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2006학년도 9월 고2 전국연합학력평가 정답 및 해설

수리“가”형 정답

1	⑤	2	④	3	⑤	4	③	5	①	6	④
7	②	8	①	9	②	10	①	11	③	12	①
13	③	14	④	15	③	16	②	17	④	18	⑤
19	②	20	②	21	⑤	22	81	23	11	24	216
25	40	26	10	27	13	28	2	29	12	30	32

해 설

1. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 거듭제곱근을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 8^{{x} over {2}} `=(2 ^{3} `) ^{{x} over {2}} ``=(`2 ^{x} `) ^{{3} over {2}} ``=3 ^{{3} over {2}} ````= {3 sqrt {3}}]

2. [출제의도] 행렬의 덧셈과 곱셈을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A+B```=` pmatrix{``1&```2`#``-1&```````3`} `+` pmatrix{`3&~~``1`#2&````-2`} `=` pmatrix{``4&`````3`#````1&`````1`}]이므로

[eqn: (A+B`)`C```= pmatrix{``4&`````3`#````1&`````1`} pmatrix{````1````#````2````} `=` pmatrix{``10```#```````3````}]

3. [출제의도] 무한등비수열의 극한값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{4 ^{n+1} `-2 ^{n}} over {4 ^{n} `+`3 ^{n+1}} `} `][eqn: =` lim _{n` -> ` INF } {{4`․4 ^{n} `-2 ^{n}} over {4 ^{n} `+`3`․3 ^{n}} `} `][eqn: =` lim _{n` -> ` INF } {{4``- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n}} over {1`+`3` LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n}} `} `]

[eqn: =` {4-0}over{1+3 cdot 0}=`4]

4. [출제의도] 등차수열의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 수열의 항의 개수를 [eqn: n]이라 하면 공차가 [eqn: {1} over {7}]인 등차수열이므로  [eqn: 30+(n-1) {1} over {7} =50]  [eqn: THEREFORE n=141]

따라서 이 수열의 합은 [eqn: {141(30+50)} over {2} =5640]

5. [출제의도] 연립일차방정식이 해를 갖지 않을 조건을 역행렬을 이용하여 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: pmatrix{`2~&1`#`3~&4`} ` pmatrix{`x`#`y`} `+ pmatrix{`1`#`3`} `=`k` pmatrix{`x`#`y`}]에서

[eqn: pmatrix{`2-k~&1`#`3~&4-k`}` pmatrix{`x`#`y`} `=` pmatrix{`-1`#`-3`}]이 해를 갖지 않으려면

[eqn: (2`-`k)`(4`-`k)`-`3` = `0``], [eqn: k`=`1`] 또는 [eqn: k`=`5`]

[eqn: k`=`1`]일 때에는 무수히 많은 해를 갖고 [eqn: k`=`5`]일 때는 해를 갖지 않는다.

6. [출제의도] 실생활과 관련된 문제를 행렬로 표현할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 1`]번 버스가 정차하는 정류장은 [eqn: S _{2} ,~S_3 `]이므로

[eqn: a _{1`1}`=`0, ~a_12 `=`1, ~a_13 `=`1`]이고, [eqn: 2`]번 버스가 정차하는 정류장은 [eqn: S _{1} ,~S_2 `]이므로 [eqn: a _{2`1}`=`1, ~a_22 `=`1, ~a_23 `=`0 `]이고,

[eqn: 3`]번 버스가 정차하는 정류장은 [eqn: S_1 ,~S_2 ,~S_3`]이므로 [eqn: a _{3`1}`=`1, ~a_32 `=`1, ~a_33 `=`1 `]이다.

따라서 행렬 [eqn: A``]는 [eqn: pmatrix{```0~&`1~&`1``#```1~&`1~&`0``#```1~&`1~&`1``}]이다.

7. [출제의도] 등비수열의 합과 일반항의 관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {a _{10} -a _{9}} over {S _{10} -S _{8}} + {S _{5} -S _{3}} over {a _{5} -a _{4}}][eqn: =][eqn: {a _{10} -a _{9}} over {a _{10} +a _{9}} + {a _{5} +a _{4}} over {a _{5} -a _{4}}]

[eqn: =][eqn: {{a _{10}} over {a _{9}} -1} over {{a _{10}} over {a _{9}} +1} + {{a _{5}} over {a _{4}} +1} over {{a _{5}} over {a _{4}} -1}][eqn: =][eqn: {sqrt {3} -1} over {sqrt {3} +1} + {sqrt {3} +1} over {sqrt {3} -1}]

[eqn: =][eqn: {( sqrt {3} -1) ^{2} +( sqrt {3} +1) ^{2}} over {2}][eqn: =`4]

8. [출제의도] 등비수열의 관계식과 무한등비급수의 합을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

(가)에서 [eqn: LEFT { a _{n} ` RIGHT } `]은 등비수열이다.

수열[eqn: LEFT { a _{n} ` RIGHT } `]의 첫째항을 [eqn: a`], 공비를 [eqn: r`]라 하면

(나)에서 [eqn: {a} over {1`-`r} `=`2`(a`+`ar`)`]이고 [eqn: a` != `0`]이므로

[eqn: {1} over {1`-`r} `=`2`(1`+`r`)`], [eqn: 1-r ^{2} `=` {1} over {2}] [eqn: THEREFORE ``r ^{2} `=` {1} over {2}]

(다)에서 [eqn: {a ^{2}} over {1`-`r ^{2}} `=`2`(a`+`ar ^{2} `)]이고 [eqn: `r ^{2} `=` {1} over {2}]이므로

[eqn: {a ^{2}} over {1- {1} over {2}} `=`2` LEFT ( a+ {1} over {2} a` RIGHT )], [eqn: 2a ^{2} `=`3a] [eqn: THEREFORE ``a`=` {3} over {2}]

따라서 [eqn: a _{5} `=`ar ^{4} `=` {3} over {2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} `=` {3} over {8}]

9. [출제의도] 규칙을 갖는 수들의 합을 [eqn: sum _{} ^{}]를 이용하여 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: TIMES]	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

오른쪽 표에서 [eqn: k`]번째 행의 수들의 합은

[eqn: k+2k+ cdots +9k]

[eqn: =`k(1+2+ cdots +9)`=`45k``]이므로 곱셈표 전체의 수들의 총합은

[eqn: sum _{k=1} ^{9} 45k`=45 sum _{k=1} ^{9} `k`=45 ^{2}]이다.

곱셈표는 오른쪽 아래로 향하는 대각선을 중심으로 대칭이고 대각선에 있는 수들의 총합은

[eqn: sum _{k=1} ^{9} k` ^{2} `=` {9times10times19} over {6} `=`285`]이고 대각선 아래의 어두운 부분에 있는 수들의 총합은 [eqn: {1} over {2} ` LEFT ( 45 ^{2} `-` 285`} RIGHT )][eqn: `=`870`]이다.

따라서 어두운 부분에 있는 수들의 총합은

[eqn: 870`+`285`=`1155`]이다.

(다른 풀이) 어두운 부분의 제 [eqn: k]번째 행에 있는 수들의 합은 [eqn: k(1+2+ CDOTS +k)= {k^3 +k^2} over {2 }]

따라서 구하는 합은 [eqn: sum _{k=1} ^{9} {k ^{3} +k^2} over {2} ` = {1} over {2} sum _{k=1} ^{9} (k ^{3} +k^2 )=1155]

10. [출제의도] 상용로그의 가수의 조건을 좌표평면에 나타낼 수 있는가를 묻는 문제이다.

양수 [eqn: m`,n`] 은 정수 부분이 각각 세 자리이고

상용로그의 가수가 각각 [eqn: x,`y`]이므로,

[eqn: log`m``=2`+`x`,~log`n`=`2`+`y`~~ CDOTS ㉠],  [eqn: 0 <= `x<1``,```0 <= `y<1~~cdots ㉡]

또, [eqn: mn`]의 정수부분이 다섯 자리이므로

[eqn: 4` <= `log`mn`<5`]

∴ [eqn: 4 <= `log`m``+log`n``<5` cdots ㉢`]

㉠을 ㉢에 대입하면

[eqn: 0 <= `x+y``<1`]

따라서 점 [eqn: (`x`,~y`)`]가 나타내는

영역은 그림과 같다.

(단, 점선 부분은 제외한다.)

11. [출제의도] 행렬에 의해 정의된 점을 좌표평면에 나타낼 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: pmatrix{-1&````````2`#```````4&``-3``}`pmatrix{ ```p``#``q``} `=`pmatrix{ ```p``#``q``}]에서

[eqn: pmatrix{-p`+`2q #4p`-`3q}`=`pmatrix{``p``#``q``}`]이므로 [eqn: p`=`q`]이다.

따라서 행렬 [eqn: A]의 고정점 [eqn: (`p,~q`)`]가 나타내는 도형은 직선 [eqn: y=x]이다. 보기에서 직선 [eqn: y=x]와 만나지 않는 것은 ③이다.

12. [출제의도] 등차수열의 일반항과 합을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

이 볼록다각형의 꼭지점의 수를 [eqn: n`]이라 하면

이 볼록다각형의 내각의 크기[eqn: ( DEG )]는

[eqn: 63,~63 +18 ,~ CDOTS ,~63 +18(n-1)]이고, 이들의 합은

[eqn: {n ` left{ 2times 63 `+`18(n-1) right} } over {2} `=` n ` left {63 +9(n-1) right}`]

한편, 볼록[eqn: n`]각형의 내각의 총합은 [eqn: (n-2)times180 DEG]이므로

[eqn: 180 (n-2)`=` n LEFT { `63 +9(n-1) RIGHT }], [eqn: n=4] 또는 [eqn: n=10`]

[eqn: n=10`]일 때, 최대각의 크기는 [eqn: 63 DEG `+`9 times18 DEG＞`180 DEG]

이것은 볼록다각형이라는 사실에 모순이다.

따라서 [eqn: n=4]일 때, 최대각은 [eqn: 63 DEG +3times 18 DEG `=117 DEG]

13. [출제의도] 수와 행렬, 행렬과 행렬의 관계의 정의를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

위 그림에서 [eqn: n`=`100`a`+`10`b`+`c``]라 하면

[그림1]에 의해 (가)에 들어갈 행렬은[eqn: pmatrix{``a``&``b``#``c``&``b+c``} `]이다.

[그림2]에 의해 (나)에 들어갈 행렬은 [eqn: pmatrix{``a``&``c``#``b``&``b+c``}`]이고 행렬 [eqn: X`=`pmatrix{``a``&``b``#``c``&``b+c``} `= pmatrix{ ``7&``1``#``9``&``10``}`]이므로 [eqn: a`=`7,~b`=`1,~c`=`9`]

∴ [eqn: n`=`719`]

14. [출제의도] 이차정사각행렬에서 성립하는 등식을 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.

행렬 [eqn: hat{A} `]를 [eqn: ` hat{A} ``= pmatrix{~~d&```-b`#`-c&~~a`} `] 라 하면

[eqn: A+ hat{A} =][eqn: pmatrix{a+d&0`#0&a+d`}][eqn: =][eqn: cdots]㉠

[eqn: (a+d)E]

[eqn: A hat{A} =][eqn: pmatrix{ad-bc&0`#0&ad-bc`}][eqn: =][eqn: cdots]㉡

[eqn: (ad-bc)E]

㉠의 양변에 [eqn: A]를 곱하여 정리하면

[eqn: A(A+ hat{A} `)=][eqn: (a+d)A]

[eqn: A ^{2} `+`] [eqn: =`O`]

[eqn: A` hat{A} `-`(a`+`d)`A]

이 식에 ㉡을 대입하면

[eqn: A ^{2} `-`(a+d)`A`+`(ad-bc)`E`=`O`]이다.

15. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. (참)[eqn: log80=log10+log8=1+3log2``]에서

[eqn: f(80)=1,g(80)=3log2]

[eqn: THEREFORE ``~f(80)-1=g(80)-3log2]

ㄴ. (거짓)[eqn: loga=f(a)+g(a)], [eqn: loga ^{2} =2f(a)+2g(a)]

그런데 [eqn: f(a ^{2} )`=`2f(a)]이므로 [eqn: 0` <= `2g(a)`<`1`]

[eqn: THEREFORE `0` <= `g(a)`<` {1} over {2}]

[eqn: loga ^{3} =3f(a)+3g(a)]에서 [eqn: 0` <= `3g(a)< {3} over {2}]이고

[eqn: 1 ` <= `3g(a)< {3} over {2}]일 때는 [eqn: f(a ^{3} )`=`3`f(a)`+`1`]이다.

ㄷ. (참)[eqn: loga ^{2} =2f(a)+2g(a)]에서

[eqn: 0` <= `g(a)`<` 1`]이므로 [eqn: 0` <= `2g(a)`<` 2`]

ⅰ) [eqn: 0` <= `2g(a)`<` 1`]일 때 [eqn: g(a)`=`2g(a)`] ∴[eqn: g(a)`=`0`]

ⅱ) [eqn: 1` <= `2g(a)`<` 2`]일 때

[eqn: g(`a ^{2} )`=`2g(a)`-`1`=`g(a)`]

[eqn: g(a)`=`1`]이므로 모순이다.

ⅰ)과 ⅱ)에 의해 [eqn: g(a)`=`0`]

[eqn: log`a ^{n}`=` n log`a`=` n`f(a) `+`n`g(a)`]에서 [eqn: n`g(a)`=`0`]이고

[eqn: n`f(a)`]는 정수이므로 [eqn: g(`a ^{n`} )`=`0`]이다.

16. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 주어진 식이 자연수임을 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(ⅰ) [eqn: n`=`1``]일 때

[eqn: {1 ^{3}} over {6} `+` {1 ^{2}} over {2} `+` {1} over {3} `=` 1``]

(ⅱ) [eqn: n`=`k```(`k` >= `1`)`]일 때

[eqn: {k ^{3}} over {6} `+` {k ^{2}} over {2} `+` {k} over {3} ``]가 자연수라고 가정하자.

[eqn: {(k+1) ^{3}} over {6} `+` {(k+1) ^{2}} over {2} `+` {k`+`1} over {3} ``]

[eqn: `=`left( {k ^{3}} over {6} `+` {k ^{2}} over {2} `+` {k} over {3} `right)`+`][eqn: left({3k ^{2} `+`3k`+`1} over {6} + {2k`+`1} over {2} `+` {1} over {3} `right)`]에서

[eqn: {3k ^{2} +3k+1} over {6} + {2k+1} over {2} `+` {1} over {3} `=][eqn: {k ^{2} `+`3k`+`2} over {2} `=` {(k`+`1)`(`k`+`2`)} over {2}]

이때 [eqn: {k ^{3}} over {6} `+` {k ^{2}} over {2} `+` {k} over {3} ``]는 자연수이고

[eqn: (`k`+`1`)`(`k`+`2`)`]는 연속된 자연수의 곱이므로 의 배수이다.

[eqn: 2]

그러므로 [eqn: {(k+1) ^{3}} over {6} `+` {(k+1) ^{2}} over {2} `+` {k`+`1} over {3} ``]은 자연수이다.

따라서 [eqn: n`=`k`+`1`]일 때에도 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: {n ^{3}} over {6} `+` {n ^{2}} over {2} `+` {n} over {3} ``]은 자연수이다.

17. [출제의도] 역행렬을 갖기 위한 조건을 묻는 문제이다.

등식 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1`]을 만족하는 임의의 실수 [eqn: x,``y]에 대하여 행렬 [eqn: pmatrix{``x```&```y-2```#````1```&```````m} `]이 역행렬을 가지려면

[eqn: mx`-(y-2) not= 0]이므로

모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x ^{2} +(mx+2) ^{2} -1 not= 0`]이어야 한다.

따라서 [eqn: (m ^{2} +1)x ^{2} +4mx+3=0`]을 만족하는 실근이 존재하지 않으므로

[eqn: {D} over {4} =4m ^{2} -3(m ^{2} +1)<0`]

[eqn: therefore~][eqn: - sqrt {3} <m< sqrt {3} `]

18. [출제의도] 상용로그의 지표와 자리수의 관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. (거짓)[eqn: {b ^{2}} over {a`}`]은 정수부분이 여섯 자리이므로

[eqn: `5` <= log {b ^{2}} over {a`} `<6`]이다.

따라서 [eqn: alpha `=`log` {b ^{2}} over {a} `-5`], [eqn: `log` {b ^{2}} over {a} `=` alpha +5]

∴ [eqn: 10 ^{alpha +5`} `=` {b ^{2}} over {`a}]

ㄴ. (참) [eqn: {a ^{2}} over {b`}]은 소수 셋째 자리에서 처음으로 [eqn: 0`]아닌

숫자가 나타나므로 [eqn: `-3` <= log {a ^{2}} over {b`} ``<`-2`]이다.

∴[eqn: LEFT [ ``log {a ^{2}} over {b} ` RIGHT ] ``=`-3``]

ㄷ. (참)[eqn: `5` <= 2log {b } `-` loga `<6`][eqn: cdots]㉠,

[eqn: `-3` <= 2log {a}`-`log{b`} ``<`-2`][eqn: cdots]㉡

㉠+㉡×2에서

[eqn: `-1` <= 3loga`<2], [eqn: `- {1} over {3} ` <= log`a`< {2} over {3}`]

그러므로 [eqn: log`a`]의 지표는 [eqn: -1`]또는 [eqn: 0`]이다.

그런데 [eqn: a]는 자연수이므로 [eqn: a]는 한 자리 자연수이다.

19. [출제의도] 극한의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. (거짓)(반례) [eqn: a _{n} = {1} over {n} ,``b _{n} =n ^{2}]이라 하면

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} =0], [eqn: lim _{n -> INF } {b _{n}} = INF] 이지만 [eqn: lim _{n -> INF } ``{a _{n} b _{n}} `=` INF `]

ㄴ. (참) [eqn: a _{n} -b _{n} =c _{n}]이라 하면 [eqn: b _{n} =a _{n} -c _{n}]

그러므로 [eqn: lim _{n -> INF } `{b _{n}} = lim _{n -> INF } `{(a _{n} -c _{n} )} `=`5`]

ㄷ. (거짓)(반례) [eqn: a _{n} = {1} over {n} ,``b _{n} = {2} over {n}`]이라 하면

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} = lim _{n -> INF } {b _{n}} `=`0`]이지만 [eqn: lim _{n -> INF } {{b _{n}} over {a _{n}}} ` =`2`]

20. [출제의도] 도형에서 규칙을 발견하여 무한급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

원 [eqn: \O _{it n} ,~O _{it n+1} `]의 반지름을 각각 [eqn: r_n ,~r_n+1 `]이라 하면

그림에서 사각형 [eqn: \P`O _{it n} Q`O _{it n+1} `]은 정사각형이므로

[eqn: bar{rm O _{it n rm} O _{it n+1 rm} it} `=`r _{n} `-r _{n+1} `][eqn: =` sqrt {2} r _{n+1} `]에서

[eqn: r _{n+1} `=` (sqrt {2} -1) `r _{n}]이다.

따라서 부채꼴 [eqn: rm A _{it n rm}]과 부채꼴 [eqn: rm A _{n+1}`]은 닮은 도형이고 그 닮음비가 [eqn: 1``:``( sqrt {2} `-`1)``]이므로

[eqn: {S _{n+1}} over {S _{n}} = LEFT ( sqrt {2} -`1 RIGHT ) ^{2}][eqn: =3`-2 sqrt {2} `]이다.

또 [eqn: S _{1} `= 3 over 4 pi `]이므로

[eqn: S _{1} `,~S _{2} `,~S _{3} `, CDOTS `]는

첫째항이 [eqn: {3} over {4} ` pi `], 공비가 [eqn: 3`-`2 sqrt {2}`]인 무한등비수열이다.

∴ [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n}`=` {3over4 `pi }over { 1- left( 3-2root2 right)} `=` { left(3root2 + 3 right) `pi}over 8]

21. [출제의도] 실생활과 관련된 상황을 수열과 관계지어 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

수열 [eqn: left{ a _{n} right}`]을 [eqn: 3296,~3284,~3264,~3236,~3200,~ CDOTS `]이라 하면, 이 수열의 계차수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]은

[eqn: -12,~-20,`-28,~-36,` CDOTS `]이므로

[eqn: b _{n} `=`-12`+`(n-1)`(-8)`=`-8n-4`]

따라서 [eqn: a _{n} =3296+ sum _{k=1} ^{n-1} (-8k-4)=-4n ^{2} `+`3300`]

[eqn: a _{n} `=`800`]에서 [eqn: n ^{2} = 625`], [eqn: n`>`0`]이므로 [eqn: n`=`25`~]

22. [출제의도] 수열의 규칙성을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: w`+`1`+`1`=`1`]에서 [eqn: w`=`-1`]

[eqn: z`+`w`+`1`=`1`]에서 [eqn: z`=`-w`=`1`]

[eqn: y`+`z`+`w`=`1`]에서 [eqn: y`=`1`]

[eqn: x`+`y`+`z`=`w`]에서 [eqn: x`=`-3`] ∴ [eqn: x ^{4} `=`81]

23. [출제의도] 무한급수가 수렴할 때 성립하는 성질을 이해하고 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a` _{n} `- {5} over {2} RIGHT ) `]가 수렴하므로

[eqn: lim _{ n->inf} { LEFT ( a` _{n} `- {5} over {2} RIGHT )}`=`0 `]  ∴[eqn: lim _{ n->inf} { a` _{n} }`=` {5} over {2}]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {a` _{n} `+`3`} over {a` _{n} `-`2`}`=` {5over2 + 3}over{5over2 - 2} `=` 11`]

24. [출제의도] 등차수열과 등비수열의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

공비를 [eqn: r`]라 하면 [eqn: B`=`12r,```E`=`12r ^{2``} ,```96`=`12r` ^{3} `]이므로 [eqn: r`=`2`]이고 [eqn: B`=`24,``E`=`48`]이다.

또, [eqn: B`]와 [eqn: E`]는 각각 [eqn: A``]와 [eqn: C`,] [eqn: D`]와 [eqn: F`]의 등차중항이므로 [eqn: A+C`=2`B,````D`+F`=`2E`]이다.

따라서 [eqn: A+B+C+D+E+F``]

[eqn: =`(A+C)+B+(D+F)+E]

[eqn: =`2B`+B+2E+E]

[eqn: =`3(B+E)`=`3 TIMES 72`=`216`]

25. [출제의도] 행렬의 거듭제곱의 성질을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: (A`+`E)^{2} `=`3`A`+`2`E]

∴[eqn: A ^{2} `=`A`+`E`]

[eqn: (A`+`E) ^{3}`][eqn: =(A`+`E) ^{2} `(A`+`E)`][eqn: =(3A`+`2E)`(A`+`E)`]

[eqn: =`3A ^{2} `+`5A `+`2E`]

[eqn: =`3(A+E)`+`5A`+`2E`]

[eqn: =`8A`+`5E`] 이므로 [eqn: a`=`8,~b`=`5`] ∴[eqn: a`b`=`40`]

26. [출제의도] 실생활과 관련된 상황을 상용로그와 관련지어 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

화면에 [eqn: 100`]이 나타나 있을 때 키를 한 번 누르면 [eqn: log`2 ^{100} `=`100`log`2`=`30.1]이므로 [eqn: 2 ^{100} `]의  자리수 [eqn: 31`]이 화면에 나타난다.

다시 키를 한 번 누르면 [eqn: log`2 ^{31} `=`31`log`2`=`9.331`]이므로 [eqn: 2 ^{31}`]의 자리수 [eqn: 10]이 화면에 나타난다.

27. [출제의도] 무리수가 서로 같을 조건과 로그의 성질을 관련지어 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: ``log`20``=`1+log2`], [eqn: ` {1} over {log` _{8} 100} ```= {log8} over {log100} `=` {3} over {2} {log2} over {log10} `= {3} over {2} `log2``]이므로

[eqn: `a`(1+log`2)`+ {3b} over {2} `log`2`````+3``=0`]

[eqn: ``(a+3)`+ LEFT ( a+ {3b} over {2} RIGHT ) `log`2``````=0`]

이때 [eqn: a+3],[eqn: ``a+ {3b} over {2} ``]는 유리수이고 [eqn: log`2```]가 무리수이므로

[eqn: a+3`=0], [eqn: ``a+ {3b} over {2} ``=0]  ∴ [eqn: a=`-3], [eqn: b`=`2]

∴[eqn: a ^{2} `+`b ^{2} `=13]

28. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계와 극한값의 계산을 관련지어 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에서

[eqn: alpha _{n} `+` beta _{n} `=`- sqrt {n} `-`1`], [eqn: alpha _{n} `beta _{n} `=`- {sqrt {n}} over {2} `-` {3} over {4} `]이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} ` LEFT ( {1} over {alpha _{n}} `+` {1} over {beta _{n}} RIGHT ) `][eqn: =` lim _{n` -> ` INF } {} {alpha _{n} `+ beta _{n}} over {alpha _{n} ` beta _{n}}][eqn: =` lim _{n` -> ` INF } {{- sqrt {n} `-`1} over {- {sqrt {n}} over {2} `- {3} over {4}}}]

[eqn: =` lim _{n` -> ` INF } {{1+ {1} over {sqrt {n}}} over { {1} over {2} + {3} over {4 sqrt {n}}}}][eqn: =` {1`+0} over {` {1} over {2} +0`} `=`2`]

29. [출제의도] 부분합을 이용해서 무한급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} a _{k}`]이고 [eqn: a _{n+1} `=`S _{n+1} `-`S _{n}`]이므로

[eqn: na _{n+1} = sum _{k=1} ^{n} a _{k}]에서 [eqn: n(S _{n+1} -S _{n} )=S _{n}]

[eqn: {S _{n+1}} over {S _{n}} = {n+1} over {n}`]의 양변의 [eqn: n`]에 [eqn: 1,~2,~3,~ CDOTS ,~n-1``]을

대입하여 변끼리 곱하면

[eqn: {S _{2}} over {S _{1}} times S_3 over S_2 times S_4 over S_3 times cdots times S_n over S_n-1 `=` 2over1 times 3over 2 times 4over3 times cdots times n over {n-1}]

[eqn: {S _{n}} over {S _{1}} `=`n`]  ∴ [eqn: S _{n} `=`n`S _{1} `=`n`a_1 =` {n} over {4} `]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {S _{n} S _{n+2}} `=`16 `sum _{n=1} ^{INF } {1} over {n(n+2)}][eqn: =`16` lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n}} {1} over {k`(k`+`2)}]

[eqn: =`8 lim _{n -> INF } {} sum _{n=1} ^{n} LEFT ( {1} over {k} - {1} over {k+2} RIGHT ) `][eqn: =`8 lim _{n -> INF } {LEFT ( 1+ {1} over {2} - {1} over {n+1} - {1} over {n+2} RIGHT )} `=`12`]

30. [출제의도] 지수와 로그의 관계를 이용하여 실생활과 관련된 상황을 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

현미경 [eqn: rm A]의 [eqn: 6`]단계에서의 확대비율은

[eqn: (2 sqrt {2} ) ^{6} = LEFT ( 2 ^{{3} over {2}} RIGHT ) ^{6} =2 ^{9}`]

현미경 B의 7단계에서의 확대비율은 [eqn: 4 ^{7} =2 ^{14}`]

그런데 두 물체의 확대된 길이가 서로 같으므로

[eqn: x times 2^9 `=` y times 2^14 ``]

∴ [eqn: {x} over {y} `= {2^14 }over {2^9} `=` 2^5 `=`32`]