2016학년도 9월 고2 전국연합학력평가

정답 및 해설

고 2	정답 및 해설	2016학년도 9월 전국연합학력평가

2016학년도 9월 전국연합학력평가	정답 및 해설	고 2

24

로그인/회원가입이 필요 없는 학습자료 사이트

레전드스터디 닷컴!

http://www.LegendStudy.com

수학 영역

가형 정답

1	③	2	①	3	①	4	⑤	5	③
6	③	7	①	8	④	9	⑤	10	④
11	②	12	⑤	13	②	14	④	15	③
16	②	17	③	18	①	19	⑤	20	②
21	④	22	5	23	10	24	6	25	11
26	15	27	36	28	4	29	140	30	20

수학 영역

가형 해설

1. [출제의도] 지수 계산하기

[eqn: 2 TIMES 16 ^{{1} over {2}} =2 TIMES 4=8]

2. [출제의도] 집합의 포함관계 이해하기

[eqn: A SUBSET B`]이므로 [eqn: A SMALLINTER B`=A]

3. [출제의도] 등차수열 계산하기

첫째항이 [eqn: 3], 공차가 [eqn: 2]이므로 [eqn: a _{4} =3+3 TIMES 2=9]

4. [출제의도] 합성함수 이해하기

[eqn: LEFT . g`left(f`(`1)right)=g LEFT ( `3` RIGHT ) =17 RIGHT .]

5. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x` -> 1-} {`f LEFT ( x RIGHT )} + lim _{x` -> 4+} {`f LEFT ( x RIGHT )} =2+3=5]

6. [출제의도] 수열의 극한값 계산하기

[eqn: lim _{n -> INF }{left( {sqrt{n^2 + 2n}-n right)} `=`lim_n->inf {{2n}over{sqrt{n^2`+`2n }`+`n}}`=`1`]

7. [출제의도] 접선의 방정식 이해하기

[eqn: y`'`=`3x^2 +2x `-`2`]이고,
점 [eqn: left(1,~4 right)`]에서의 접선의 기울기 [eqn: m=3`]이므로
접선의 방정식은 [eqn: y=3x+1]

[eqn: m`-` n`=`2]

8. [출제의도] 지수와 로그 계산하기

[eqn: ab`=`2^8 ,] [eqn: a overb `=`2^2]

[eqn: a=`2^2` b`]이므로 [eqn: 2^2 `b^2 `=` 2^8`]

따라서 [eqn: b=2^3]이고 [eqn: a=2^5]이다.

[eqn: log_2 `left(a+4b right)`=`6]

9. [출제의도] 미분과 적분의 관계를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

주어진 식의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x)= 3 x ^2 +6x - 2]

[eqn: f(2)=22]

10. [출제의도] 진리집합의 포함관계 추론하기

조건 [eqn: p]의 진리집합 [eqn: P= LEFT { x`|`a-3 LEQ x LEQ a+3 RIGHT }]

조건 [eqn: q`]의 진리집합 [eqn: Q= LEFT { x`|`-6 LEQ x LEQ 4 RIGHT }],

명제 [eqn: p`` -> `q`]가 참이 되려면 [eqn: P` SUBSET `Q]

[eqn: -6 LEQ a-3] 이고 [eqn: a+3 LEQ 4]

[eqn: -3 LEQ a LEQ 1`]

따라서 실수 [eqn: a`]의 최댓값은 [eqn: 1]

11. [출제의도] 급수의 성질 이해하기

[eqn: a _{n} =5 +2(n-1) = 2n+3]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` {2} over {(2n+3)(2n+5)]

[eqn: =` lim _{n -> INF } {} ` sum _{k=1} ^{n} {2} over {(2k+5)-(2k+3)} LEFT ( {1} over {2k+3} - {1} over {2k+5} RIGHT )]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} ` sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {1} over {2k+3} - {1} over {2k+5} RIGHT )]

[eqn: = lim _{n -> INF } {LEFT { LEFT ( {1} over {5} - {1} over {7} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {7} - {1} over {9} RIGHT ) +` CDOTS ` RIGHT .} LEFT . + LEFT ( {1} over {2n+3} - {1} over {2n+5} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} LEFT ( {1} over {5} - {1} over {2n+5} RIGHT )][eqn: =` {1} over {5}]

12. [출제의도] 함수의 최대와 최소 이해하기

[eqn: f` '(x)`=`3x^2 `-`12x `+`9 `=`3(x-1)(x-3)]이므로 닫힌 구간 [eqn: [-1,~3]]에서 함수 [eqn: f(x)`]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: -1]	…	[eqn: 1]	…	[eqn: 3]
[eqn: f`'(x)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]
[eqn: f(x)]	[eqn: -10]	↗	[eqn: 10]	↘	[eqn: 6]

따라서 닫힌 구간 [eqn: [-1,~3]]에서 함수 [eqn: f(x)]의
최댓값은 [eqn: 10`]

13. [출제의도] 부분집합의 개수 추론하기

(i) [eqn: 6 in X`]인 경우

집합 [eqn: X]의 개수는 [eqn: 2 ^{4} -1=15]

(ii) [eqn: 6 notin X`]인 경우

집합 [eqn: X]는 [eqn: 3,~4`]를 반드시 포함해야 하므로

[eqn: 2 ^{4-2} =4]

(i), (ii)에 의하여 주어진 조건을 만족시키는
집합 [eqn: X]의 개수는 [eqn: 19]

14. [출제의도] 무리함수의 그래프를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프를 평행이동하면

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = sqrt {4(x-1+k)} +k]의 그래프이다.

함수 [eqn: h(x)]의

정의역은 [eqn: LEFT { x`|`x RIGHT .]는 [eqn: x GEQ 1-k`]인 모든 실수[eqn: `RIGHT }]이고
치역은 [eqn: LEFT { y`|`y` RIGHT .]는 [eqn: y GEQ k`]인 모든 실수[eqn: ` right}]이다.

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 함수 [eqn: y=h(x)]의 그래프가 오직 한 점에서 만나려면 함수 [eqn: y=h(x)]
그래프 위의 점 [eqn: LEFT ( 1-k,~k RIGHT )]는

부등식 [eqn: y > 1 over4 x^2 +1]의 영역에 있어야한다.

[eqn: k > 1 over4 left(1-k right)^2 +1]

[eqn: k^2 - 6k+5<0]

[eqn: 1<k<5]인 자연수 [eqn: k]는 [eqn: 2,~3,~4]이므로

[eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 9]

[eqn: left(1-k,~k)]

[eqn: y = 1 over4 x^2 +1]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

(단, 경계선 제외)

(별해)

함수 [eqn: y=h(x)]의 그래프 위의 점 [eqn: LEFT (1-k,~k RIGHT )]는 직선 [eqn: y = `-x+1] 위에 있다.

[eqn: y= 1 over4 x^2 +1]의 그래프와 직선 [eqn: y =` -x+1]의 교점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: -4,~0]이므로 [eqn: -4<1-k<0]
[eqn: 1<k<5]이므로 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 9]

15. [출제의도] 정적분을 활용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: - {1} over {2} k ^{2}]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y= {1} over {2} k ^{2}]

[eqn: A]

[eqn: B]

(i) [eqn: x<0`]일 때, [eqn: y= x^2 - 1 over2 k^2`]의 그래프와
직선 [eqn: y= {1} over {2} k ^{2}]의 교점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: -k]

([eqn: A]의 넓이)[eqn: = int _{-k} ^{0} {LEFT { {1} over {2} k ^{2} - LEFT ( x ^{2} - {1} over {2} k ^{2} RIGHT ) RIGHT } dx]

[eqn: =LEFT [ - {1} over {3} x ^{3} +k ^{2} x RIGHT ] _{-k} ^{0} `=` 2 over3 k^3]

(ii) [eqn: x geq0`]일 때, 직선 [eqn: y=x- {1} over {2} k ^{2} `]과

직선 [eqn: y= {1} over {2} k ^{2}]의 교점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: k^2]

([eqn: B]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} TIMES k ^{2} TIMES k ^{2}} = 1 over2 k^4]

[eqn: A]와 [eqn: B]의 넓이가 같으므로 [eqn: {2} over {3} k ^{3} = {1} over {2} k ^{4}]

따라서 [eqn: k= {4} over {3}]

16. [출제의도] 도함수를 활용하여 수학 내적 문제 해결하기

함수 [eqn: g(x)]가 함수 [eqn: f(x)]의 역함수이고,

함수 [eqn: y= f(x)`]의 그래프와 함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나므로
함수 [eqn: y= f(x)`]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]가 서로
다른 두 점에서 만난다.

함수 [eqn: y= f(x)`]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]의 접점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: k`]라 하면

[eqn: f(k)=k`]이므로 [eqn: 1 over3 k^3 +a = k `]
[eqn: f` prime (k)=1`]이므로 [eqn: k^2 = 1`]이다.

[eqn: k=1`]일 때 [eqn: a = 2 over3], [eqn: k=`-1]일 때 [eqn: a = `- 2 over3]

따라서 모든 상수 [eqn: a`]의 값의 곱은 [eqn: - 4 over9 `]

17. [출제의도] 연속함수의 성질 이해하기

(i) [eqn: k=1`]인 경우

[eqn: lim _{x -> 2-} {f(x)f(x)=(-2) TIMES (-2)=4}]

[eqn: lim_x->2+ {f(x)f(x)=(-6) times(-6) = 36]

[eqn: lim_x->2{f(x)f(x)]가 존재하지 않으므로
함수 [eqn: f(x)f(x)]는 [eqn: x=2]에서 불연속이다.

(ii) [eqn: k=`-1`]인 경우

위의 (i)과 같은 방법에 의하여
함수 [eqn: f(x)f(-x)]는 [eqn: x=2]에서 불연속이다.

(iii) [eqn: k != `-1`,```k != 1`]인 경우

함수 [eqn: f(kx)]는 [eqn: x=2]에서 연속이다.

함수 [eqn: f(x)f(kx)]가 [eqn: x=2]에서 연속이 되려면

[eqn: lim_x->2- {f(x)f(kx) = lim_x->2+{f(x)f(kx) = f(2)f(2k)]

[eqn: -2 f(2k) =` -6 f(2k) = `-2f(2k)]

따라서 [eqn: f(2k)`=`0]

[eqn: x = `-4,``-sqrt2 , ``sqrt2 ,``4`]에서 [eqn: f(x)=0]이므로

[eqn: 2k]는 [eqn: -4,``-sqrt2 , ``sqrt2 ,``4`]이다.

그러므로 [eqn: k = `-2,``- sqrt2 over2 ,`` sqrt2 over2 ,``2]

(i), (ii), (iii)에 의하여 모든 상수 [eqn: k]의 값의 곱은 [eqn: 2`]

18. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 증명과정 추론하기

(i) [eqn: n=1]일 때

(좌변)[eqn: = LEFT ( sum _{k=1} ^{1} a _{k} RIGHT ) ^{2} =box{````4````}],

(우변)[eqn: =sum _{k=1} ^{1} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{3} -2 sum _{k=1} ^{1} a _{k} =box{````4````}]이므로

([eqn: AST])이 성립한다.

(ii) [eqn: n=m`(m GEQ 1)]일 때, ([eqn: AST])이 성립한다고 가정하면

[eqn: LEFT ( sum _{k=1} ^{m} a _{k} RIGHT ) ^{2} = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{3} -2 sum _{k=1} ^{m} a _{k}]이므로

[eqn: LEFT ( sum _{k=1} ^{m+1} a _{k} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( sum _{k=1} ^{m} a _{k} +a _{m+1} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = LEFT ( sum _{k=1} ^{m} a _{k} RIGHT ) ^{2} +2 LEFT ( sum _{k=1} ^{m} a _{k} RIGHT )a _{m+1} + LEFT ( a _{m+1} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{3} -2 sum _{k=1} ^{m} a _{k} +2 LEFT ( sum _{k=1} ^{m} a _{k} RIGHT ) a _{m+1} + LEFT ( a _{m+1} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{3} + LEFT ( {BOX{````2m+2````}} RIGHT ) `` sum _{k=1} ^{m} a _{k} + LEFT ( a _{m+1} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{3} + {m ^{3} +5m ^{2} +7m+4`}}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{3} +(a _{m+1} ) ^{3} - LEFT ( {m ^{2} +5m+4}} RIGHT ) ``````]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m+1} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{3} -2 sum _{k=1} ^{m+1} a _{k}]

이다. 따라서  [eqn: n=m+1]일 때에도 ([eqn: AST])이 성립한다.

(i), (ii)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ([eqn: AST])이 성립한다.

[eqn: p=4,] [eqn: f LEFT ( m RIGHT ) `=`2m+2`]이므로

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) `=`10]

19. [출제의도] 정적분을 활용하여 추론하기

[eqn: f LEFT ( -x RIGHT ) `=`-f LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: g(x)=`-f(x)]이므로

ㄱ. [eqn: int _{-1} ^{1} {f(x)dx} `=`0] (참)

ㄴ. [eqn: int _{-1} ^{0} {f(x)dx`} + int _{0} ^{1} {g(x)dx}]

[eqn: =`- int _{0} ^{1} {f(x)dx`} - int _{0} ^{1} {f(x)dx}]

[eqn: =`-2 int _{0} ^{1} {f(x)dx`}]

[eqn: =`-2`left[1 over4 `x^4 `-`2x^2 right]_0 ^1 `=` 7 over2] (참)

ㄷ. [eqn: h(x)= int _{0} ^{x} {g(t)dt- int _{0} ^{x} {f(t)dt} `-3}]이라 하자.

[eqn: h(x)=`-2 int _{0} ^{x} {f(t)dt} `-`3]은 연속함수이다.

[eqn: h(0)=`-3<0]

[eqn: h(1)=-2 int _{0} ^{1} {f(t)dt} `-3= {1} over {2} >0]
사이값 정리에 의하여 [eqn: h(c)=0]인 실수 [eqn: c]가
[eqn: 0]과 [eqn: 1] 사이에 적어도 하나 존재한다. (참)

따라서 <보기>에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

20. [출제의도] 등비급수를 활용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: rmA_1]

[eqn: rmB_1]

[eqn: rmC_1]

[eqn: rmD_1]

[eqn: rmF_1]

[eqn: rmS]

[eqn: rmT]

[eqn: rmP]

[eqn: rmQ]

[eqn: rmE_1]

부채꼴 [eqn: rm B _{1} E _{1} A _{1} `]에 내접하는 정삼각형의 꼭짓점 중
[eqn: rmF_1]이 아닌 나머지 두 점을 각각 [eqn: rmP, ~Q]라 하자.

점 [eqn: rmF_1]에서 선분 [eqn: rmA_1 B_1], 선분 [eqn: rm B _{1} E _{1}]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmS,~T]라 하자.

삼각형 [eqn: rmB_1 F_1 S]와 삼각형 [eqn: rmB_1 F_1 T]는 합동이므로
삼각형 [eqn: rmF_1 SP]와 삼각형 [eqn: rmF_1 TQ]는 합동이다.

[eqn: rmbar{B_1 P} = bar{B_1 Q]이고 삼각형 [eqn: rm B _{1} QP]는 정삼각형이다.

[eqn: rm bar{F_1 P} times sqrt3 over2 = 1 over2 bar{B_1 F_1} = 1]

[eqn: rm bar{F_1 P} = 2 over sqrt3]이므로 [eqn: S _{1} = {sqrt {3}} over {3}]

[eqn: rmA_{itn}]

[eqn: rmB_{itn}]

[eqn: rmC_{itn}]

[eqn: rmD_1]

[eqn: rmA_{itn+1}]

[eqn: rmB_{itn+1}]

[eqn: rmC_{itn+1}]

그림 [eqn: R _{n} LEFT ( n GEQ 1 RIGHT )]을 얻을 때, 정사각형 [eqn: rmA _{itn} B _{itn} C _{itn} D _1 `]의 한 변의 길이를 [eqn: a _{n} `]이라 하고
새로 그려진 정삼각형의 넓이를 [eqn: T _{n} `]이라 하자.

[eqn: {bar{rm B _{it n rm} D _{1 rm} it}} = sqrt2 a _{n}], [eqn: {bar{rm B _{it n+1 rm} D _{1} it}} = sqrt {2}a_n - a_n = left(sqrt2 - 1 right) a_n]

정사각형 [eqn: rmA _{itn} B _{itn} C _{itn} D _1 `]과

정사각형 [eqn: rm A _{it n+1 rm} B _{it n+1 rm} C _{it n+1 rm} D _{1} `]이 닮음이므로

[eqn: a _{n`}:`a_n+1 `=` bar{rmB_{itn }D_1} ``:bar{rmB_{itn+1} D_1][eqn: = sqrt2 ``: ``sqrt2 - 1]

[eqn: T _{n} ``:``T _{n+1} =2: LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: T _{n+1} = {3-2 sqrt {2}} over {2} T _{n} `]이고

[eqn: lim _{n`` -> `` INF } {S _{n}} `=`lim_n->inf {sum_k=1^n T_k }]

[eqn: = {{sqrt {3}} over {3}} over {1- LEFT ( {3-2 sqrt {2}} over {2} RIGHT )} `=` {4 sqrt {6} +2 sqrt {3}} over {21}]

21. [출제의도] 수열의 극한을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: rmA_{itn}]

[eqn: rmB_{itn}]

[eqn: rmQ_{itn}]

[eqn: rmP_{itn}]

[eqn: rmO]

[eqn: rmH_{itn}]

[eqn: y]

[eqn: x]

원주각과 중심각의 관계에 의하여
[eqn: rm ANGLE A _{it n rm} P_{itn}B _{it n rm} =60 DEG]이므로 [eqn: rm ANGLE A _{it n rm} OB _{it n rm} =120 DEG]

원점 [eqn: rmO]에서 직선 [eqn: rm A _{it n rm} B _{it n rm}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH_{itn]이라 하자.

삼각형 [eqn: rmA _{itn} OB _{itn}]이 이등변 삼각형이고

[eqn: rm {bar{OA _{it n rm}}} = itn, `rm ANGLE A _{it n rm} OH _{it n rm} =60 DEG]이므로 [eqn: rm bar{OH _{itn}} = itn over2]

원점 [eqn: RMO]와 직선 [eqn: a _{n} x-y- left(n+1 right) a _{n} =0] 사이의 거리는 [eqn: it {n} over {2}]이므로 [eqn: {LEFT | - LEFT ( n+1 RIGHT ) `a _{n} RIGHT |} over {sqrt {a _{n} ^{```2} +1}} = {n} over {2}]

[eqn: {(n+1) ^{2} `a _{n} ^{````2}} over{a _{n} ^{````2}+1 } `=` n^2 over4]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n} ` ^{2}} over {`a _{n} ` ^{2} +1} `= lim _{n -> INF } {` {n ^{2}} over {4(n+1) ^{2}} `=`1over4}]

22. [출제의도] 함수의 극한값 계산하기

[eqn: lim _{x`` -> `1} {{x ^{2} +3x-4} over {x-1} = lim _{x`` -> `1} {{LEFT ( x+4 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )} over {x-1}}} =5]

23. [출제의도] 등비수열 이해하기

세 수 [eqn: a+10`], [eqn: a`], [eqn: 5`]가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 등비중항의 성질에 의하여

[eqn: a ^{2} =5 LEFT ( a+10 RIGHT )], [eqn: a ^{2} -5a-50= LEFT ( a-10 RIGHT ) LEFT ( a+5 RIGHT ) =0`]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: a=10]

24. [출제의도] 속도와 거리의 관계 이해하기

[eqn: int_1 ^3{ left|`3t^2 -6t` right| `}dt `]

[eqn: =`int_1^2 {left(-3t^2 +6t right)dt + int_2^3 {left(3t^2 -6t right)dt]

[eqn: =`6]

25. [출제의도] 로그의 정의 이해하기

[eqn: 49-x ^{2} >0], [eqn: x+6>0], [eqn: x+6 != 1]을 모두 만족시키는 [eqn: x]의 범위를 구하면

[eqn: -7<`x`<7], [eqn: x>-6], [eqn: x != -5]이므로

조건을 모두 만족시키는 정수 [eqn: x]는

[eqn: -4,~-3,~-2,~-1,~0,~1,~2,~3,~4,~5,~6]이다.

따라서 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합은 [eqn: 11]

26. [출제의도] 미분계수의 정의 이해하기

[eqn: lim _{ x->0} { } { f(x)-2} over {x }=3] 이므로

[eqn: f(0)=2] 이고 [eqn: f prime (0)=3]

[eqn: lim _{x -> 3} { {g(x-3)-1} over {x-3} }=6] 이므로

[eqn: x-3`=`t]라 두면 [eqn: x` -> `3]일 때 [eqn: t` -> `0]

[eqn: lim _{t -> 0} {{g(t)-1} over {t}} =6]

[eqn: g(0)=1] 이고 [eqn: g prime (0)=6]

[eqn: h(x)=f(x)` g(x)] 이므로

[eqn: h prime (x)=f prime (x)g (x) +f(x)g`' (x)]

[eqn: h `'(0)=f`'(0)g(0)+f(0)g`'(0)=15]

27. [출제의도] 정적분을 활용하여 수학 내적 문제 해결하기

최고차항의 계수가 1인 두 사차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `],
[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 만나는
세 점의 [eqn: x] 좌표가 [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 2]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( x+1 RIGHT ) x LEFT ( x-2 RIGHT )``(a!=0)]

조건 (나)에 의하여

[eqn: int _{0} ^{2} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } dx=4-12=-8}]이므로

[eqn: int _{0} ^{2} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } dx= int _{0} ^{2}{ left{a LEFT ( x+1 RIGHT ) x LEFT ( x-2 RIGHT ) right}dx}}]

[eqn: =a int _{0} ^{2} {LEFT ( x ^{3} -x ^{2} -2x RIGHT ) dx}][eqn: =a` LEFT [ {1} over {4} x ^{4} - {1} over {3} x ^{3} -x ^{2} ` RIGHT ] _{0} ^{2}]

[eqn: =a LEFT ( 4- {8} over {3} -4 RIGHT ) `=`- {8} over {3} a`=`-8]

[eqn: a=3]이므로 [eqn: f(x)-g(x)= 3 (x+1)x(x-2)]

[eqn: f(3)-g(3)=36]

28. [출제의도] 함수의 극한을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: rm A LEFT ( 1,`1 RIGHT )]를 지나고 직선 [eqn: y=x`]와 수직인 직선은 [eqn: y= `- x+2`]이므로 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 2]이다.

[eqn: rmP (itt,~t )`]이므로 [eqn: rm Q LEFT ( it t,` sqrt {t} RIGHT )]이고, [eqn: rmR`]는 직선

[eqn: y= `- x+2`] 위의 점이므로 [eqn: rmR(it-t+2 , ~t)]

[eqn: rm {bar{QP}} `=` it sqrt {t} -t,`` {bar{rm PR it}} `=`-2t+2]이므로

[eqn: it S(t)= {1} over {2} TIMESleft{t+(1-t)right} TIMES LEFT ( sqrt {t} -t RIGHT ) = {1} over {2} LEFT ( sqrt {t} -t RIGHT )]

[eqn: it T(t)= {1} over {2} TIMES t TIMES LEFT ( -2t+2 RIGHT ) =`t-t ^{2}]

[eqn: lim _{t -> 1-} {{t-t ^{2}} over {{1} over {2} LEFT ( sqrt {t} -t RIGHT )}} = lim _{t -> 1-} {{2 LEFT ( t-t ^{2} RIGHT ) LEFT ( sqrt {t} +t RIGHT )} over {LEFT ( t-t ^{2} RIGHT )}} =4]

29. [출제의도] 정적분의 성질을 활용하여 수학 내적 문제 해결하기

두 곡선의 교점의 좌표를 각각
[eqn: rmP left(alpha, ` 1 over2 alpha ^2 right),`` rmQ left(-alpha,` 1 over2 alpha ^2 right)]이라 하자. [eqn: (alpha >0)]

[eqn: rmP]

[eqn: rmQ]

[eqn: rmA]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: y= {1} over {2} x ^{2}]

[eqn: y=-x+ {3} over {2}]

함수 [eqn: y= {1} over {2} x ^{2}] 의 그래프의 접점 [eqn: rm P]에서 접선의 기울기는 [eqn: alpha`]이고 이 접선은 직선 [eqn: rmAP]와 수직이다.

즉, [eqn: {{1} over {2} alpha ^{2} `-` {3} over {2}} over {alpha `-`0} `=`- {1} over {alpha } `]

[eqn: alpha ^2 `=`1`]이므로 [eqn: rm P LEFT ( 1`,`` {1} over {2} RIGHT ) `,``Q LEFT ( -1`,`` {1} over {2} RIGHT )`]

직선 [eqn: rmAP]는 [eqn: y=-x+ {3} over {2}]

[eqn: ANGLE rm PAQ=90DEG], 원의 반지름은 [eqn: sqrt {2}]

구하는 넓이를 [eqn: S] 라 하면

[eqn: S=2 LEFT { int _{0} ^{1} {LEFT ( -x+ {3} over {2} - {1} over {2} x ^{2} RIGHT )} dx- {pi } over {4} RIGHT }# ``````=2 LEFT { LEFT [ - {1} over {6} x ^{3} - {1} over {2} x ^{2} + {3} over {2} x RIGHT ] _{0} ^{1} - {pi } over {4} RIGHT }# ```````= {5} over {3} - {pi } over {2}]

[eqn: a`=` 5 over3 ,~ b`=` - 1 over2 `]이므로

[eqn: 120` (a`+`b) `=`140]

30. [출제의도] 함수의 극대와 극소를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: 1<x<2]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: f``'(x)<0]이고 [eqn: f` prime ` LEFT ( x-1 RIGHT ) f` prime ` LEFT ( x+1 RIGHT ) <0]이므로

두 함수 [eqn: y=f` prime ` LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: y=f`` LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음의 두 가지 경우이다.

(i) [eqn: f` prime (1)=0]	(ii) [eqn: f` prime (2)=0]
[eqn: 1] [eqn: a] [eqn: x] [eqn: y=f prime (x)]	[eqn: a] [eqn: 2] [eqn: x] [eqn: y=f prime (x)]
[eqn: 1] [eqn: a] [eqn: a geq3] [eqn: y=f(x)]	[eqn: a] [eqn: 2] [eqn: a leq0] [eqn: y=f(x)]

함수 [eqn: g(x)`= {cases{``f LEFT ( -x RIGHT ) ``````(x<0)#``f(x)~````````(x GEQ 0)}}]라 하자.

함수 [eqn: g(x)`]는 모든 실수 [eqn: x]에서 미분가능하므로

[eqn: g` prime (0)]가 존재해야 한다.

[eqn: lim _{h -> 0-} {{g(0+h)-g(0)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0-} {{f(-h)-f(0)} over {h}}][eqn: =`-f` prime (0)]

[eqn: lim _{h -> 0+} {{g(0+h)-g(0)} over {h}}]

[eqn: = lim_h->0+ {{f(h) - f(0)} overh][eqn: = f` '(0)]

[eqn: -f` prime (0)=f` prime (0)]이므로 [eqn: f`'(0) = 0]

위의 그래프의 개형 중 (ii)에 해당되므로

[eqn: f `'(x) = 3 `x(x-2)]

[eqn: f(x) = x^3 - 3 x^2 +C `] (단, [eqn: C`]는 적분상수이다.)

[eqn: f(0) - f(-2) = `20]