• 2교시 수학 영역 •

2017학년도 4월 고3 전국연합학력평가

정답 및 해설

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[나형]

1	②	2	③	3	③	4	④	5	⑤
6	①	7	②	8	⑤	9	①	10	④
11	③	12	⑤	13	①	14	④	15	③
16	②	17	①	18	②	19	⑤	20	④
21	②	22	7	23	12	24	9	25	92
26	3	27	120	28	5	29	19	30	760

1. [출제의도] 지수 계산하기

[eqn: 4 ^{ { 3} over {2 } } TIMES 4 ^{`-1} =4^{ { 3} over {2 }-1} = 4^ {1 over 2 } = 2]

2. [출제의도] 집합의 연산 계산하기

[eqn: A capB`= LEFT { `2,``4,``6 RIGHT }]

[eqn: THEREFORE] [eqn: n LEFT ( A capB` RIGHT ) =3]

3. [출제의도] 수열의 극한 이해하기

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{7n ^{2} +n} over {n ^{2} +5}}][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{7+ {1} over {n}} over {1+ {5} over {n ^{2}}} =7}]

4. [출제의도] 역함수 이해하기

[eqn: f LEFT ( 8 RIGHT ) =2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f` ^{-1} LEFT ( 2 RIGHT ) =8]

5. [출제의도] 등차수열의 합 이해하기

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을
[eqn: S _{n}]이라 할 때,

[eqn: S _{10} = {10 TIMES LEFT { 2 TIMES 3+ LEFT ( 10-1 RIGHT ) TIMES 2 RIGHT }} over {2} =120]

6. [출제의도] 무리함수의 그래프 이해하기

좌표평면에서 무리함수 [eqn: y = sqrt{x+4}+a]의 그래프가
점 [eqn: LEFT ( `5,``7 RIGHT )]을 지나므로 [eqn: 7= sqrt {5+4} +a]

[eqn: therefore] [eqn: a=4]

점 [eqn: LEFT ( `0,``b RIGHT )]를 지나므로 [eqn: b= sqrt {0+4} +4 =6]

따라서 [eqn: a+b=10]

7. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) + lim _{x` -> `1-} {f LEFT ( x RIGHT )} =2+0=2]

8. [출제의도] 로그의 성질 이해하기

[eqn: alpha + beta =18], [eqn: alpha beta =6]

[eqn: log _{2} LEFT ( alpha + beta RIGHT ) -2log _{2} alpha beta]

[eqn: =log _{2} 18-log _{2} 6 ^{2}][eqn: =log _{2} {18} over {36}][eqn: =log _{2} {1} over {2}][eqn: =it-1]

9. [출제의도] 이항정리 이해하기

다항식 [eqn: LEFT ( x+3 RIGHT ) ^{n}]의 전개식의 일반항은 [eqn: ` _{n} rm C it rm _{r`} x ^{r} 3 ^{n-r}]

상수항이 [eqn: 81]이므로 [eqn: r=0]일 때, [eqn: ` _{n} rm C it rm _{0`} times 3 ^{n} =81]
따라서 [eqn: n=4]

[eqn: LEFT ( x+3 RIGHT ) ^{4}]의 전개식에서 [eqn: x]항은

[eqn: `_{4} rm C it rm _{1} TIMES x times 3^3 = 4 times 27 times x=108x]

따라서 [eqn: x]의 계수는 [eqn: 108]

10. [출제의도] 수열의 합 이해하기

[eqn: sum _{n=1} ^{10} LEFT ( 3a _{n} +b _{n} -2 RIGHT )][eqn: =3 sum _{n=1} ^{10} a _{n} + sum _{n=1} ^{10} b _{n} - sum _{n=1} ^{10} 2][eqn: =3times9+7-2times10]
[eqn: =14]

11. [출제의도] 자연수의 분할 이해하기

구하는 경우의 수는 [eqn: 9]를 [eqn: 3]개의
자연수로 분할하는 경우의 수와 같다.

[eqn: 9=7+1+1]

[eqn: =6+2+1]

[eqn: =5+3+1]

[eqn: =5+2+2]

[eqn: =4+4+1]

[eqn: =4+3+2]

[eqn: =3+3+3]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 7]

12. [출제의도] 수열의 극한의 성질 이해하기

[eqn: lim _{n` -> ` INF } { { a_n} over {3n } times lim _{ n`rarrow `inf} {2n+3 } over b_n][eqn: =lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( {a _{n}} over {3n} TIMES {`2n+3} over {`b _{n}} RIGHT ) =12]

[eqn: {a _{n}} over {3n} TIMES {`2n+3} over {`b _{n}} =c _{n}]이라 하면 [eqn: lim _{n`-> ` INF } {c _{n} =12}]

[eqn: {a _{n}} over {b _{n}} =c _{n} TIMES {3n} over {2n+3}]이므로

[eqn: lim _{n `-> ` INF } {} {a _{n}} over {b _{n} }][eqn: = lim _{n `->` INF } {} LEFT ( c _{n} TIMES {3n} over {2n+3} RIGHT )]
[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} c _{n} TIMES lim _{n` ->` INF } {} {3n} over {2n+3} `]
[eqn: =12times` {3} over {2}][eqn: =18]

13. [출제의도] 로그의 정의 이해하기

[eqn: a]가 밑이므로 [eqn: a>0], [eqn: a!=1] [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

진수 [eqn: x ^{2} +2ax+5a]는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: x ^{2} +2ax+5a>0]이므로

판별식 [eqn: D=4a ^{2} -20a=4a LEFT ( a-5 RIGHT ) <0]

[eqn: 0<a<5] [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: 0<a<5], [eqn: a ne 1]

따라서 정수 [eqn: a]는 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]이고 합은 [eqn: 9]

14. [출제의도] 유리함수의 그래프 이해하기

유리함수 [eqn: y= {4x+1} over {2x+a}]은 [eqn: y = 1-2a over 2x+a +2]이므로
두 점근선의 방정식은 [eqn: x= it - a over 2], [eqn: y=2]
두 점근선의 교점은 [eqn: LEFT ( `- a over 2 ,``2 RIGHT )]

점 [eqn: LEFT ( `- a over 2 ,``2 RIGHT )]가 직선 [eqn: y=x+1] 위에 있으므로
[eqn: 2=it- {a} over {2} +1]

[eqn: therefore] [eqn: a=it-2]

15. [출제의도] 집합의 연산을 활용하여 문제해결하기

학생 [eqn: 50]명 전체집합을 [eqn: U`]라 하면 [eqn: n LEFT ( U` RIGHT ) =50]

헌혈을 희망한 학생들의 집합을 [eqn: A]라 하면 [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =28]

환경보호활동을 희망한 학생들의 집합을 [eqn: B`]라 하면

[eqn: n LEFT ( B^C` RIGHT ) =10]이므로 [eqn: n LEFT ( B` RIGHT ) =40]

[eqn: n LEFT ( A CUP B` RIGHT )][eqn: =n LEFT ( A RIGHT ) +n LEFT ( B` RIGHT ) -n LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT )]에서

[eqn: n LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT )][eqn: =n LEFT ( A RIGHT ) +n LEFT ( B` RIGHT ) -n LEFT ( A CUP B` RIGHT )]
[eqn: =28+40- n LEFT ( A cup B` RIGHT )]
[eqn: =68- n LEFT ( A cup B` RIGHT )]

[eqn: n LEFT ( A CUP B` RIGHT )]는 [eqn: A SUBSET B`]일 때, 최솟값 [eqn: 40]을 갖는다.
따라서 [eqn: n LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: 28]

[eqn: n LEFT ( A CUP B` RIGHT )]는 [eqn: A cup B`=U`]일 때, 최댓값 [eqn: 50]을 갖는다.
따라서 [eqn: n LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: 18]

[eqn: therefore] [eqn: M+m=28+18=46]

16. [출제의도] 급수와 일반항의 관계 이해하기

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {2 ^{n} a _{n} -2 ^{n+1}} over {2 ^{n} +1} =1]이므로 [eqn: lim _{ n `rarrow` inf} { {2 ^{n} a _{n} -2 ^{n+1}} over {2 ^{n} +1}} =0]

[eqn: {2 ^{n} a _{n} -2 ^{n+1}} over {2 ^{n} +1} =b _{n}]이라 하면 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {b _{n} }= 0]

[eqn: a _{n} = {LEFT ( 2 ^{n} +1 RIGHT ) b _{n} +2 ^{n+1}} over {2 ^{n}}]이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {a _{n} }][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{LEFT ( 2 ^{n} +1 RIGHT ) b _{n} +2 ^{n+1}} over {2 ^{n}}}]
[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {LEFT { LEFT ( 1+ {1} over {2 ^{n}} RIGHT ) b _{n} +2 RIGHT } =2}]

17. [출제의도] 지수법칙을 활용하여 추론하기

(ⅰ) [eqn: sqrt {{2 ^{a} TIMES 5 ^{b}} over {2}} `=2 ^{{a-1} over {2}} times 5 ^{{b} over {2}} `]이 자연수이므로
[eqn: a-1=2m], [eqn: a=2m+1]([eqn: m]은 음이 아닌 정수)
[eqn: a=1], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: cdots]
[eqn: b=2n]([eqn: n]은 자연수)
[eqn: b=2], [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: cdots]

(ⅱ) [eqn: root {3} of {{3 ^{b}} over {2 ^{a+1}}} = {3 ^{{b} over {3}}} over {2 ^{{a+1} over {3}}}]이 유리수이므로
[eqn: a+1=3k], [eqn: a=3k-1]([eqn: k]는 자연수)
[eqn: a=][eqn: 2], [eqn: 5], [eqn: 8], [eqn: cdots]
[eqn: b=3l]([eqn: l]은 자연수)
[eqn: b=][eqn: 3], [eqn: 6], [eqn: 9], [eqn: cdots]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 5], [eqn: b]의 최솟값은 [eqn: 6]

따라서 [eqn: a+b`]의 최솟값은 [eqn: 11]

18. [출제의도] 등비급수를 활용하여 문제해결하기

그림 [eqn: R _{1}]에서

[eqn: rm E]

[eqn: rm G]

[eqn: rm A]

[eqn: rm H]

[eqn: 2 sqrt {2} `]

[eqn: S _{1}]은 정삼각형 [eqn: rmEGH]의 넓이에서 삼각형 [eqn: rmEGA]의
넓이를 뺀 값의 [eqn: 2]배이므로

[eqn: S _{1} =2timesLEFT { {sqrt {3}} over {4} times LEFT ( 2 sqrt {2} RIGHT ) ^{2} - {1} over {2} TIMES 2 TIMES 2 RIGHT }]

[eqn: =2 TIMES LEFT ( 2 sqrt {3} -2 RIGHT )]

[eqn: =4 LEFT ( sqrt { 3}-1 RIGHT )]

다음은 그림 [eqn: R _{n+1}]의 일부이다.

[eqn: L _{n}]

[eqn: L _{n+1}]

[eqn: l _{n}]

[eqn: l _{n+1}]

정사각형 [eqn: L _{n}]의 한 변의 길이를 [eqn: l _{n}]이라 하면

정사각형 [eqn: L _{n+1}]의 한 변의 길이

[eqn: l _{n+1} = {l _{n}} over {2} TIMES sqrt {2} TIMES {1} over {2} = { sqrt2} over {4 } l_n]

정사각형 [eqn: L _{n}]과 정사각형 [eqn: L _{n+1}]은 서로 닮음이고

닮음비는 [eqn: l _{n} :l _{n+1} =1: {sqrt {2}} over {4}]

그러므로 그림 [eqn: R _{n}]과 [eqn: R _{n+1}]에서 새로 얻어진
모양의 도형도 서로 닮음이고
닮음비가 [eqn: 1: {root2} over {4}]이므로 넓이의 비는 [eqn: 1: {1} over {8}]이다.

또 새로 얻어지는 모양의 도형의 개수가
[eqn: 2]배씩 늘어나므로

[eqn: S _{n}]은 첫째항이 [eqn: 4LEFT ( {root3}-1 RIGHT )]이고 공비가 [eqn: 1 over 8 times 2 ={1} over {4}]인
등비수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이다.

[eqn: therefore] [eqn: lim _{n`-> INF `} {S _{n} = {4 LEFT ( sqrt3 -1 RIGHT ) } over {1- {1} over {4}}} = 16 over 3 LEFT ( sqrt3 -1 RIGHT )]

19. [출제의도] 명제를 활용하여 추론하기

두 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대한 세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 진리집합을
각각 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R]라 하면

[eqn: P`][eqn: = LEFT { LEFT ( `x,``y RIGHT ) ``□``][eqn: x ^{2} +y ^{2} LEQ 9 RIGHT }],

[eqn: Q`][eqn: = LEFT { LEFT ( `x,``y RIGHT ) ``|``][eqn: LEFT | x RIGHT | LEQ 1 RIGHT .]이고 [eqn: LEFT | y RIGHT | LEQ 1 RIGHT }],

[eqn: R`][eqn: = LEFT { LEFT ( `x,``y RIGHT ) ``□``][eqn: x>3]이고 [eqn: LEFT . y>3 RIGHT }]이므로

[eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R`]를 좌표평면에 나타내면 그림과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: 3]

[eqn: 1]

[eqn: 3]

[eqn: P`]

[eqn: R]

[eqn: -1]

[eqn: -1]

[eqn: Q]

[eqn: rmO]

ㄱ. [eqn: Q SUBSET P`]이므로 [eqn: q`` -> ``p]는 참이다.

ㄴ. [eqn: P SUBSET R ^{C}]이므로 [eqn: p`` -> ` SIM r]는 참이다.

ㄷ. [eqn: R SUBSET Q ^{C}]이므로 [eqn: r`` -> `` SIM q]는 참이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

20. [출제의도] 순열 추론하기

(ⅰ) 한 개의 주사위를 [eqn: 3]번 던져서 나오는 모든
경우의 수는 [eqn: 216]이다.

(ⅱ) 한 개의 주사위를 [eqn: 3]번 던져서 나오는
눈의 수의 곱이 홀수인 경우는 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5] 중에서
중복을 허락하여 [eqn: 3]개를 선택한 후
일렬로 배열하는 중복순열과 같으므로
이 경우의 수는 [eqn: LEFT . {} _{3} SMALLPROD _{3} =3 ^{3} = {BOX{````````27````````}} RIGHT .]이다.

(ⅲ) [eqn: 6] 이하의 짝수는 [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6]이므로
세 수의 곱이 [eqn: 2]인 경우의 수는 [eqn: 2], [eqn: 1], [eqn: 1]을
일렬로 배열하는 순열의 수와 같으므로 [eqn: {3!} over {2!} =3]
[eqn: 4]인 경우의 수는 [eqn: 4], [eqn: 1], [eqn: 1] 또는 [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 1]을
일렬로 배열하는 순열의 수와 같으므로
[eqn: {3!} over {2!} + {3!} over {2!} =3+3=6]
[eqn: 6]인 경우의 수는 [eqn: 6], [eqn: 1], [eqn: 1] 또는 [eqn: 3], [eqn: 2], [eqn: 1]을
일렬로 배열하는 순열의 수와 같으므로
[eqn: {3!} over {2!} +3!`=3+6=9]이다.

그러므로 한 개의 주사위를 [eqn: 3]번 던져서 나오는

눈의 수의 곱이 [eqn: 6] 이하의 짝수인

경우의 수는 [eqn: LEFT . 3+6+9= {BOX{````````18 ````````}} RIGHT .]이다.

따라서 한 개의 주사위를 [eqn: 3]번 던져서 나오는
눈의 수의 곱이 [eqn: 8] 이상의 짝수인 경우의 수는
[eqn: LEFT . 216-27-18= {BOX{````````171````````}} RIGHT .]이다.

[eqn: THEREFORE `] [eqn: a=27], [eqn: b=18], [eqn: c=171]

따라서 [eqn: 3a+2b+c=288]

21. [출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기

삼각형 [eqn: rm POQ]가 이등변삼각형이므로
점 [eqn: rm Q]의 좌표는 [eqn: LEFT ( ` it 2t,``0 RIGHT )]

삼각형 [eqn: rm POQ]의 넓이는
[eqn: S` LEFT ( t RIGHT ) = {1} over {2} times 2t times t^2 = t^3]

삼각형 [eqn: rm PRO]가 이등변삼각형이므로 선분 [eqn: rm OP]의
수직이등분선이 [eqn: y]축과 만나는 점이 [eqn: rm R]이다.

선분 [eqn: rm OP]의 중점을 [eqn: rm M]이라 하면 [eqn: rm M LEFT ( ` it {t} over {2} ,`` {t ^{2}} over {2} RIGHT )]이고

직선 [eqn: rm MR]의 기울기는 [eqn: - 1 overt]이므로

직선 [eqn: rm MR]의 방정식은
[eqn: y- t ^{2} over 2 =it- {1} over {t} LEFT ( x- t over 2RIGHT )]

[eqn: y=it- {1} over {t} x+ t ^{2} over 2 + {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE `] [eqn: rm R LEFT ( ` it 0,``{t ^{2}}over 2 + {1} over {2} RIGHT )]

삼각형 [eqn: rm PRO]의 넓이는

[eqn: T` LEFT ( t RIGHT ) = {1} over {2} TIMES LEFT ( t ^{2} over 2 + {1} over {2} RIGHT ) TIMES t= 1 over 4 LEFT ( t^3 +t RIGHT )]

따라서 [eqn: lim _{t `->` 0+} {} {T`(t)-S` LEFT ( t RIGHT )} over {t}][eqn: = lim _{t `->` 0+} {} {{1} over {4} LEFT ( t ^{3} +t RIGHT ) -t ^{3}} over {t}]
[eqn: = lim _{t` -> `0+} {} LEFT ( - {3} over {4} t ^{2} + {1} over {4} RIGHT )]
[eqn: = {1} over {4}]

22. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `1} {{LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+6 RIGHT )} over {x-1}}][eqn: = lim _{x`-> `1} {LEFT ( x+6 RIGHT )}][eqn: =7]

23. [출제의도] 등차중항 이해하기

[eqn: a _{4}]는 [eqn: a _{2}]와 [eqn: a _{6}]의 등차중항이므로

[eqn: 2a _{4} =a _{2} +a _{6} =8+16]

[eqn: therefore] [eqn: a_4 =12]

24. [출제의도] 절대부등식 이해하기

[eqn: a>0]이므로

[eqn: LEFT ( a+4 RIGHT ) LEFT ( {1} over {a} +1 RIGHT )][eqn: =1+a+ {4} over {a} +4]
[eqn: GEQ 5+2 sqrt {a` TIMES {4} over {a}}]
[eqn: =5+4`=9]

(단, 등호는 [eqn: a=2]일 때 성립한다.)

따라서 최솟값은 [eqn: 9]

25. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 활용하여 추론하기

[eqn: a _{n+1} =2 LEFT ( a_n +2 RIGHT )]의 [eqn: n]에 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]를
차례로 대입하면
[eqn: a _{2} = 2 LEFT ( a_1 +2 RIGHT ) = 2 TIMES LEFT ( 2+2 RIGHT ) =8]

[eqn: a_3 = 2 LEFT ( a_2 +2 RIGHT )= 2 times LEFT ( 8+2 RIGHT ) =20]

[eqn: a _{4} = 2 LEFT ( a_3 +2 RIGHT ) =2 TIMES LEFT ( 20+2 RIGHT ) =44]

[eqn: a _{5} = 2 LEFT ( a_4 +2 RIGHT ) =2 TIMES LEFT ( 44+2 RIGHT ) =92]

26. [출제의도] 일대일 대응을 활용하여 문제해결하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 일대일 대응이 되기 위해서는
곡선 [eqn: y= it - LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} +4][eqn: LEFT ( x GEQ 4 RIGHT )]가 점 [eqn: LEFT ( `4,``3 RIGHT )]을
지나야 하고, 곡선 [eqn: y= it - LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} +4]의
축이 [eqn: x=a]이므로 [eqn: a LEQ 4]이다.

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 4]

[eqn: 3]

[eqn: y= f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: x=a]

[eqn: 3= it - LEFT ( 4-a RIGHT ) ^{2} +4]

[eqn: a ^{2} -8a+15=0]

[eqn: LEFT ( a-3 RIGHT ) LEFT ( a-5 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE `] [eqn: a=3] 또는 [eqn: a=5]

[eqn: a LEQ 4]이므로 [eqn: a=3]

27. [출제의도] 수열의 합을 활용하여 문제해결하기

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 2k-1 RIGHT ) a _{k} =n(n+1)(4n-1)][eqn: =S _{n}]이라 하면

수열의 합과 일반항 사이의 관계에 의하여 [eqn: n GEQ 2]일 때

[eqn: LEFT ( 2n-1 RIGHT ) a _{n}][eqn: =S _{n} -S _{n-1}][eqn: =n(n+1)(4n-1)-(n-1)n LEFT ( 4n-5 RIGHT )][eqn: =n LEFT ( 12n-6 RIGHT )]
[eqn: =6n LEFT ( 2n-1 RIGHT )]

[eqn: a _{n} =6n][eqn: LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )], [eqn: a _{1} =S _{1} =6]

[eqn: therefore] [eqn: a _{n} =6n][eqn: LEFT ( n GEQ 1 RIGHT )]

따라서 [eqn: a _{20} =120]

28. [출제의도] 수열의 극한을 활용하여 문제해결하기

직선 [eqn: x=1]이 두 곡선 [eqn: y= {4} over {x}], [eqn: y=it- {6} over {x}]과 만나는
점 [eqn: rm A]의 좌표는 [eqn: rm LEFT ( it` 1,``4 RIGHT )], 점 [eqn: rm B]의 좌표는 [eqn: rm LEFT ( `1,`-6 RIGHT )]

직선 [eqn: x=n+1]이 곡선 [eqn: y= {4} over {x}]와 만나는
점 [eqn: rmP _{itn}]의 좌표는 [eqn: LEFT ( `n+1,`` {4} over {n+1} RIGHT )]

직선 [eqn: x=n+1]이 곡선 [eqn: y=it- {6} over {x}]과 만나는
점 [eqn: rm Q _{it n rm}]의 좌표는 [eqn: LEFT ( `n+1,`- {6} over {n+1} RIGHT )]

사다리꼴 [eqn: rm ABQ _{it n rm} P _{it n rm}]의 넓이는
[eqn: S _{n} = {1} over {2} TIMES n TIMES LEFT ( 10+ {4} over {n+1} + {6} over {n+1} RIGHT )]이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {S _{n} } over {n} = lim _{n` ->` INF } {{n} over {2n} LEFT ( 10+ {10} over {n+1} RIGHT ) =5}]

29. [출제의도] 함수의 연속을 활용하여 문제해결하기

[그림1]과 같이 [eqn: x=2]일 때,
원 [eqn: O`]가 삼각형 [eqn: rm ABC]와 만나는 서로 다른 점의
개수는 [eqn: 3]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =3]

[eqn: 0 < x<2]에서 원 [eqn: O`]가 삼각형 [eqn: rm ABC]와
만나는 서로 다른 점의 개수는 [eqn: 2]이다.
[eqn: therefore] [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2]([eqn: 0 < x<2])

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm P]

[eqn: O]

[eqn: 2]

[그림1]

[그림2]와 같이 원 [eqn: O`]가 선분 [eqn: rmAC]에 접할 때, 접하는 점을 [eqn: rm H]라 하면 삼각형 [eqn: rm AHP]와 삼각형 [eqn: rm ABC]는
닮음이므로

[eqn: {bar{rm AC it}} : {bar{rm BC it}} = {bar{rm AP it}} : {bar{rm HP it}}]

[eqn: 5:3=x:2]

[eqn: x= {10} over {3}]

[eqn: x= { 10} over { 3}]일 때, [eqn: f` LEFT ( { 10} over {3 } RIGHT ) =3]

[eqn: 2<x< {10} over {3}]에서 원 [eqn: O`]가 삼각형 [eqn: rm ABC]와
만나는 서로 다른 점의 개수는 [eqn: 4]이다.
[eqn: therefore] [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =4]([eqn: 2<x< {10} over {3}])

[eqn: {10} over {3} <x < 4]에서 원 [eqn: O`]가 삼각형 [eqn: rm ABC]와
만나는 서로 다른 점의 개수는 [eqn: 2]이다.

[eqn: therefore] [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2]([eqn: {10} over {3} <x < 4])

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm P]

[eqn: O]

[eqn: x]

[eqn: 2]

[eqn: rm H]

[그림2]

따라서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{```2 _{`}&&LEFT ( 0<x<2 RIGHT )#```3 ^{`}&&LEFT ( x=2 RIGHT )#```4&&(2<x< {10} over {3} )#```3&&(x= {10} over {3} )#```2&&( {10} over {3} <x<4)}}]

함수 [eqn: y=f(x)]를 그래프로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 4]

[eqn: {10} over {3}]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 2]

[eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]

함수 [eqn: f` LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=2], [eqn: x= {10} over {3}]에서 불연속이므로

모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 2+ {10} over {3} = {16} over {3}]이다.

[eqn: therefore] [eqn: p = 3], [eqn: q=16]

따라서 [eqn: p+q=19]

30. [출제의도] 중복조합을 활용하여 추론하기

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 0]부터 [eqn: n]까지 정수가 하나씩
적힌 [eqn: LEFT ( n+1 RIGHT )]개의 공이 들어 있는 상자에서
한 개의 공을 꺼내어 공에 적힌 수를 확인하고 다시
넣는 [eqn: 5]번의 과정 중 [eqn: m]번째 꺼낸 공에 적힌 수를
[eqn: f LEFT ( m RIGHT )]이라 할 때,

조건 (가)에 의하여

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 2 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 3 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 4 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 5 RIGHT )]

조건 (나)에 의하여 [eqn: f` LEFT ( 3 RIGHT )=f` LEFT ( 1 RIGHT ) +1]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =a]([eqn: a=0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: cdots], [eqn: n-1])이라 하면
[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =a+1]

[eqn: a LEQ f LEFT ( 2 RIGHT ) LEQ a+1 LEQ f LEFT ( 4 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 5 RIGHT )]

(ⅰ) [eqn: a=0]일 때,

[eqn: 0 LEQ f LEFT ( 2 RIGHT ) LEQ 1 LEQ f LEFT ( 4 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 5 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]를 선택하는 경우는 [eqn: 0] 또는 [eqn: 1]의 두 가지이고
[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT )]를 선택하는 경우의 수는

[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots], [eqn: n] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 2]개를
선택하는 중복조합의 수와 같으므로
[eqn: {}_{n} rm H it rm _{2} = _{n+1} rm C _{2}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 2 times _{n+1} rm C _{2}]

(ⅱ) [eqn: a=1]일 때,

[eqn: 1 LEQ f LEFT ( 2 RIGHT ) LEQ 2 LEQ f LEFT ( 4 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 5 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]를 선택하는 경우는 [eqn: 1] 또는 [eqn: 2]의 두 가지이고
[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT )]를 선택하는 경우의 수는

[eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: cdots], [eqn: n] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 2]개를
선택하는 중복조합의 수와 같으므로
[eqn: {}_{n-1} rm H it rm _{2} = _{n} rm C _{2}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 2 times _{n} rm C _{2}]

(ⅲ) [eqn: a=k]일 때,

[eqn: k LEQ f LEFT ( 2 RIGHT ) LEQ k+1 LEQ f LEFT ( 4 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 5 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]를 선택하는 경우는 [eqn: k] 또는 [eqn: k+1]의 두 가지이고
[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT )]를 선택하는 경우의 수는

[eqn: k+1], [eqn: k+2], [eqn: k+3], [eqn: cdots], [eqn: n] 중에서 중복을 허락하여
[eqn: 2]개를 선택하는 중복조합의 수와 같으므로
[eqn: {}_{n-k`} rm H it rm _{2} = _{n-k+1} rm C _{2}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 2 times _{n-k+1} rm C _{2}]

[eqn: 0 le k le n-1]이므로

[eqn: a _{n}][eqn: =2 LEFT ( {}_{n+1} rm C it rm _{2} + _{n} rm C it rm _{2} + _{n-1} rm C it rm _{2} ` rm +` CDOTS `+ _{3} rm C it rm _{2} + _{2} rm C it rm _{2} RIGHT )][eqn: =2 LEFT ( {}_{2} rm C it rm _{2} + _{3} rm C it rm _{2} ` rm + _{4} rm C it rm _{2} +` CDOTS `+ _{n} rm C it rm _{2} + _{n+1} rm C it rm _{2} RIGHT )][eqn: =2 LEFT ( {}_{3} rm C it rm _{3} + _{3} rm C it rm _{2} ` rm + _{4} rm C it rm _{2} +` CDOTS `+ _{n} rm C it rm _{2} + _{n+1} rm C it rm _{2} RIGHT )]

한편, [eqn: {}_{n} rm C it rm _{r-1} + _{itn} rm C it rm _{r} = _{itn+1} rm C it rm _{r}]([eqn: 1 le r le n])이므로

[eqn: a _{n} =2 TIMES _{n+2} rm C it rm _{3}][eqn: = {n LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+2 RIGHT ) } over {3}]

[eqn: therefore] [eqn: sum _{n=1} ^{18} {a _{n}} over {n+2}][eqn: = sum _{n=1} ^{18} {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {3}][eqn: = {1} over {3} sum _{n=1} ^{18} LEFT ( n ^{2} +n RIGHT )]
[eqn: = {1} over {3} LEFT ( {18times19times37} over {6} + {18times19} over {2} RIGHT )][eqn: =760]

[다른 풀이]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 0]부터 [eqn: n]까지 정수가 하나씩
적힌 [eqn: LEFT ( n+1 RIGHT )]개의 공이 들어 있는 상자에서
한 개의 공을 꺼내어 공에 적힌 수를 확인하고 다시
넣는 [eqn: 5]번의 과정 중 [eqn: m]번째 꺼낸 공에 적힌 수를
[eqn: f LEFT ( m RIGHT )]이라 할 때,

조건 (가)에 의하여

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 2 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 3 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 4 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 5 RIGHT )]

조건 (나)에 의하여 [eqn: f` LEFT ( 3 RIGHT )=f` LEFT ( 1 RIGHT ) +1]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =a]([eqn: a=0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: cdots], [eqn: n-1])이라 하면
[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =a+1]

[eqn: a LEQ f LEFT ( 2 RIGHT ) LEQ a+1 LEQ f LEFT ( 4 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 5 RIGHT )]

(ⅰ) [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]를 선택하는 경우는
[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =a] 또는 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )=a+1]이므로
이 경우의 수는 [eqn: 2] [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

(ⅱ) [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]이 결정되면 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]은 유일하므로
[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT )]를 선택하는 경우만 고려하면 된다.
[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =a+1 ge 1]이므로
[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT )]를 선택하는 경우는
[eqn: 1]부터 [eqn: n`]까지 수 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 3]개를
선택하는 중복조합의 수와 같다.
이 경우의 수는 [eqn: {} _{n} rm H it rm _{3}] [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡에 의하여

[eqn: a _{n}][eqn: =2 TIMES _{n} rm H _{3} =2 TIMES _{it n+2 rm} rm C it rm _{3} `=`2 TIMES {n LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+2 RIGHT )} over {6}][eqn: = {n LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+2 RIGHT )} over {3}]

[eqn: therefore] [eqn: sum _{n=1} ^{18} {a _{n}} over {n+2} = 760]