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2016학년도 6월 고1 전국연합학력평가 정답 및 해설

정답 및 해설

2016학년도 6월

고 1

전국연합학력평가

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정답 및 해설

2016학년도 6월

고 1

전국연합학력평가

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정 답

1	①	2	④	3	⑤	4	①	5	①
6	②	7	③	8	④	9	①	10	②
11	③	12	④	13	④	14	⑤	15	④
16	②	17	⑤	18	⑤	19	③	20	③
21	②	22	[eqn: 7]	23	[eqn: 36`]	24	[eqn: 34]	25	[eqn: 27]
26	[eqn: 25`]	27	[eqn: 54]	28	[eqn: 32]	29	[eqn: 12]	30	[eqn: 394]

해 설

1. [출제의도] 다항식 계산하기

[eqn: A-B=(2x^2 +3xy+1 )-(2x^2 +2xy-3 )`]

[eqn: =xy+4`]

2. [출제의도] 복소수 계산하기

[eqn: (4+2i)+(1-3i)`=(4+1)+(2-3)i`]

[eqn: =5-i`]

3. [출제의도] 나머지 계산하기

[eqn: f(x)=x ^{3}-ax+6`]이라 하면

[eqn: f(x)`]를 [eqn: x-1`]로 나눈 나머지 [eqn: f(1)=0`]이다.

따라서 [eqn: f(1)=1-a+6=0`]이므로 [eqn: a=7`]이다.

4. [출제의도] 이차부등식 이해하기

해가 [eqn: -1<x<5`]이고 이차항의 계수가 [eqn: 1`]인

이차부등식을 구하면

[eqn: (x+1)(x-5)<0`]

[eqn: x ^{2} -4x-5<0`]

이므로 [eqn: a=`-4`], [eqn: b=`-5`]이다.

따라서 [eqn: ab=20`]이다.

5. [출제의도] 항등식의 성질 이해하기

등식을 정리하면 [eqn: x^2 +(a-1)x-a=bx^2 -3x+2`]

이고, 항등식의 성질에 의해

[eqn: a=`-2`], [eqn: b=1`]

이다.

따라서 [eqn: a+b=`-1`]이다.

[다른풀이]

등식 [eqn: (x-1) (x+a) =b`x^2 -3x+2`]의 양변에

[eqn: x=0`]을 대입하면 [eqn: -a=2`]이므로 [eqn: a=-2`]이다.

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: b-1 =0`]이므로 [eqn: b=1`]이다.

따라서 [eqn: a+b=`-1`]이다.

6. [출제의도] 인수분해 이해하기

[eqn: 2016`=x]라 하면

[eqn: { 2016^3 +1} over {2016^2 -2016+1 }`][eqn: =][eqn: { x^3 +1} over {x^2 -x+1 }`]

[eqn: = { (x+1)(x^2 -x+1)} over {x^2 -x+1 }`]

[eqn: = x+1 }`]

[eqn: = 2017 }`]

이다.

7. [출제의도] 절댓값을 포함한 일차부등식 이해하기

[eqn: LEFT | x-a RIGHT | <5]의 해는 [eqn: a-5<x<a+5]이므로

정수 [eqn: x`]의 최댓값이 [eqn: 12]가 되기 위해서는

[eqn: 12<a+5 LEQ 13] 즉, [eqn: 7 <a le 8]이다.

따라서 정수 [eqn: a]의 값은 [eqn: 8]이다.

8. [출제의도] 인수분해 이해하기

[eqn: x^2 -x =t`]라 두면

[eqn: (x ^{2} -x) ^{2} +2x ^{2} -2x-15=t^2 +2t-15`]

[eqn: =(t+5)(t-3)`]

[eqn: =(x ^{2} -x+5)(x ^{2} -x-3)`]

이므로
[eqn: a=`-1`], [eqn: b=5`], [eqn: c=-3`]

또는

[eqn: a=`-1`], [eqn: b=-3`], [eqn: c=5`]

이다.

따라서 [eqn: a+b+c=1`]이다.

9. [출제의도] 삼차방정식 이해하기

[eqn: 1]	[eqn: 1] [eqn: 1] [eqn: 1] [eqn: -3]
	[eqn: 1] [eqn: 2] [eqn: 3]
	[eqn: 1] [eqn: 2] [eqn: 3]	[eqn: 0]

조립제법에 의하여

[eqn: x^3 +x^2 +x-3][eqn: = (x-1)(x^2 +2x+3)=0]이다.

주어진 삼차방정식의 두 허근 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]는

이차방정식 [eqn: x^2 +2x+3=0]의 두 근이므로

[eqn: alpha + beta =`-2], [eqn: alpha beta=3`]

이다. 따라서 [eqn: (alpha-1)(beta-1) =alpha beta -(alpha+beta) +1]

[eqn: =6`]

이다.

10. [출제의도] 곱셈공식 이용하여 도형 문제 해결하기

[eqn: rmB]

[eqn: rmA]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rmE]

[eqn: rmF]

[eqn: rmG]

[eqn: rmH]

이웃하는 세 모서리의 길이를 각각 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]라 하자

[eqn: rmbarAG][eqn: =][eqn: sqrt {a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}} = root13`]이므로

[eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} =13`]

이다.

모든 모서리의 길이의 합은 [eqn: 4(a+b+c)=20`]이므로

[eqn: a+b+c=5`]

이다.

따라서 직육면체의 겉넓이는

[eqn: 2(ab+b c+ca)=(a+b+c)^2 -(a^2 +b^2 +c^2 )`]

[eqn: =25-13]

[eqn: =12]

이다.

11. [출제의도] 연립방정식 이해하기

주어진 연립일차방정식을 정리하면 다음과 같다.

[eqn: {cases{x+y=8&CDOTS CDOTS ①#y-z=2&CDOTS CDOTS ②#z-x=4&CDOTS CDOTS ③}} `]

[eqn: ①-②`]에서

[eqn: x+z=`6 CDOTS CDOTS ④]

이다.

[eqn: ③+④]에서

[eqn: 2z=10`] 즉, [eqn: z=5]이므로

②와 ③에 대입하면

[eqn: x=1`], [eqn: y=7`]

이다.

따라서 [eqn: a=1], [eqn: b=7`], [eqn: c=5`]이므로

[eqn: abc`=1 TIMES 7 TIMES 5=35`]이다.

12. [출제의도] 사차방정식 이해하기

[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: -5]	[eqn: 5]	[eqn: 5]	[eqn: -6]
		[eqn: 1]	[eqn: -4]	[eqn: 1]	[eqn: 6]
					[eqn: 0]
[eqn: -1]	[eqn: 1]	[eqn: -4]	[eqn: 1]	[eqn: 6]
		[eqn: -1]	[eqn: 5]	[eqn: -6]
	[eqn: 1]	[eqn: -5]	[eqn: 6]	[eqn: 0]

조립제법에 의하여

[eqn: x ^{4} -5x ^{3} +5x ^{2} +5x-6`=`(x+1)(x-1)(x^2 -5x +6)]

[eqn: `=`(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)=0`]이므로 해는 [eqn: -1`], [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`]이다.

따라서 [eqn: alpha=-1`], [eqn: beta=3]이므로 [eqn: beta-alpha=4`]이다.

13. [출제의도] 이차함수와 직선과의 위치관계 이해하기

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: y=x]

[eqn: y=f(x)]

이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2ax+5a`]의 그래프와 직선 [eqn: y=x`]의 그래프가 오직 한 점에서 만나므로

[eqn: x^2 -2ax +5a=x]가 중근을 가져야 한다.

따라서 이차방정식 [eqn: x^2 -(2a+`1)x+5a=0`]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: D=(2a+1)^2 -20a`]

[eqn: =4a^2 -16a+1=0`]

이다.

근과 계수의 관계에 의해 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 합은 [eqn: 4`]이다.

14. [출제의도] 이차함수의 그래프를 이용하여 최대최소 문제 해결하기

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: (a`,~0)]

[eqn: (a`,~-a^2 +5a)]

[eqn: rmB]

[eqn: RMO]

[eqn: rmA]

[eqn: y=x ^{2} -2ax+5a`]

[eqn: = LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a ^{2} +5a`]이므로 [eqn: rmA][eqn: (a`,~-a^2 +5a)]이다.

따라서 [eqn: 0<a<5]이므로 [eqn: rmbar OB =it a`], [eqn: rmbarAB =it`-a^2 +5a`]이다.

[eqn: rm` barOB +rm ` {bar{AB}} =itg(a)`]라 하면

[eqn: g(a)=`-a ^{2} +6a`]이다.

따라서 [eqn: g(a)=`-` LEFT ( a-3 RIGHT ) ^{2} +9`]이므로

[eqn: 0<a<5]에서 [eqn: rm` barOB +rm ` {bar{AB}}`]의 최댓값은 [eqn: 9`]이다.

15. [출제의도] 복소수 이해하기

[eqn: z ^{2}` =`z cdot z] [eqn: =`-i]

[eqn: z^3 `=z^2 cdot z] [eqn: =`- { 1+i} over {root2 }]

[eqn: z^4 `=`left(z^2right)^2] [eqn: =`-1]

[eqn: z^5` =`z^4 cdot z] [eqn: = `- { 1+i} over {root2 i }]

[eqn: z^6 `=`z^4 cdot z^2`] [eqn: =i]

[eqn: z^7 `=`z^6 cdot z] [eqn: ={ 1+i} over {root2 }]

[eqn: z^8 = left(z^4 right)^2] [eqn: =1]

따라서 [eqn: z^n `=1`]이 되도록 하는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은 [eqn: 8`]이다.

16. [출제의도] 근과 계수의 관계를 이용하여 이차방정식 문제해결하기

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rmP]

[eqn: rmE]

[eqn: rmF]

[eqn: rmG]

[eqn: rmH]

[eqn: rmbarAH`= alpha], [eqn: rmbarAE`= beta`]라 하면

[eqn: rm {bar{PG}} =10-`alpha], [eqn: rmbarPF`=`10-`beta`]이다.

직사각형 [eqn: rm`PFCG`]의 둘레의 길이는

[eqn: 2(10-`alpha)`+2(10-`beta)`=`28]이므로

[eqn: alpha+`beta`=`6]이다.

직사각형 [eqn: rm`PFCG`]의 넓이는

[eqn: (10-`alpha)(10-`beta)`=46`]이므로

[eqn: alpha`beta`=6]이다.

따라서 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]를 두 근으로 하는 이차방정식은

[eqn: x ^{2`} -(alpha+beta) x +alpha beta =0]에서

[eqn: x^2 -6x +6=0]이다.

17. [출제의도] 복소수의 성질 추론하기

ㄱ. [eqn: z ^2 -z`]는 실수이므로 [eqn: bar{z ^2 -z}`]도 실수이다. (참)

ㄴ. [eqn: z= a+b`i`][eqn: (b!=0)`]에 대하여

[eqn: z^2 -z`][eqn: =][eqn: `a^2 +2a`b`i` -b^2 -a-b`i`]

[eqn: =(a^2 -a-b^2 )+(2a-1)b`i`]

이고

[eqn: z^2 -z`]가 실수이고, [eqn: b!=0`]이므로 [eqn: a= 1over2 `]이다.

따라서 [eqn: z`= `1over2 +b`i`]이고 [eqn: barz` = `1over2 -b`i`]이므로

[eqn: z+ bar z =1`]이다. (참)

ㄷ. [eqn: z`= `1over2 +b`i`]이고 [eqn: barz` = `1over2 -b`i`]이므로

[eqn: z barz `=` 1over4 +b^2`]이고 [eqn: b!=0`]이므로 [eqn: z barz `>` 1over4`]이다. (참)

<참고> ㄴ은 다음과 같은 두 방법으로 풀 수도 있다.

(1) [eqn: bar{z^2 -z`}]가 실수이고, [eqn: bar{z^2 -z}`=` left({barz right)^2 -barz`]이므로

[eqn: z^2 -z][eqn: ={left(barz right)^2} - barz`]가 성립한다.

[eqn: z^2 -z -left{ left( barz right)^2 -barz right} =0`]에서

인수분해하면

[eqn: (z-barz ) (z+barz -1) =0`]이고

[eqn: z`]는 실수가 아니므로 [eqn: z!= barz`]이다.

따라서 [eqn: z+ bar z =1`]이다. (참)

(2) [eqn: z^2 -z =k](단, [eqn: k]는 실수)라 하면 [eqn: left (barz right)^2 - barz =k]이므로

[eqn: z`], [eqn: barz`]는 이차방정식 [eqn: x^2 -x-k=0`]의 두 근이다.

따라서 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: z+barz =1]이다. (참)

18. [출제의도] 이차함수를 이용하여 통합교과적 문제 해결하기

행성 [eqn: A`]와 [eqn: A`]의 위성 사이의 거리와 행성 [eqn: B`]와 [eqn: B`]의 위성 사이의 거리를 각각 [eqn: r_A `], [eqn: r_B]라 하면

[eqn: r _{A} =45r _{B} ` CDOTS CDOTS ①`]

이다.

행성 [eqn: A`]의 위성의 공전 속력과 행성 [eqn: B`]의 위성의 공전 속력을 각각 [eqn: v _{A} `], [eqn: v _{B} `]라 하면

[eqn: v _{A} = {2} over {3} v _{B} ` CDOTS CDOTS ②]

이다.

①과 ②에 의해

[eqn: M_A = { r_A {v_A} `^2} over {G }]

[eqn: = {45 r_B` {left (2over3 v_B}right) ^2} over {G]

[eqn: = 20 times{ r_ B ``v_B` ^2} over {G }]

[eqn: = 20 M_B]

이다.

따라서 [eqn: M_A over M_B = 20`]이다.

19. [출제의도] 실수의 성질을 이용하여 이차방정식 문제해결하기

[eqn: 2+root3`]은 방정식 [eqn: a`x^2 + root{3}`b`x+c`=`0`]의 한 근이므로

[eqn: a LEFT ( 2+ sqrt {3} RIGHT ) ^{2} + sqrt {3}b` LEFT ( 2+root3 RIGHT ) +c=0`]이다.

정리하면 [eqn: LEFT ( 7a+3b+c `RIGHT ) + LEFT ( 4a+2b RIGHT ) root3`=0`]이고

[eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]가 유리수이므로

[eqn: 7a+3b+c=0`], [eqn: 4a+2b=0`]이다. 따라서

[eqn: b=`-2a`], [eqn: c=`-a`]

이다.

그러므로 주어진 방정식은

[eqn: a LEFT ( x ^{2} -2`root3`x`-1 RIGHT ) =0`]이고

이 이차방정식의 두 근은 [eqn: x=root3`+-2`]이다.

따라서 [eqn: beta=`-2 +root3`]이므로

[eqn: a+ 1 overbeta =2+root3 + { 1} over { -2 +root3 }=0]이다.

[다른 풀이1]

[eqn: t= root3 x]라 두면 주어진 방정식은

[eqn: a over3 t^2 +bt +c =0] 즉, [eqn: at^2 +3bt +3c =0]이다.

이 방정식은 한 근이 [eqn: t= root3 (2+root3 )]

[eqn: = 3+ 2root3]

이고 계수가 모두 유리수이므로 다른 한 근은

[eqn: t= 3-2root3]이다.

따라서 주어진 방정식의 다른 한 근

[eqn: beta = t over root3][eqn: = {3-2root3} over{root3}][eqn: =`-2+ sqrt {3}]이므로

[eqn: a+ 1 overbeta =2+root3 + { 1} over { -2 +root3 }=0]이다.

[다른 풀이2]

[eqn: alpha `=2+ sqrt {3}]에서 [eqn: alpha - sqrt {3} `=2]이고 양변을 제곱하여 정리하면 [eqn: alpha ^{2} -2 sqrt {3} alpha -1=0`]이다.

따라서 [eqn: alpha]는 이차방정식 [eqn: a(x ^{2} -2 sqrt {3} x-1)`=0`]의 근이다.

근과 계수의 관계에 의해 [eqn: 2+ sqrt {3} + beta =2 sqrt {3} `]이므로 [eqn: beta =-2+ sqrt {3} `]이다.

따라서 [eqn: a+ 1 overbeta =2+root3 + { 1} over { -2 +root3 }=0]이다.

<참고> 아래와 같은 방법으로 풀 수도 있다.

두 유리수 [eqn: p`], [eqn: q`]에 대하여

[eqn: {bar{p+q sqrt {3}}} =p`-`q sqrt {3} `]이라 하자.

[eqn: f(x)=ax ^{2} + sqrt {3} b`x+c`]이라 하고

[eqn: alpha =2+ sqrt {3}`]이라 하면 [eqn: f(alpha) =0]이다.

즉, [eqn: a alpha ^{2} + sqrt {3} b` alpha +c=0`]이다.

[eqn: {bar{a` alpha ^{2} + sqrt {3} `b`` alpha +c}} = {bar{0}} `]

[eqn: {bar{a` alpha ^{2}}} + {bar{sqrt {3} `b` alpha }} + {bar{c}} = {bar{0}} `]

[eqn: {bar{a`}} {bar{alpha }} ^{2} + {bar{sqrt {3}}} {bar{b}} `` {bar{alpha }} + {bar{c}} = {bar{0}} `]

[eqn: a {bar{alpha }} ^{2} - sqrt {3} `b` {bar{alpha }} +c=0`]

[eqn: a LEFT ( - {bar{alpha }} RIGHT ) ^{2} +root3`b LEFT ( - {bar{alpha }} RIGHT ) +c=0`]

이므로 [eqn: f(- {bar{alpha }} )=0`]이다.

따라서 [eqn: - {bar{alpha `}} =`- LEFT ( 2- sqrt {3} RIGHT )`]

[eqn: =`-2+ sqrt {3}`]

은 이 방정식의 다른 한 근이다.

따라서 [eqn: beta= root3 -2`]이므로

[eqn: a+ 1 overbeta =2+root3 + { 1} over { -2 +root3 }=0]이다.

20. [출제의도] 다항식의 나눗셈 추론하기

[eqn: p`+q=1`], [eqn: pq`=`-1`]이므로

[eqn: p^2 +q^2 = (p+q)^2 -2pq=3]이고

[eqn: p^4 +q^4 =(p^2 +q^2 )^2 -2p^2 q^2 =7]이다.

따라서	[eqn: r=3`], [eqn: s=7]이다.

[eqn: a= {p ^{8} -q ^{8}} over {p-q} =(p ^{4} +q ^{4} )(p ^{2} +q ^{2} )(p+q)]

[eqn: =`7 times3times 1`]

[eqn: =21]

이므로	[eqn: t=21]이다.

따라서 [eqn: r+s+t =31]이다.

<참고>

[eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: ax ^{9} +bx ^{8} +1`]이 [eqn: x ^{2} -x-1`]로 나누어떨어지므로 [eqn: ax ^{9} +bx ^{8} +1=(x ^{2} -x-1)Q(x)]의 꼴로

나타낼 수 있다.

양변에 [eqn: x=p`], [eqn: x=q`]를 각각 대입하면 ①, ②를 얻을 수 있다.

①, ②의 양변에 각각 [eqn: q ^{8} `], [eqn: p ^{8} `]을 곱하면

[eqn: ap(pq) ^{8} `+b(pq) ^{`8`} =`-q ^{8}]이고

[eqn: aq(pq) ^{8} `+b(pq) ^{`8`} =`-p ^{8}]이므로

[eqn: pq=`-1]을 대입하여 정리하면 ③, ④를 얻을 수 있다.

21. [출제의도] 연립부등식 문제 해결하기

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: -x^2 +3x+2 le mx +n]이므로

[eqn: x^2 +(m-3)x +n-2 ge0`]이다.

[eqn: x^2 +(m-3)x +n-2 =0`]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: D` =`(m-3)^2 -4n+8 le 0`]이다.

따라서

[eqn: 4n ge m^2 -6m+17 cdots cdots ①`]

이다.

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: mx +n le x^2 -x+4`]이므로

[eqn: x^2 -(m+1)x+4-n ge 0 `]이다.

[eqn: x^2 -(m+1)x+4-n =0`]의 판별식을 [eqn: D``'`]라 하면

[eqn: D```'` =`(m+1)^2 -16+4n le 0`]이다.

따라서

[eqn: 4n le `-m^2 -2m +15 cdots cdots ②`]

이다.

따라서 ①, ②에 의해

[eqn: m^2 -6m +17 le 4n le `-m^2 -2m +15 cdots cdots③`]

[eqn: m^2 -6m +17 le `-m^2 -2m +15`]

[eqn: 2m^2 -4m +2 le 0`]이다.

[eqn: 2(m-1)^2 le 0`]이므로 [eqn: m=1 `]이고

③에서 [eqn: 12 le 4n le 12`]이므로 [eqn: n=3`]이다.

따라서 [eqn: m ^2 + n^2 =10`]이다.

<참고>

[eqn: f(x)=x^2 -x+4`], [eqn: g(x) =-x^2 +3x +2`], [eqn: h(x)= mx+n`]이라 하면 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: g(x) le h(x) le f(x) `]가 성립하면 된다.

[eqn: f(x)-g(x)`=`2x^2 -4x +2``=`2(x-1)^2 `]이므로 [eqn: y`=`f(x)`]의 그래프와 [eqn: y`=`g(x)`]의 그래프는 서로 접한다.

따라서 [eqn: g(x) le h(x) le f(x) `]가 성립하기 위해서는 그림과 같이 [eqn: y=h(x)`]의 그래프가 [eqn: y=g(x)`]와

[eqn: y=f(x)`]의 그래프에 동시에 접해야 한다.

따라서 [eqn: f(x)=h(x)`]에서

[eqn: x^2 -(m+1)x +4-n=0`]의 판별식을 [eqn: `D]라 하면

[eqn: `D=] [eqn: (m+1) ^{2} -4(4-n)=0` CDOTS CDOTS ➀]

이다.

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y=h(x)]

[eqn: y=g(x)]

[eqn: g(x)=h(x)`]에서

[eqn: x^2 +(m-3)x+n-2=0`]의 판별식을 [eqn: D``` prime]라 하면

[eqn: D``` prime=] [eqn: (m-3) ^{2} -4(n-2)=0` CDOTS CDOTS ➁]

이다.

[eqn: ➀]과 [eqn: ➁]를 연립하면 [eqn: m=1`], [eqn: n=3`]이므로

[eqn: m ^2 + n^2 =10`]이다.

22. [출제의도] 복소수 계산하기

복소수가 서로 같을 조건에 의해

[eqn: a+2i=4+(b-1)i``]에서

[eqn: a=4`], [eqn: b-1=2`]이다.

따라서 [eqn: a=4`], [eqn: b=3`]이고

[eqn: a+b=7`]이다.

23. [출제의도] 다항식 계산하기

곱셈공식에 의하여

[eqn: (6x+y-2z) ^{2} `=36x ^{2} +y ^{2} +4z ^{2} `+12xy`-4yz`-24zx]       이므로 [eqn: x ^{2``}]의 계수는 [eqn: 36`]이다.

24. [출제의도] 연립부등식 이해하기

부등식 [eqn: x-1 ge 2]의 해는

[eqn: x ge 3]

이고

[eqn: x^2 -5x=x(x-5) le0]의 해는

[eqn: 0 le x le 5]

이다. 그러므로 주어진 연립부등식의 해는

[eqn: 3 le x le5`]

이다. 따라서 [eqn: alpha=3,~beta=5`]이므로

[eqn: alpha^2 +beta^2 =34`]이다.

25. [출제의도] 이차방정식 이해하기

[eqn: alpha`]는 이차방정식 [eqn: x^2 +5x -2=0]의 한 근이므로

[eqn: alpha^2 +5alpha -2=0]에서

[eqn: alpha^2 ` = `-5alpha +2]

이다.

근과 계수의 관계에 의해 [eqn: alpha+beta =`-5]이므로

[eqn: alpha^2 -5beta =`(-5alpha +2)-5beta]

[eqn: =`-5(alpha +beta) +2]

[eqn: =27]

이다.

26 [출제의도] 나머지정리를 이용하여 다항식의 나눗셈 문제 해결하기

다항식 [eqn: f(x)`]를 [eqn: x-1`]로 나눈 몫은 [eqn: Q(x)`],

나머지는 [eqn: 5]이므로

[eqn: f(x)=(x-1)Q(x)+5`]

이다.

[eqn: Q(x)`]를 [eqn: x-2`]로 나눈 나머지는 [eqn: 10]이므로

[eqn: Q(x)=(x-2)Q`'(x)+10`]

이다.
따라서 [eqn: f(x)=(x-1)left{(x-2)Q`'(x)+10 right}+5`]

[eqn: =(x-1)(x-2)Q`'(x)+10(x-1)+5]

[eqn: =(x-1)(x-2)Q`'(x)+10x-5]

이므로 [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-1)(x-2)`]로 나눈 나머지는 [eqn: 10x-5] 이다. 따라서 [eqn: a=10`], [eqn: b=`-5]이므로

[eqn: 3a+b=25]

이다.

27. [출제의도] 이차함수의 성질 추론하기

조건 (가)에서 [eqn: f(x) =a (x+2)(x-4)]라 두면

[eqn: f(x) =a(x-1) ^2 -9a]이다. (단, [eqn: a`]는 상수)

조건 (나)에서

ⅰ) [eqn: a>0]이면 [eqn: x=8]에서 최댓값 [eqn: 80]을 가지므로

[eqn: 40a`][eqn: =80] 즉, [eqn: a=2]이다.

ⅱ) [eqn: a<0`]이면 [eqn: x=5]에서 최댓값 [eqn: 80`]을 가지므로

[eqn: 7a=80`] 즉, [eqn: a = 80over7]이다. (부적합)

ⅰ), ⅱ)에 의해 [eqn: a=2]이다.

따라서 [eqn: f(x) = 2(x+2)(x-4)]이고, [eqn: f(-5)=54]이다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: -2]

[eqn: 1]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: 8]

[eqn: 14]

[eqn: 80]

28. [출제의도] 연립방정식을 이용하여 실생활 문제 해결하기

(단계1)에서 학생 [eqn: A`], [eqn: B`], [eqn: C]가 갖게 된 사탕의 개수는 각각 [eqn: 1over2 p`], [eqn: 1over4 p`], [eqn: 1over4 p`]이다.

(단계2)에서 학생 [eqn: A`], [eqn: B`], [eqn: C]가 갖게 된 사탕의 개수는 각각 [eqn: 1over3 q`], [eqn: 1over3 q`], [eqn: 1over3`q`]이다.

(단계3)에서 학생 [eqn: A`], [eqn: B`], [eqn: C]가 갖게 된 사탕의 개수는 각각 [eqn: 3over8 r`], [eqn: 3over8 r`], [eqn: 1over4 r`]이다.

그러므로 학생 [eqn: A`]가 갖게 된 사탕의 개수는

[eqn: p over2 + q over3 + 3r over8` =14cdotscdots①]

이고 학생 [eqn: B`]가 갖게 된 사탕의 개수는

[eqn: p over4 + q over3 + 3r over8`=12cdotscdots②]

이고 학생 [eqn: C]가 갖게 된 사탕의 개수는

[eqn: p over4 + q over3 + r over4 =10`cdotscdots③]

이다. ①, ②, ③을 연립하면

[eqn: p=8], [eqn: q=12], [eqn: r=16`]

이다. 따라서 [eqn: p+2q=32]이다.

29. [출제의도] 이차함수의 성질을 이용하여 도형 문제해결하기

[eqn: RMA]

[eqn: RMB]

[eqn: RMC]

[eqn: RMP]

[eqn: RMQ]

[eqn: RMR]

[eqn: rmbarBQ =ita`]라 하면 [eqn: triangle rmPBQ`]는 직각이등변삼각형이므로

[eqn: rmbar BP = it root2 a`]이다.

[eqn: triangle rm APR`]는 [eqn: rm barPA = it 6- root2 a`]인 직각이등변삼각형이므로

[eqn: rm bar PR = it root2 (6- root2 a)`]이고 [eqn: rm barCQ = barBC - barBQ = it 6root2 -a`]이다.

따라서  [eqn: ⃞``` rmPQCR = it 1over2 times(6root2 -2a+6root2 -a) timesa`]

[eqn: =6root2 a- 3over2 a^2 `]

[eqn: = `- 3over2 (a^2 -4root2 a +8-8)``]

[eqn: =`- {3} over {2} (a-2 sqrt {2} ) ^{2} +12`]

이다.

따라서 [eqn: rmbarBQ = it 2root2`]일 때,

[eqn: ````rm ⃞``PQCR`]의 넓이의 최댓값은 [eqn: 12`]이다.

[다른풀이]

[eqn: rmbar PA = it2x]라 하면

삼각형 [eqn: rmAPR]의 넓이는 [eqn: 2x^2]이다.

[eqn: rmbarPB = it6-2x]에서

[eqn: rmbarBQ = bar PQ = it 3root2 -root2 x]이므로

삼각형 [eqn: rmPBQ]의 넓이는 [eqn: (3-x)^2]이다.

따라서 사각형 [eqn: rmPQCR]의 넓이가 최대가 되기 위해서는

두 삼각형 [eqn: rmAPR]와 [eqn: rmPBQ]의 넓이의 합이 최소가 되어야 한다.

따라서 두 삼각형 [eqn: rmAPR]와 [eqn: rmPBQ]의 넓이의 합은

[eqn: 3x^2 -6x +9`]이므로 [eqn: x=1`]일 때, 넓이의 최솟값이 [eqn: 6`]이다. 따라서 삼각형 [eqn: RM`ABC`]의 넓이가 [eqn: 18`]이므로 사각형 [eqn: rmPQCR`]의 넓이의 최댓값은 [eqn: 18-6=12`]이다.

30. [출제의도] 연립방정식을 이용하여 도형 문제 해결하기

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: O_1]

[eqn: O_2]

[eqn: rm ` {bar{AD}} `], [eqn: rm ` {bar{AC}} `], [eqn: rm ` {bar{BC}} `], [eqn: rm ` {bar{AB}} `]는 이 순서대로 네 개의 연속된 짝수이므로 [eqn: rm ` {bar{AD}} `= it `2n], [eqn: rm ` {bar{AC}} `= it2 `n+2`], [eqn: rm ` {bar{BC}} `=it`2n+4], [eqn: rm ` {bar{AB}} `=it`2n+6`](단, [eqn: n`]은 자연수)이라 두자.

[eqn: rm ` {bar{BD}} `=it`x`], [eqn: rm ` {bar{CD}} `=it`y`]라 두면

[eqn: x+y=2n+4`cdotscdots①]

두 삼각형 [eqn: rm`ABD`]와 [eqn: rmACD`]는 직각삼각형이므로

[eqn: rm{bar{AD}} ^{2} = {bar{AB}} ^{2} - {bar{BD}} ^{2} `], [eqn: rm{bar{AD}} ^{2} ={bar{AC}} ^{2} - {bar{CD}} ^{2} `]이다.

[eqn: (2n+6) ^{2} -x ^{2} =(2n+2) ^{2} -y ^{2}`cdotscdots②]

②에서 [eqn: 8(2n+4)=(2n+4)(x-y)`]이므로

[eqn: x-y=8`cdotscdots③]

이다.

①과 ③을 연립하여 풀면

[eqn: x= {n+6 }], [eqn: y= {n-2}]

이고 직각삼각형 [eqn: rmACD`]에서 [eqn: (2n+2) ^{2} =4n ^{2} + LEFT ( {n-2}right ) ^{2} `]이다.

이 식을 정리하면 [eqn: n ^{2} -12n=0`]에서

[eqn: n=12`]

이다. 따라서 [eqn: rm ` {bar{AB}} `= it `30`], [eqn: rm ` {bar{AC}} `= it `26`]이므로

두 원의 넓이의 합 [eqn: S`]는

[eqn: S`=] [eqn: {15 ^{2}} ` pi + {13 ^{2}} pi = {394}` pi `]

이다. 그러므로 [eqn: S overpi = 394`]이다.