqn: 10root3]

16.［출제의도］도형의 넓이와 두 점 사이의 거리 구하기

［해설］직사각형[eqn: rmOABC]의 넓이는 [eqn: 12]

[그림1]에서 [eqn: 2a_1 + pi over 2 = 6]이므로 [eqn: a_1 = 3 - pi over 4]

[그림2]에서 [eqn: 2(6-a_2 ) + pi over 2 = 6]이므로 [eqn: a_2 = 3 + pi over 4]

[eqn: LEFT | a_1 - a_2 RIGHT | = LEFT | left(3- pi over 4 right) - left( 3 + pi over 4 right) RIGHT | = pi over 2]                             □ ②

17.［출제의도］정수의 성질을 이용하여 증명하기

［해설］[eqn: x = 2m]이면 [eqn: x^2 + 2ax = 4m^2 + 4am=4m(m+a)]이므로 [eqn: 2]의 배수이며 [eqn: 4]의 배수이고 [eqn: b=2n+1]이면 [eqn: 2b =4n +2]이므로 [eqn: 2]의 배수이나 [eqn: 4]의 배수가 아니다.(단, [eqn: m,~n`]은 정수) [eqn: a^2 - 2b]는 정수의 곱셈과 뺄셈이므로 정수이다.                                      □ ③

18.［출제의도］미지수가 2개인 이차방정식을 풀고 이를 활용하기

［해설］ [eqn: xy + x +y - 1 = 0]에서 [eqn: (x+1 ) ( y +1 ) = 2 cdots ㉠]이고, [eqn: x,~y`]는 정수이므로 ㉠을 만족하는 정수해를 순서쌍으로 나타내면

[eqn: (0,~1),~(1,~0), (-2,-3),~(-3,-2)]이다. 네 점을 꼭지점으로 하는 사각형은 그림과 같다.

-  -

O

A[eqn: (1,~0)]

B[eqn: (0,~1)]

[eqn: y`]

[eqn: x`]

C[eqn: (-3,-2)]

D[eqn: (-2,-3)]

사각형 [eqn: rm ABCD]은 직사각형이고 넓이는 [eqn: rm bar AB times bar BC = root2 times 3 root 2 = 6]   □ ②

19.［출제의도］평균의 성질을 이용하여 식의 값 구하기

［해설］각 ○에 들어갈 [eqn: 10]개의 수를 [eqn: a,~b,~ c, ~ 10,~ x_1 ,~ x_2 ,cdots , ~x_6]라 하면 [eqn: a+b+c + x_1 + x_2 + cdots + x_6 + 10= 1+2+ cdots + 10 = 55]

□안에 들어갈 수들의 합은

[eqn: 1 over 3 left{ a+b+c + 3 ( x_1 + x_2 + cdots + x_ 6 )+6 times 10 right }=55]이므로 정리하면

[eqn: -2(a+b+c) + 3 (a+b+c + x_1 + x_2 + cdots + x_ 6 +10)+3 times 10 =55 times 3]

[eqn: -2(a+b+c) + 3 times 55 +3 times 10 =3 times 55]

[eqn: -2(a+b+c) + 30= 0]이므로 [eqn: a + b + c = 15]                    □ ⑤

20.［출제의도］부등식의 영역을 이해하고 넓이 구하기

［해설］세 부등식을 모두 만족하는 영역은 빗금친 부분과 같고 교점을 구하면 [eqn: rm O(0,~0)],[eqn: rm A(1,~2)], [eqn: rm B(4,-4)]

O

H

[eqn: (1,~2)]

[eqn: (4,-4)]

A

B

[eqn: y`]

[eqn: x`]

[eqn: y = 2x]

[eqn: y = -2x + 4]

[eqn: y = -x]

[eqn: rm△OAB`]에서 [eqn: rm bar AB = root{(4-1)^2 +(-4-2)^2} = 3 root5]

[eqn: rm bar OH = {LEFT |- 4 RIGHT |} over root{2^2 + 1^2} = 4 over root5]

[eqn: (rm △ OAB 의 ~넓이 ) = 1 over 2 times 3 root 5 times 4 over root5 =6]                        □ ②

21.［출제의도］약수와 배수의 성질을 이용하여 추론하기

［해설］[eqn: n]번째 가로줄이 뒤집어진 횟수를 [eqn: a_n], 세로줄이 뒤집어진 횟수를 [eqn: b_n]이라 할 때, 카드의 색깔이 바뀌는 경우는 [eqn: a_n + b_n]이 홀수이고,  바뀌지 않는 경우는 [eqn: a_n + b_n]이 짝수이다.

카드 4장으로 이루어진 정사각형 모양  부분의 뒤집어진 횟수의 총합은 항상 짝수이다. 이를 만족하는 경우는 ⑤번뿐이다.

(별해) 기준판에서 [eqn: rm R1],[eqn: rmC1],[eqn: rm C3] 버튼을 순서에 관계없이 홀수 번씩 누르면 ⑤의 모양이 나온다.                                □ ⑤

22.［출제의도］이차방정식의 식의 변형 이해하기

［해설］[eqn: x^2 - 5x + 1= 0]의 양변을 [eqn: x`]로 나누면

[eqn: x - 5 + 1over x =0]이므로 [eqn: x + 1over x = 5]

(별해)[eqn: x + 1 over x = {x^2 +1 } over x = 5x over x = 5]                             □ [eqn: 5]

23.［출제의도］이차방정식의 근과 계수와의 관계 이해하기

［해설］[eqn: (x-2 ) (x-3) =3]을 전개하여 정리하면 [eqn: x^2 - 5x + 3 =0]

두 근을 [eqn: alpha,~beta`]라 할 때 [eqn: alpha + beta = 5], [eqn: alpha beta = 3]이고

[eqn: alpha ^2 + beta ^2 = (alpha + beta ) ^2 - 2 alpha beta]이므로 [eqn: alpha^2 + beta ^2 = 5^2 - 2cdot 3=19]         □[eqn: 19]

24.［출제의도］미지수가 2개인 연립이차방정식 풀기

［해설］두 정사각형의 둘레의 길이의 합은 [eqn: 4(a+b) = 160]이고,

넓이의 합은 [eqn: a^2 + b^2 = 850]이므로 연립방정식[eqn: cases {a``+``b`` ``= ` ``40#a^2 + b^2 = 850}]을 풀면

[eqn: a = 25,~b=15~(``∵``a``＞``b )]                                  □[eqn: 25]

25.［출제의도］유한집합에서 원소의 개수를 구하기

［해설］벤다이어그램에 각 과목을 선택한 학생 수를 나타내면

국어

영어

수학

6

10

7

8

[eqn: a~]

[eqn: b`]

[eqn: c`]

국어를 선택한 학생 수는 [eqn: 25 = a+6+10+7]이므로 [eqn: a=2]

영어를 선택한 학생 수는 [eqn: 28= b +6+10+8]이므로 [eqn: b=4]

수학을 선택한 학생 수는 [eqn: 30 = c + 7 + 10 + 8]이므로 [eqn: c = 5]

[eqn: a+b+c = 11]                                            □[eqn: 11]

26.［출제의도］도수분포표에서 분산 구하기

［해설］[eqn: (평균)= {0 times 3 + 1 times 5 + 2 times 5 + 3 times 4 + 4 times 2 + 5 times 1}over20 = 2]

[eqn: (분산)= {(-2)^2 times 3 + (-1)^2 times 5 + 0^2 times 5+ 1^2 times 4 + 2^2 times 2 + 3^2 times 1 } over 20 = 19 over 10]

[eqn: a= 10,~b=19]이므로 [eqn: a+b= 29]                             □ [eqn: 29]

27.［출제의도］삼차방정식의 근을 활용하여 식의 값 계산하기

［해설］[eqn: omega]는 [eqn: x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1 )=0]의 한 허근이므로

[eqn: omega^3 = 1,~ omega^2 + omega +1 = 0]을 만족한다.

[eqn: omega + 1 = omega^4 + 1 = omega^7 + 1 = cdots = omega^28 +1 = -omega^2]

[eqn: omega^2 + 1 = omega^5 +1 = omega^8 + 1 = cdots = omega^29 + 1 = - omega], [eqn: omega^2 + omega =-1]이고

[eqn: 1over{omega+1} + 1 over {omega^2 +1}+ 1 over {omega^3 +1}= & {omega^3 }over{- omega^2} + {omega^3}over{-omega}+ 1 over 1+1 #= &- omega -omega^2 + 1over2 #=& -(omega^2 +omega) + 1over 2 #=& -(-1)+ 1over 2 = 3over 2]

이므로 주어진 식의 값은 [eqn: 3 over 2 times 10 = 15]                         □[eqn: 15]

28.［출제의도］이중근호를 이해하고 이를 활용하여 최소값 구하기

［해설］ [eqn: root {a + root 24}^`=root{a+ 2root6}^`= root b + root c`]이므로 [eqn: a= b+c ,~ 6 = bc`]

[eqn: 6 = 1 times 6 = 2 times 3]이므로 [eqn: cases{b = 1 #c = 6}], [eqn: cases{b = 6 #c = 1}], [eqn: cases{b = 2 #c = 3}], [eqn: cases{b = 3 #c = 2}]

따라서 [eqn: a+b+c]의 최소값은 [eqn: 10]                              □[eqn: 10]

29.［출제의도］부등식을 활용하여 문제 해결하기

［해설］[eqn: n =2,~3,~4,~cdots , 81]을

[eqn: root {n+1 } - root n ``＜`` 1 over {2 rootn}``＜``rootn - root{n -1}]에 대입하면

[eqn: ~root 3 - root 2 ``＜`` 1 over {2root2}``＜`` root2 -root1]

[eqn: ~root 4 - root 3 ``＜`` 1 over {2root3}``＜`` root3 -root2]

[eqn: ~root 5 - root 4 ``＜`` 1 over {2root4}``＜`` root4 -root3]

[eqn: &․#&․#&․# root 82 - root 81 ``＜ &1 over {2 root81}``＜`` root81 -root80]

위의 식을 변변 더하면

[eqn: root 82 - root 2 ``＜ 1 over2 left( 1over{root2} + 1 over root3 + cdots + 1 over root81 right) ``＜`` root81 -root1]

[eqn: 7``＜``9 - root 2 ``＜`` root 82 - root 2 ``＜``1 over2 left( 1over{root2} + 1 over root3 + cdots + 1 over root81 right) ``＜`` 8]이므로

정수부분의 값은 [eqn: 7]                                            □ [eqn: 7]

30.［출제의도］직선의 방정식을 활용하여 최소값 구하기

［해설］점 [eqn: RmA]를 원점으로 하여 공장 [eqn: rm B,~C,~D`]의 위치를 좌표평면 위에 나타내면

[eqn: y`]

A

D

B

C

100

40

120

20

80

60

P

[eqn: x`]

좌표평면 위의 임의의 점 [eqn: rm P`]에 대하여

[eqn: rm bar AP + bar CP ``≧`` bar AC`]이고 [eqn: rm bar BP + bar DP ``≧`` bar BD`]이므로

[eqn: rm bar AP + bar BP +bar CP + bar DP ``≧`` bar AC + bar BD`]

점 [eqn: rm P`]가 [eqn: rm bar AC`]와 [eqn: rm bar BD`]의 교점일 때 각 공장에서 정화시설까지의 거리가 최소이다.

[eqn: rm dyad AC`]의 방정식은 [eqn: y = 1 over 2 x`], [eqn: rm dyad BD]의 방정식은 [eqn: y = -x +120]이고, 교점의 좌표는 [eqn: (80,~40)]

따라서, [eqn: a=80,~b=40]이이므로 [eqn: a+2b=160]               □[eqn: 160]