2004학년도 11월 고1 전국연합학력평가 문제지

국 어

공    통

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국 어

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국 어

공    통

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국 어

공    통

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수 리 영 역

제 2 교시

성명			수험번호						1

수리 영역

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수리 영역

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◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 답을 표기할 때에는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 0이 포함된 경우, 0을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

전체집합 [eqn: U`]의 두 부분집합 [eqn: A,```B`]가 [eqn: A` cup B` =A]를 만족시킬 때, [eqn: A cup B^C``]과 항상 같은 집합은? (단, [eqn: U not= phi]) [2점]

8

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① [eqn: phi]

② [eqn: A`]

③ [eqn: B`]

④ [eqn: B^C]

⑤ [eqn: U`]

[eqn: x = root2]일 때, [eqn: 1 - 1 over { 1 - 1 over x }}]의 값은? [2점]

① [eqn: -1- root2]

②  [eqn: - root2]

③ [eqn: - 1 + root 2]

④    [eqn: root2]

⑤   [eqn: 1+ root2]

어느 해 대한고등학교는 “민국대학교 수학경시대회에서의 대상 입상자가 본교 학생이다.”라는 사실을 홍보하기 위해 다음과 같은 내용을 학교 홈페이지에 게재하였다.

실제의 사실과 게재된 내용 사이의 오류를 설명할 수 있는 명제로 가장 적절한 것은? [3점]

① [eqn: p```` -> ``q`]가 참이면 [eqn: q````->``p`]도 참이다.

② [eqn: p```` -> ``q`]가 참이면 [eqn: ∼p```` → `∼q`]도 참이다.

③ [eqn: p```` -> ``q`]가 참이면 [eqn: ∼q````->`∼p`]도 참이다.

④ [eqn: p```` -> ``q`]가 참이라 하여 [eqn: q````->``p`]가 반드시 참은 아니다.

⑤ [eqn: p```` -> ``q`]가 참이라 하여 [eqn: p ````-> `∼q`]가 반드시 참은 아니다.

복소수 [eqn: z=(1 + i ``)` x - (3+`2i``)]에 대하여 [eqn: z^2`]이 음의 실수일 때, 실수 [eqn: x]의 값은? (단, [eqn: i= root{-1``}]) [3점]

① [eqn: -3]

② [eqn: -2]

③   [eqn: 1]

④   [eqn: 2]

⑤   [eqn: 3`]

두 조건 [eqn: p,``q`]를 각각 만족하는 원소들의 집합 [eqn: P,```Q``]에 대하여  [eqn: P-Q=phi], [eqn: P` `CUP`Q`=`U`]가 성립할 때, <보기>에서 항상 참인 명제를 모두 고르면? (단, [eqn: U ``]는 [eqn: phi`]이 아닌 전체집합, [eqn: P`` subset U], [eqn: Q`` subset U``], [eqn: P` not=Q`]) [3점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: p```` -> ``q`] ㄴ. [eqn: ～ p``` `->``q`] ㄷ. [eqn: q````->``p`] ㄹ. [eqn: q```` -> ``～p]

① ㄱ, ㄴ

② ㄱ, ㄷ

③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄴ, ㄹ

⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

밑면의 가로, 세로의 길이가 [eqn: a]이고 높이가 [eqn: a-2]인 직육면체 모양의 나무 토막에 정육면체 모양의 구멍이 뚫린 블록을 만들었다. 이 블록의 부피는? (단, [eqn: a`>`2`]) [3점]

[eqn: a`]

[eqn: a`]

[eqn: a`-`2`]

① [eqn: 4` a^2 -2a]

② [eqn: 4a^2 -12a+8]

③ [eqn: 2 a^3 - 4 a^2 +12a`]

④ [eqn: 2a^3 + 8a^2 +3a-8]

⑤ [eqn: 2 a^3 + 6a^ 2 +12a-8]

다음은 실수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: a``<`0`]이면 [eqn: 1 over a^3 `<`0`]임을 증명하는 과정이다.

	<증명> [eqn: a`<`0`]이므로 [eqn: a^3` <`0`]이다. 임의의 실수 [eqn: 1 over a^3]은 [eqn: 1 over a^3 `>``0`], [eqn: 1 over a^3 `=`0`], [eqn: 1 over a^3 `<`0`]중 어느 하나만 성립한다. (i) [eqn: 1 over a^3 `>`0`]일 때, 부등식의 양변에 [eqn: a^3]을 곱하면 [eqn: 1 over a^3 cdot a^3] [eqn: 0 cdot a^3`]이므로 모순이다. 그러므로 [eqn: 1 over a^3 `>`0`]이 아니다. (ⅱ) [eqn: 1 over a^3 `=`0`]일 때, 등식의 양변에 [eqn: a^3`]을 곱하면 [eqn: 1 over a^3 cdot a^3] [eqn: 0 cdot a^3]이므로 모순이다. 그러므로 [eqn: 1 over a^3 = `0`]이 아니다. 따라서, (i)과 (ⅱ)에 의하여 [eqn: a``<`0`]이면 [eqn: 1 over a^3 `<`0`]이다. (나) (가)

이 증명 과정에서 (가), (나)에 들어갈 내용을 바르게 짝지은 것은? [3점]

	(가)	(나)
①	[eqn: <]	[eqn: not=]
②	[eqn: <]	[eqn: =]
③	[eqn: >]	[eqn: not=]
④	[eqn: ≦`]	[eqn: =]
⑤	[eqn: ≧]	[eqn: not=]

[eqn: x``]의 값에 관계없이 식 [eqn: { a-3x} over {x+b }`]가 항상 일정한 값을 가질 때, 실수 [eqn: a``]와 [eqn: b``]의 관계를 나타낸 그래프로 가장 적절한 것은?

(단, [eqn: x != -b]) [4점]

[eqn: b`]

[eqn: a`]

[eqn: rm O]

①

[eqn: a`]

[eqn: rm O]

[eqn: b`]

②

[eqn: b`]

[eqn: a`]

[eqn: rm O]

③

[eqn: a`]

[eqn: rm O]

[eqn: b`]

④

[eqn: b`]

[eqn: a`]

[eqn: rm O]

⑤

자연수 전체의 집합의 부분집합 [eqn: A`]에 대하여 다음을 만족하는 집합 [eqn: A`]의 개수는? (단, [eqn: A not=phi]) [4점]

	[eqn: a`]가 집합 [eqn: A`]의 원소이면 [eqn: 81 over a]도 집합 [eqn: A`]의 원소이다.

① [eqn: 5`]

② [eqn: 6`]

③ [eqn: 7`]

④ [eqn: 8`]

⑤ [eqn: 9`]

다음은 어느 고등학교 학생 20명에게 지난 일주일 동안 EBS 수능 강의를 시청한 날짜 수에 대한 학생 수를 조사하여 나타낸 표이다.

날짜 수(일)	[eqn: 0`]	[eqn: 1`]	[eqn: 2`]	[eqn: 3`]	[eqn: 4`]	[eqn: 5`]	[eqn: 6`]	[eqn: 7`]	계
학생 수(명)	3	[eqn: 2`]	[eqn: 3`]	[eqn: a]	[eqn: 3`]	[eqn: 2`]	[eqn: b]	[eqn: 0`]	[eqn: 20`]

수능 강의를 시청한 날짜 수의 평균이 [eqn: 3`]일이라고 할 때, [eqn: a`-`b`]의 값은? [3점]

① [eqn: -5`]

② [eqn: -3`]

③ [eqn: -1`]

④  [eqn: 1`]

⑤  [eqn: 3`]

[eqn: x`]에 대한 두 삼차다항식 [eqn: x^3 +ax^2 +bx +1`]과 [eqn: x^3 + bx^2 +ax +1]의 최대공약수가 일차식일 때, 실수 [eqn: a`]와 [eqn: b`]의 관계식을 만족하는 순서쌍 [eqn: (a,``b`)`]가 될 수 있는 것은? [4점]

①  [eqn: (-1,-1)`]

②  [eqn: (-1,``````1)]

③  [eqn: (```1,```-4)`]

④  [eqn: (````1,`` -`3)`]

⑤  [eqn: (`````2,```````````1`)`]

다음은 서로 다른 세 점 [eqn: rm A(it x_1 ,`y_1`),``rm B(it x_2 ,`` y_2 ),``rm C (it x_3 ,`` y_3 )`]를 꼭지점으로 하는 삼각형[eqn: rm ABC`]의 넓이 [eqn: S`]가

[eqn: vert ( x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_1 ) -(x_1 y_3 + x_2 y_1 + x_3 y_2 ) vert]

[eqn: S`=`1 over 2]

임을 증명

하는 과정이다.

	<증명> 선분 [eqn: rm AB]의 길이 [eqn: rm bar AB =][eqn: root{ (x_2 -x_1 )^2 +(y_2 - y_1 )^2 }] 이고, 두 점 [eqn: rm A,```B`]를 지나는 직선의 기울기가 이므로 직선의 방정식은 [eqn: y-y_1 =] [eqn: (x - x_1 )``````` cdots cdots cdots cdots cdots cdots cdots] ㉠ 이 때, 점[eqn: rm C`]와 직선 ㉠ 사이의 거리 [eqn: d`]는 [eqn: vert ( x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_1 ) -(x_1 y_3 + x_2 y_1 + x_3 y_2 ) vert] 따라서 삼각형[eqn: rm ABC`]의 넓이 [eqn: S`]는 [eqn: vert ( x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_1 ) -(x_1 y_3 + x_2 y_1 + x_3 y_2 ) vert] [eqn: S`=`1 over 2] 이다. [eqn: d``=`] (나) (가) (가)

이 증명 과정에서 (가), (나)에 들어갈 내용을 바르게 짝지은 것은? [3점]

	(가)	(나)
①	[eqn: {y_2 - y_1 } over {x_2 - x_1 }]	[eqn: root{ (x_1 -y_2 )^2 +(x_2 - y_1 )^2 }]
②	[eqn: {y_2 - y_1 } over {x_2 - x_1 }]	[eqn: root{ (x_2 -y_2 )^2 +(x_1 - y_1 )^2 }]
③	[eqn: {y_2 - y_1 } over {x_2 - x_1 }]	[eqn: root{ (x_2 -x_1 )^2 +(y_2 - y_1 )^2 }]
④	[eqn: {x_2 - x_1 }over{y_2 - y_1 }]	[eqn: root{ (x_2 -x_1 )^2 +(y_2 - y_1 )^2 }]
⑤	[eqn: {x_2 - x_1 }over{y_2 - y_1 }]	[eqn: root{ (x_2 -y_2 )^2 +(x_1 - y_1 )^2 }]

그림과 같이 넓이가 [eqn: 4 `pi`]인 원의 내부에 임의의 점[eqn: rm P]가 있다. 이 점[eqn: rm P]를 지나는 현에 의해 만들어지는 두 활꼴의 넓이를 각각 [eqn: S_1], [eqn: S_2`]라 할 때,[eqn: {4S_1} ^2 +{S_2}^2``]의 최소값은? [4점]

[eqn: rm P`]

[eqn: S_1]

[eqn: S_2]

①	[eqn: 12 pi^2`]
②	[eqn: 64 over 5` pi^2]
③	[eqn: 13 `pi^2`]
④	[eqn: 66 over 5 pi^2`]
⑤	[eqn: 20 pi^2]

이차방정식 [eqn: f`(x)=0]의 두 근 [eqn: alpha ,`` beta ``]에 대하여 [eqn: alpha + beta `=`1`],[eqn: alpha` beta`=`6`]일 때, 이차방정식[eqn: f`(2x-1)=0]의 두 근의 곱은? [3점]

① [eqn: 1`]

② [eqn: 2`]

③ [eqn: 4`]

④ [eqn: 6`]

⑤ [eqn: 8`]

삼차방정식 [eqn: x^ 3 `=`1`]의 한 허근을 [eqn: omega`]라 하고, 양의 정수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: f`(n`) = omega^n over {1 + omega^2n }] 이라 정의할 때,

[eqn: f`(1)`- f`(2)+f`(3)-`f`(4) +cdots `+`f`(13)`]의 값은? [4점]

① [eqn: -`1`]

② [eqn: - 1 OVER 2]

③    [eqn: 0`]

④   [eqn: 1 over 2]

⑤    [eqn: 1`]

연립부등식 [eqn: cases { x^2 -3x-4` ≦`0## -x^2 +x+2 `<`0}] 의 해가 [eqn: alpha```<``x```≦`beta`]일 때, [eqn: alpha`+`beta`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1`]

② [eqn: 3`]

③ [eqn: 6`]

④ [eqn: 8`]

⑤ [eqn: 9`]

오른쪽 그림과 같은 도형을 직선 [eqn: y`=`x`]에 대하여 대칭이동한 후, 다시 [eqn: x`]축 방향으로 [eqn: -1`]만큼 평행이동한 도형은? [4점]

[eqn: rm O]

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

①

③

⑤

[eqn: -2`]

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: rm O]

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: rm O]

[eqn: -1]

[eqn: -1]

[eqn: -1]

[eqn: rm O]

[eqn: -1]

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

②

④

[eqn: 1]

[eqn: rm O]

[eqn: x`]

[eqn: rm O]

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: y`]

[eqn: 1]

세 집합 [eqn: A= LEFT { (x,``y`) vert (x`-`1)^2 +(y`-`1)^2` ≦ `1RIGHT } ,]

[eqn: B= LEFT {(x,``y`) vert x`+`y``>`2`RIGHT },][eqn: C= LEFT {(x,``y`) vert x``<`1`RIGHT }]에 대하여

[eqn: A`cap`(B`cup`C `)^C`]가 나타내는 영역의 넓이는? [4점]

①	[eqn: { pi }]
②	[eqn: { pi } over {2 }]
③	[eqn: { pi } over {4 }]
④	[eqn: { pi } over {8 }]
⑤	[eqn: { pi } over {16 }]

원 [eqn: x^2 + y^2 =1] 위를 움직이는 점 [eqn: RM P`]와 양의 정수 [eqn: m,``n`]에 대하여 [eqn: A_n `]과 연산 [eqn: *`]를 다음과 같이 정의한다.

	[eqn: A_n`] : 점 [eqn: rm P`]가 점[eqn: (1,```0`)]에서 출발하여 시계 반대 방향으로 [eqn: 90°]씩 [eqn: n`]번 회전한 위치의 점의 좌표 [eqn: A_m `*` A_n`]=[eqn: A_m+n`]

<보기>에서 옳은 것을 모두 고르면? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: A_2004 `=`(0,```1`)`] ㄴ. [eqn: A_n * A_2n = A_7n] ㄷ. [eqn: A_n `*`A_4 `=`A_n] ㄹ. [eqn: A_2n `*`A_2n-1 `=`(0,``-1`)`]

① ㄱ, ㄴ

② ㄱ, ㄹ

③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄷ, ㄹ

⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

원 [eqn: x^2 + y^2 `=`4`]의 외부에 있는 임의의 점 [eqn: rm P`]에서 이 원에 그은 두 접선의 접점을 각각 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]라 하자. 이 때, [eqn: rm angle APB]가 둔각이 되게 하는 점 [eqn: rm P`]가 존재하는 영역의 넓이는? [4점]

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: rm O`]

[eqn: rm A`]

[eqn: rm B`]

[eqn: rm P`]

①  [eqn: 2pi]

②  [eqn: 5 over 2 pi]

③  [eqn: 4 pi`]

④  [eqn: 9over 2 pi`]

⑤  [eqn: 5 pi `]

그림과 같이 폭이 [eqn: 20m`]인 직선 도로를 사이에 두고 학교와 도서관이 위치하고 있다. 학교에서 정동쪽으로 [eqn: 800m`], 다시 그 지점에서 정남쪽으로 [eqn: 620m`] 지점에 도서관이 위치한다. 학교에서 출발하여 횡단보도를 건너 도서관까지 가는 데 최단거리가 되도록 길이 [eqn: 20m`]인 횡단보도가 설치되었을 때, 이 최단거리는? (단, 고도와 횡단보도의 폭은 무시한다.) [4점]

학교

도서관

서

동

북

남

① [eqn: 960m]

② [eqn: 1006m]

③ [eqn: 1012m`]

④ [eqn: 1020m]

⑤ [eqn: 1440m]

단   답   형

[eqn: x```:``y`=`3```:``2`]일 때, [eqn: { x`+`2y}over {x`-`y }]의 값을 구하시오. [2점]

[eqn: x+y`=`3`], [eqn: xy=1]일 때, [eqn: x^3 `+` y^3 `]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 `+`( a^2 `-`3a `-`4`)`x `-`a`+`2 `=`0]의 두 실근의 절대값이 같고 부호가 서로 다를 때, 상수 [eqn: a`]의 값을 구하시오. [3점]

그림과 같이 서로 평행하거나 수직인 직선들에 접하는 원 [eqn: rm A], [eqn: rm B`], [eqn: rm C`], [eqn: rm D`]가 있다. 원[eqn: rm A]와 [eqn: rm B]의 지름의 길이의 합은 [eqn: 16`]이고, 원[eqn: rm A]와 [eqn: rm D]의 넓이의 차가 [eqn: 24 pi`]일 때, 원[eqn: rm A`]의 지름의 길이를 구하시오. [4점]

[eqn: rm A`]

[eqn: rm B`]

[eqn: rm C`]

[eqn: rm D`]

이차다항식 [eqn: f`(x`)`]에 대하여 [eqn: f`(1-x`)`]를 [eqn: x`-`1`]로 나누면 나머지가 [eqn: -4`]이고, [eqn: x`f`(x`)`]는 [eqn: (x`+`1`)(x`-`4`)]로 나누어 떨어진다. 이 때, [eqn: f`(x`)`]를 [eqn: x`+`2`]로 나눈 나머지를 구하시오. [3점]

사차방정식 [eqn: (x^2 `-`5x`)^2 `+`10(x^2 `-`5x) `+`24 `=`0]의 네 근의 분산을 [eqn: V`]라 할 때, [eqn: 12 V`]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: (`x``≧``1`)`]에 대하여

[eqn: root{~~~~~~~~~~ }]

[eqn: 4x + 2 root{4x^2 -1`` }]

[eqn: f`(x)`=]

[eqn: 1 over {f`(1)}+ 1 over {f`(2)} + 1 over {f`(3)} +`cdots `+ 1 over {f`(59)}+ 1 over {f`(60)}] 의 값을

구하시오. [4점]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: RM A(1, ```5`)], [eqn: RM B(4,```2`)`]에 대하여 선분[eqn: RM AB`]를 [eqn: 1 ```:```2`]로 내분하는 점을 지나고, 직선[eqn: RM AB`]에 수직인 직선의 방정식을 [eqn: ax `-`y` + `b`=`0`]이라 할 때, [eqn: a`+` b`]의 값을 구하시오. [3점]

그림의 어두운 영역에 속하는 임의의 점[eqn: (x,```y`)`]에 대하여 [eqn: x^2 `+`y^2`]의 최대값을 [eqn: M`], 최소값을 [eqn: m`]이라 할 때, [eqn: M `+`5 m`]의 값을 구하시오.  [4점]

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: rm O`]

[eqn: 2`]

[eqn: 4`]

[eqn: (3,```3)`]

(단, 경계선 포함)

※ 확인사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.