• 제 2 교시 수리 영역•

2004학년도 9월 고1

전국연합학력평가 정답 및 해설

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정 답

1	④	2	①	3	②	4	③	5	②	6	④	7	④	8	①
9	③	10	⑤	11	①	12	④	13	③	14	④	15	①	16	②
17	⑤	18	⑤	19	②	20	③	21	⑤	22	49	23	21	24	104
25	20	26	16	27	22	28	85	29	10	30	144

해 설

1. [출제의도] 분모의 유리화를 이용하여 무리식을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 1over {sqrt2 +1} + 1over {sqrt2 -1}]

[eqn: = {sqrt2 -1}over {(sqrt2 +1)(sqrt2 -1)} + {sqrt2 +1}over {(sqrt2 -1)(sqrt2 +1)}}]

[eqn: = {sqrt2 -1} + {sqrt2 +1}]

[eqn: =2sqrt2`]

2. [출제의도] 두 복소수가 서로 같을 조건을 알고 있는가를 묻는 계산 능력 문제이다.

[eqn: (x-2)+(2y+3)i=-7i`]에서 [eqn: x,~y`]가 실수이므로

[eqn: x-2=0,~2y+3=-7`]

[eqn: ∴~x=2,~y=-5`]

[eqn: ∴~x+y=-3`]

3. [출제의도] 집합의 연산 법칙을 이용하여 서로 같은 집합을 구하는 계산 능력 문제이다.

[eqn: (A^c -B)^c =(A^c ∩B^c` )^c`]

[eqn: =(A^c )^c ∪(B^c )^c]

[eqn: =A∪B`]

4. [출제의도] 다항식의 나눗셈을 이해하고, 이를 식으로 나타낼 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x^2 +3x+4`]를 [eqn: x-2`]로 직접 나누어 보면 몫은 [eqn: x+5`]이고,

나머지는 14이다.

[eqn: ∴~Q`(x)=x+5`] [eqn: ∴~Q`(1)=6`]

	[eqn: x+5`]
[eqn: x-2`]	[eqn: x^2 +3x+4`]
	[eqn: x^2 -2x`]
	[eqn: 5x+4`]
	[eqn: 5x-10`]
	[eqn: 14`]

5. [출제의도] 명제의 참과 거짓 및 역, 이, 대우에 대한 이해력을 측정하는 문제이다.

명제 [eqn: p``→`～q`]가 참이므로 대우 [eqn: q``→`～p`]도 참이다.

또, 명제 [eqn: ～r``→``q`]가 참이므로 대우 [eqn: ～q``→``r`]도 참이다.

한편 [eqn: p``→`～q`]와 [eqn: ～q``→``r`]가 참이므로 [eqn: p``→``r`]도 참이고,

대우 [eqn: ～r``→`～p`]도 참이다.

그런데 [eqn: ～r``→``q`]가 참이라고 해서 역 [eqn: q``→`～r`]가 항상 참이라고는 말할 수 없다.

6. [출제의도] 산포도와 표준편차에 대한 이해를 측정하는 문제이다.

자료가 평균 주위에 몰려있을수록 표준편차가 작아진다.

주어진 자료에서 준상, 태희, 희선의 순으로 자료가 평균 주위에 몰려있음을 알 수 있다.

따라서 [eqn: s_2 `＜`s_3 `＜`s_1`]

7. [출제의도] 실수의 대소 관계와 부등식의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: a`＜`b`]이므로 [eqn: a-b`＜`0`]

그런데 [eqn: c`＞`0`]이므로

[eqn: a-b`＜`c`]  ∴ 참

ㄴ. [eqn: a`＜`0`]이므로 [eqn: |a`|=-a`]  ∴ 거짓

ㄷ. [eqn: a`＜`0`]이고 [eqn: b`＜`c`]이므로

[eqn: ab`＞`ac`]  ∴ 참

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

8. [출제의도] 이차방정식의 판별식을 이용하여 근을 판별할 수 있는가를 묻는 문제이다.

이차방정식 [eqn: x^2 -2(k-1)x +4=0`]이 중근을 가지려면

판별식 [eqn: D=0`]이어야 한다.

[eqn: D/4=(k-1)^2 -4 =0]

[eqn: k^2 -2k-3=0]

[eqn: (k+1)(k-3)=0`]

[eqn: ∴~k=-1~또는~k=3`]

따라서  실수 [eqn: k`]의 값들의 합은 2이다.

9. [출제의도] 입체도형의 부피를 식으로 나타내어 간단한 인수분해를 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

한 모서리의 길이가 [eqn: (a+b)`]인 정육면체의 부피는 [eqn: (a+b)^3`]이고,

한 모서리의 길이가 [eqn: a`]와 [eqn: b`]인 정육면체의 부피는 각각 [eqn: a^3 ,~b^3`]

이므로 남은 부분의 부피는

[eqn: (a+b)^3 -a^3 -b^3]

[eqn: =(a^3 +3a^2 b+3ab^2 +b^3 )- a^3 -b^3]

[eqn: =3a^2 b+3ab^2]

[eqn: =3ab(a+b)`]

10. [출제의도] 약수와 배수를 이해하여 집합의 포함 관계를 증명하는 추론 능력을 측정하는 문제이다.

ㄱ. [eqn: m,~n`]이 서로소일 때, [eqn: m,~n`]의 공약수는 1이므로

[eqn: A_m`∩`A_n`=` left{1right}!=EMPTYSET `]   ∴ 거짓

ㄴ. [eqn: n`]이 [eqn: m`]의 배수이면 [eqn: m`]은 [eqn: n`]의 약수이다.

따라서 [eqn: m`]의 양의 약수의 집합은 [eqn: n`]의 양의 약수의 집합에

포함된다.

즉, [eqn: A_m`⊂`A_n`]   ∴ 참

ㄷ. [eqn: x`in`A_m`∩`A_n`]라 하면, [eqn: x`]는 [eqn: m`]과 [eqn: n`]의 공약수이므로

[eqn: m=xm',~n=xn'`]로 나타낼 수 있다.

한편 [eqn: m+n =x(m'+n')]이므로 [eqn: x`]는 [eqn: m+n`]의 약수이다.

즉, [eqn: x`in`A_m+n`]

따라서 [eqn: A_m`∩`A_n`⊂`A_m+n`]  ∴ 참

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

11. [출제의도] 나머지들의 규칙성을 구하는 추론 능력을 측정하는 문제이다.

[eqn: R (m)=3`]을 만족하는 [eqn: m`]은 5로 나누었을 때 나머지가 3인

자연수이므로 [eqn: m=5k+3`]으로 나타낼 수 있다.

[eqn: m^2 =(5k+3)^2 =5k_1 +4`]에서 [eqn: R (m^2 )=4`]

[eqn: m^3 =m․m^2 =(5k+3)(5k_1 +4) =5k_2 +2`]에서 [eqn: R (m^3 )=2`]

[eqn: m^4 =m․m^3 =(5k+3)(5k_2 +2) =5k_3 +1`]에서 [eqn: R (m^4 )=1`]

[eqn: m^5 =m․m^4 =(5k+3)(5k_3 +1) =5k_4 +3`]에서 [eqn: R (m^5 )=3`]

[eqn: m^6 =m․m^5 =(5k+3)(5k_4 +3) =5k_5 +4`]에서 [eqn: R (m^6 )=4`]

…

이상에서 자연수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: R (m^k )`]의 값은 3, 4, 2, 1이 반복

됨을 알 수 있다.

2004=4×501이므로 [eqn: R (m^2004 )=R (m^4 )=1`]

12. [출제의도] 각 경우에 따른 대응 관계를 조사하는 증명 문제이다.

[eqn: n^3 +9n^2 +23n+15=(n+1)(n+3)(n+5)]에서

ⅰ) [eqn: n=3k~(k=1,``2,``3,``…)]일 때,

[eqn: n+3=3k+3=3(k+1)`]은 3의 배수이다.

ⅱ) [eqn: n=3k+1~(k=0,``1,``2,``…)]일 때,

[eqn: n+5=3k+6=3(k+2)`]은 3의 배수이다.

ⅲ) [eqn: n=3k+2~(k=0,``1,``2,``…)]일 때,

[eqn: n+1=3k+3=3(k+1)`]은 3의 배수이다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: (n+1)(n+3)(n+5)`]는

3의 배수이다.

[eqn: ∴~(가) ~n+3,~~(나)~n+5,~~(다)~n+1`]

13. [출제의도] 삼각형의 어떤 성질을 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 A와 점 B의 [eqn: x`]좌표가 각각 [eqn: a,``-c`]이므로

점 C의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: a+(a-(-c))=2a+c`]이다.

즉, 점 C의 좌표는 [eqn: (2a+c,~0)]이다.

따라서 [eqn: rm barAP`^2 + barBP ․ barCP]

[eqn: =(a^2 +b^2 )+c(2a+c)]

[eqn: =(a^2 +2ac+c^2 `)+b^2`]

[eqn: =(a+c)^2 +b^2`]

[eqn: =rm barAB`^2`]

[eqn: ∴~(가)~ 2a+c,~~(나)~a^2 +b^2`]

14. [출제의도] 부등식의 해를 수직선 위에 나타내어 문제를 해결하는 능력을 측정하는 문제이다.

[eqn: x^2 +x-2=(x+2)(x-1)`≦`0`]에서

[eqn: -2`≦`x`≦`1`]

[eqn: (x+k)(x+k-8)`＜`0`]에서 [eqn: -k`＜`-k+8`]이므로

[eqn: -k`＜`x`＜`-k+8`]

그런데 [eqn: p``]는 [eqn: q``]이기 위한 충분조건이려면

[eqn: -k`＜`-2~이고~-k+8`＞`1`]이어야 한다.

-2

1

[eqn: -k+8]

[eqn: -k]

[eqn: x`]

즉, [eqn: k`＞`2~이고 ~k`＜`7`]

[eqn: ∴~2`＜`k`＜`7`]

따라서 정수 [eqn: k`]는 3, 4, 5, 6의 4개이다.

15. [출제의도] 인수정리를 이용하여 다항식을 작성할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x`]에 대한 3차식이고

[eqn: P`left( 1over2 right) =P`left( 1over3 right) =P`left( 1over4 right)=0`] 이므로

[eqn: P`(x)= left(x- 1over2 right) left(x- 1over3 right)left(x- 1over4 right)]

따라서 [eqn: P`(1)= left(1- 1over2 right) left(1- 1over3 right)left(1- 1over4 right)]

[eqn: = 1over2 ․ 2over3 ․ 3over4]

[eqn: = 1over4]

16. [출제의도] 문제 상황을 식으로 나타내어 연립방정식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

세 꼭지점 위치에 있는 수를 각각 [eqn: a,~b,~c`]로 놓으면,

[eqn: a+b=26~…~㉠],

[eqn: b+c=18~…~㉡],

[eqn: c+a=30~…~㉢]

㉠+㉡+㉢에서

[eqn: 2(a+b+c)=26+18+30=74`]

[eqn: ∴~a+b+c=37~…~㉣]

㉠과 ㉣에서 [eqn: c=11]

㉡과 ㉣에서 [eqn: a=19]

㉢과 ㉣에서 [eqn: b=7]  따라서 세 수 중 가장 큰 수는 19이다.

17. [출제의도] 연립이차부등식과 집합에 대한 내적 문제 해결 능력을 측정하는 문제이다.

[eqn: |x+1`|`≦`2]를 풀면,

[eqn: -2`≦`x+1`≦`2]

[eqn: ∴~-3`≦`x`≦`1`] … ㉠

또, [eqn: (x+1)(x-2)`≧`0`] 을 풀면,

[eqn: x`≦`-1~또는~x`≧`2`] … ㉡

㉠, ㉡을 동시에 만족하는 [eqn: x`]의 값의 범위는

[eqn: -3`≦`x`≦`-1`]

이고, 이것을 해로 갖는 이차부등식은

[eqn: (x+3)(x+1)`≦`0`]

즉, [eqn: x^2 +4x+3`≦`0`]

[eqn: ∴ a+b=4+3=7`]

18. [출제의도] 좌표평면을 이용하여 빛의 진행을 알아보는 문제이다.

아래 그림과 같이 대칭을 이용하여 살펴보면, 점 (5, 3)을 향한

빛은 정사각형의 변과 세 번 반사하여 점 D에서 흡수된다.

19. [출제의도] 실생활과 관련된 문제 상황을 식으로 표현하고 해결해 나가는 능력을 측정하는 문제이다.

두 기업 [eqn: A,~B `]의 작년 상반기 매출액을 각각 [eqn: a`](억원), [eqn: b`](억원)이라 하면 두 기업의 작년 상반기 매출액의 합계는 70(억원)이므로

[eqn: a+b=70`] … ㉠

올해 상반기 두 기업의 매출액이 각각 10%, 20%증가하였고,

매출액의 증가량의 비가 2 : 3이므로

[eqn: 0.1a~:~0.2b`=2~:~3`]

[eqn: ∴~a=2k,~b= 3over2 k`] … ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: k=20`]

따라서 올해 상반기 두 기업의 매출액의 합계는

[eqn: (1+0.1)a+(1+0.2)b=1.1×40+1.2×30=80](억원)

20. [출제의도] 학교에서 일어나는 상황을 집합으로 표현하고 해결해 나가는 능력을 측정하는 문제이다.

전체 학생의 집합을 [eqn: U`]라 하고, 사물놀이반과 클래식기타반을

신청한 학생의 집합을 각각 [eqn: A,~B`]라 하면,

A

B

8

17

U

4

[eqn: n(U)=35,~n(A)=25,~]

[eqn: n(A∩B)=8,~n((A∪B)^c )=4`]

여기서 [eqn: n(A∪B)=n(U)-n((A∪B)^c )]

[eqn: =35-4=31`]

[eqn: n(A-B)=n(A)-n(A∩B)]

[eqn: =25-8=17`]

따라서 클래식기타반을 신청한 학생의 수는

[eqn: n(B)=n(A∪B)-n(A-B)]

[eqn: =31-17=14`](명)

21. [출제의도] 실생활과 관련된 이차방정식 문제를 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

길의 폭을 [eqn: x`]m라 하면,

남은 땅의 넓이는 [eqn: (40-2x)(60-x)=1512`]

정리하면 [eqn: x^2 -80x+444=0],

[eqn: (x-6)(x-74)=0`]

그런데 [eqn: 0`＜`x`＜`20`]이므로 [eqn: x=6`](m)

22. [출제의도] 다항식의 곱셈을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: (x-1)(x+1)( x^2 +1)(x^4 +1)`]

[eqn: =(x^2 -1)( x^2 +1)(x^4 +1)`]

[eqn: =( x^4 -1)(x^4 +1)`]

[eqn: =x^8 -1`]

[eqn: =50 -1 `]

[eqn: = 49`]

23. [출제의도] 인수분해를 이용하여 분수식의 곱셈을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {x^3`+1}over{x^2`-3x} TIMES {x^2`+2x}over{x^2`-x+1}]

[eqn: ={(x+1)(x^2`-x+1)}over{x(x-3)} TIMES {x(x+2)}over{x^2`-x+1}]

[eqn: ={(x+1)(x+2)}over{x-3}]

[eqn: =`6․7 over2`]

[eqn: =21`]

24. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x^2`-10x-2=0`]에서 근과 계수의 관계에 의해

[eqn: alpha `+` beta `=10`], [eqn: alpha ` beta `=-2`]

[eqn: alpha ^2`+` beta ^2`][eqn: =(` alpha `+` beta `)^2`-2 alpha beta]

[eqn: =10^2`-2․(-2)]

[eqn: =104]

25. [출제의도] 새롭게 정의된 집합을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A-(A△B)=A∩B`]이므로

[eqn: A∩B=][eqn: LEFT { 1,~3,~4,~5`RIGHT }]

[eqn: - LEFT { 2,~3,~5,~6,~7`RIGHT }]

[eqn: = LEFT { 1,~4`RIGHT }]

또, [eqn: (A△B)-A=B-A`]이므로

[eqn: B-A=][eqn: LEFT { 2,~3,~5,~6,~7`RIGHT }]

[eqn: - LEFT { 1,~3,~4,~5`RIGHT }]

[eqn: = LEFT { 2,~6,~7`RIGHT }]

∴ [eqn: B= LEFT { 1,~2,~4,~6,~7`RIGHT }]

따라서 집합 [eqn: B`]의 모든 원소의 합은 20이다.

26. [출제의도] 선분의 내분점을 이해하고 식으로 나타낼 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 5x=3a+2c`]이므로 [eqn: x= {3a +2c}over5 = {2c+3a}over 2+3]

또, [eqn: 5y=3b+2d``]이므로 [eqn: y= {3b +2d}over5 = {2d+3b}over 2+3]

따라서 점 P는 선분 AB를 2 : 3으로 내분하는 점이다.

[eqn: ∴``rm barAP = 2over5 barAB = 2over5 ․40=16`]

27. [출제의도] 수의 규칙을 이해하고 추론해나가는 능력을 측정하는 문제이다.

다음과 같은 순서로 배열하면 2가지이다.

15	23②	1 ①
3⑤	11③	25②
21⑥	5④	13

15	3②	21①
23⑤	11③	5②
1⑥	25④	13

따라서 [eqn: a`]의 값은 1또는 21, [eqn: b`]의 값은 21또는 1이다.

[eqn: ∴~a+b=22`]

28. [출제의도] 피타고라스의 정리를 이용하여 방정식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

△ABD와 △BCD는 직각삼각형이고 빗변이 일치하므로

[eqn: 9^2 +y^2 =x^2 +7^2`]

[eqn: x^2 -y^2 =32]

[eqn: (x-y)(x+y)=32`]

[eqn: x,~y`]가 모두 자연수이므로

[eqn: cases{x-y=2#x+y=16}] 또는 [eqn: cases{x-y=4#x+y=8}]

연립하여 풀면,

[eqn: cases{x=9#y=7}] 또는 [eqn: cases{x=6#y=2}]

그런데 네 변의 길이는 서로 다른 자연수이므로 [eqn: x=6,~y=2`]

[eqn: ∴~rm barBD`^2 =9^2 +2^2 =6^2 +7^2 =85`]

29. [출제의도] 실생활과 관련된 이차부등식 문제를 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: h=70t`-5t`^2 `]에서 [eqn: h`≧`120`]이므로

[eqn: 70t`-5t`^2 `≧`120`]

[eqn: -5t`^2 +70t-`120`≧`0`]

[eqn: 5t`^2 -70t+`120`≦`0`]

[eqn: t^2 -14t+24`≦`0`]

[eqn: (t-2)(t-12)`≦`0`]

[eqn: ∴~2`≦`t`≦`12`]

따라서 이 물체의 높이가 120m이상인 시간은 2초에서 12초까지

10초 동안이다.

30. [출제의도] 주어진 자료를 정리하고 해석해나가는 능력을 측정하는 문제이다.

계급 (시간)	계급값	도수(명)
0이상～4미만	2	1
4이상～8미만	6	5
8이상～12미만	10	8
12이상～16미만	14	5
16이상～20미만	18	1
합 계		20

평균을 [eqn: m`]이라 하면,

[eqn: (평균)= {left{(계급값)×(도수)right}의 ~총합}over{(도수)의 ~총합}]에서

[eqn: m={2×1+6×5+10×8+14×5+18×1}over20 =10]

따라서 표준변차 [eqn: s`]에 대하여 분산 [eqn: s^2`]은

[eqn: (분산)= {left{(편차)^2 ×(도수)right}의 ~총합}over{(도수)의 ~총합}]에서

[eqn: s^2 =][eqn: {2left{(2-10)^2 ×1+ (6-10)^2 ×5right}}over20]

[eqn: = 72 over5]

[eqn: ∴~10s^2 =144`]

(참고) 위 도수분포표에서 도수는 계급값 10을 기준으로 상하로

고루 퍼져있으므로 평균은 10임을 알 수 있다.