• 2교시 수리 영역 •

2005학년도 4월 고3 전국연합학력평가

정답 및 해설

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[가 형]

1	②	2	③	3	①	4	③	5	③
6	④	7	①	8	②	9	①	10	⑤
11	④	12	⑤	13	④	14	①	15	⑤
16	③	17	②	18	[eqn: 8]	19	[eqn: 13]	20	[eqn: 51]
21	[eqn: 6]	22	[eqn: 76]	23	[eqn: 15]	24	[eqn: 28]	25	[eqn: 64]

[출제의도] 지수법칙을 이해하고 식의 값을 계산하기

[eqn: 1 over root{2`} times root{32`} times `root{27`} = 1 over root{2`} times 4root{2`} times 3= 12]

[eqn: 3]

□ ②

[출제의도] 역행렬의 뜻을 알고 이를 이용하여 계산하기

[eqn: AX+BX=(A+B)X= PMATRIX { { 0}& { 0```}# {8 }& {4``` } }]이므로

[eqn: PMATRIX { { 3}& { 1```}# {5 }& {2``` } } X = PMATRIX { { 0}& { 0```}# {8 }& {4``` } }]이 된다.

[eqn: { PMATRIX { { 3}& { 1```}# {5 }& {2``` } } }^-1 = PMATRIX { { `````````2}& { -1``}# {-5 }& {````````3`` } }]이므로

[eqn: therefore `` X=PMATRIX { { `````````2}& { -1``}# {-5 }& {````````3`` } } PMATRIX { { 0}& { 0```}# {8 }& {4``` } } = PMATRIX { { -8}& {-4`` }# { ````24}& {````12`` }}]

□ ③

[출제의도] 무리방정식의 뜻을 알고 이를 풀기

양변을 제곱하여 정리하면 [eqn: 2x^2 + 7x + 3=0]

[eqn: (x+3)(2x+1)=0] [eqn: therefore``x=-3] 또는 [eqn: - 1 over 2]

이 값은 주어진 방정식을 모두 만족시키므로 근이다.

따라서, 모든 근의 곱은 [eqn: 3 over 2]이다.

□ ①

[출제의도] 조건부확률의 뜻을 알고 이를 구하기

남학생을 뽑을 사건을 [eqn: A], 희망한 학생을 뽑을 사건을 [eqn: B]라 하면

[eqn: rm P( it A)= 48 over 100], [eqn: rm P( it A cap B)= 30 over 100]

[eqn: therefore ``rm P( it B``|A) = { rm P( it A cap B)} over {rm P( it A)} = 30 over 48 = 5 over 8]

□ ③

[출제의도] 행렬의 곱셈의 성질을 알고 추론하기

ㄱ. 참. [eqn: (A-E)^2 = (A-E)(A-E)]

[eqn: =A^2 -A E - E A + E^2][eqn: = A^2 -2A +E]

ㄴ. 거짓. (반례)[eqn: A= PMATRIX { `````` 1& -1 # -1``& {````````````1``` } }],[eqn: B= PMATRIX { `` 1& 0``` # ``` 1``& 0``` }]

ㄷ. 참. [eqn: A^2 = A A = (A B) A = A (B A) = AB=A]

□ ③

[출제의도] 정규분포의 뜻과 그 성질을 이해하기

확률변수 [eqn: X`]를 표준화하면 [eqn: Z= X-n over { n over 2}]에서

[eqn: X=n]이면 [eqn: Z=0], [eqn: X= 120]이면 [eqn: Z=1]이므로

[eqn: {120-n} over {n over 2}=1] [eqn: therefore`` n= 80]

□ ④

[출제의도] 연립일차방정식의 해의 조건과 행렬의 관계를 이해하기

[eqn: x=y=0] 이외의 해를 가지려면 역행렬을 갖지 않아야 하므로 [eqn: 2a(a-1) + 2 ( b+1)^2 =0]이다.

[eqn: therefore``a(a-1) + ( b+1)^2 =0]

이것을 [eqn: a^2 + (b+1)^2 =1]과 연립하면

[eqn: a=1], [eqn: b=-1]이다.

[eqn: therefore``](가) [eqn: a(a-1) + ( b+1)^2 =0], (나) [eqn: 0]

□ ①

[출제의도] 무한등비급수의 합을 구하기

[eqn: SUM from { { n}=1} to inf { a_n} over {4^n } = 0 over 4 + 1 over 4^2 + 2over 4^3 + 0 over 4^4 + 1 over 4^5 + 2over 4^6 +…]

[eqn: = left( 1 over 4^2 + 1 over 4^5 + 1 over 4^8 + … right)+left( 2 over 4^3 + 2 over 4^6 + 2 over 4^9 + … right)]

[eqn: = {``` 1 over 4^2``` } over { 1 - 1 over 4^3 } +{2over 4^3 } over {``` 1- 1 over 4^3 ```} = {```1 over 16 ```} over { 63 over 64 } +{```2 over 64``` } over { 63 over 64 } = 2 over 21]

□ ②

[출제의도] 로그함수의 그래프를 그려보고, 그 성질을 이해하기

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: y=x]

[eqn: (x, `` log_2 ``x)]

[eqn: y= log_2 ``x]

ㄱ. 참. 원점과 [eqn: (x, `` log_2 ``x)]를 지나는 직선의 기울기

이므로 그림과 같이 두 점을 지나는 직선의 기울기는

항상 [eqn: 1]보다 작다.

ㄴ. 거짓. (반례) [eqn: x= 1 over 2]일 때, [eqn: { log_2 {1 over 2} } over {1 over 2 - 1} = 2 `＞`1]

ㄷ. 거짓. (반례) [eqn: x= 1]일 때 [eqn: {log_2 `(1+1)} over 1 =1]

□ ①

[출제의도] 여러 가지 함수의 극한값을 구하기

ㄱ. [eqn: x`` ->` 1-0]일 때, [eqn: 0`＜`x`＜`1]이므로 [eqn: [x] =0]

[eqn: lim from{x->1-0 }` f`(x)`=lim from{x->1-0 }` (-1)^0 over x = 1]

ㄴ. [eqn: x `-> -1+0]일 때, [eqn: -1`＜`x`＜`0]이므로 [eqn: [x] =-1]

[eqn: lim from{x->-1+0 }` f`(x) &=lim from{x->-1+0 }` (-1)^(-1) over x ## &= lim from{x->-1+0 }` -1 over x =1]

ㄷ. [eqn: x ``-> `2-0]일 때, [eqn: 1`＜`x`＜`2]이므로 [eqn: [x] =1]

[eqn: lim from{x->2-0 }` f`(x)=lim from{x->2-0 }` -1 over x = - 1 over 2]

□ ⑤

[출제의도] 무한등비급수의 합을 구하기

[eqn: A_1]의 한 변의 길이를 [eqn: x`]라고 하면 피타고라스 정리에 의해 [eqn: x= 2 over root5 a] 이므로

[eqn: A_1]의 넓이[eqn: = 4 over 5 a^2] 이다. 마찬가지 방법으로

[eqn: A_2]의 넓이[eqn: = 16 over 25 a^2]

[eqn: vdots]

[eqn: A_n]의 넓이[eqn: =left( 4 over 5 RIGHT)^n a^2]

따라서, 넓이의 합은 [eqn: { 4 over 5 a^2} over {```1- 4 over 5 ```} = 4a^2]이다.

□ ④

[출제의도] 분수부등식을 활용하여 여러 가지 문제를 해결하기

[eqn: { x-1 } over {4-x }` ＞` 1]을 풀면 [eqn: 5 over 2 `＜` x `＜` 4]이므로

[eqn: x^2 - 6x+k ` ＜`0]을 항상 만족시키는 [eqn: k]의 값의 범위를 구한다.

[eqn: f`(x)= x^2 - 6x+k]로 놓을 때, [eqn: y= f`(x)]의 그래프가   그림과 같은 위치에 있어야 한다.

[eqn: x]

[eqn: x=3]

[eqn: f`left( 4 right) = k-8 ≦ 0]이어야 하므로 최대값은 [eqn: 8]이다.

□ ⑤

[출제의도] 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 공비를 구하기

[eqn: rm bar EC = it a]라고 하면

[eqn: rm triangle G EC]의 넓이[eqn: = root3 over 4 a^2]

[eqn: rm triangle AGH]의 넓이[eqn: = 1 over 2 a (4-a) sin 60°= root3 over 4 a (4-a)]

[eqn: rm triangle DEF`]의 넓이[eqn: = root3 over 4 r^2]

[eqn: root3 over 4 a (4-a) =root3 over 4 a^2 r]  …………㉠

[eqn: root3 over 4 r^2 = root3 over 4 a r (4-a)]  …………㉡

㉠에서 [eqn: 4-a =ar],  ㉡에서 [eqn: r=a(4-a)]

따라서 [eqn: r= a^2 r]이다. [eqn: therefore ``a=1], [eqn: r=3]

□ ④

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프의 성질을 이해하기

조건을 만족하는 두 함수는 [eqn: y=10^{x-k}],

[eqn: y=log_10 ``x` +k]이다.

또한 두 함수는 서로 역함수이고 두 함수의 그래프가 만나는 교점은 [eqn: y=x]와 [eqn: y=log_10 ``x` +k]의 그래프와의 교점과 같고 두 점 사이의 거리가 [eqn: root 2]이다.

만나는 두 점을[eqn: rm P(alpha, ``alpha`)], [eqn: rm Q(beta,`` beta`)](단,[eqn: alpha ``＜` beta])라

하면 [eqn: root {(beta - alpha )^2 + (beta - alpha )^2 ```} = root{2``} (beta-alpha) = root {2``}]

[eqn: therefore`` beta - alpha=1 & cdots ``㉠]

한편, [eqn: cases {alpha = log_10 ``alpha + k & cdots ``㉡ # beta = log_10 ``beta + k & cdots ``㉢^`^`^` }]에서 [eqn: ㉢-㉡]하면

[eqn: beta - alpha = log_10 `` beta - log_10 `` alpha]에서 [eqn: therefore``beta over alpha = 10 & cdots ``㉣]

[eqn: ㉠]과 [eqn: ㉣]를 연립하면 [eqn: alpha= 1 over 9], [eqn: beta = 10 over 9]이므로

[eqn: ㉡]에서 [eqn: 1 over 9 = log_10 `` 1 over 9 + k] [eqn: therefore``` k= 1 over 9 + 2 log_10 `` 3]

□ ①

[출제의도] 수학적귀납법의 원리를 이해하기

(가) [eqn: {k+1} over {k+2}], (나) [eqn: 2]

□ ⑤

[출제의도] 로그함수의 그래프 성질을 이해하여 문제를 해결하기

[eqn: x+1 ＜ 3 log_2 ``x ``LRARROW ``2^x+1 ＜x^3]이고 이를 만족하는 [eqn: x]의 범위는 그래프에서 [eqn: 2＜x＜8]이다.

한편, 구하는 부등식은 [eqn: y=2^x+1], [eqn: y= x^3]을 각각 [eqn: x]축 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동한 결과이므로

[eqn: 2^x+2 `＜`(x+1)^3]를 만족시키는 [eqn: x]의 범위는

[eqn: 1＜x＜7]이다.

[eqn: THEREFORE ``alpha +beta = 8]

□ ③

[출제의도] 상용로그의 뜻을 알고 이를 활용하기

현재 인구를 [eqn: a`]라 하면, [eqn: n`]년 후 두 도시의 인구는

[eqn: A`]: [eqn: (1 + 0.02)^n` a], [eqn: B]:[eqn: (1-0.02)^n` a]이다.

[eqn: (1 + 0.02)^n` a `≧`2 (1-0.02 )^n ` a]이므로

[eqn: 1.02^n `≧` 2`times` 0.98^n] , [eqn: left( 1.02 over 0.98 right)^n `≧` 2]

[eqn: left( 51 over 49 right)^n `≧` 2]이다. 양변에 상용로그를 취하면

[eqn: n left( log_10 ` 51 - log_10` 49 right)`≧` 0.3010]

[eqn: n times 0.0174 `≧`0.3010]

[eqn: therefore ```n `≧` 0.3010 over 0.0174 = 17.29 `cdots]

□ ②

[출제의도] 이산확률변수의 기대값을 구하기

[eqn: E(X)=1 times 4 over 15 + 2 times 4 over 15 + 3 times 7 over 30 = 45 over 30 = 3 over 2]이므로 [eqn: E(2X+5) = 2 E(X) +5 = 8]

□ [eqn: 8]

[출제의도] 경우의 수를 구하기

조건에 맞는 세 자리수는 [eqn: 131], [eqn: 132], [eqn: 133], [eqn: 213], [eqn: 231],[eqn: 232], [eqn: 233], [eqn: 313], [eqn: 321], [eqn: 323], [eqn: 331], [eqn: 332], [eqn: 333] 이므로

[eqn: 13]가지이다.

□ [eqn: 13]

[출제의도] 등차수열의 뜻을 이해하기

[eqn: 6]개의 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e], [eqn: f`]를 표와 같이 넣고, 등차중항을 이용하여 수를 구할 수 있다.

[eqn: 3]	[eqn: a]	[eqn: 7]
[eqn: b]	[eqn: c]	[eqn: d]
[eqn: e]	[eqn: 11]	[eqn: f`]

[eqn: therefore`` a=5], [eqn: b= 6], [eqn: c=8], [eqn: d=10], [eqn: e=9], [eqn: f=13]

[eqn: therefore`` a+b+c+d+e+f=51]

□ [eqn: 51]

[출제의도] 무한등비수열의 극한값을 구하기

[eqn: f`(-3)= lim from { n -> inf } { (-3)^n + 3 } over { (-3)^n + 1 } = lim from { n -> inf } { 1+ 3 left( - 1 over 3 right)^n } over { 1+ left( - 1 over 3 right)^n } =1]

마찬가지 방법으로 구하면 [eqn: f`` left( 1over 4 right) = 3], [eqn: f`(1)=2]

[eqn: therefore``f` left(-3 right)+f `left ( { 1} over {4 } right)+f `left(1 right) = 6]

□ [eqn: 6]

[출제의도] 조합의 뜻을 알고 조합의 수를 구하기

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

원의 내부에 있는 [eqn: 9]개의 점 중에서 [eqn: 3]개의 점을 꼭지점으로 하는 삼각형의 개수를 구한다.

[eqn: therefore ``_9 C_ 3 - 8 = 76]

□ [eqn: 76]

[출제의도] 연속함수의 성질을 이해하고 이를 활용하기

[eqn: lim from { x -> inf } g(x) = lim from { x -> inf } { f`(x) - x^2 } over { x -1 } =2]이므로

다항함수 [eqn: f`(x)= x^2 +2x +a]꼴이다.

함수 [eqn: g(x)]는 모든 실수에서 연속이므로

[eqn: lim from { x -> 1 } g(x) = lim from { x -> 1 } { 2x+a } over { x -1 } =k]이어야 한다.

[eqn: x``->1]일 때, (분모)[eqn: ->``0]이고 극한값은 일정한 값이므로  (분자)[eqn: -> ``0]이어야 한다. [eqn: 2 times 1 +a =0] [eqn: therefore`` a= `-2]

[eqn: f`(x)= x^2 +2x -2] 이고 [eqn: lim from { x -> 1 } g(x) = lim from { x -> 1 } { 2x-2 } over { x -1 } =2]

[eqn: therefore``k=2]  [eqn: therefore``k`+ f`(3)= 2 + 13 = 15]

□ [eqn: 15]

[출제의도] 상용로그의 뜻을 알고 이를 활용하기

[eqn: log_10` 18- log_10` 3 = log_10` 12 -log_10` y] …㉠

[eqn: log_10` x- log_10` 18 = log_10` 20 -log_10` 12]…㉡

㉠에서[eqn: log_10` y = log_10`{ {12 times 3 }over 18 }=log_10 `2]  [eqn: therefore ``y=2]

㉡에서[eqn: log_10` x = log_10`{ {20 times 18 }over 12 }=log_10 `30]

[eqn: therefore ``x=30] 그러므로 [eqn: x-y=28]이다.

□ [eqn: 28]

[출제의도] 조합의 뜻을 알고 조합의 수를 구하기

[eqn: "{" 1, ``2,``3"}"cap A ="{"1,``2"}"]이므로 [eqn: A]는 [eqn: 1],[eqn: 2]는 포함하고

[eqn: 3]은 포함하지 않아야 한다.

한편, [eqn: n(A) ≧6]이어야 하므로 [eqn: "{" 4,`` 5,`` 6,`` cdots``, ``9,`` 10 "}"] 중  원소를 각각 [eqn: 4]개, [eqn: 5]개, [eqn: 6]개, [eqn: 7]개를 선택하여 부분집합을 만든다.

위 조건을 만족하는 집합 [eqn: A]의 개수는

[eqn: therefore `` `_7 C _4 + `_7 C _5 + `_7 C _6 + `_7 C _7 = 2^6 =64]

(참고)

[eqn: `_7 C _0 + `_7 C _1 + `_7 C _2 + cdots + `_7 C _7 = 2^7],

[eqn: `_7 C _0 + `_7 C _1 + `_7 C _2 + `_7 C _3 = `_7 C _4 + `_7 C _5 + `_7 C _6 + `_7 C _7]

□ [eqn: 64]

[미분과 적분]

26	④	27	②	28	⑤	29	③	30	[eqn: 14]

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이해하기

[eqn: sin left( pi over 3 +- theta right )=sin pi over 3 cos theta +- cos pi over 3 sin theta]

[eqn: &=root 3 over 2 cos theta +- 1 over 2 sin theta](복부호동순)이므로

준 식[eqn: = sin^2 theta + 2 cdot left ( root 3 over 2 right ) ^2 cos ^2 theta + 2 cdot left ( 1 over 2 right )^2 sin^2 theta]

[eqn: = 3 over 2 sin^2 theta + 3 over 2 cos^2 theta = 3 over 2]

□ ④

[출제의도] 삼각함수의 합성을 이해하기

[eqn: f`(x)=5 sin(x+ alpha )] (단,[eqn: cos alpha = 4 over 5],[eqn: sin alpha = 3 over 5])이므로 [eqn: 0 ≦ x `＜ 2 pi`]인 범위에서 [eqn: x+ alpha = pi over 2]일 때 최대이다.

한편, [eqn: tan theta = tan left( pi over 2 - alpha right ) = cot alpha]이고 [eqn: cot alpha = 4 over 3]이므로  [eqn: 3 tan theta = 3 cdot 4 over 3 = 4]

□ ②

[출제의도] 삼각함수의 반각의 공식을 이해하기

[eqn: tan theta =- SQRT {8``}]이므로 [eqn: cos theta = - 1 over 3][eqn: left ( pi over 2 ` ＜ ` theta ` ＜` pi ` right)]

[eqn: sin^2 {theta`} over 2 ` = { 1 - cos theta` } over 2 ={ 1- left( - 1 over 3 right )} over 2 = 2 over 3]

□ ⑤

[출제의도] 간단한 삼각방정식을 풀기

[eqn: 4sin x- cos 2x = 4sin x - (1-2sin^2 x) =k]

[eqn: sin x =t``(-1 `≦`t`≦`1)]라 하고 식을 정리하면

[eqn: 2t^{2} + 4t -1 = k] 이고 [eqn: -1 `≦`t`≦`1]에서

[eqn: -3≦ 2t^{2} + 4t -1≦5]이므로 [eqn: -3 `≦ `k` ≦` 5]이다.

[eqn: therefore] 정수의 개수는 [eqn: 9]개

□ ③

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이해하기

[eqn: angle EAD =alpha]라 하면 [eqn: tan alpha = 3 over 4]이고,

[eqn: tan (theta + alpha) = {tan theta + tan alpha } over {1- tan theta cdot tan alpha } = 4 over 3]이므로

[eqn: tan theta + 3 over 4 = 4 over 3 - tan theta], [eqn: therefore `` tan theta = 7 over 24]

[eqn: therefore`` 48tan theta = 14]

□ [eqn: 14]

[확률과 통계]

26	③	27	⑤	28	④	29	②	30	[eqn: 7]

[출제의도] 자료의 분포와 특성을 파악하기

도수의 총합이 [eqn: 35]이므로 [eqn: a= 7], 상대도수의 합은 [eqn: 1]이므로 [eqn: c=1] 이다. [eqn: b= 7 over 35]이므로 [eqn: a + 10b + c`=10]

□ ③

[출제의도] 줄기와 잎 그림을 보고 자료의 분포와 특성을 파악하기

최빈값은 [eqn: 33], 자료의 범위는 [eqn: 49`(=52-3)]이며 평균은 약 [eqn: 27.7]이고 중앙값은 [eqn: 32]이다.

□ ⑤

[출제의도] 자료의 분포와 특성을 파악하기

[eqn: e=80]이고 공비가 [eqn: 2]인 등비수열이므로 [eqn: a= 5], [eqn: b=10], [eqn: c=20], [eqn: d=40]이다.

이를 이용하여 누적도수의 분포표를 작성하면 다음과 같다.

몸무게	도수	누적도수
[eqn: rm 55kg]이상 ～[eqn: rm 60kg]미만	5	5
[eqn: rm 60kg] ～ [eqn: rm 65kg]	5	10
[eqn: rm 65kg] ～ [eqn: rm 70kg]	10	20
[eqn: rm 70kg] ～ [eqn: rm 75kg]	20	40
[eqn: rm 75kg] ～ [eqn: rm 80kg]	40	80

□ ④

[출제의도] 대표값으로서 평균을 구하기

운전한 거리에 대한 자동차의 평균 속력을 [eqn: x]라 하면

[eqn: x = { 100 times 3 + 60 times 2 + 30 times 1 } over {3+2+1} = 75 ㎞/시]

□ ②

[출제의도] 산포도로서 분산을 구하기

[eqn: A]반 학생의 점수를 [eqn: x_1], [eqn: x_2], [eqn: cdots] , [eqn: x_30]이라 하고

[eqn: B`]반 학생의 점수를 [eqn: y_1], [eqn: y_2], [eqn: cdots] , [eqn: y_30]이라 하면

전체평균을 [eqn: m]이라 하면

[eqn: m= { 30(18+16) } over 60 =17]

[eqn: A]반의 분산은 [eqn: { x_1 ^{``2} + x_2 ^{``2} + cdots + x_30 ^{`````2} } over 30 - 18^2 = 4]

[eqn: B]반의 분산은 [eqn: { y_1 ^{``2} + y_2 ^{``2} + cdots + y_30 ^{`````2} } over 30 - 16^2 = 8]이므로

전체분산을 [eqn: sigma^2]이라 하면

[eqn: sigma^2 = { x_1 ^{2}+ x_2 ^{2} + cdots + x_30 ^{````2}+ y_1 ^{2}+ y_2 ^{2}+ cdots + y_30 ^{```2}} over 60 - m^2]

[eqn: = { (4 + 18^2 ) times 30 + (8 + 16^2 )times 30 } over 60 - 17^2 =7]

[eqn: therefore``]분산 [eqn: sigma^2 = 7]

□ [eqn: 7]

[이산수학]

26	⑤	27	④	28	②	29	③	30	[eqn: 105]

[출제의도] 곱의 법칙을 이해하고 경우의 수를 구하기

(ⅰ)[eqn: 집 -> 학교 -> 도서관 ->집 ``:`` 2 times 2 times 3 =12]

(ⅱ)[eqn: 집 -> 도서관 -> 학교 ->집 ``:`` 3 times 2 times 2 = 12]

[eqn: therefore `` 24]가지

□ ⑤

[출제의도] 합의 법칙을 이해하고 경우의 수를 구하기

눈의 수의 합이 짝수가 되는 경우는

(ⅰ) 1회 던진 눈: 홀수, 2회 던진 눈: 홀수

[eqn: therefore`` 3 times 3 = 9]

(ⅱ) 1회 던진 눈: 짝수, 2회 던진 눈: 짝수

[eqn: therefore`` 3 times 3 = 9]

(ⅰ)과 (ⅱ)를 모두 합하면 [eqn: 18]가지이다.

□ ④

[출제의도] 순열의 뜻을 알고 순열의 수를 구하기

맨 앞자리에는 [eqn: 1]이 오고, 맨 뒤에는 [eqn: 3]이 오지 않도록 하려면 [eqn: 1``□□□□□``1], [eqn: 1``□□□□□``2]이고 빈칸에

나머지 수가 들어가면 된다.

(ⅰ)[eqn: 1``□□□□□``1]: 빈칸에 [eqn: 2],[eqn: 2],[eqn: 3],[eqn: 3],[eqn: 3]이 오는 경우의 수이므로 [eqn: 5! over {2! times 3!} = 10]가지

(ⅱ)[eqn: 1``□□□□□``2]: 빈칸에 [eqn: 1],[eqn: 2],[eqn: 3],[eqn: 3],[eqn: 3]이 오는 경우의 수이므로 [eqn: 5! over 3! = 20]가지

(ⅰ)과 (ⅱ)에 의해 모두 [eqn: 30]가지이다.

□ ②

[출제의도] 비둘기집의 원리를 이용하여 문제를

해결하기

ㄱ. 모든 정수는 [eqn: 5k], [eqn: 5k+1], [eqn: 5k+2], [eqn: 5k+3], [eqn: 5k+4](단,[eqn: k]는 정수)중 어느 한 꼴이다.

[eqn: 5]개의 수를 모두 다른 종류의 것이라고 가정하면 [eqn: 5k_1], [eqn: 5k_2 +1], [eqn: 5k_3 + 2], [eqn: 5k_4 + 3], [eqn: 5k_5 + 4] (단, [eqn: k_1], [eqn: k_2], [eqn: k_3], [eqn: k_4], [eqn: k_5]는 정수)이고 [eqn: 6]번째 수는 [eqn: 5]로 나눈 나머지가 그 중 하나가 되어 두 수의 차가 [eqn: 5]의 배수가 되는 것이 반드시 존재한다. [eqn: therefore``]참

ㄴ.(반례) [eqn: 6]개의 자연수가 [eqn: 1], [eqn: 6], [eqn: 11], [eqn: 16], [eqn: 21], [eqn: 26]이면 두 수의 제곱의 합을 [eqn: 5]로 나눈 나머지는 항상 [eqn: 2]이다. [eqn: therefore``]거짓

ㄷ. ㄱ과 마찬가지 방법으로 증명할 수 있다. [eqn: therefore``]참

□ ③

[출제의도] 유한집합을 서로소인 몇 개의 집합의

합집합으로 나타낼 수 있는 방법의 수를 구하기

[eqn: `_7 C _2 times `_5 C _2 times `_3 C _3 times 1 over 2! =105]

□ [eqn: 105]

[나 형]

1	②	2	③	3	③	4	①	5	③
6	④	7	①	8	②	9	③	10	①
11	④	12	⑤	13	④	14	⑤	15	⑤
16	①	17	②	18	[eqn: 14]	19	[eqn: 216]	20	[eqn: 51]
21	[eqn: 6]	22	[eqn: 18]	23	[eqn: 10]	24	[eqn: 28]	25	[eqn: 105]
26	④	27	⑤	28	④	29	②	30	[eqn: 199]

수리‘가’형 1번과 같음

수리‘가’형 2번과 같음

[출제의도] 무한수열의 극한의 성질을 이해하고 극한값을 구하기

[eqn: (n^2 -1 ) a_n =b_n]라 하면

[eqn: a_n = 1 over { n^2 -1 } b_n]이고 [eqn: lim from { n -> inf } b_n = 2006]이다.

[eqn: lim from { n -> inf } left( 1 over 2 n^2 +1 right)a_n =lim from { n -> inf } left( 1 over 2 n^2 +1 right) cdot{ b_n} over { n^2 -1 }]

[eqn: =lim from { n -> inf } ``{ 1 over2 n^2 +1 }over { n^2 -1 } cdot b_n = lim from { n -> inf } ``{ 1 over2 n^2 +1 }over { n^2 -1 } cdot lim from { n -> inf } `b_n]

[eqn: = 1 over 2 times 2006 =1003]

□ ③

[출제의도] 미지수가 2개인 연립일차방정식을 행렬로 나타내기

준식을 정리하면 [eqn: (x+ y -27 ) + ( x-2y -18) root{ 3`} =0]

[eqn: x]와 [eqn: y]가 모두 유리수이므로 [eqn: x+y -27=0]이고,

[eqn: x-2y-18=0]이어야한다.

따라서 이 두 식은 연립방정식[eqn: cases { x``+```y`=27 # x-2y`=`18^`^`^`` }]으로 나타내어지므로 [eqn: x=24], [eqn: y=3]이다.

[eqn: pmatrix { x```#y```} = PMATRIX { { m}& {1 }# {1 }& {n } } `pmatrix { 9```#6```}]에서

[eqn: 24= 9m + 6] [eqn: therefore``m=2],  [eqn: 3= 9 + 6n]  [eqn: therefore``n=-1]

따라서 [eqn: mn=-2]

□ ①

수리‘가’형 5번과 같음

[출제의도] 상용로그의 지표의 성질을 이해하고 이를 활용하기

[eqn: 24` ≦` log_10 `x^8 `＜`25`]이므로 [eqn: 3` ≦` log_10 `x `＜`25over8 = 3.125]

[eqn: 15` ≦` log_10 `y^5 `＜`16`]이므로 [eqn: 3` ≦` log_10 `y `＜`16 over 5 = 3.2`]

[eqn: 6` ≦` log_10` x +log_10 ``y `＜`6.325]

[eqn: therefore ```xy]는 7자리의 자연수

□ ④

수리‘가’형 7번과 같음

수리‘가’형 8번과 같음

[출제의도] 지수법칙을 이해하고 식의 값을 계산하기

[eqn: 2`*`root{2`}= {root {2`}}^2 ={2`}][eqn: ( BECAUSE`` `2` ＞root{2`} `)]이므로

준 식[eqn: =] [eqn: 2 ` * ` 2 root {2`} = 2^ {2 root{2`}}][eqn: ( BECAUSE ```2` ＜ `2root{2`} `)]

□ ③

[출제의도] 행렬의 뜻을 이해하기

[eqn: A = PMATRIX { { a_11}& {a_12 }& {a_13```` }# {a_21 }& {a_22 }& {a_23```` }# {a_31 }& {a_32 }& {a_33```` } } = PMATRIX { { 1}& {1 }& { 1````}# {1 }& {1 }& {0 ````}# {1 }& { 0}& {0```` } }]

□ ①

수리‘가’형 11번과 같음

[출제의도] 무한수열의 극한의 성질을 이해하기

ㄱ. [eqn: lim from { n` ->` inf } a_n b_n = lim from { n` ->` inf } a_n cdot lim from { n` ->` inf } b_n =alpha cdot 0=0]

ㄴ. [eqn: a_n - b_n = c_n]이라 놓으면 [eqn: b_n = a_n -c_n]이므로

[eqn: lim from n->inf b_n = lim from n->inf (a_n -c_n )= lim from n->inf a_n - lim from n->inf c_n =alpha -0 =alpha]

ㄷ. [eqn: a_n - b_n = c_n]이라 놓으면 [eqn: b_n = a_n -c_n]이므로

[eqn: lim from n->inf b_n over a_n = lim from n->inf {a_n -c_n } over a_n = lim from n->inf left( 1- c_n over a_n right) =1]

□ ⑤

수리‘가’형 13번과 같음

[출제의도] 무한급수의 수렴의 뜻을 이해하기

[eqn: SUM from { { n}=1} to inf left( a_n - 2n^2 over {2n^2 +1} right)]이 수렴하므로

[eqn: lim from n->inf `left( a_n - 2n^2 over {2n^2 +1} right) = 0]이다.

[eqn: lim from n->inf `left( a_n - 2n^2 over {2n^2 +1} right) = 0]에서 [eqn: lim from n->inf 2n^2 over {2n^2 +1} = 1]이므로

[eqn: lim from n->inf a_n =1]이다.

□ ⑤

수리‘가’형 15번과 같음

[출제의도] 로그의 뜻과 그 성질을 이해하기

[eqn: xyz `=` 3 ^a+b+c `=`1]

준 식[eqn: =log_x ` 1 over x + log_y ` 1 over y + log_z` 1 over z =-3]

□ ①

수리‘가’형 17번과 같음

[출제의도] 행렬의 덧셈, 뺄셈의 정의를 알고 그 연산을 하기

[eqn: X =2A+3B = PMATRIX { {`````````4 }& { 6}# { -2}& {8 }```} + PMATRIX { {`````````9 }& { 3}# { -3}& {6 }} = PMATRIX { {`````13 }& {``` 9}# { -5}& {14 }}]

[eqn: therefore ```2]행 [eqn: 2]열의 성분은 [eqn: 14]이다.

□ [eqn: 14]

[출제의도] [eqn: SUM]의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용하기

준 식[eqn: = sum from k=1 to 10 left( k+1 right)^2 -4 -sum from k=1 to 10 left( k-1 right)^2 =-4 + sum from k=1 to 10 4k]

[eqn: = -4 + 4 cdot 55 =216]

□ [eqn: 216]

수리‘가’형 20번과 같음

수리‘가’형 21번과 같음

[출제의도] 역행렬을 이용하여 연립일차방정식에 관한 문제를 해결하기

[eqn: PMATRIX { { a}& { b}`` # { c}& { d}`` } PMATRIX { { x}`` # { y`` }} =PMATRIX { { t}`` # -t^{2 }}]

[eqn: PMATRIX { { x}`` # { y`` }} = PMATRIX { { 9}& { -3}`` # { 3}& {````````5}`` } PMATRIX { { t}`` # -t^{2 }}]

[eqn: therefore```cases{ x=9t + 3t^{2} # y=3t-5t^{2} }`]이므로

[eqn: x+y=-2t^2 + 12t =-2(t-3)^2 +18] 이다.

따라서, 최대값은 [eqn: 18]이다.

□ [eqn: 18]

[출제의도] 지수법칙을 이해하고 이를 활용하기

소금물의 농도를 [eqn: a]라고 하자.

갑과 을이 각각 [eqn: 5]회, [eqn: n]회 시행했을 때 소금물의 농도가 같으므로 [eqn: a ` left(1 over 4 right)^5 = a `left( 1 over 2 right)^n]이 된다.

[eqn: left( 1 over 4 right)^5 = left( 1 over 2 right)^n] [eqn: therefore`` n=10]

□ [eqn: 10]

수리‘가’형 24번과 같음

[출제의도] 여러 가지 수열에 관한 문제를 해결하기

주어진 점화식의 양변을 [eqn: a_n `a_n+1` a_n+2]로 나누면

[eqn: 1 over a_n+2 - 2 over a_n+1 + 1 over a_n =0]이므로 [eqn: left{ ` 1 over a_n `` right}]은 공차가    [eqn: 1 over 2]인 등차수열이다.

[eqn: sum from k=1 to {20} ` 1over a_k = { 20 cdot left( 2 cdot 1 over 2 + 19 cdot 1 over 2 right)} over 2 =105]

□ [eqn: 105]

[출제의도] 알고리즘과 순서도를 알고 문제를 해결하기

[eqn: S= sum from k=2 to 11 left( k^2 -k right)=440`]

□ ④

[출제의도] 역행렬의 뜻을 알고 문제를 해결하기

역행렬이 존재하려면

[eqn: 2 k (2 k + a-1)-b(k+1) (k-1) not=0]

[eqn: (4-b)k^2 + 2(a-1) k + b not=0]

(i) [eqn: b not= 4]일 때, [eqn: D over 4 = (a-1)^2 - b(4-b) ＜0]

[eqn: (a-1)^2 + b^2 -4b ＜0]

[eqn: (a-1)^2 + (b -2)^2 ＜4]이므로 [eqn: a＜b]를 만족시키는

[eqn: (a,``b`)]는 [eqn: (0,``1)], [eqn: (0,``2)], [eqn: (1,``2)], [eqn: (0,``3)], [eqn: (1,``3)],

[eqn: (2,``3)]이다.

(ii) [eqn: b=4]일 때, 임의의 실수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: 2(a-1) k + 4 not=0]인 것은 [eqn: a=1]이다.

이 때[eqn: (a,``b)=(1,``4)]는 [eqn: a`＜`b]를 만족한다.

(i),(ii)에 의해 [eqn: a＜b]를 만족시키는 순서쌍의 개수는

[eqn: 7]개이다.

□ ⑤

[출제의도] [eqn: SUM]의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용하기

준 식[eqn: = SUM from { n=1} to 10 `{α_n + β_n} over { α_n cdot β_n } = SUM from { n=1} to 10 `-4 over { -(2n-1)(2n+1) }]

[eqn: = 4 SUM from { n=1} to 10 ` 1 over 2 `left( 1 over 2n-1 - 1over 2n+1 right)]

[eqn: = 2 SUM from { n=1} to 10 ` left( 1 over 2n-1 - 1over 2n+1 right)=2 left( 1 - 1 over 21 right) = 40 over 21]

□ ④

[출제의도] 무한수열의 극한의 성질을 이해하여 이를 활용하기

[eqn: a_n+1 = 0.9`a_n + 0.2` b_n] …㉠

[eqn: b_n+1 = 0.1`a_n + 0.8` b_n] …㉡

㉠+㉡:[eqn: a_n+1 + b_n+1 =a_n + b_n = cdots = a_1 + b_1 =10]…㉢

㉠, ㉢에서 [eqn: a_n+1 = 0.7 a_n + 2] …㉣

㉡, ㉢에서 [eqn: b_n+1 = 0.7 b_n + 1] …㉤

㉣에서 [eqn: a_n = 20 over 3 - 8 over 3 left( 7 over 10 right) ^n-1]이므로

[eqn: therefore `` lim from n->inf a_n = 20 over 3]

마찬가지로 ㉤에서 [eqn: lim from n->inf b_n = 10 over 3]이다.

[eqn: therefore `` lim from n->inf b_n over a_n = {lim from n->inf b_n }over {lim from n->inf a_n }= {10 over 3} over {20 over 3} = 1 over 2]

□ ②

[출제의도] 여러 가지 수열에 관한 문제를 해결하기

[eqn: 19]행까지의 항의 총 개수는 [eqn: 361]개이므로 19행의 맨    오른쪽 수는 1이다. 따라서 20행의 첫항은 3이고,    항이 개수가 39개이므로

[eqn: (3+5+7+9+1) times 7 + (3+5+7+9)]

[eqn: = 175 + 24 =199]

□ [eqn: 199]