수학 영역(B형)

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수학 영역(B형)

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2014학년도 3월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(B형)

제 2 교시

5지선다형

1. [eqn: 3-i+ {2} over {1-i}]를 간단히 하면? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]) [2점]

① [eqn: 4-2i]	② [eqn: 4-i]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 4+i]	⑤ [eqn: 4+2i]

12

2. 수직선 위의 두 점 [eqn: rm A(1)], [eqn: {\B}(7)]에 대하여 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 1``:`3]으로 내분하는 점을 [eqn: {rm P}(a)]라 할 때, [eqn: a]의 값은? [2점]

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {5} over {2}]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

3. 무리함수 [eqn: f(x)= sqrt { ax+3}]에 대하여 [eqn: f(2)=5]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [2점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

4. [eqn: {} _{n} rm C it rm _{2} + _{n+1} rm C it rm _{3} =2 `· _{n} rm P it rm _{2}]를 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은?

(단, [eqn: n ge 2]) [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

5. [eqn: -2 LEQ x LEQ 2]에서 정의된 이차함수 [eqn: f(x)=x^2 -2x+a]의 최댓값과 최솟값의 합이 [eqn: 21]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

6. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: sqrt {kx ^{2} -kx+3}]의 값이 실수가 되도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수는? [3점]

① [eqn: 13]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 16`]	⑤ [eqn: 17]

7. [eqn: sin` theta `+cos` theta = {2} over {3}]일 때, [eqn: sin^3 `theta + cos ^3 `theta]의 값은? [3점]

① [eqn: {19} over {27}]	② [eqn: {20} over {27}]	③ [eqn: {7} over {9}]	④ [eqn: {22} over {27}]	⑤ [eqn: {23} over {27}]

8. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: sqrt {19}]인 정사각형 [eqn: \ABCD]의 각 변에 빗변의 길이와 넓이가 각각 [eqn: sqrt {19}], [eqn: 2 sqrt {3}]이고 서로 합동인 직각삼각형 [eqn: 4]개를 붙여 한 변의 길이가 [eqn: p+ sqrt { q}]인 정사각형을 만들었다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 자연수이다.) [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

[9 ~ 10] 그림은 원 [eqn: bold{(x+1) ^{2} +(y-3) ^{2} =4}]와 직선 [eqn: bold {y=mx+2}]를 좌표평면 위에 나타낸 것이다. 9번과 10번의 두 물음에 답하시오. (단, [eqn: bold\O]는 원점이다.)

9. 원과 직선의 두 교점을 각각 [eqn: \A], [eqn: \B]라 할 때, 선분 [eqn: \AB]의 길이가 [eqn: 2sqrt { 2}]가 되도록 하는 상수 [eqn: m]의 값은? [3점]

① [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: sqrt {2}]	⑤ [eqn: sqrt {3}]

10. 직선이 원의 중심을 지날 때, 원의 내부는 직선과 [eqn: y]축에 의하여 [eqn: 4]개의 영역으로 나누어진다. 이 [eqn: 4]개의 영역에 서로 다른 [eqn: 5]가지의 색 중 [eqn: 4]가지를 택하여 칠하려 한다. [eqn: 4]개의 영역에 각각 다른 색을 사용하여 모두 색칠한 결과로 나올 수 있는 경우의 수는? [3점]

① [eqn: 120]	② [eqn: 144]	③ [eqn: 168]	④ [eqn: 192]	⑤ [eqn: 216]

11. 세 조건 [eqn: p`], [eqn: q], [eqn: r]가

[eqn: p``:`x>`4]

[eqn: q``:`x>5-a]

[eqn: r``:`(x-a)(x+a)`>0``]

일 때, 명제 [eqn: p``→``q``]와 명제 [eqn: q``→``r``]가 모두 참이 되도록 하는 실수 [eqn: a``]의 최댓값과 최솟값의 합은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 7over2]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: {9} over {2}]	⑤ [eqn: 5]

12. 이차방정식

[eqn: (x-a)(x-b) +(x-b)(x-c) + ( x-c) ( x-a ) = 0]

의 두 근의 합과 곱이 각각 [eqn: 4], [eqn: -3]일 때, 이차방정식

[eqn: ( x-a) ^2 +( x- b ) ^2 ＋ ( x-c)^2 =0]

의 두 근의 곱은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

13. 그림과 같이 직선 [eqn: x+y=2`] 위의 점 [eqn: rm P it (a,``b)] ([eqn: ab !=0])에서 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmQ], [eqn: rmR]라 하고, 점 [eqn: rm P]를 지나고 직선 [eqn: rmQR]에 수직인 직선을 [eqn: l`]이라 하자.

다음은 직선 [eqn: l`]이 점 [eqn: rm P]의 위치에 관계없이 항상 일정한 점을 지남을 보이는 과정이다.

점 [eqn: {rm P}(a,``b)]는 직선 [eqn: x+y=2`] 위의 점이므로

[eqn: b`=`2-a]

이때 직선 [eqn: l`]의 기울기는

(가)

이므로 직선 [eqn: l`]의 방정식은

[eqn: y-(2-a)=`]

(가)

[eqn: `(x-a)`]   …… ㉠

한편, ㉠이 [eqn: a`]의 값에 관계없이 항상 성립하려면

[eqn: x=`]

(나)

, [eqn: y=`]

(다)

따라서 직선 [eqn: l`]은 점 [eqn: rm P]의 위치에 관계없이 항상 일정한 점을 지난다.

위의 과정에서 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f(a)`]라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, [eqn: f LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) + alpha + beta]의 값은?

(단, [eqn: \O]는 원점이다.) [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

14. 다항식 [eqn: x ^{3} -4x ^{2} +7x+4]를 이차항의 계수가 [eqn: 1]인 서로 다른 두 이차식 [eqn: A(x)], [eqn: B`(x)]로 나눈 나머지가 모두 [eqn: 2x+6]이다. 다항식 [eqn: A(x)+B`(x)]를 [eqn: x-4]로 나눈 나머지는? [4점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

15. 그림과 같이 곡선 [eqn: y= {4} over {x} `] 위의 점 중에서 제[eqn: 1`]사분면에 있는 점을 [eqn: rmP`], 제[eqn: 3`]사분면에 있는 점을 [eqn: rmQ`]라 하자. 점 [eqn: rmP`]에서 [eqn: x`]축, [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]라 하고, 점 [eqn: rmQ`]에서 [eqn: x`]축, [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmC`], [eqn: rmD`]라 할 때, 육각형 [eqn: rm APBCQD`]의 넓이의 최솟값은? [4점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

16. [eqn: x]에 대한 두 다항식

[eqn: x^3 +(a-1)x^2 +(a^2 -a)x -a^2]

[eqn: x ^{3} +bx ^{2} -bx+2a ^{2}]

의 최대공약수가 이차식일 때, [eqn: a^2 + b^2]의 최댓값은? (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 실수이다.) [4점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

17. 좌표평면 위의 점 [eqn: (x,``y)]를 원소로 하는 집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C], [eqn: D]가

[eqn: A= LEFT { (x,``y)`|`x ^{2} +y ^{2} =1 RIGHT }]

[eqn: B`= LEFT { (x,``y)`|`(x-3) ^{2} +y ^{2} =1 RIGHT }]

[eqn: C`= LEFT { (x,``y)`|`x ^{2} +(y-4) ^{2} =1 RIGHT }]

[eqn: D`= LEFT { (x,``y)`|`(x-a) ^{2} +(y-b) ^{2} LEQ k RIGHT }]

이다. [eqn: (A CUP B` CUP C`) SUBSET D`]를 만족시키도록 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: k]의 값을 정할 때, [eqn: k]의 최솟값은? [4점]

① [eqn: {45} over {4}]	② [eqn: {23} over {2}]	③ [eqn: {47} over {4}]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: {49} over {4}]

18. 그림과 같이 제[eqn: 1]사분면에 있는 곡선 [eqn: y= {2} over {x}] 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rm A LEFT ( ita,```` {2} over {a} RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( itb,```` {2} over {b} RIGHT )]에 대하여 직선 [eqn: \AB]가 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmC], 선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmD]라 하자.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

(단, [eqn: a<b]이고, [eqn: rmO]는 원점이다.) [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. 점 [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: a+b]이다. ㄴ. 두 직선 [eqn: rmAB]와 [eqn: rmOD]의 기울기의 합은 [eqn: 0]이다. ㄷ. [eqn: bar{\AB}=2bar{\OA}]일 때, [eqn: rm ANGLE AOC`= 3over2 ANGLE AOD]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

19. 그림과 같이 [eqn: A >90°]인 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 세 꼭짓점 [eqn: rmA`], [eqn: \B], [eqn: \C]에서 세 직선 [eqn: \BC], [eqn: \CA], [eqn: \AB]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: \D], [eqn: \E], [eqn: \F]라 하자. [eqn: rmbar{AD}`:`bar{BE}`:`bar{CF}=][eqn: 2`:`3`:`4`]일 때, 삼각형 [eqn: \ABC]에서 [eqn: cos`C]의 값은? [4점]

① [eqn: {5} over {6}]	② [eqn: {41} over {48}]	③ [eqn: {7} over {8}]	④ [eqn: {43} over {48}]	⑤ [eqn: {11} over {12}]

20. 그림은 [eqn: 0 LEQ x LEQ 3]에서 정의된 함수 [eqn: y = f ` ( x)]의 그래프를 나타낸 것이다. 방정식 [eqn: f(f`(x))=2-f(x)]의 서로 다른 실근의 개수는? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

21. 자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: f(n)]이

[eqn: f(1) = 1], [eqn: f(`n`)`=` {cases{``f` LEFT ( {n} over {2} RIGHT ) ~~~~~~~~``&(`n=2,``4,``6,`` CDOTS )#``f` LEFT ( {n-1} over {2} RIGHT ) ``+1`~~&(`n=3,``5,``7,`` CDOTS )`}}]

을 만족시킨다. [eqn: f(n)=2]인 [eqn: 100] 이하의 자연수 [eqn: n]의 개수는? [4점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 19]	④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 23]

12

단답형

22. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f`(x)]가 [eqn: f` LEFT ( x-3 RIGHT ) `=x ^{2} -5`]를 만족시킬 때 [eqn: f(2)`]의 값을 구하시오. [3점]

23. 이차부등식 [eqn: 2x ^{2} -33x-17 LEQ 0]을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수를 구하시오. [3점]

24. 그림과 같이 어떤 용수철에 질량이 [eqn: m`][eqn: \g]인 추를 매달아 아래쪽으로 [eqn: L`][eqn: \cm]만큼 잡아당겼다가 놓으면 추는 지면과 수직인 방향으로 진동한다. 추를 놓은 지 [eqn: t`]초가 지난 후의 추의 높이를 [eqn: h`{\cm}]라 하면 다음 관계식이 성립한다.

[eqn: h=20-L``cos {2 pi `t} over {sqrt {m}}]

이 용수철에 질량이 [eqn: 144`][eqn: \g]인 추를 매달아 아래쪽으로 [eqn: 10`][eqn: \cm]만큼 잡아당겼다가 놓은 지 [eqn: 2`]초가 지난 후의 추의 높이와, 질량이 [eqn: a` rm `g it]인 추를 매달아 아래쪽으로 [eqn: 5sqrt { 2}`][eqn: \cm]만큼 잡아당겼다가 놓은 지 [eqn: 2`]초가 지난 후의 추의 높이가 같을 때, [eqn: a`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: L<20]이고 [eqn: a GEQ 100]이다.) [3점]

25. [eqn: n] 이하의 자연수 중에서 양의 약수의 개수가 홀수인 자연수의 개수를 [eqn: <n>]이라 하자. 예를 들어 [eqn: 5] 이하의 자연수 중에서 양의 약수의 개수가 홀수인 자연수는 [eqn: 1], [eqn: 4]의 [eqn: 2]개이므로 [eqn: <5 > = 2]이다. [eqn: <n> =16]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최댓값을 구하시오. [3점]

26. 좌표평면 위의 점 [eqn: {\P}(x,``y)]에 대하여 복소수 [eqn: z]를

[eqn: z=(x+y-2)+(4x+y-8)i]

라 하자. [eqn: z ^{2}]이 실수가 되도록 하는 점 [eqn: \P]가 나타내는 도형과 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. (단, [eqn: i= sqrt { -1}]) [4점]

27. 집합 [eqn: A _{n}]을

[eqn: A _{n}][eqn: =][eqn: left{ x ``|``x]는 [eqn: n]의 배수[eqn: `right}] ([eqn: n=1,``2,``3,` CDOTS])

이라 하자. [eqn: A _{n} SMALLINTER A _{2} =A _{2n}]이고 [eqn: 90]이 집합 [eqn: A _{2} -A _{n}]의 원소가 되도록 하는 [eqn: 90] 이하의 자연수 [eqn: n]의 개수를 구하시오. [4점]

28. [eqn: 1<x<3]이고 [eqn: 3<y<5]인 두 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 집합 [eqn: A= LEFT { 1,``x,``3,``y,``5 RIGHT }]의 부분집합 중 원소의 개수가 [eqn: 2]인 부분집합을 각각 [eqn: A_1], [eqn: A_2], [eqn: A_3], ⋯, [eqn: A_10]이라 하고, 집합 [eqn: A_k] ([eqn: k=1,``2,``3,``cdots,``10])의 두 원소 중 작은 수를 [eqn: m_k], 큰 수를 [eqn: M_k]라 하자. [eqn: m_k]와 [eqn: M_k]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: 12x+6y]의 최댓값을 구하시오. [4점]

(가) [eqn: m _{1} +m _{2} +m _{3} +` CDOTS `+m _{10} LEQ 19]

(나) [eqn: M _{1} +M _{2} +M _{3} +` CDOTS `+M _{10} LEQ 41]

29. [eqn: 9]개의 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 9] 중에서 서로 다른 [eqn: 3]개의 숫자를 택하여 다음 조건을 만족시키도록 세 자리 자연수를 만들려고 한다.

각 자리의 수 중 어떤 두 수의 합도 [eqn: 9]가 아니다.

예를 들어 [eqn: 217`]은 조건을 만족시키지 않는다. 조건을 만족시키는 세 자리 자연수의 개수를 구하시오. [4점]

30. 그림과 같이 [eqn: rmbar{AB}=2`], [eqn: rmbar{AC}=3], [eqn: A=30°]인 삼각형 [eqn: rmABC`]의 변 [eqn: rmBC`] 위의 점 [eqn: rmP`]에서 두 직선 [eqn: rmAB`], [eqn: rm AC`] 위에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmM`], [eqn: rmN`]이라 하자. [eqn: {rm {bar{AB}} it} over {rm {bar{PM}} it} + { {bar{\AC}} it} over {rm {bar{PN}} it} `]의 최솟값이 [eqn: {q} over {p} `]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.