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2016학년도 3월 고2 전국연합학력평가 정답 및 해설

수학 가형 정답

1	⑤	2	②	3	③	4	①	5	④
6	①	7	④	8	②	9	③	10	⑤
11	⑤	12	④	13	②	14	①	15	③
16	⑤	17	②	18	①	19	③	20	⑤
21	④	22	[eqn: 10]	23	[eqn: 7]	24	[eqn: 56]	25	[eqn: 16]
26	[eqn: 85]	27	[eqn: 64]	28	[eqn: 8]	29	[eqn: 118]	30	[eqn: 46]

해 설

1. [출제의도] 다항식의 뺄셈을 계산한다.

두 다항식 [eqn: A=3x ^{2} -x+5`], [eqn: B=x ^{2} -2x-3`]에서

[eqn: A-B``][eqn: =(3x ^{2} -x+5)-(x ^{2} -2x-3)][eqn: =3x ^{2} -x+5-x ^{2} +2x+3]
[eqn: =2x ^{2} +x+8]

2. [출제의도] 복소수의 덧셈과 곱셈을 계산한다.

[eqn: (2-3i)+i(-1+4i)]

[eqn: =2-3i-i+4i ^{2}]

[eqn: =2-3i-i-4]

[eqn: =it-2-4i]

3. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 로그를 계산한다.

[eqn: log` _{6} `3+log` _{6} 12]

[eqn: =log _{`6} LEFT ( 3 TIMES 12 RIGHT )]

[eqn: =log _{`6} `36]

[eqn: =log _{`6} `6 ^{2}]

[eqn: =2`log _{`6} `6]

[eqn: =2]

4. [출제의도] 합성함수의 뜻을 이용하여 주어진 함숫값을 구한다.

[eqn: g(1)=3 TIMES 1-1=2]이므로

[eqn: (f CIRC g)(1)][eqn: =f` LEFT ( g LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT )]
[eqn: =f(2)]
[eqn: =2 TIMES 2+1]
[eqn: =5]

[다른풀이]

[eqn: (f CIRC g)(x)][eqn: =f` LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )]
[eqn: =f` LEFT ( 3x-1 RIGHT )]
[eqn: =2 LEFT ( 3x-1 RIGHT ) +1`]
[eqn: =6x-1`]이므로

[eqn: (f CIRC g)(1)=5]

5. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 식의 값을 구한다.

근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta = it -2`], [eqn: alpha beta =4`]이므로

[eqn: alpha ^{2} + beta ^{`2} `][eqn: =( alpha + beta ) ^{2} -2 alpha beta]
[eqn: =(-2) ^{2} -2 TIMES 4]
[eqn: =it-4]

6. [출제의도] 등차수열의 뜻을 이용하여 주어진 항을 구한다.

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{10} =a _{4} +6d][eqn: =14+18=32]

[다른풀이]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{4} =a _{1} +3d`=a _{1} +9=14`]이므로

[eqn: a _{1} =5`]

[eqn: a _{10} =a _{1} +9d=5+27=32]

7. [출제의도] 제한된 범위에서 정의된 이차함수의 최댓값을 이용하여 최솟값을 구한다.

[eqn: f(x)][eqn: = LEFT ( x ^{2} -4x+4 RIGHT ) -4+a]
[eqn: =(x-2) ^{2} -4+a]

이므로 [eqn: 0{le}x{le}3`]일 때, 꼭짓점의 [eqn: x`]좌표는 주어진 [eqn: x`]의 값의 범위에 속한다. 이때,

[eqn: x=0`]일 때 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =a`]

[eqn: x=2`]일 때 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =it-4+a`]

[eqn: x=3`]일 때 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =it-3+a]

이므로 주어진 이차함수 [eqn: f(x)]는

[eqn: x=0`]에서 최댓값 [eqn: f(0)=a`]를 갖고,

[eqn: x=2`]에서 최솟값 [eqn: f(2)= it -4+a`]를 갖는다.

[eqn: a=12`]이므로

[eqn: f(2)=it-4+12=8]

따라서 구하는 최솟값은 [eqn: 8]이다.

8. [출제의도] 유리함수의 그래프의 점근선을 이용하여 함숫값을 구한다.

점근선의 방정식이 [eqn: x=2`], [eqn: y=3`]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `][eqn: = {k} over {x-2} +3`]
[eqn: = {3x-6+k} over {x-2}]
[eqn: = {ax+1} over {x+b} `]

[eqn: -6+k=1`]에서 [eqn: k=7]

[eqn: f(x)= {7} over {x-2} +3`]이므로

[eqn: f(4)= {7} over {4-2} +3= {13} over {2} `]

[다른풀이]

[eqn: f(x)][eqn: = {ax+1} over {x+b}]
[eqn: = {a(x+b)-ab+1} over {x+b}]
[eqn: = {-ab+1} over {x+b} +a]

이때 함수 [eqn: f(x)`]의 그래프의 점근선의 방정식은

[eqn: x=it-b], [eqn: y=a`]이므로

[eqn: a=3], [eqn: b=it-2]

[eqn: f(x)= {7} over {x-2} +3`]이므로

[eqn: f(4)= {7} over {4-2} +3= {13} over {2} `]

9. [출제의도] 다항식을 인수분해하여 상수의 값을 구한다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{3} -3x ^{2} -12x-7`]이라 하면

[eqn: f(-1)=2 TIMES (-1) ^{3} -3 TIMES (-1) ^{2} -12 TIMES (-1)-7=0]

이므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x+1]을 인수로 갖는다.

조립제법을 이용하여 인수분해하면

[eqn: -1]		[eqn: 2]	[eqn: -3]	[eqn: -12]			[eqn: -7]
			[eqn: -2]	[eqn: 5]			[eqn: 7]
[eqn: -1]		[eqn: 2]	[eqn: -5]	[eqn: -7]			[eqn: 0]
			[eqn: -2]	[eqn: 7]
		[eqn: 2]	[eqn: -7]		[eqn: 0]

[eqn: 2x ^{3} -3x ^{2} -12x-7=(x+1) ^{2} (2x-7)`]에서

[eqn: a=1], [eqn: b=2], [eqn: c= it -7`]이므로

[eqn: a+b+c=1+2+(-7)= it -4`]

10. [출제의도] 원의 평행이동과 원의 성질을 이용하여 상수의 값을 구한다.

원 [eqn: C`]의 방정식은

[eqn: LEFT { (x-3)+1 RIGHT } ^{2} + LEFT { (y-a)+2 RIGHT } ^{2} =9]

[eqn: (x-2) ^{2} +(y-a+2) ^{2} =9]

원 [eqn: C`]의 넓이가 직선 [eqn: 3x+4y-7=0]에 의하여 이등분되려면 원 [eqn: C`]의 중심이 직선 [eqn: 3x+4y-7=0] 위에 있어야 한다.

원 [eqn: C`]의 중심의 좌표가 [eqn: (2,```a-2)`]이므로

[eqn: 3 TIMES 2+4(a-2)-7=0`]에서

[eqn: a= {9} over {4} `]

11. [출제의도] 집합의 성질과 집합 사이의 포함 관계를 이용하여 명제의 참, 거짓을 판단한다.

[eqn: A= LEFT { 1,```2,```3,```6 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 2,```3,```5,```7 RIGHT }]

ㄱ. [eqn: A SMALLINTER B][eqn: = LEFT { 2,```3 RIGHT }]이므로

[eqn: 5 NOTIN A SMALLINTER B] (참)

ㄴ. [eqn: B-A= LEFT { 5,```7 RIGHT }]이므로

[eqn: n LEFT ( B-A RIGHT ) =2] (참)

ㄷ. [eqn: A CUP B= LEFT { 1,```2,```3,```5,```6,```7 RIGHT }]

전체집합 [eqn: U`]의 부분집합 중에서 집합 [eqn: A CUP B]와 서      로소인 집합은 집합 [eqn: LEFT ( A cupB RIGHT ) ^{C}][eqn: = LEFT { 4,``8,``9,``10 RIGHT }]의       부분집합이므로 구하는 개수는 [eqn: 2 ^{4} =16`]이다. (참)

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 참이다.

12. [출제의도] 연립부등식의 영역을 좌표평면에 나타내고 그 넓이를 구한다.

주어진 부등식의 영역을 좌표평면에 나타내면 다음 그림의 어두운 부분(경계선 포함)이다.

그림과 같이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4`]와 직선 [eqn: y=it- sqrt {3} x]의 두 교점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하고,

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4`]와 직선 [eqn: y= sqrt {3} x-2 sqrt {3}]의 교점을 [eqn: rmC]라 하자.

[eqn: rmangleAOC=120°]이므로

부채꼴 [eqn: rmAOC]의 넓이는

[eqn: pi TIMES 2 ^{2} TIMES {120°} over {360°} = {4} over {3} pi]

삼각형 [eqn: rmOBC]는 정삼각형이므로

삼각형 [eqn: rmOBC]의 넓이는

[eqn: {sqrt {3}} over {4} TIMES 2 ^{2} = sqrt {3}]

따라서 구하는 영역의 넓이는 부채꼴 [eqn: rmAOC]의 넓이와 삼각형 [eqn: rmOBC]의 넓이의 합이므로 [eqn: {4} over {3} pi + sqrt {3} `]이다.

13. [출제의도] 두 직선의 수직 조건과 삼각형의 무게중심의 성질을 이용하여 주어진 값을 구한다.

직선 [eqn: rm AP`]의 기울기는 [eqn: {4-2} over {4-0} = {1} over {2}],

직선 [eqn: rm BP`]의 기울기는 [eqn: {4-2} over {4-n} = {2} over {4-n}]

이고 직선 [eqn: rm AP`]와 직선 [eqn: rm BP`]가 서로 수직이므로

기울기의 곱은 [eqn: -1`]이다.

즉, [eqn: {1} over {2} times {2} over {4-n} = it -1`]에서 [eqn: n=5]

세 점 [eqn: rm A it (0,``2)], [eqn: rm B it (5,``2)], [eqn: rm P it (4,``4)]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABP]의 무게중심의 좌표는

[eqn: LEFT ( {0+5+4} over {3} ,``` {2+2+4} over {3} RIGHT )]이므로 [eqn: LEFT ( 3,``` {8} over {3} RIGHT )`]이다.

따라서 [eqn: a=3], [eqn: b= {8} over {3} `]이므로

[eqn: a+b=3+ {8} over {3} = {17} over {3}]

14. [출제의도] 원의 성질과 자연수의 제곱의 합을 이용하여 [eqn: sum _{} ^{}]의 값을 구한다.

[eqn: ANGLE rm APB it =90°`]이므로 점 [eqn: rmP`]는 선분 [eqn: rmAB`]를 지름으로 하는 원 위의 점이다. 이때, 이 원의 지름의 길이는 [eqn: n]이므로

[eqn: a _{n} = pi TIMES LEFT ( {n} over {2} RIGHT ) ^{2} = {n ^{2}} over {4} pi]

[eqn: sum _{n=1} ^{8} a _{n}][eqn: = sum _{n=1} ^{8} {n ^{2}} over {4} pi]
[eqn: = {pi} over {4} sum _{n=1} ^{8} n ^{2}]
[eqn: = {pi } over {4} TIMES {8 TIMES 9 TIMES 17} over {6}]
[eqn: =51 pi `]

15. [출제의도] 상용로그의 뜻과 [eqn: sum _{} ^{}]의 성질을 이용하여 자연수의 값을 구한다.

[eqn: a _{n}][eqn: = sum _{k=1} ^{n} a _{k} - sum _{k=1} ^{n-1} a _{k}]
[eqn: =log`n-log(n-1)]
[eqn: =log` {n} over {n-1}] [eqn: (n GEQ 2)]

따라서 [eqn: 10 ^{a _{n}} = {n} over {n-1}][eqn: (n GEQ 2)]

[eqn: 10 ^{a _{n}} =1.04]에서

[eqn: {n} over {n-1} = {26} over {25}]이므로

[eqn: n=26]

16. [출제의도] 필요조건과 충분조건을 이용하여 최솟값을 구한다.

[eqn: p]는 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이므로 [eqn: P`subsetQ]   [eqn: CDOTS CDOTS ㉠`]

[eqn: r]는 [eqn: p`]이기 위한 필요조건이므로 [eqn: P`subsetR]   [eqn: CDOTS CDOTS ㉡`]

㉠ 에서 [eqn: a ^{2} -1=3] 또는 [eqn: b=3]

(ⅰ) [eqn: a ^{2} -1=3]일 때,
[eqn: a=it-2] 또는 [eqn: a=2]
㉡ 에서 [eqn: ab=3]이어야 한다. 즉,
[eqn: a=it-2], [eqn: b=it- {3} over {2}] 또는 [eqn: a=2], [eqn: b= {3} over {2}]

(ⅱ) [eqn: b=3]일 때,
㉡ 에서 [eqn: a=3] 또는 [eqn: ab=3]이어야 한다. 즉,
[eqn: a=3], [eqn: b=3] 또는 [eqn: a=1], [eqn: b=3]

(ⅰ), (ⅱ) 에 의하여 [eqn: a+b`]의 최솟값은

[eqn: (-2)+ LEFT ( - {3} over {2} RIGHT ) =it- {7} over {2}]

17. [출제의도] 실생활의 소재를 활용하여 로그의 값을 구한다.

약물 [eqn: A]의 흡수율과 배설률을 각각 [eqn: K _{A}], [eqn: E _{A}]라 하고,

약물 [eqn: B]의 흡수율과 배설률을 각각 [eqn: K _{B}], [eqn: E _{B}]라 하자.

주어진 조건에 의하여

[eqn: K _{A} =K _{B}], [eqn: E _{A} = {1} over {2} K _{A}], [eqn: E _{B} = {1} over {4} K _{B}]이므로

약물 [eqn: A]의 혈중 농도가 최고치에 도달하는 시간은

[eqn: 3][eqn: =c TIMES {`log`K _{A} -log`E _{A}} over {K _{A} -E _{A}}]
[eqn: =c TIMES {`log`K _{A} -log` {1} over {2} K _{A}} over {K _{A} - {1} over {2} K _{A}}]
[eqn: =c TIMES {`log`2} over {{1} over {2} K _{A}}]
[eqn: =c TIMES {`2log`2} over {K _{A}}]

이므로 [eqn: {`c} over {K _{A}} = {3} over {2log2}]

약물 [eqn: B]의 혈중 농도가 최고치에 도달하는 시간은

[eqn: c TIMES {`log`K _{B} -log`E _{B}} over {K _{B} -E _{B}}][eqn: =c TIMES {`log`K _{A} -log` {1} over {4} K _{A}} over {K _{A} - {1} over {4} K _{A}}]
[eqn: =c TIMES {`log`4} over {{3} over {4} K _{A}}]
[eqn: = {`c} over {K _{A}} TIMES {8`log`2} over {3}]
[eqn: = {3} over {2`log`2} TIMES {8`log`2} over {3}]
[eqn: =4`]이므로

[eqn: a=4]

18. [출제의도] 유리함수의 그래프를 이용하여 조건을 만족하는 상수의 값을 구한다.

직선 [eqn: y= it -x+6`]이 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B]라 하면 [eqn: rm A(6,``0)], [eqn: rm B(0,``6)]

삼각형 [eqn: rm OAB`]의 넓이는

[eqn: triangle rm OAB = 1 over 2 times 6 times 6 = 18]

함수 [eqn: y= k over x]의 그래프와 직선 [eqn: y=it-x+6]은 모두

직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이므로 삼각형 [eqn: rm OAP]와 삼각형 [eqn: rm OQB]의 넓이는 서로 같다. 삼각형 [eqn: rm OPQ]의 넓이가 [eqn: 14]이므로

[eqn: TRIANGLE rm OAP= TRIANGLE rm OQB= {1} over {2} (18-14)=2]

점 [eqn: rmP`]의 좌표를 [eqn: (a,```b)]라 하면

[eqn: TRIANGLE rm OAP= {1} over {2} TIMES 6 TIMES it b=2`]에서 [eqn: b= {2} over {3} `]이다.

점 [eqn: rmP`]는 직선 [eqn: y=it-x+6] 위의 점이므로

[eqn: b= it -a+6= {2} over {3} `]에서 [eqn: a= {16} over {3} `]이다.

또, 점 [eqn: rmP`]는 함수 [eqn: y= k over x]의 그래프 위의 점이므로

[eqn: k=ab= {16} over {3} TIMES {2} over {3} = {32} over {9}]

[다른풀이]

직선 [eqn: y=it-x+6]이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B]라 하면 [eqn: rm A(6,``0)], [eqn: rm B(0,``6)]

삼각형 [eqn: rm OAB]의 넓이는

[eqn: triangle rm OAB = 1 over 2 times 6 times 6 = 18]

함수 [eqn: y= k over x]의 그래프와 직선 [eqn: y=it-x+6]은 모두

직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이므로 삼각형 [eqn: rm OAP`]와 삼각형 [eqn: rm OQB`]의 넓이는 서로 같다.

삼각형 [eqn: rm OPQ`]의 넓이가 [eqn: 14]이므로

[eqn: TRIANGLE rm OAP= TRIANGLE rm OQB= {1} over {2} (18-14)=2]

세 삼각형 [eqn: rm OAP], [eqn: rm OPQ], [eqn: rm OQB`]의 넓이의 비와 세 선분 [eqn: rm {{AP}}], [eqn: rm PQ], [eqn: rm QB`]의 길이의 비가 같으므로

[eqn: rm {bar{AP}} `:` rm {bar{PQ}} `:` rm {bar{QB}} ``][eqn: =`2:14:2][eqn: = 1:7:1]

그러므로 점 [eqn: rm P]는 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 1:8`]로 내분하는 점이므로

[eqn: rm P LEFT ( {1 TIMES 0+8 TIMES 6} over {1+8} ,``` {1 TIMES 6+8 TIMES 0} over {1+8} RIGHT )] 즉, [eqn: rm P LEFT ( {16} over {3} ,``` {2} over {3} RIGHT )]

이때 점 [eqn: rm P`]는 함수 [eqn: y= {k} over {x} `]의 그래프 위의 점이므로

[eqn: k= {16} over {3} TIMES {2} over {3} = {32} over {9}]

[다른풀이]

원점에서 직선 [eqn: y=it-x+6`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 하면 직선 [eqn: rmOH`]와 직선 [eqn: y=it-x+6`]은 서로 수직이므로 기울기의 곱이 [eqn: -1`]이어야 한다. 따라서 직선 [eqn: rmOH`]의 방정식은 [eqn: y=x`]이고, 점 [eqn: rmH`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 3,```3 RIGHT ) `]이다.

[eqn: bar{rmOH}= sqrt {3 ^{2} +3 ^{2}} =3 sqrt {2} `]

삼각형 [eqn: rmOPQ`]의 넓이가 [eqn: 14`]이므로 삼각형 [eqn: rmOPH`]의 넓이는 [eqn: 7`]이다.

[eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rm OH it}} TIMES {bar{rmPH}} =7]

[eqn: {bar{rm PH it}} = {7 sqrt {2}} over {3}]

점 [eqn: rmP`]의 좌표를 [eqn: LEFT ( a,```-a+6 RIGHT ) `]이라 하면 점 [eqn: rmP`]와 직선 [eqn: x-y=0] 사이의 거리는 선분 [eqn: rmPH`]의 길이와 같으므로

[eqn: {LEFT | 2a-6 RIGHT |} over {sqrt {2}} `= {7 sqrt {2}} over {3} `]

[eqn: a>3`]이므로 [eqn: a= {16} over {3} `]

따라서 점 [eqn: rmP`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( {16} over {3} ,``` {2} over {3} RIGHT ) `]이고

[eqn: k= {16} over {3} times {2} over {3} = {32} over {9}]

19. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 수열의 일반항을 증명한다.

(ⅰ) [eqn: n=1`]일 때,

[eqn: a _{1} = {a _{1}` ^{2} +1} over {2a _{1}}]에서

[eqn: a _{1} ` ^{2} =1`], [eqn: a _{1} >0]이므로 (좌변)[eqn: =a _{1} =1],

(우변)[eqn: =1-0=1]

이다. 따라서 [eqn: n=1``]일 때 (*)이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m`]일 때 (*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: a _{m} = sqrt {m} - sqrt {m-1}]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} a _{k}][eqn: = sum _{k=1} ^{m} a _{k} +a _{m+1}]
[eqn: = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( sqrt {k} - sqrt {k-1} RIGHT ) +a _{m+1}] [eqn: =( sqrt {1} - sqrt {0} )+( sqrt {2} - sqrt {1} )+]
[eqn: CDOTS `+( sqrt {m} - sqrt {m-1} )+a _{m+1}]
[eqn: = {BOX{~^{`}sqrt {m}_{`}~}}`+a _{m+1}]

주어진 조건에서

[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} a _{k} = {a _{m+1} ` ^{2} +1} over {2a _{m+1}}]이므로

[eqn: {a _{m+1} `^{2} +1} over {2a _{m+1}} =][eqn: sqrt {m} +a _{m+1}]

즉,

[eqn: a _{m+1} ` ^{2} + {BOX{~ ^{`} 2 sqrt {m _{`}} ~}} ` TIMES a _{m+1} -1=0]

[eqn: a _{m+1} =it- sqrt {m} ± sqrt {m+1}]

이고, [eqn: a _{m+1} >0]이므로

[eqn: a _{m+1} = sqrt {m+1} - sqrt {m}]

이다. 따라서 [eqn: n=m+1`]일 때도 (*)이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여
[eqn: a _{n} = sqrt {n} - sqrt {n-1}]이다.

[eqn: f(m)= sqrt {m}], [eqn: g(m)=2 sqrt {m}]이므로

[eqn: f(49)+g(16)=7+8=15]

20. [출제의도] 부등식의 영역을 이용하여 집합의 포함 관계를 만족하는 실수의 최솟값을 구한다.

두 집합 [eqn: A], [eqn: B``]의 원소들을 좌표평면 위에 나타낼 때, 집합 [eqn: A`]가 나타내는 영역을 [eqn: D`], 집합 [eqn: B``]가 나타내는 영역을 [eqn: E``]라 하자.

부등식 [eqn: a LEQ x LEQ y LEQ a+1`]의 해는 연립부등식

[eqn: a LEQ x LEQ a+1`], [eqn: a LEQ y LEQ a+1`], [eqn: x{le}y`]

의 해와 일치한다.

따라서 그림에서 영역 [eqn: D`]는 곡선 [eqn: y=2-x ^{2} `] 및 그 아랫부분이고, 영역 [eqn: E`]는 빗변의 길이가 [eqn: sqrt {2} `]이고, 빗변이 직선 [eqn: y=x] 위에 있는 직각이등변삼각형과 그 내부이다. 이때, 직각이등변삼각형의 왼쪽 위의 점을 [eqn: rmP], 오른쪽 위의 점을 [eqn: rm Q`]라 하면 두 점의 좌표는 각각 [eqn: (a,```a+1)`], [eqn: (a+1,```a+1)]이다.

[eqn: A SMALLINTER B=B`]이면 [eqn: B SUBSET A``]이므로 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 영역 [eqn: D``]에 속하면 된다.

(ⅰ) 점 [eqn: rmP][eqn: (a,```a+1)`]이 영역 [eqn: D``]에 속하려면

[eqn: a+1 ≤2- a^2`]

[eqn: a^2 + a -1 ≤0`]

이므로 [eqn: { -1 - root5 } over 2 ≤a ≤ { -1+ root5 } over 2]

(ⅱ) 점 [eqn: rmQ][eqn: (a+1,```a+1)`]이 영역 [eqn: D``]에 속하려면

[eqn: a+1 ≤2- (a+1)^2`]

[eqn: (a+1)^2 +(a+1) -2 ≤0`]

[eqn: (a+1+2)(a+1-1)≤0`]

[eqn: a(a+3)≤0`]

이므로 [eqn: -3≤a ≤0]

(ⅰ), (ⅱ) 를 동시에 만족하는 [eqn: a`]의 값의 범위는

[eqn: { -1 - root5 } over 2 ≤a ≤ 0]이므로

[eqn: a`]의 최솟값은 [eqn: { -1 - root5 } over 2]

[다른풀이]

두 집합 [eqn: A], [eqn: B``]의 원소들을 좌표평면 위에 나타낼 때, 집합 [eqn: A]가 나타내는 영역을 [eqn: D`], 집합 [eqn: B``]가 나타내는 영역을 [eqn: E``]라 하자.

부등식 [eqn: a LEQ x LEQ y LEQ a+1`]의 해는 연립부등식

[eqn: a LEQ x LEQ a+1`], [eqn: a LEQ y LEQ a+1`], [eqn: x{le}y`]

의 해와 일치한다.

따라서 그림에서 영역 [eqn: D`]는 곡선 [eqn: y=2-x ^{2} `] 및 그 아랫부분이고, 영역 [eqn: E`]는 빗변의 길이가 [eqn: sqrt {2} `]이고, 빗변이 직선 [eqn: y=x] 위에 있는 직각이등변삼각형과 그 내부이다. 이때, 직각이등변삼각형의 왼쪽 위의 점을 [eqn: rmP]라 하면 점 [eqn: rmP]는 직선 [eqn: y=x+1`] 위의 점이다.

이차함수 [eqn: y=2-x ^{2} `]의 그래프가 위로 볼록이고, [eqn: A SMALLINTER B=B`]이면 [eqn: B SUBSET A`]이므로 [eqn: a`]의 최솟값은 이차함수 [eqn: y=2-x ^{2} `]의 그래프와  직선 [eqn: y=x+1`]이 만나는 점의 [eqn: x`]좌표 중 작은 값이다.

[eqn: 2-x ^{2} `=x+1`]

[eqn: x ^{2} +x-1=0]

[eqn: x= {-1± sqrt {5}} over {2}]

이므로 [eqn: a`]의 최솟값은 [eqn: {-1- sqrt {5}} over {2} `]이다.

21. [출제의도] 원과 선분이 만날 때 두 점 사이의 거리의 최댓값과 최솟값을 구한다.

원의 중심 [eqn: rmP`]가 나타내는 영역은 선분 [eqn: rmAB`] 위의 모든 점과의 거리가 원의 반지름의 길이인 [eqn: 1]보다 작거나 같은 점들의 집합이다. 따라서 그림과 같이 점 [eqn: rm B it (4,```3)`]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원 [eqn: C _{1} `]의 둘레 및 내부, 점 [eqn: rm A it (1,```-1)`]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원 [eqn: C _{2} `]의 둘레 및 내부 그리고 직선 [eqn: rmAB]와의 거리가 [eqn: 1]인 두 선분으로 둘러싸인 영역의 경계와 내부이다.

직선 [eqn: rmOB`]가 원 [eqn: C _{1} `]과 만나는 점 중 원점으로부터 더 멀리 떨어진 점을 [eqn: rmP _{1} `]이라 하면 선분 [eqn: rmOP`]의 길이의 최댓값은 선분 [eqn: rmOP _{1} `]의 길이와 같다.

[eqn: M= {bar{rm OP _{1} it}} = sqrt {4 ^{2} +3 ^{2}} +1][eqn: =6`]

원점 [eqn: rmO`]에서 선분 [eqn: rmAB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 할 때, 선분 [eqn: rmOP`]의 길이의 최솟값은 선분 [eqn: rmOH`]의 길이에서 원의 반지름의 길이인 [eqn: 1`]을 뺀 선분 [eqn: rmOP_2`]의 길이와 같다.

이때, 선분 [eqn: rmOH]의 길이는 원점 [eqn: rmO`]와 직선 [eqn: rmAB`] 사이의 거리이므로 직선 [eqn: rmAB`]의 방정식은

[eqn: y= {3-(-1)} over {4-1} (x-1)-1`]

[eqn: 4x-3y-7=0]

[eqn: m][eqn: = {bar{rm OP _{2} it}} = {bar{rm OH it}} -1]
[eqn: = {LEFT | -7 RIGHT |} over {sqrt {4 ^{2} +3 ^{2}}} -1][eqn: = {2} over {5} `]

[eqn: M+m=6+ {2} over {5}][eqn: = {32} over {5} `]

22. [출제의도] 나머지정리를 이용하여 다항식의 나머지를 구한다.

다항식 [eqn: x ^{2} -x+4`]를 [eqn: P`(x)`]라 할 때,

다항식 [eqn: x ^{2} -x+4`]를 [eqn: x-3`]으로 나눈 나머지는 나머지정리에 의하여

[eqn: P`(3)=3 ^{2} -3+4=10]

23. [출제의도] 역함수의 뜻을 이용하여 함수의 식을 구한다.

함수 [eqn: y= sqrt {ax+b} `]의 역함수의 그래프가 두 점 [eqn: (2,```0)`], [eqn: (5,```7)`]을 지나므로 함수 [eqn: y= sqrt {ax+b} `]의 그래프는 두 점 [eqn: (0,```2)], [eqn: (7,```5)`]를 지난다.

[eqn: 2= sqrt {b} `]에서 [eqn: b=4]

[eqn: 5= sqrt {7a+b} `]에서 [eqn: 7a+b=25]

[eqn: a=3] 이므로

[eqn: a+b=7`]

24. [출제의도] 이차부등식의 해를 이용하여 이차함수의 함숫값을 구한다.

부등식 [eqn: f(x) LEQ 0]의 해가 [eqn: -3 LEQ x LEQ 0`]이므로

이차함수 [eqn: f(x)`]는

[eqn: f(x)=ax(x+3)] ([eqn: a>0]) 이고,

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) it `=`8`]이므로

[eqn: f(1)=a(1+3)=8]

[eqn: a=2]

따라서 [eqn: f(x)=2x(x+3)]이므로

[eqn: f(4)=56`]

25. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 식의 값을 구한다.

[eqn: 9^a =8`]이므로

[eqn: {3 ^{a} -3 ^{-a}} over {3 ^{a} +3 ^{-a}}][eqn: = {3 ^{2a} -1} over {3 ^{2a} +1}]
[eqn: = {9 ^{a} -1} over {9 ^{a} +1}]
[eqn: = {8-1} over {8+1}]

[eqn: = {7} over {9}]

따라서 [eqn: p=9], [eqn: q=7]이므로

[eqn: p+q=16`]

26. [출제의도] 실생활의 소재를 활용하여 집합의 원소의 개수를 구한다.

이 학교 학생 전체의 집합을 [eqn: U], 두 체험 활동 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 신청한 학생의 집합을 각각 [eqn: A], [eqn: B`]라 하면 어느 체험 활동도 신청하지 않은 학생의 집합은 [eqn: A^C SMALLINTER B^C`]이고, 하나 이상의 체험 활동을 신청한 학생의 집합은 [eqn: A cup B`]이다.

[eqn: n(U)=200]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉠`]

[eqn: n(A)=n(B)+20]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉡`]

[eqn: n(A ^{C} SMALLINTER B ^{C} `)=n(A` CUP B)-100`]       [eqn: CDOTS CDOTS ㉢`]

[eqn: A ^{C} capB ^{C} = LEFT ( A`cupB RIGHT ) ^{C}]이므로

[eqn: n(A ^{C} SMALLINTER B ^{C} `)=n(U)-n(A` CUP B)]

㉠, ㉢ 에서

[eqn: n(A`cupB)= {1} over {2} left{n(U)+100right}][eqn: =150]

[eqn: n(A`cupB)=n(A)+n(B)-n(A`capB)]

이므로 ㉡ 에서

[eqn: 2TIMES n(A)-20-n(A` SMALLINTER B)=150]

[eqn: n(A)= {1} over {2} LEFT { n(A` SMALLINTER B)+170 RIGHT }]

한편, 체험 활동 [eqn: rmA]만 신청한 학생의 집합은 [eqn: A-B``]이므로

[eqn: n(A-B)][eqn: =n(A)-n(A` SMALLINTER B)]
[eqn: = {1} over {2} LEFT { 170-n(A` SMALLINTER B) RIGHT }]

이때 [eqn: 0 LEQ `n(A` SMALLINTER B) LEQ `n(B)]이므로

[eqn: n(A-B)` LEQ ` {170-0} over {2} =85]

따라서 체험 활동 [eqn: rmA]만 신청한 학생 수의 최댓값은 [eqn: 85]이다.

27. [출제의도] 대칭이동을 이용하여 주어진 도형의 넓이를 구한다.

두 직선 [eqn: rm AB], [eqn: rm OD]의 교점을 [eqn: rmE], 직선 [eqn: rm AB]와 직선 [eqn: y=x]의 교점을 [eqn: rm F]라 하자. 직선 [eqn: rmAB]의 방정식은

[eqn: y-0= {2-0} over {1-2} LEFT ( x-2 RIGHT )] 즉, [eqn: y=it-2x+4]

이다. 점 [eqn: rm B LEFT ( 1,```2 RIGHT )]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점 [eqn: rmD`]의 좌표는 [eqn: (2,```1)`]이므로

직선 [eqn: rm OD]의 방정식은 [eqn: y= {1} over {2} x`]이다.

[eqn: -2x+4= {1} over {2} x]에서 [eqn: x= {8} over {5}]

[eqn: -2x+4=x]에서 [eqn: x= {4} over {3}]

이므로 두 점 [eqn: rmE], [eqn: rmF]의 [eqn: x]좌표는 각각 [eqn: {8} over {5}], [eqn: {4} over {3}]이다.

[eqn: TRIANGLE rm OAF it `:` TRIANGLE rm OEF it][eqn: = {bar{rm AF it}}` :` {bar{rm EF it}}]
[eqn: = LEFT | 2- {4} over {3} RIGHT |` :` LEFT | {8} over {5} - {4} over {3} RIGHT |]
[eqn: =5:2]

이므로 삼각형 [eqn: rm OEF`]의 넓이는 삼각형 [eqn: rm OAF`]의 넓이의 [eqn: {2} over {5}]배이다. 따라서

[eqn: S][eqn: = LEFT ( {1} over {2} TIMES 2 TIMES {4} over {3} RIGHT ) TIMES {2} over {5} TIMES 2][eqn: = {16} over {15}]이므로

[eqn: 60S=64`]

[다른풀이]

두 직선 [eqn: rm AB], [eqn: rm OD]의 교점을 [eqn: rmE], 직선 [eqn: rm AB]와 직선 [eqn: y=x]의 교점을 [eqn: rm F]라 하자.

직선 [eqn: rmAB]의 방정식은

[eqn: y-0= {2-0} over {1-2} LEFT ( x-2 RIGHT )] 즉, [eqn: y=it-2x+4]

이다. 점 [eqn: rm B LEFT ( 1,```2 RIGHT )]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점 [eqn: rmD`]의 좌표는 [eqn: (2,```1)`]이므로

직선 [eqn: rm OD]의 방정식은 [eqn: y= {1} over {2} x`]이다.

[eqn: -2x+4= {1} over {2} x]에서 [eqn: x= {8} over {5}]

[eqn: -2x+4=x]에서 [eqn: x= {4} over {3}]

이므로 두 점 [eqn: rmE], [eqn: rmF]의 좌표는 각각

[eqn: rm E LEFT ( {8} over {5} ,``` {4} over {5} RIGHT )], [eqn: rm F LEFT ( {4} over {3} ,``` {4} over {3} RIGHT ) `]

[eqn: rm {bar{OE}} `= sqrt {LEFT ( {8} over {5} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) ^{2}} = {4 sqrt {5}} over {5}]

[eqn: rm {bar{EF}} `][eqn: = sqrt {LEFT ( {4} over {3} - {8} over {5} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {4} over {3} - {4} over {5} RIGHT ) ^{2}}]
[eqn: = sqrt {LEFT ( - {4} over {15} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {8} over {15} RIGHT ) ^{2}} = {4 sqrt {5}} over {15}]

이때, 두 직선 [eqn: rm AB], [eqn: rm OD]의 기울기의 곱이 [eqn: -1]이므로 삼각형 [eqn: rm OEF`]는 직각삼각형이다.

[eqn: TRIANGLE rm OEF= {1} over {2} TIMES {4 sqrt {5}} over {5} TIMES {4 sqrt {5}} over {15} = {8} over {15}]

따라서 [eqn: S= {8} over {15} TIMES 2= {16} over {15}]이므로

[eqn: 60S=64]

28. [출제의도] 등차수열과 등비수열을 이용하여 함수의 식을 구한다.

함수 [eqn: g(x) = 2x^2 -3x+1 = (x-1)(2x-1)]이므로 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프의 교점의 좌표는 [eqn: (1,```0)]이다.

조건 (가)에서 [eqn: h(2)], [eqn: h(3)], [eqn: h(4)]가 이 순서대로 등차수열을 이루려면 좌표평면 위의 세 점

[eqn: (2, ```h(2))], [eqn: (3,```h(3))], [eqn: (4,```h(4))]

는 직선 [eqn: y=f(x)] 위의 점이다.

[eqn: h(2)=f(2) = k],

[eqn: h(3) = f(3) =2k],

[eqn: h(4) = f(4)=3k]

조건 (나)에서 [eqn: h(3)], [eqn: h(4)], [eqn: h(5)]가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: h(3)=2k], [eqn: h(4) =3k`]이므로 이 등비수열의 공비는 [eqn: 3 over 2]이다. 따라서 [eqn: h(5) = 9 over 2 k`]이다.

이때 [eqn: f(5)=4k`]이고, [eqn: k!=0]이므로 [eqn: f(5)]는 [eqn: h(5)]의 값이 될 수 없다.

따라서 [eqn: h(5)=g(5)]에서 [eqn: {9} over {2} k=36`]이므로

[eqn: k=8`]

[참고]

[eqn: k=0]이면 [eqn: f(x)=0]이 되어 조건을 만족시키지 않는다.

29. [출제의도] 부등식의 영역을 이용하여 수열의 항을 구한다.

[eqn: {y-10} over {4} LEQ x LEQ n]에서 [eqn: {y-10} over {4} LEQ`x]이고 [eqn: x le n]

즉, [eqn: y LEQ 4x+10]이고 [eqn: x le n]이다.

이때 정사각형의 왼쪽 아래의 꼭짓점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: k]([eqn: 1 le k le n-1])이고 주어진 부등식의 영역에 포함되는 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형의 개수는 [eqn: 4k+9]이므로

[eqn: a _{n}][eqn: = sum _{k=1} ^{n-1} (4k+9)]
[eqn: =4 TIMES {(n-1)n} over {2} +9(n-1)]
[eqn: =(2n+9)(n-1)]

따라서 [eqn: a _{2} =13], [eqn: a _{6} =105]이므로

[eqn: a _{2} +a _{6} =118`]

30. [출제의도] 삼차방정식의 근을 이용하여 순서쌍의 개수를 구한다.

[eqn: ax ^{3} +2bx ^{2} +4bx+8a`]

[eqn: =a(x ^{3} +8)+2bx(x+2)`]

[eqn: =a(x+2) LEFT ( x ^{2} -2x+4 RIGHT ) +2bx(x+2)`]

[eqn: =(x+2) LEFT { ax ^{2} -2(a-b)x+4a RIGHT } `]

[eqn: =0`]

이므로 이차방정식

[eqn: LEFT . ax ^{2} -2(a-b)x+4a=0] [eqn: (a!=0)]

은 [eqn: -2`]가 아니고 정수인 서로 다른 두 근을 가져야 한다. 이때, 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 곱이 [eqn: {4a} over {a} =4]이므로 가능한 서로 다른 두 근은

[eqn: x=1], [eqn: x=4] 또는 [eqn: x= it -1], [eqn: x= it -4]

이다.

따라서 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 합은

[eqn: {2(a-b)} over {a} =5] 또는 [eqn: {2(a-b)} over {a} = it -5]

이어야 하므로

[eqn: b= it - {3} over {2} a] 또는 [eqn: b= {7} over {2} a] [eqn: (a!=0)]

(ⅰ) [eqn: b= it - {3} over {2} a`]일 때
[eqn: a=32`]이면 [eqn: b= it - {3} over {2} TIMES 32= it -48`]이므로
순서쌍 [eqn: (a,```b)`]는
[eqn: (2,```-3)`], [eqn: (4,```-6)`], [eqn: CDOTS `], [eqn: (32,```-48)`],
[eqn: (-2,```3)`], [eqn: (-4,```6)`], [eqn: CDOTS `], [eqn: (-32,```48)`]
의 [eqn: 32]개이다.

(ⅱ) [eqn: b= {7} over {2} a`]일 때
[eqn: a=14`]이면 [eqn: b= {7} over {2} times14=49`]이므로
조건을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (a,```b)`]는
[eqn: (2,```7)`], [eqn: (4,```14)`], [eqn: CDOTS `], [eqn: (14,```49)`],
[eqn: (-2,```-7)`], [eqn: (-4,```-14)`], [eqn: CDOTS `], [eqn: (-14,```-49)`]
의 [eqn: 14]개이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 조건을 만족하는 순서쌍 [eqn: (a,```b)`]의 개수는 [eqn: 32+14=46`]이다.

수학 나형 정답

1	③	2	②	3	③	4	⑤	5	④
6	②	7	①	8	②	9	①	10	④
11	⑤	12	③	13	④	14	⑤	15	①
16	④	17	②	18	①	19	③	20	⑤
21	⑤	22	[eqn: 24]	23	[eqn: 3]	24	[eqn: 7]	25	[eqn: 40]
26	[eqn: 16]	27	[eqn: 36]	28	[eqn: 26]	29	[eqn: 11]	30	[eqn: 435]

해 설

1. [출제의도] 다항식의 덧셈을 계산한다.

두 다항식 [eqn: A=x ^{2} -y ^{2} `], [eqn: B=2x ^{2} +y ^{2} `]에서

[eqn: A+B][eqn: = LEFT ( x ^{2} -y ^{2} RIGHT ) + LEFT ( 2x ^{2} +y ^{2} RIGHT ) `][eqn: =3x ^{2} `]

2. [출제의도] 복소수의 곱셈을 계산한다.

[eqn: i(1+i)][eqn: =i+i^2][eqn: = i+(-1)][eqn: =it-1+i]

3. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 지수를 계산한다.

[eqn: 3 ^{{1} over {2}} TIMES 3 ^{- {1} over {2}}][eqn: =3 ^{{1} over {2} + LEFT ( - {1} over {2} RIGHT )}][eqn: =3 ^{0}][eqn: =1]

4. [출제의도] 내분점의 좌표를 구한다.

두 점 [eqn: {rmO}(0,```0)`], [eqn: rm A it (8,```0)`]을 [eqn: 3:1`]로 내분하는 점의 좌표는

[eqn: LEFT ( {3 TIMES 8+1 TIMES 0} over {3+1} ,``` {3 TIMES 0+1 TIMES 0} over {3+1} RIGHT )]이므로 [eqn: (6,```0)]

5. [출제의도] 역함수의 성질을 이용하여 함숫값을 구한다.

[eqn: f ^{`-1} (2)=a`]라 하면 역함수의 성질에 의하여 [eqn: f(a)=2]이므로

[eqn: f(a)=3a-1][eqn: =2]

따라서 [eqn: a=1`]이므로

[eqn: f ^{`-1} (2)=1]

[다른풀이]

[eqn: y=3x-1`]에서

[eqn: 3x=y+1`]

[eqn: x= {1} over {3} y+ {1} over {3} `]

위의 식에서 [eqn: x`]와 [eqn: y`]를 서로 바꾸면

[eqn: y= {1} over {3} x+ {1} over {3} `]이고,

[eqn: f ^{`-1} (x)= {1} over {3} x+ {1} over {3} `]이므로

[eqn: f ^{`-1} (2)][eqn: = {2} over {3} + {1} over {3}]
[eqn: =1]

6. [출제의도] 등비수열의 항의 값을 구한다.

등비수열 [eqn: "{"a_ n "}"]에서 [eqn: a_3]은 [eqn: a_2]와 [eqn: a_4]의 등비중항이므로

[eqn: a _{3} ` ^{2}][eqn: =a _{2} TIMES a _{4}]
[eqn: = 2 times 18]
[eqn: =36]

이고, [eqn: a_3 >0]이므로

[eqn: a_3 = 6]

[다른풀이]

등비수열의 첫째항을 [eqn: a`], 공비를 [eqn: r`]라 하면

[eqn: a _{2} =a _{} r=2]   [eqn: CDOTS CDOTS ㉠`]

[eqn: a_4 = ar^3][eqn: =18] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡`]

[eqn: ㉡÷㉠`]에서

[eqn: r ^{2} =9`]

이고, [eqn: r>0`]이므로

[eqn: r=3`]

㉠ 에 대입하면

[eqn: 3a=2`], [eqn: a= {2} over {3} `]

이므로

[eqn: a _{3}][eqn: =ar ^{2}]
[eqn: = 2 over 3 times 3^2]
[eqn: =6`]

7. [출제의도] 연립이차방정식의 해를 구한다.

[eqn: {cases{`x-y=3 _{`}&&{} _{`} CDOTS CDOTS ㉠#`xy+x+1=0 ^{`}&&{} ^{`} CDOTS CDOTS ㉡}} ``]

이라 하면 ㉠ 에서

[eqn: y=x-3`]         [eqn: cdotscdots㉢]

이고, ㉢ 을 ㉡ 에 대입하면

[eqn: x(x-3)+x+1=0`]

[eqn: x ^{2} -2x+1=0`]

[eqn: (x-1) ^{2} =0`]

[eqn: x=1`]

[eqn: x=1`]을 ㉢ 에 대입하면

[eqn: y= it -2`]

따라서 [eqn: a=1`], [eqn: b=it-2`]이므로

[eqn: a+b= it -1`]

8. [출제의도] 무리함수의 평행이동을 이용하여 상수의 값을 구한다.

무리함수 [eqn: y= sqrt {ax} `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -2`]만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수의 식은

[eqn: y= sqrt {a(x-1)} -2`]

이 함수의 그래프가 원점을 지나므로

[eqn: 0 = sqrt{a times (-1)} -2]

[eqn: sqrt{-a} =2]

[eqn: -a=4`]

[eqn: a= it -4`]

9. [출제의도] 로그의 계산을 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

[eqn: 100`]개의 자료를 처리할 때의 시간복잡도 [eqn: T _{1} `]은

[eqn: {T _{1}} over {100} =log`100`]

에서

[eqn: T _{1} =200`]

[eqn: 1000`]개의 자료를 처리할 때의 시간복잡도 [eqn: T _{2} `]는

[eqn: {T _{2}} over {1000} =log`1000`]

에서

[eqn: T _{2} =3000`]

따라서

[eqn: {T _{2}} over {T _{1}} = {3000} over {200}][eqn: =15`]

10. [출제의도] 삼차방정식의 허근을 구한다.

방정식 [eqn: x ^{3} +8=0`]의 좌변을 인수분해하면

[eqn: (x+2)(x^2 -2x+4)=0]

이므로

[eqn: x= it -2] 또는 [eqn: x^2 -2x+4=0]

[eqn: x ^{2} -2x+4=0`]의 근을 구하면

[eqn: x= 1+- sqrt3 i]

따라서 방정식 [eqn: x ^{3} +8=0`]의 근은

[eqn: x=it-2] 또는 [eqn: x=1+sqrt3 i] 또는 [eqn: x= 1-sqrt3 i]

이때

[eqn: x= it -2+0i`]의 허수부분은 [eqn: 0`],

[eqn: x=1+ sqrt {3} i`]의 허수부분은 [eqn: sqrt {3} `],

[eqn: x=1- sqrt {3} i`]의 허수부분은 [eqn: - sqrt {3} `]

이다.

따라서 [eqn: alpha`]의 값은 [eqn: 1+ sqrt {3} i`]이므로

[eqn: bar{alpha}=1-root{3}i`]

[eqn: alpha-bar{alpha][eqn: =1+ sqrt {3} i- ({bar{1+ sqrt {3} i}})][eqn: =1+ sqrt3 i - (1- sqrt3 i )]
[eqn: = 2sqrt3 i]

11. [출제의도] 필요충분조건을 이용하여 실수의 값을 구한다.

두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]의 진리집합을 각각 [eqn: P`], [eqn: Q`]라 하자.

조건 [eqn: p`:`x ^{2} -2x-3 LEQ 0`]에서

[eqn: (x-3)(x+1) LEQ 0`]이므로

[eqn: P= LEFT { `x` LEFT | `-1 LEQ x LEQ 3` RIGHT } RIGHT .]

조건 [eqn: q`:` LEFT | x-a RIGHT | LEQ b`]에서

[eqn: -b LEQ x-a LEQ b`]

[eqn: a-b{le}x{le}a+b`]이므로

[eqn: Q= LEFT { `x` LEFT | `a-b LEQ x LEQ a+b` RIGHT } ` RIGHT .]

[eqn: p`]는 [eqn: q`]이기 위한 필요충분조건이므로 [eqn: P`=Q`]이어야 한다. 따라서 두 등식 [eqn: a-b=it-1`], [eqn: a+b=3`]을 연립하여 풀면 [eqn: a=1`], [eqn: b=2`]이므로

[eqn: ab=2`]

12. [출제의도] 두 직선이 서로 수직이 되는 기울기를 구한다.

선분 [eqn: rm BC`]의 중점을 [eqn: rm M`]이라 하자.

삼각형 [eqn: rm ABC`]는 [eqn: rm {bar{AB}} = {bar{AC}} `]인 이등변삼각형이고 밑변 [eqn: rm BC`]의 중점이 [eqn: rm M]이므로 두 선분 [eqn: rm AM`], [eqn: rm BC`]는 서로 수직이다.

점 [eqn: rm M`]은 직선 [eqn: y=m(x-2)`]와 [eqn: y`]축이 만나는 점이므로 [eqn: rm M(0,``` it -2m)`]이다.

직선 [eqn: rm BC`]의 기울기는 [eqn: m`]이고,

두 점 [eqn: rm A(-2,```3)`], [eqn: rm M(0,``` it -2m)`]에서

(직선 [eqn: rm AM`]의 기울기)[eqn: = {-2m-3} over {0-(-2)}]
[eqn: = {-2m-3} over {2} `]

두 직선이 서로 수직일 때 두 직선의 기울기의 곱은 [eqn: -1`]이므로

[eqn: m TIMES {-2m-3} over {2} =it-1]

[eqn: 2m^2 +3m-2=0]

[eqn: (m+2 ) (2m-1) = 0]

[eqn: m>0`]이므로

[eqn: m = 1 over 2]

13. [출제의도] 유리함수의 그래프의 성질을 이용하여 점근선의 교점을 구한다.

[eqn: f(x)][eqn: = {x+1} over {2x-1}]
[eqn: = {{1} over {2} (2x-1)+ {3} over {2}} over {2x-1}]
[eqn: = {{3} over {2}} over {2x-1} + {1} over {2} `]
[eqn: = {{3} over {4}} over {x- {1} over {2}} + {1} over {2}]

이므로 유리함수 [eqn: f(x)= {{3} over {4}} over {x- {1} over {2}} + {1} over {2} `]의 그래프는 유리함수 [eqn: y= {{3} over {4}} over {x} `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: {1} over {2} `]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: {1} over {2} `]만큼 평행이동한 그래프이다.

유리함수 [eqn: f(x)= {{3} over {4}} over {x- {1} over {2}} + {1} over {2} `]의 그래프는 두 점근선의 교점 [eqn: LEFT ( {1} over {2} ,``` {1} over {2} RIGHT ) `]에 대하여 대칭이므로 [eqn: p= {1} over {2} `], [eqn: q= {1} over {2} `]이다.

따라서 [eqn: p+q=1`]

[참고]

유리함수 [eqn: y= {cx+d} over {ax+b} `](단, [eqn: a != 0`], [eqn: ad-bc!=0`])의 그래프의 점근선의 방정식은 [eqn: x=it- {b} over {a} `], [eqn: y= {c} over {a} `]이고, 그래프는 두 점근선의 교점 [eqn: LEFT ( - {b} over {a} ,``` {c} over {a} RIGHT ) `]에 대하여 대칭이다.

14. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 상용로그를 계산한다.

[eqn: f(log _{`3} `6)= {log _{`3}` 6+1} over {2`log _{`3}` 6-1}]에서

[eqn: log _{`3} `6+1][eqn: =log _{`3} `6+log _{`3} `3][eqn: =log _{`3} `18]

[eqn: 2`log _{`3}` 6-1][eqn: =log _{`3}` 6 ^{2} -log _{`3} `3][eqn: =log _{`3}` 12]

로그의 밑의 변환 공식에 의하여

[eqn: f(log _{`3} `6)][eqn: = {log _{`3} `18} over {log _{`3} `12}]
[eqn: = {{log`18} over {log`3}} over {{log`12} over {log`3}}]
[eqn: = {log`18} over {log`12}]
[eqn: = {log`(2 TIMES 3 ^{2} )} over {log`(2 ^{2} TIMES 3)}]
[eqn: = {log`2+2`log`3} over {2`log`2+log`3}]
[eqn: = {a+2b} over {2a+b}]

[다른풀이]

[eqn: log _{`3} `6][eqn: = {log`6} over {log`3}]
[eqn: = {log`(2 times 3)} over {log`3}]
[eqn: = {log`2+log`3} over {log`3}]
[eqn: = {a+b} over {b}]

[eqn: f(log _{`3} `6)][eqn: =f` LEFT ( {a+b} over {b} RIGHT )]
[eqn: = {{a+b} over {b} ＋１} over {2 times {a+b} over {b} -1}]
[eqn: = { {a+2b} over {b}} over {{2a+b} over {b}}]
[eqn: = {{a+2b} over {b} TIMES b} over {{2a+b} over {b} TIMES b}]
[eqn: = {a+2b} over {2a+b}]

15. [출제의도] 이차함수와 직선의 위치 관계를 이용하여 이차함수의 최댓값을 구한다.

이차방정식 [eqn: h(x)=0`]의 두 근이 [eqn: 2`]와 [eqn: 6`]이므로 인수정리에 의하여 [eqn: h(x)=k(x-2)(x-6)`]이다.

이때 [eqn: g(x)`]는 일차함수이고 [eqn: f(x)`]는 이차항의 계수가 [eqn: -1`]인 이차함수이므로 함수 [eqn: h(x)`]는 이차함수이고 이차항의 계수는 [eqn: -1`]이다.

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `][eqn: = it -(x-2)(x-6)]
[eqn: =it-x ^{2} +8x-12]
[eqn: =it-(x-4) ^{2} +4]

이므로 함수 [eqn: h(x)`]는 [eqn: x=4`]에서 최댓값 [eqn: 4`]를 갖는다.

[eqn: p=4`], [eqn: q=4`]이므로

[eqn: p+q=8`]

16. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 수열의 일반항을 증명한다.

(ⅰ) [eqn: n=1`]일 때,
[eqn: a _{1} = {a _{1} `^{2} +1} over {2a _{1}}]에서
[eqn: a _{1} ` ^{2} =1`]
[eqn: a _{1} >0]이므로
(좌변)[eqn: =a _{1} =1],
(우변)[eqn: = 1 - 0 =1]
따라서 [eqn: n=1`]일 때 (*)이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m`]일 때 (*)이 성립한다고 가정하면
[eqn: a _{m} = sqrt {m} - sqrt {m-1}]이므로
[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} a _{k}][eqn: = sum _{k=1} ^{m} a _{k} +a _{m+1}]
[eqn: = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( sqrt {k} - sqrt {k-1} RIGHT ) +a _{m+1}]
[eqn: =( sqrt {1} - sqrt {0} )+( sqrt {2} - sqrt {1} )+]
[eqn: CDOTS `+( sqrt {m} - sqrt {m-1} )+a _{m+1}]
[eqn: = {BOX{~^{`}sqrt {m}_{`}~}} `+a _{m+1}]
주어진 조건에서
[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} a _{k} = {a _{m+1}` ^{2} +1} over {2a _{m+1}}]이므로
[eqn: {a _{m+1}` ^{2} +1} over {2a _{m+1}} =][eqn: sqrt {m} +a _{m+1}]
즉,
[eqn: a _{m+1} ` ^{2} +2 sqrt {m} TIMES a _{m+1} -1=0]
[eqn: a _{m+1} =it- sqrt {m} ± sqrt {m+1}]
이고, [eqn: a _{m+1} >0]이므로
[eqn: a _{m+1} =box{~ ^{`}sqrt {m+1}_{`}~}` - sqrt {m}]
이다. 따라서 [eqn: n=m+1``]일 때도 (*)이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여
[eqn: a _{n} = sqrt {n} - sqrt {n-1}]이다.

[eqn: f(m)= sqrt {m}], [eqn: g(m)= sqrt {m+1} `]이므로

[eqn: f(25)+g(35)=5+6][eqn: =11`]

17. [출제의도] 인수분해를 이용하여 자연수의 값을 구한다.

[eqn: a ^{2} b+2ab+a ^{2} +2a+b+1`]을 [eqn: b`]에 대하여 내림차순으로 정리하여 인수분해하면

[eqn: (a ^{2} +2a+1)b+a ^{2} +2a+1`]

[eqn: =(a+1) ^{2} `b+(a+1) ^{2}]

[eqn: =(a+1) ^{2} (b+1)]

위의 식의 값이 [eqn: 245=7 ^{2} TIMES 5`]이므로

[eqn: (a+1) ^{2} (b+1)=7 ^{2} times5]

[eqn: a`], [eqn: b`]는 자연수이므로

[eqn: a+1=7`], [eqn: b+1=5`]

따라서 [eqn: a=6`], [eqn: b=4`]이므로

[eqn: a+b=10`]

[다른풀이]

[eqn: a ^{2} b+2ab+a ^{2} +2a+b+1`]을 [eqn: a`]에 대하여 내림차순으로 정리하여 인수분해하면

[eqn: (b+1)a ^{2} +2(b+1)a+(b+1)]

[eqn: =(b+1)(a ^{2} +2a+1)]

[eqn: =(a+1) ^{2} (b+1)]

위의 식의 값이 [eqn: 245=7 ^{2} TIMES 5`]이므로

[eqn: (a+1) ^{2} (b+1)=7 ^{2} times5]

[eqn: a`], [eqn: b`]는 자연수이므로

[eqn: a+1=7`], [eqn: b+1=5`]

따라서 [eqn: a=6`], [eqn: b=4`]이므로

[eqn: a+b=10`]

18. [출제의도] 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 점의 좌표를 구한다.

세 점 [eqn: {rmO}(0,```0)`], [eqn: {rmA}(8,```4)`], [eqn: rm B it (7,```a)`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmOAB`]의 무게중심 [eqn: rm G]의 좌표는

[eqn: LEFT ( {0+8+7} over {3} ,``` {0+4+a} over {3} RIGHT ) `] 즉, [eqn: LEFT ( 5,``` {4+a} over {3} RIGHT ) `]

이므로

[eqn: b= {4+a} over {3}] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠`]

한편, 직선 [eqn: rm OA`]의 방정식은

[eqn: y= {1} over {2} x`] 즉, [eqn: x-2y=0`]

점 [eqn: rm G(5,``` it b)`]와 직선 [eqn: x-2y=0] 사이의 거리가 [eqn: sqrt {5} `]이므로

[eqn: {|`5-2b`|}over {sqrt{1^2 +(-2)^2 }} = sqrt5]

[eqn: |`5-2b`| = 5]

[eqn: 5-2b = 5] 또는 [eqn: 5-2b=it-5]

[eqn: b=0] 또는 [eqn: b=5]

[eqn: a>0`]이므로 ㉠ 에서 [eqn: b>0`]이다.

따라서 [eqn: b=5`], [eqn: a=11`]이므로

[eqn: a+b=16`]

19. [출제의도] [eqn: sum _{} ^{} `]의 성질을 이용하여 수열의 합을 추론한다.

[eqn: sum _{k=2} ^{n} a _{k} - sum _{k=1} ^{n-1} a _{k} =2n ^{2} +2`] [eqn: ( n ge 2)] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠`]

㉠ 에 [eqn: n=2`]를 대입하면

[eqn: a_2 -a_1 = 10]

두 식 [eqn: a _{1} +a _{2} =8`], [eqn: a _{2} -a _{1} =10`]을 연립하여 풀면

[eqn: a _{1} = it -1`], [eqn: a _{2} =9`]

[eqn: 2] 이상인 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: sum _{k=2} ^{n} a _{k} - sum _{k=1} ^{n-1} a _{k}]

[eqn: = (a_ 2 + a_3 + cdots + a_n-1 + a_n ) - (a_1 +a_2 + cdots +a_n-1 )]

[eqn: = a_n - a_1]

[eqn: = a_n +1]

㉠ 에서

[eqn: a_n +1 = 2n^2 +2]

[eqn: a_n = 2n^2 +1] [eqn: (n ge 2)]

따라서 수열 [eqn: left{a _{n} `right}`]은

[eqn: a _{1} = it -1`], [eqn: a_n = 2n^2 +1] [eqn: (n GEQ 2)`]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k}][eqn: =a _{1} + sum _{k=2} ^{10} a _{k}]
[eqn: =it-1+ sum _{k=2} ^{10} (2k ^{2} +1)]
[eqn: =it-1+ sum _{k=1} ^{10} (2k ^{2} +1)-3]
[eqn: =it-4+2 sum _{k=1} ^{10} k ^{2} +1 TIMES 10]
[eqn: =it-4+2 TIMES {10 TIMES 11 TIMES 21} over {6} +10]
[eqn: =776`]

20. [출제의도] ‘모든’과 ‘어떤’의 의미를 이해하여 함수의 개수를 추론한다.

ㄱ. 함수 [eqn: f`]가 일대일 대응이므로 역함수가 존재한다.
조건 (가)에서 집합 [eqn: X`]의 모든 원소 [eqn: x`]에 대하여
[eqn: (f{circ}f)(x)=x`]이므로
집합 [eqn: X`]의 모든 원소 [eqn: x`]에 대하여
[eqn: f(x)=f ^{`-1} (x)`]이다.
따라서
[eqn: f(3)=f ^{`-1} (3)`] (참)

ㄴ. 조건 (나)에서 집합 [eqn: X`]의 어떤 원소 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(x)=2x`]이므로 집합 [eqn: X`]의 원소 중 [eqn: f(x)=2x`]를 만족하는 원소 [eqn: x`]가 적어도 하나 존재한다.
따라서 [eqn: f(1)=2]와 [eqn: f(2)=4] 중 적어도 하나는 성립한다.
따라서 [eqn: f(1)=3`][eqn: (!=2)`]이면 [eqn: f(2)=4`]이다. (참)

ㄷ. 조건 (나)에서 [eqn: f(1)=2]와 [eqn: f(2)=4] 중 적어도 하나는 성립하므로
[eqn: f(1)=2`]이고 [eqn: f(2)!=4`]일 때,
[eqn: f(2)=4`]이고 [eqn: f(1)!=2`]일 때,
[eqn: f(1)=2`]이고 [eqn: f(2)=4`]일 때
로 나눌 수 있다.

(ⅰ) [eqn: f(1)=2]이고 [eqn: f(2)!=4`]일 때,
조건 (가)에 의하여 [eqn: (f{circ}f)(1)=1`]이므로
[eqn: f(f(1))=f(2)=1`]
이때 조건 (가)에 의하여
[eqn: f(3)=3`], [eqn: f(4)=4`]
또는 [eqn: f(3)=4`], [eqn: f(4)=3`]
이므로 함수 [eqn: f`]의 개수는 [eqn: 2`]이다.

(ⅱ) [eqn: f(2)=4]이고 [eqn: f(1)!=2`]일 때,
조건 (가)에 의하여 [eqn: (f CIRC f)(2)=2`]이므로
[eqn: f(f(2))=f(4)=2`]
이때 조건 (가)에 의하여
[eqn: f(1)=1`], [eqn: f(3)=3`]
또는 [eqn: f(1)=3`], [eqn: f(3)=1`]
이므로 함수 [eqn: f`]의 개수는 [eqn: 2`]이다.

(ⅲ) [eqn: f(1)=2`]이고 [eqn: f(2)=4`]일 때,
[eqn: f(f(1))=f(2)=4`][eqn: (!=1)`]
이므로 [eqn: (f CIRC f)(1)=1`]이 성립하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서
가능한 함수 [eqn: f`]의 개수는 [eqn: 4]이다. (참)

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 참이다.

21. [출제의도] 두 직선의 평행과 수직을 이용하여 종이접기에 대한 문제를 해결한다.

좌표평면 위의 점 [eqn: rmO`], [eqn: rmA`], [eqn: rmB`], [eqn: rmC`], [eqn: rmF`]의 좌표는 각각 [eqn: (0,```0)`], [eqn: (12,```0)`], [eqn: (12,```12)`], [eqn: (0,```12)`], [eqn: (5,```0)`]이다.

점 [eqn: rmO'`]은 선분 [eqn: rm BC] 위의 점이므로 점 [eqn: rmO'`]의 좌표를 [eqn: (a,```12)`]로 놓을 수 있다.

또 점 [eqn: rmF'`]은 선분 [eqn: rmDE] 위의 점이고, 두 점 [eqn: rmD`], [eqn: rmE`]는 각각 두 선분 [eqn: rmOC`], [eqn: rmAB`]를 [eqn: 2:1`]로 내분하는 점이므로 점 [eqn: rmF'`]의 좌표를 [eqn: (b,```8)`]로 놓을 수 있다.

직선 [eqn: rmOO'`]과 직선 [eqn: rmFF'`]은 모두 직선 [eqn: rmPQ`]와 수직이므로 직선 [eqn: rmOO'`]과 직선 [eqn: rmFF'`]은 서로 평행하다.

따라서 두 직선의 기울기가 같으므로

[eqn: {12-0} over {a-0} = {8-0} over {b-5} `]

[eqn: 2a=3b-15`] [eqn: cdotscdots㉠]

[eqn: {bar{rm O prime F prime ` it}}][eqn: =bar{rmOF`}`=5`]이므로

[eqn: sqrt {(b-a) ^{2} +(8-12) ^{2}} =5`]

[eqn: (b-a) ^{2} =9`] [eqn: cdotscdots㉡]

㉠, ㉡ 을 연립하여 [eqn: 0 LEQ a LEQ 12`], [eqn: 0 LEQ b LEQ 12`]의 범위에서 해를 구하면

[eqn: a=6`], [eqn: b=9`]

직선 [eqn: rmPQ`]는 선분 [eqn: rmOO'`]의 중점 [eqn: (3,```6)`]과 선분 [eqn: rmFF'`]의 중점 [eqn: (7,```4)`]를 지나는 직선이므로 직선 [eqn: rmPQ`]의 방정식은

[eqn: y][eqn: = {6-4} over {3-7} (x-3)+6]
[eqn: = it - {1} over {2} x+ {15} over {2} `]

따라서 [eqn: m=it- {1} over {2} `], [eqn: n= {15} over {2} `]이므로

[eqn: m+n=7`]

[다른풀이]

좌표평면 위의 점 [eqn: rmO`], [eqn: rmA`], [eqn: rmB`], [eqn: rmC`], [eqn: rmF`]의 좌표는 각각 [eqn: (0,```0)`], [eqn: (12,```0)`], [eqn: (12,```12)`], [eqn: (0,```12)`], [eqn: (5,```0)`]이다.

점 [eqn: rmO'`]은 선분 [eqn: rm BC] 위의 점이므로 점 [eqn: rmO'`]의 좌표를 [eqn: (a,```12)`]로 놓을 수 있다.

[eqn: {bar{rm O prime F prime ` it}}][eqn: =bar{rmOF`}`=5`]이고 [eqn: bar{rmHF'}=4`]이므로

[eqn: {bar{rm O prime H it}}][eqn: = sqrt {{bar{rm O prime F prime it}} ^{2} - {bar{rm HF prime it}} ^{2}}]
[eqn: =3]

따라서 점 [eqn: rmF'`]의 좌표를 [eqn: (a+3,```8)`]로 놓을 수 있다.

선분 [eqn: rmOO'`]의 중점을 [eqn: rmM`], 선분 [eqn: rmFF'`]의 중점을 [eqn: rmN`]이라 하면

[eqn: {rmM} LEFT ( {a} over {2} ,```6 RIGHT ) `], [eqn: {rmN} LEFT ( {a+8} over {2} ,```4 RIGHT ) `]

이고, 두 점 [eqn: rmM`], [eqn: rmN`]은 직선 [eqn: rm PQ] 위의 점이므로

직선 [eqn: rmPQ`]의 기울기는

[eqn: {4-6} over {{a+8} over {2} - {a} over {2}} = {-2} over {4}][eqn: =it- {1} over {2} `]

직선 [eqn: rmOO'`]과 직선 [eqn: rmPQ`]는 수직이므로 직선 [eqn: rmOO'`]의 기울기는 [eqn: 2`]이다.

[eqn: {12-0} over {a-0} = {12} over {a}][eqn: =2`]

[eqn: a=6`]이므로

[eqn: {rmM}(3,```6)`]

따라서 직선 [eqn: rmPQ`]의 방정식은

[eqn: y][eqn: = it - {1} over {2} (x-3)+6]
[eqn: =it it - {1} over {2} x+ {15} over {2} `]

따라서 [eqn: m=it- {1} over {2} `], [eqn: n= {15} over {2} `]이므로

[eqn: m+n=7`]

22. [출제의도] 합집합의 모든 원소의 합을 구한다.

두 집합 [eqn: A= LEFT { 2,```4,```6 RIGHT } `], [eqn: B= LEFT { 3,```6,```9 RIGHT } `]에서

[eqn: A CUP B= LEFT { 2,```3,```4,```6,```9 RIGHT } `]

따라서 집합 [eqn: A CUP B`]의 모든 원소의 합은

[eqn: 2+3+4+6+9 = 24`]

23. [출제의도] 항등식의 성질을 이용하여 계수의 값을 구한다.

주어진 등식은 [eqn: x`]에 대한 항등식이므로 양변에 [eqn: x=2`]를 대입하면

[eqn: 8-4-10+a=0`]

따라서 [eqn: a=6`]이므로 이를 주어진 등식에 대입하여 정리하면

[eqn: x ^{3} -x ^{2} -5x+6=(x-2)(x ^{2} +x+b)`]

[eqn: =x ^{3} -x ^{2} +(b-2)x-2b`]

양변의 계수를 비교하면 [eqn: b=it-3`]이므로 [eqn: a+b=3`]이다.

[다른풀이]

주어진 등식이 [eqn: x ^{3} -x ^{2} -5x+a][eqn: =(x-2)(x ^{2} +x+b)`]이므로 [eqn: x ^{3} -x ^{2} -5x+a`]를 [eqn: x-2`]로 나누면 몫이 [eqn: x ^{2} +x+b`]이고 나머지가 [eqn: 0`]이다.

조립제법을 이용하여 계산하면

[eqn: 2`]		[eqn: 1`]	[eqn: -1`]	[eqn: -5`]		[eqn: a`]
			[eqn: 2`]	[eqn: 2`]		[eqn: -6`]
		[eqn: 1`]	[eqn: 1`]	[eqn: -3`]		[eqn: a-6`]

따라서 몫은 [eqn: x ^{2} +x-3`]이고 나머지는 [eqn: a-6`]에서

[eqn: a=6`], [eqn: b=it-3`]이므로 [eqn: a+b=3`]이다.

24. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이해한다.

이차방정식 [eqn: x ^{2} -ax+a-3=0`]의 두 근을 [eqn: alpha `], [eqn: beta `]라 하면 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta =a`], [eqn: alpha beta =a-3`]

두 근의 합이 [eqn: 10`]이므로

[eqn: a=10`]

따라서 두 근의 곱은 [eqn: a-3=7`]이다.

25. [출제의도] 나머지정리를 이용하여 나머지를 구한다.

나머지정리에 의하여 다항식 [eqn: P`(x)`]를 [eqn: x-k`]로 나눈 나머지는

[eqn: P`(k)=k ^{3} +k ^{2} +k+1`]

다항식 [eqn: P`(x)`]를 [eqn: x+k`]로 나눈 나머지는

[eqn: P`(-k)= it -k ^{3} +k ^{2} -k+1`]

나머지의 합이 [eqn: 8`]이므로

[eqn: P`(k)+P`(-k)][eqn: =k ^{3} +k ^{2} +k+1+(-k ^{3} +k ^{2} -k+1)]
[eqn: =2k ^{2} +2`]
[eqn: =8]

[eqn: k ^{2} =3`]

다항식 [eqn: P`(x)`]를 [eqn: x-k ^{2} `]으로 나눈 나머지는

[eqn: P`(k ^{2} )][eqn: =(k ^{2} ) ^{3} +(k ^{2} ) ^{2} +k ^{2} +1]
[eqn: =3 ^{3} +3 ^{2} +3+1]
[eqn: =40`]

26. [출제의도] 집합의 연산법칙과 집합의 포함 관계를 이용하여 부분집합의 개수를 구한다.

[eqn: A= LEFT { 1,```2,```3 RIGHT } `], [eqn: B= LEFT { 2,```3,```4,```5 RIGHT } `]에서

[eqn: A CUP B= LEFT { 1,``2,```3,```4,```5 RIGHT } `], [eqn: A SMALLINTER B= LEFT { 2,```3 RIGHT } `]이므로

[eqn: P`][eqn: = LEFT ( A CUP B` RIGHT ) ` SMALLINTER ` LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT ) ^{C} `]
[eqn: =(A{cup}B`)-(A{cap}B`)]
[eqn: =left{1,```4,```5right}]

[eqn: P SUBSET X SUBSET U`]이므로

[eqn: LEFT { 1,```4,```5 RIGHT } SUBSET X SUBSET left{1,```2,```3,```4,```5,```6,```7right}]

집합 [eqn: X`]는 [eqn: 1`], [eqn: 4`], [eqn: 5`]를 반드시 원소로 갖는 전체집합 [eqn: U`]의 부분집합이다.

이를 만족시키는 집합 [eqn: X`]의 개수는

[eqn: 2 ^{7-3} =2 ^{4} =16]

27. [출제의도] 거듭제곱근의 성질을 이용하여 최솟값을 구한다.

[eqn: sqrt {{3} over {2}} TIMES root {4} of {a} =n`]([eqn: n`]은 자연수)라 하고 양변을 네제곱하면

[eqn: {9} over {4} a=n ^{4} `] 즉,

[eqn: {3 ^{2}} over {4} a=n ^{4} `]

등식의 좌변이 자연수 [eqn: n`]의 네제곱이 되려면

[eqn: a=4 TIMES 3 ^{2} TIMES k ^{4} `]([eqn: k`]는 자연수)

의 꼴이어야 한다.

[eqn: k=1`]일 때 [eqn: a`]의 최솟값은 [eqn: 36`]이다.

28. [출제의도] 평행이동을 이용하여 원의 방정식을 구한다.

두 삼각형 [eqn: rm OAB`], [eqn: rm O'A prime B prime `]에 내접하는 원을 각각 [eqn: C`], [eqn: C`` prime `]이라 하자.

원 [eqn: C`]의 반지름의 길이를 [eqn: r`]라 하면 원 [eqn: C`]는 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축에 모두 접하고 제[eqn: 1]사분면에 중심이 있으므로 중심의 좌표는 [eqn: (r,```r)`]이다.

또한 두 점 [eqn: rm A(4,```0)`], [eqn: rm B(0,```3)`]에 대하여 직선 [eqn: rm AB`]의 방정식은

[eqn: {x} over {4} + {y} over {3} =1`]

즉 [eqn: 3x+4y-12=0`]이고 원 [eqn: C`]가 직선 [eqn: rm AB`]에 접하므로 원의 중심 [eqn: (r,```r)`]와 직선 [eqn: rm AB] 사이의 거리는 원의 반지름의 길이 [eqn: r`]와 같으므로

[eqn: {left|3r+4r-12right|} over {sqrt {3 ^{2} +4 ^{2}}} =r`]

[eqn: left|7r-12right|=5r]

[eqn: 7r-12 = 5r] 또는 [eqn: 7r-12=it-5r]

[eqn: r=6`], [eqn: r=1`]

[eqn: 0<r<3`]이므로

[eqn: r=1]

따라서 원 [eqn: C`]의 방정식은

[eqn: (x-1)^2 + (y-1)^2 =1]

점 [eqn: rm A(4,```0)`]을 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 5`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 2`]만큼 평행이동하면 점 [eqn: rm A prime (9,```2)`]가 되므로 이 평행이동에 의하여 원 [eqn: C`]가 평행이동한 원 [eqn: C`` prime `]의 방정식은

[eqn: (x-5-1)^2 + (y-2-1)^2 =1]

[eqn: (x-6)^2 +(y-3)^2 =1]

[eqn: x^2 +y^2 -12x -6y +44=0]

[eqn: a=it-12`], [eqn: b=it-6`], [eqn: c=44`]이므로

[eqn: a+b+c = 26]

[참고]

내접원 [eqn: C`]의 반지름의 길이 [eqn: r`]를 다음과 같은 방법으로도 구할 수 있다.

원의 중심을 [eqn: rm M`]이라 하면, 점 [eqn: rm M`]에서 세 변 [eqn: rm OA`], [eqn: rm OB`], [eqn: rm AB`]에 내린 수선의 길이는 원의 반지름의 길이 [eqn: r`]와 같으므로

[eqn: triangle rm OAB][eqn: = TRIANGLE rm MOA+ TRIANGLE rm MAB+ TRIANGLE rm MBO`]이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES rm {bar{OA}} TIMES bar{OB}`]

[eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm OA it}} TIMES it r rm `+ {1} over {2} TIMES {bar{AB}} TIMES it r rm `+ {1} over {2} TIMES {bar{rm OB}} TIMES it r rm `]

[eqn: 6= 1 over 2 r(4+5+3)]

[eqn: 6r=6]

[eqn: r=1]

29. [출제의도] 판별식과 부등식의 영역을 이용하여 최솟값을 구한다.

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: x ^{2} -2(a-1)x+b-2 GEQ 0`]

이므로 이차방정식 [eqn: x ^{2} -2(a-1)x+b-2=0`]의 판별식을 [eqn: D _{`1} `]이라 하면

[eqn: {D _{`1}} over {4} =(a-1) ^{2} -b+2 LEQ 0`]

따라서 점 [eqn: (a,```b)`]는 그림과 같은 좌표평면에서 부등식

[eqn: b GEQ (a-1) ^{2} +2`] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠`]

의 영역에 속한다.

[eqn: a+b=k`]라 하면 [eqn: b=it-a+k`]이므로 기울기가 [eqn: -1`]인 직선이 ㉠ 의 영역을 지나면서 [eqn: b`]절편이 최소일 때 [eqn: a+b`]의 값이 최소이다.

이는 직선 [eqn: b=it-a+k`]와 이차함수 [eqn: b=(a-1) ^{2} +2`]가 접할 때이므로 연립하면

[eqn: (a-1) ^{2} +2= it -a+k`]

[eqn: a ^{2} -a+3-k=0`]

이차방정식 [eqn: a ^{2} -a+3-k=0`]의 판별식을 [eqn: D _{2} `]라 하면

[eqn: D _{`2} =1-4(3-k)=0`]

[eqn: k= {11} over {4} `]

따라서 [eqn: m= {11} over {4} `]이므로

[eqn: 4m=11`]

30. [출제의도] 등차수열의 성질을 이용하여 집합의 원소의 합을 추론한다.

등차수열 [eqn: left{a _{n} right}`]의 공차를 [eqn: d _{1} `]이라 하자.

[eqn: a _{10} =a _{1} +9d _{1} `]이므로 조건 (가)에서

[eqn: 55= 1+ 9d_1]

[eqn: d_1 =6]

따라서

[eqn: a _{n} `][eqn: =1+(n-1)6]
[eqn: =6n-5]

[eqn: A= LEFT { 1,```7,```13,```19,```25,```31,```37,```43,```49,```55 RIGHT } `]이므로

[eqn: n(A)=10]

조건 (나)에서

[eqn: n(A SMALLINTER B`)=n(A SMALLINTER B ^{C} `)]이고,

[eqn: n(A)=n(A SMALLINTER B`)+n LEFT ( A` SMALLINTER B ^{C}` RIGHT )]

이므로

[eqn: n(A SMALLINTER B`)=5]

만약 집합 [eqn: A`]의 원소를 작은 것부터 크기순으로 나열했을 때, 인접한 두 수가 [eqn: A{capB`]의 원소이면 수열 [eqn: left{b _{n} right}`]은 등차수열이므로 집합 [eqn: A`]의 모든 원소는 집합 [eqn: B`]의 원소가 된다. 따라서 [eqn: n(A SMALLINTER B``)=10`]이므로 [eqn: n(A SMALLINTER B``)=5`]에 모순이다.

인접하지 않은 항으로 [eqn: 5`]개의 원소를 선택하는 경우는 다음 두 가지 경우이다.

(ⅰ) [eqn: A{cap}B= LEFT { 7,```19,```31,```43,```55 RIGHT } `]인 경우
모든 원소의 합은 [eqn: {5(7+55)} over {2} =155`]이므로 조건 (다)에 모순이다.

(ⅱ) [eqn: A{cap}B= LEFT { 1,```13,```25,```37,```49 RIGHT } `]인 경우
모든 원소의 합은 [eqn: {5(1+49)} over {2} =125`]이므로 조건 (다)를 만족시킨다.

따라서 [eqn: A{cap}B= LEFT { 1,```13,```25,```37,```49 RIGHT } `]이다.

한편, [eqn: n(A SMALLINTER B`)= {1} over {2} TIMES n LEFT ( A ^{C} SMALLINTER B` RIGHT ) =5`]이므로

[eqn: n LEFT ( A ^{C} SMALLINTER B` RIGHT ) =10`]

따라서

[eqn: n LEFT ( B` RIGHT )][eqn: =n(A SMALLINTER B`)+n LEFT ( A ^{C} ` SMALLINTER B` RIGHT )]
[eqn: =5+10]
[eqn: =15]

공차가 [eqn: 6`]인 등차수열의 항을 원소로 갖는 집합 [eqn: A`]의 원소의 개수가 [eqn: 10`]이므로 수열 [eqn: left{b _{n} `right}`]의 공차가 [eqn: 6] 이상이면 집합 [eqn: B`]의 원소의 개수는 [eqn: 10] 이하이다.

따라서 수열 [eqn: left{b _{n} `right}`]의 공차는 [eqn: 6`]보다 작다.

이때 [eqn: n(A SMALLINTER B`)=5`], [eqn: n LEFT ( A ^{C} SMALLINTER B` RIGHT ) =10`]이고,

수열 [eqn: left{b _{n} right}`]은 등차수열이므로 집합 [eqn: B`]의 원소를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을

[eqn: 1`], [eqn: c _{1} `], [eqn: c _{2} `], [eqn: 13`], [eqn: c _{3} `], [eqn: c _{4} `], [eqn: 25`], [eqn: c _{5} `], [eqn: c _{6} `], [eqn: 37`], [eqn: c _{7} `], [eqn: c _{8} `], [eqn: 49`], [eqn: c _{9} `], [eqn: c _{10} `]

이라 할 수 있다.

등차수열 [eqn: left{b _{n} right}`]의 공차를 [eqn: d _{2} `]라 하면

[eqn: 13-1`][eqn: =12]
[eqn: =3d _{2} `]이므로

[eqn: d _{2} =4`]

[eqn: B= LEFT { 1,```5,```9,```13,``` CDOTS ,```53,```57 RIGHT }]

따라서 집합 [eqn: B`]의 모든 원소의 합은 첫째항이 [eqn: 1`]이고 공차가 [eqn: 4`]인 등차수열의 제[eqn: 1]항부터 제[eqn: 15]항까지의 합과 같으므로

[eqn: {15(1+57)} over {2} =435]

[참고]

두 등차수열이 [eqn: 3`]개 이상의 공통항을 가지면 그 공통항은 등차수열을 이룬다.