로그인/회원가입 필요 없는 무료 학습자료 사이트

레전드스터디 닷컴!

http://enjoiyourlife.com

2018학년도 대학수학능력시험 대비

2017학년도 3월 고3 전국연합학력평가 정답 및 해설

• 수학 영역 •

로그인/회원가입 필요 없는 무료 학습자료 사이트

레전드스터디 닷컴!

http://LegendStudy.com

수학‘나’형 정답

1	③	2	③	3	②	4	⑤	5	⑤
6	④	7	②	8	①	9	③	10	①
11	①	12	②	13	④	14	④	15	⑤
16	①	17	①	18	④	19	③	20	②
21	⑤	22	[eqn: 48]	23	[eqn: 14]	24	[eqn: 12]	25	[eqn: 17]
26	[eqn: 32]	27	[eqn: 201]	28	[eqn: 25]	29	[eqn: 7]	30	[eqn: 62]

해 설

1. [출제의도] 지수의 연산을 이용하여 간단한 지수를 계산한다.

[eqn: 4 ^{` 1 over 2 } +`` 3^{`0} `][eqn: = 2 + 1`][eqn: = 3`]

2. [출제의도] 집합의 연산을 이용하여 집합의 원소의 개수를 계산한다.

[eqn: A`][eqn: = left{1,``2,``3,``4,``5right}], [eqn: B`][eqn: =left{2,``4,``6right}`]에서

[eqn: A-B`][eqn: =left{1,``3,``5right}]이므로

집합 [eqn: A-B`]의 원소의 개수는 [eqn: 3`]이다.

따라서 [eqn: n(A-B`)`][eqn: =3`]

3. [출제의도] 수열의 극한을 계산한다.

[eqn: lim_{n`->` inf}`{3n^{`2} -2n+1}over{2n^{`2} +7}`][eqn: =lim_{n`->`inf}`{3 - 2 over n + 1overn^{`2}}over{2 + 7overn^{`2}}`]
[eqn: ={3-0+0}over2+0 `][eqn: = 3 over2`]

4. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이해하여 주어진 항의 값을 구한다.

모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a_{`n+1} `][eqn: = 3a_{`n}`] 즉, [eqn: a_{`n+1} overa_{`n} `][eqn: =3`]이므로

수열 [eqn: left{a_{`n} right}`]은 공비가 [eqn: 3`]인 등비수열이다.

[eqn: a_{`2`][eqn: =2`]

따라서 [eqn: a_{`4} `][eqn: = a_{`2} times 3^{`2 }`][eqn: = 2 times 9 `][eqn: =18`]

5. [출제의도] 무한급수와 일반항의 관계를 이해하고 이를 활용하여 극한값을 구한다.

[eqn: sum _{ n=1} ^{ inf }` left(2 a_{`n}-5 right) `]가 수렴하므로

[eqn: lim _{ n ` -> ` inf} ` left( 2a_{`n} -5 right)=0`]

따라서 [eqn: lim _{ n ` -> ` inf} ` a_{`n} = 5 over 2 `]

6. [출제의도] 유리함수의 그래프의 성질을 이해하여 미지수의 값을 구한다.

유리함수 [eqn: y][eqn: = a overx`]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: m`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: n`]만큼 평행이동하면

[eqn: y`][eqn: = {a} over {x-m} +n`]

두 함수 [eqn: y`][eqn: = {a} over {x-m} +n`]과 [eqn: y= 3 overx-2 + 2`]가 일치하므로

[eqn: a=3`], [eqn: m=2`], [eqn: n=2`]

따라서 [eqn: a+m+n`][eqn: =3+2+2`][eqn: =7]

7. [출제의도] 역함수의 성질을 이해하여 함숫값을 구한다.

[eqn: f ^{`-1} LEFT ( 1 RIGHT )`][eqn: =2`]이므로 [eqn: f(2)=1`]

[eqn: f(2)= 4+a=1`], [eqn: a= it -3]

그러므로 [eqn: f(x)=2x-3`]

따라서 [eqn: f(3) = 2times 3 -3 =3`]

8. [출제의도] 로그의 연산법칙을 이해하고 이를 활용하여 로그의 값을 문자식으로 나타낸다.

[eqn: log``2=a], [eqn: log``3=b`]라 하자.

[eqn: log`` {4} over {15}][eqn: = log``8 over 30]
[eqn: = log``8 - log``30]
[eqn: = log``2^{`3}` - log`(3 times 10 )`]
[eqn: = 3` log`` 2-log``3 -1`]

따라서 [eqn: log`` {4} over {15} `][eqn: = 3a-b-1`]

9. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 미지수의 값을 추론한다.

[eqn: a_{`n+1} `][eqn: = k over{a_{`n} +2}`] …… ㉠

㉠의 양변에 [eqn: n=1`]을 대입하면

[eqn: a_{`2}`][eqn: = k over{a_{`1} +2}`][eqn: = k over3`]이고

㉠의 양변에 [eqn: n=2`]를 대입하면

[eqn: a_{`3} `][eqn: = k over{a_{`2} +2}`]
[eqn: = k over{ k over3 +2}`][eqn: = 3 over2 `]

이므로

[eqn: 3times left( k over3 +2 right)`][eqn: =k+6=`][eqn: 2k`]

따라서 [eqn: k`][eqn: =6`]

10. [출제의도] 부등식의 영역을 이용하여 명제의 조건을 만족시키는 값을 구하는 문제를 해결한다.

부등식 [eqn: x ge k `]이고 [eqn: y ge 1 `]의 영역과

부등식 [eqn: (x-3)^{`2} + (y-4)^{`2} <1 `]의 영역을

좌표평면에 나타내면 다음과 같다.

조건 [eqn: p`]의 진리집합을 [eqn: P],

조건 [eqn: q`]의 진리집합을 [eqn: Q`]라 하면

[eqn: p`]는 [eqn: q`]가 되기 위한 필요조건이므로

[eqn: P` SUPERSET Q `]이고,

직선 [eqn: x=k`]가 점 [eqn: (2,``4)`]에서

원 [eqn: (x-3)^{`2} + (y-4)^{`2} =1 `]에 접할 때

[eqn: k`]는 최댓값을 갖는다.

따라서 [eqn: k`]의 최댓값은 [eqn: 2`]이다.

11. [출제의도] 등비수열의 성질을 이해하여 주어진 항의 값을 구한다.

등비수열 [eqn: left{a_{`n} right}`]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r`]라 하면

[eqn: a _{`2} +a _{`3} `][eqn: =a r+a r ^{`2} `]
[eqn: =a LEFT ( r+r ^{`2} RIGHT ) `][eqn: = it -12`] …… ㉠

이고, 첫째항이 양수이므로

[eqn: r+r ^{`2} `][eqn: =r(1+r)`][eqn: <0`]에서

[eqn: -1<r<0`]이고,

[eqn: a `][eqn: =4`a _{`3} `][eqn: = it 4 a r ^{`2} `]

[eqn: r ^{`2} `][eqn: = it {1} over {4}], [eqn: r`][eqn: = it- {1} over {2}] (∵ [eqn: -1<r<0`])

㉠에 [eqn: r`][eqn: = it- {1} over {2}]을 대입하면
[eqn: a`][eqn: =48`]

따라서 [eqn: a _{`5}`][eqn: =ar ^{`4} `][eqn: =48times {1} over {16} `][eqn: =3`]

12. [출제의도] 절대부등식을 이해하여 미지수의 값의 범위를 구한다.

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

부등식 [eqn: x^{`2} +4kx + 3k^{`2} ge 2k-3 `]이

참인 명제가 되려면

[eqn: f(x)][eqn: = x^{`2} +4kx + 3k^{`2} -2k +3 `]이라 할 때,

함수 [eqn: y=f(x) `]의 그래프가 [eqn: x`]축에 접하거나

만나지 않아야 한다.

이차방정식 [eqn: x^{`2} +4kx + 3k^{`2} -2k +3 =0 `]이

중근 또는 서로 다른 두 허근을 가져야 하므로

이차방정식 [eqn: x^{`2} +4kx + 3k^{`2} -2k +3 =0 `]의 판별식을

[eqn: D`]라 하면

[eqn: {D} over {4} `][eqn: =(2k) ^{`2} -(3k ^{`2} -2k+3)`]
[eqn: = k^{`2} +2k-3 `]
[eqn: =(k+3)(k-1) le 0 `]

[eqn: -3 LEQ k LEQ 1`]이므로

[eqn: k`]의 최댓값 [eqn: M`=1],

최솟값 [eqn: m= it -3`]

따라서 [eqn: M`- m = 1-(-3)=4]

13. [출제의도] 일대일 대응의 정의를 이해하여 조건을 만족시키는 함숫값을 구한다.

함수 [eqn: f`]가 [eqn: X`]에서 [eqn: X`]로의 일대일 대응이므로

[eqn: LEFT { f(1) RIGHT .], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)], [eqn: f(4)], [eqn: f(5) right}`][eqn: =left{1,``2,``3,``4,``5 right}]

조건 (가)의

[eqn: f(2) - f(3)`][eqn: = f(4)- f(1)`][eqn: =f(5)`]에서

[eqn: f(5)>0`]이므로

[eqn: f(2)>f(3)], [eqn: f(4)>f(1)`]이고

조건 (나)에서

[eqn: f(1)< f(2)<f(4)`]이므로

[eqn: f(3)<f(1)`][eqn: < f(2)<f(4)]이다.

따라서 [eqn: f(2) - f(3) ge 2`]이고,

[eqn: f(2) <f(4)`]이므로 [eqn: f(2)le4`]이다.

따라서 [eqn: f(2) - f(3)le3`]

그러므로 [eqn: f(5) = 2] 또는 [eqn: f(5) = 3]

ⅰ) [eqn: f(5)`][eqn: =2`]인 경우
[eqn: f(3)], [eqn: f(1)`], [eqn: f(2)], [eqn: f(4)`]가 이 순서대로
증가하는 [eqn: 4`]개의 자연수이므로
[eqn: f(3)=1], [eqn: f(1)=3`], [eqn: f(2)=4`], [eqn: f(4)=5`]이다.
그런데 [eqn: f(5) = 2],

[eqn: f(2)-f(3)=4-1=3]
이므로 모순이다.

ⅱ) [eqn: f(5)`][eqn: =3`]인 경우
[eqn: f(5)`][eqn: =f(2)-f(3)`]
[eqn: =f(4)-f(1)`][eqn: =3`]이고
[eqn: 3`]이 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5`]의 중앙값이므로
[eqn: f(3)<f(1)`][eqn: <f(5)<f(2)`][eqn: <f(4)]
즉, [eqn: f(1)`][eqn: =2], [eqn: f(2)`][eqn: =4], [eqn: f(3)`][eqn: =1],
[eqn: f(4)`][eqn: =5`], [eqn: f(5)`][eqn: =3]

따라서 [eqn: f(2)+f(5)`][eqn: =4+3`][eqn: =7`]

14. [출제의도] 원의 성질을 활용하여 수열의 극한값을 구하는 문제를 해결한다.

직선 [eqn: y= {1} over {n} `]과 원 [eqn: x ^{`2} +(y-1) ^{`2} =1`]의 두 교점을 각각
[eqn: rmA_{`it n}], [eqn: rmB _{`it n}]이라 하고

주어진 원의 중심을 [eqn: rm C`(0,``1)],

선분 [eqn: rmA_{it {`n}}` rmB_{it {n}}`]의 중점을 [eqn: rm M_{it `n}`]이라 하면

삼각형 [eqn: rm C M_{it n}B_{it n}`]은 직각삼각형이다.

[eqn: bar { rm C B_{it n}}`][eqn: =1`], [eqn: bar { rmC M_{it `n}}`][eqn: =1- { 1} over { n}`]이므로

피타고라스 정리에 의해

[eqn: left({ l_{`n}} over {2 } right)^{`2}`][eqn: = { bar { rmB _{it n} rm M_{it` n}} }^{`2}`][eqn: = { bar{rm C rm B _{it n rm} it} } ^{{`2}} `- { bar{rm C rm M _{it `n rm} it} } ^{`2} `]
[eqn: =1^{`2} -left(1- 1 over n right)^{`2}`]
[eqn: ={ 2 over n - 1 over {n^{`2}}}`]

[eqn: left(`l_{`n} right)^{`2}}`][eqn: ={ 8 over n - 4 over n^{`2}} `]

[eqn: n left (`l_{`n} right)^{`2}`][eqn: ={ 8 - 4 over n} `]

따라서 [eqn: lim _{ n`->`inf } {` n left(l_{`n} right)^{`2}}`][eqn: =8`]

15. [출제의도] 다항함수와 지수의 성질을 이용하여 미지수의 값을 구하는 문제를 해결한다.

점 [eqn: rmP_2`]의 [eqn: y`]좌표는

정사각형 [eqn: rmOQ_1 AB`]의 한 변의 길이가 [eqn: a`]이므로

[eqn: b`][eqn: = root {3} of {a}`]

점 [eqn: rmP_3`]의 [eqn: y`]좌표는

정사각형 [eqn: rmOQ_2 CD`]의 한 변의 길이가 [eqn: b`]이므로

[eqn: c`][eqn: =root{b}`][eqn: = root {6} of {a}`]

[eqn: b`c`][eqn: = root {3} of {a} root {6} of {a} `]
[eqn: = a ^{{1} over {3}} a ^{{1} over {6}} `]
[eqn: =a ^{ {1} over {3} + {1} over {6}} `]
[eqn: =a^{1over2}`][eqn: =2`]

[eqn: a`][eqn: =4`]

따라서 점 [eqn: rmP_1]의 [eqn: y`]좌표의 값은 [eqn: 16`]이다.

16. [출제의도] 유리함수와 합성함수의 성질을 이해하여 방정식의 해의 개수를 구한다.

방정식 [eqn: (g CIRC f)(x)`][eqn: =g(f(x))`][eqn: =1`]이므로

[eqn: g(x)`]의 정의에 의해 [eqn: f(x)`]는 정수이다.

[eqn: f(x)`][eqn: = {6x+12} over {2x-1}`]

[eqn: = {15} over {2x-1} +3`]이 정수가 되려면

[eqn: 2x-1`]은 [eqn: 15`]의 약수이어야 한다.

[eqn: x`]가 자연수이므로 [eqn: 2x-1`]은 자연수이고,

[eqn: 2x-1`]은 [eqn: 15`]의 양의 약수이다.

[eqn: 2x-1`][eqn: =1], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 15]

[eqn: x`][eqn: =1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 8`]

따라서 서로 다른 자연수 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: 4`]이다.

17. [출제의도] 역함수와 무리함수의 성질을 활용하여 부등식의 해를 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: f(x)= {cases{root{2x}~ & (x GEQ 0) #`````` 4x &(x<0)}]

이므로 함수 [eqn: f(x)`]의 역함수를 [eqn: g(x)`]라 하면

[eqn: g(x)= {cases{``` {1} over {2} x ^{`2} ~&(x GEQ 0)#``` {1} over {4} x&(x<0)}}]

i) [eqn: x GEQ 0`]인 경우
[eqn: g(x) LEQ - {1} over {4} x ^{`2} +3`]
[eqn: {1} over {2} x ^{2} LEQ - {1} over {4} x ^{`2} +3`]
[eqn: {3} over {4} x ^{2} LEQ 3`]
[eqn: x ^{2} LEQ 4`]
[eqn: -2 LEQ x LEQ 2]
[eqn: x GEQ 0`]이므로 [eqn: 0 LEQ x LEQ 2]

ii) [eqn: x<0`]인 경우
[eqn: g(x) LEQ - {1} over {4} x ^{`2} +3`]
[eqn: {1} over {4} x LEQ - {1} over {4} x ^{`2} +3`]
[eqn: {1} over {4} x ^{`2} + {1} over {4} x -3 LEQ 0 `]
[eqn: x ^{`2} +x-12 le0]
[eqn: (x+4)(x-3) LEQ 0`]
[eqn: -4 LEQ x LEQ 3]
[eqn: x<0`]이므로 [eqn: -4 LEQ x<0]

i), ii)에서 부등식의 해는 [eqn: -4 LEQ x LEQ 2]

따라서 [eqn: a+b= it -2`]

18. [출제의도] 수열의 합의 성질을 이용하여 수열의 일반항을 구하는 과정을 증명한다.

[eqn: n`][eqn: =2`]일 때 주어진 도형의 내부에 있는 점 중에서

[eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표가 모두 정수인 점은

[eqn: (2,``1)], [eqn: (3,``1)`]이므로

[eqn: a_{`2}`][eqn: =2`]

따라서 [eqn: ` {BOX{~(가)~}} `]는 [eqn: 2`]이다.

[eqn: n GEQ3`]일 때,

[eqn: 1 Leq k leqn -1`]인 정수 [eqn: k`]에 대하여

주어진 도형의 내부에 있는 점 중

[eqn: y`]좌표가 [eqn: k`]인 점은

[eqn: (k^{`2} +1,``k)], [eqn: (k^{`2} +2,``k)], [eqn: cdots], [eqn: (n^{`2} -1,``k)`]

이므로

이 점의 개수를 [eqn: b_k`]라 하면

[eqn: b_k =] [eqn: n^{`2} -1-k^{`2}`]

따라서 [eqn: ` {BOX{~(나)~}} `]는 [eqn: n^{` 2}-1`]이다.

[eqn: a _{`n} `][eqn: = sum _{k=1} ^{n-1} `b _{`k} `]
[eqn: = sum_{k=1}^{n -1}` {(n^{`2} -1-k^{`2} )}`]
[eqn: = (n -1)(n^{`2} -1) - sum_{k=1}^{n-1}`{k^{`2} }`]
[eqn: =(n-1)(n^2 -1) - {(n-1)n(2n-1)}over6]
[eqn: ={(n-1)(4n^{`2} +n-6)}over6`]

따라서 [eqn: {BOX{~(다)~}} `]는 [eqn: {(n-1)(4n^{`2} +n-6)}over6`]이다.

그러므로 [eqn: p=2], [eqn: f(n)=n ^{`2} -1`],
[eqn: g(n)= {(n-1)(4n ^{`2} +n-6)} over {6} `]

따라서 [eqn: p+f(4)+g(6)`][eqn: =2+15+120`]
[eqn: =137`]

19. [출제의도] 도형의 닮음을 이용하여 등비급수의 합을 구하는 문제를 해결한다.

그림 [eqn: R _{{`1}}`]에서 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_{`1}`]이라 하면 [eqn: S_{`1}`]은 그림과 같이 정사각형 [eqn: \ABCD`]의 내부와 원 [eqn: C_{`2}`]의 외부의 공통부분의 넓이와 같다.

직각삼각형 [eqn: rm FCE`]가 [eqn: rm bar{ FC} = rm bar{ CE} = 1 `]이므로

[eqn: rm bar{FE}`= root2 `]

따라서 선분 [eqn: \AD`]의 중점을 [eqn: \G`]라 하면

[eqn: S_{`1} =](직사각형 [eqn: rmABEG`]의 넓이)

[eqn: -]{(부채꼴 [eqn: rm EFG`]의 넓이)

-(직각삼각형 [eqn: rm EFG`]의 넓이)}

[eqn: =(2 TIMES 1)- LEFT { pi times LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) ^{`2} TIMES {1} over {4} - LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) ^{`2} TIMES {1} over {2} RIGHT } `]

[eqn: =3- {pi } over {2}]

[eqn: R _{{`2}}`]에서 정사각형 [eqn: rmPQRS`]의 한 변의 길이 [eqn: {bar{rm QR it}} `]는

[eqn: rm bar{ FR} = rm bar{ FE} = root2 `]이므로

직각삼각형 [eqn: rm FQR]에서 피타고라스 정리에 의하여

[eqn: {bar{rm QR it}} ^{`2} `][eqn: =( sqrt {2} ) ^{`2} - LEFT ( {{bar{rm QR it}}} over {2} RIGHT ) ^{`2} `]이므로

[eqn: {bar{rm QR it}} `][eqn: = {2 sqrt {10}} over {5}`]

[eqn: R _{`1}`]에서 정사각형 [eqn: rm ABCD`]의 한 변의 길이가 [eqn: 2`]이고 [eqn: {bar{rm QR it}} `][eqn: = {2 sqrt {10}} over {5}`]이므로

[eqn: R _{`2}`]에서 추가로 색칠되는 도형의 넓이 [eqn: S_{`2}`]는

[eqn: S _{`2}][eqn: = LEFT ( {2 sqrt {10}} over {5} TIMES {1} over {2} RIGHT ) ^{`2} TIMES S _{`1}]
[eqn: =` {2} over {5} S_{`1}]

같은 방법으로 [eqn: R _{`n+1}`]에서 추가로 색칠되는

도형의 넓이는 [eqn: R _{`n}`]에서 추가로 색칠된

도형의 넓이의 [eqn: {2} over {5} `]배이다.

따라서

[eqn: lim _{n` -> ` INF } `{S _{`n}} `][eqn: = {3- {pi } over {2}} over {1- {2} over {5}} `][eqn: = {30-5 pi } over {6} `]

20. [출제의도] 연립부등식을 활용하여 조건이 참이 되도록 하는 문제를 해결한다.

[eqn: x^{`2} - x - 6 `][eqn: = (x-3)(x+2) <0`]이므로

조건 [eqn: p`:`][eqn: x ^{`2} -x-6<0]의 진리집합 [eqn: P`]는

[eqn: P` = LEFT {x `|` -2<x<3 RIGHT }`]

[eqn: x^{`2} + (6-3a)x +2a^{`2} -10a +8`]

[eqn: = x^{`2} + (6-3a)x + 2 (a-1)(a-4)`]

[eqn: = (x-2a+2)(x-a+4) `]이므로

조건 [eqn: q`:`][eqn: x^{`2} + (6-3a)x +2a^{`2} -10a +8 ge`0`]의

진리집합 [eqn: Q`]는 [eqn: a`]의 범위에 따라 각각 다음과 같다.

ⅰ) [eqn: 2a-2 <a-4`]일 때 즉, [eqn: a< -2`]일 때,
[eqn: Q = LEFT { x`|` x le 2a-2 ~ 또는 ~ x ge a-4` RIGHT }`]

ⅱ) [eqn: 2a-2 =a-4`]일 때 즉, [eqn: a= it -2`]일 때,
[eqn: Q = LEFT { x`|`x!= -6`인~모든~실수` RIGHT }`]

ⅲ) [eqn: 2a-2 >a-4`]일 때 즉, [eqn: a>it-2`]일 때,
[eqn: Q = LEFT { x`|` x le a-4 ~ 또는 ~ x ge 2a-2` RIGHT }`]

ⅰ), ⅱ)에서 [eqn: a le -2`]일 때

[eqn: P` cap Q`= LEFT { x `|`-2<x<3 RIGHT }]이므로

두 조건 [eqn: p], [eqn: q`]를 모두 참이 되도록 하는 정수 [eqn: x`]는

[eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2`]의 [eqn: 4`]개이다.

ⅲ)에서 [eqn: a> it -2`]일 때

두 조건 [eqn: p], [eqn: q`]를 모두 참이 되도록 하는 정수 [eqn: x`]가 오직 하나 존재하려면

[eqn: 1<2a-2 le 2`]이거나 [eqn: -1 le a-4 <0`]이다.

따라서 [eqn: 3 over2 < a le 2`] 또는 [eqn: 3 le a <4`]이므로

가능한 정수 [eqn: a`]는 [eqn: 2] 또는 [eqn: 3`]이다.

따라서 모든 정수 [eqn: a`]의 값의 합은 [eqn: 5`]이다.

21. [출제의도] 지수의 성질을 이용하여 명제의 참과 거짓을 추론한다.

ㄱ. [eqn: A _{`4} `]는 [eqn: 2^{`a} `][eqn: = 4 over b `]에서 [eqn: 4 `][eqn: = 2^{`a} times b `]인
자연수의 순서쌍을 원소로 갖는 집합이므로
[eqn: 4`][eqn: = 2^{`1} times 2], [eqn: 4`][eqn: =2^{`2} times 1]
[eqn: A _{`4}][eqn: = LEFT { (1,``2),``(2,``1) RIGHT }] (참)

ㄴ. [eqn: m= 2^{`k}`]일 때, [eqn: A _{`m} `][eqn: =A _{`2^{`k}} `]
[eqn: A_m`]은 [eqn: 2^{`a} `][eqn: = 2^{`k} over b `]에서
[eqn: 2^{`k}`][eqn: = 2^{`a} times b `]인
자연수의 순서쌍을 원소로 갖는 집합이므로
[eqn: A _{`m} `][eqn: = LEFT { (1,`` 2^{` k-1}), `` (2,`` 2^{` k-2}), `` (3,`` 2^{` k-3}), `` cdots``, (k,``2^{`0} ) right} `]
이다.
따라서 [eqn: n ( A_{`m} )=k`] (참)

ㄷ. [eqn: A _{`m} `]은 [eqn: 2^{`a} `][eqn: = m over b `]에서
[eqn: m`][eqn: = 2^{`a} times b `]인 자연수의 순서쌍을 원소로 갖는 집합이다.
[eqn: n left( A _{`m} right)`][eqn: =1`]이 되기 위해서는
[eqn: b= {m} over {2 ^{`k}} `]이 자연수가 되도록 하는 자연수 [eqn: k`]가
오직 하나만 존재하므로
[eqn: k=1`]이어야 한다.
따라서 [eqn: m `][eqn: = 2^{`1} times (홀수 )`]이어야 한다.
두 자리 자연수 중에서 [eqn: 2^{`1} times (홀수 )`]인 자연수는
[eqn: 2 times 5], [eqn: 2 times 7], [eqn: 2 times 9], [eqn: cdots] , [eqn: 2 times 49]
이다.
따라서 [eqn: n left( A _{`m} right)`][eqn: =1`]이 되도록 하는 두 자리 자연수 [eqn: m`]의 개수는 [eqn: 5], [eqn: 7], [eqn: 9], [eqn: cdots] , [eqn: 49`]의 개수와 같다.
[eqn: 5], [eqn: 7], [eqn: 9], [eqn: cdots] , [eqn: 49`]는 첫째항이 [eqn: 5`]이고 공차가 [eqn: 2`]인 등차수열의 첫째항부터 제[eqn: 23`]항을 나타낸 것이므로 조건을 만족시키는 두 자리 자연수 [eqn: m`]의 개수는 [eqn: 23`]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

22. [출제의도] 로그의 연산을 이용하여 간단한 로그를 계산한다.

[eqn: left( 1 over 4 right) ^{`-2} times log_{`2} `8 `][eqn: =16 times 3 `][eqn: =48]

23. [출제의도] 등차수열의 성질을 이용하여 주어진 항의 값을 계산한다.

등차수열 [eqn: left{a_{`n} right}`]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d`]라 하면

일반항 [eqn: a_{`n} `]은

[eqn: a_{`n} `][eqn: = a+(n-1)d`]이므로

[eqn: a_{`5} -a_{`3} `][eqn: =(a+4d)-(a+2d)`]
[eqn: =2d =6]

[eqn: d`][eqn: =3`]

[eqn: a_{`2}`][eqn: = a +d `][eqn: =a+3 `][eqn: =2], [eqn: a= it -1`]

따라서 [eqn: a_{`6}`][eqn: = a+5d `]
[eqn: = (-1)+5times3 `][eqn: =14`]

24. [출제의도] 수열의 극한의 성질을 이해하여 수열의 극한값을 구한다.

[eqn: a_{`n} -1 `][eqn: =c_{`n}`]이라 하면

[eqn: a_{`n} `][eqn: = c_{`n} +1`]이고,

[eqn: lim_{n`->`inf}` (a_{`n} -1 )`][eqn: =2`]에서 [eqn: lim_{n`->`inf} `c_{`n}`][eqn: =2`]이므로

[eqn: lim_{n`->`inf}` a_{`n} `][eqn: =lim_{n`->`inf}` (c_{`n} +1) `]
[eqn: =2+1`][eqn: =3`]

[eqn: a_{`n} +2b_{`n}`][eqn: =d_{`n}`]이라 하면

[eqn: b_{`n} `][eqn: = 1over2 left(d_{`n} -a_{`n} right)`]이고

[eqn: lim_{n`->`inf}` (a_{`n} +2b_{`n} )`][eqn: =9`]에서 [eqn: lim_{n`->`inf}` d_{`n}`][eqn: = 9`]이므로

[eqn: lim_{n`->`inf}` b_{`n}`][eqn: = lim_{n`->`inf}` 1over2 left(d_{`n} -a_{`n} right)`][eqn: = 1over2 ( 9 -3) `][eqn: =3`]

따라서 [eqn: lim_{n`->`inf}` a_{`n} left( 1+b_{`n} right)`][eqn: =3times(1+3)`][eqn: =12`]

25. [출제의도] 무리함수의 그래프를 이해하여 함수의 최댓값과 최솟값을 구한다.

[eqn: f(x) `][eqn: =2rootx+1 +k`]로 놓으면

함수 [eqn: y=f(x) `]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: 0 le x le 3 `]에서 [eqn: f(x)`]의 최댓값은 [eqn: M``][eqn: =f(3) `]이고

최솟값은 [eqn: m = f(0) `]이므로

[eqn: M= 2 root{ 3+1 } + k = 4+k],

[eqn: m = 2 root{0+1} +k = 2+k`]에서

[eqn: M `+ m`][eqn: = (4+k) + (2+k) `]
[eqn: = 6+2k `]
[eqn: = 40 `]

따라서 [eqn: k= 17`]

26. [출제의도] 등비급수의 성질을 이해하여 등비급수의 합을 구한다.

수열 [eqn: LEFT { a_{`n} RIGHT }`]이 [eqn: a_{`1} = 3`]이고,

모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a_{`n+1} = 2 over3 a_{`n}`]이므로

수열 [eqn: LEFT { a_{`n} RIGHT }`]은

첫째항이 [eqn: 3`]이고 공비가 [eqn: 2 over3`]인 등비수열이다.

따라서 [eqn: a_{`n} = 3 times LEFT ( 2 over3 RIGHT )^{`n-1}`]

[eqn: a _{`2n-1} `][eqn: =3 TIMES LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{`(2n-1)-1} `]
[eqn: = 3 times LEFT ( 2 over3 RIGHT )^{`2(n-1)} `]
[eqn: = 3 times LEFT ( 4 over9 RIGHT )^{`n-1}`]

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf }` a_{`2n-1}`][eqn: = 3 over{1- 4 over9} `][eqn: = 27 over5`]

따라서 [eqn: p+q=5+27 =32`]

27. [출제의도] 이차함수의 그래프를 이용하여 여러 가지 수열의 합을 구하는 문제를 해결한다.

부등식 [eqn: f(n)<k<f(n)+1] ([eqn: n=1,``2,``3,` cdots`])은

[eqn: n ^{`2} +n- {1} over {3}][eqn: <k`][eqn: <n ^{`2} +n+ {2} over {3}] …… ㉠

부등식 ㉠을 만족시키는 자연수 [eqn: k`]는 [eqn: n ^{`2} +n]이므로

[eqn: a _{`n}][eqn: =n ^{`2} +n]

[eqn: sum _{n=1} ^{100}` {1} over {a _{`n}} `][eqn: = sum _{n=1} ^{100} `{1} over {n ^{`2} +n} `]
[eqn: = sum _{n=1} ^{100}` {1} over {n(n+1)} `]
[eqn: = sum _{n=1} ^{100} ` LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+1} RIGHT ) `]
[eqn: = LEFT ( {1} over {1} - {1} over {2} RIGHT ) ` + LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) ` `+ ` cdots` + LEFT ( {1} over {100} - {1} over {101} RIGHT ) `]
[eqn: =1- {1} over {101} `][eqn: = {100} over {101}]

따라서 [eqn: p+q`][eqn: =101+100`][eqn: =201]

28. [출제의도] 집합의 연산을 활용하여 실생활 문제를 해결한다.

전체 학생의 집합을 [eqn: U`],

놀이 기구 [eqn: \A`]를 이용한 학생의 집합을 [eqn: A],

놀이 기구 [eqn: rm B`]를 이용한 학생의 집합을 [eqn: B`]라 하면

[eqn: n(U`)`][eqn: =30`]이고, [eqn: n(A)`][eqn: =23], [eqn: n(B`)`][eqn: =16`]이므로

[eqn: n(A CUP B`)][eqn: =n(A) + n(B`) - n(A cap B`)`]
[eqn: =23+16-n(A cap B`) `]
[eqn: =39-n(A cap B`) `]

이때 [eqn: n(A) le n(A cup B`) le n (U`) `]이므로

[eqn: 23 le n(A cup B`) le 30 `]

[eqn: 23 le 39 - n(A cap B`) le 30 `]

[eqn: 9 le n(A cap B`) le 16 `]

[eqn: n(A cap B`) `]의 최댓값은 [eqn: M=16],

최솟값은 [eqn: m=9]

따라서 [eqn: M`+m=16+9 = 25]

29. [출제의도] 함수와 로그의 성질을 이용하여 집합의 개수를 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: log_{`x}{`n}`]이 자연수가 되려면

[eqn: n`]은 [eqn: x`]의 거듭제곱이어야 하므로

[eqn: A(x)`]의 값은 [eqn: 1`]부터 [eqn: 300`] 사이의 자연수 중

[eqn: x`]의 거듭제곱으로 나타내어지는 수의 개수이다.

[eqn: 2^{`8} < 300 < 2^{`9} `]이므로

[eqn: A(2)`][eqn: =8`]

이와 같은 방법으로 [eqn: 2`] 이상의 자연수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: A(x) `]의 값을 구하면

[eqn: A(2)`][eqn: =8`], [eqn: A(3)`][eqn: =5`], [eqn: A(4)`][eqn: =4`], [eqn: A(5)`][eqn: =3`], [eqn: A(6)`][eqn: =3`],

[eqn: A(7)`][eqn: =2`], [eqn: A(8)`][eqn: =2], [eqn: cdots `]이므로

전체집합 [eqn: P`]의 공집합이 아닌 부분집합 [eqn: X`]에 대하여

집합 [eqn: X`]에서 집합 [eqn: X`]로의 대응 [eqn: f`]가 일대일 대응이 되려면 집합 [eqn: X `]는 집합 [eqn: left{2,``3,``4,``5,``8 right}`]의 부분집합이어야 한다.

함수 [eqn: f`]가 일대일 대응이므로

임의의 [eqn: a inX`]에 대하여

[eqn: f(a) in X`], [eqn: f( f(a)) =a`]를 만족시키는 집합 [eqn: X`]는

[eqn: left{4 right], [eqn: LEFT { 2,``8 RIGHT }], [eqn: left{3,``5 right}], [eqn: LEFT { 2,``4,``8 RIGHT }], [eqn: LEFT { 3,``4,``5 RIGHT }],

[eqn: LEFT { 2,``3,``5,``8 RIGHT }], [eqn: LEFT { 2,``3,``4,``5,``8 RIGHT }`]이다.

따라서 함수 [eqn: f:X`` -> X`]가 일대일 대응이 되도록 하는 집합 [eqn: X`]의 개수는 [eqn: 7`]이다.

30. [출제의도] 집합의 성질을 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 값을 추론한다.

자연수 전체의 집합의 부분집합 [eqn: X`]가

[eqn: n(X`) =3]이고 [eqn: 5 in X]이므로 [eqn: X = LEFT { 5,``alpha,``beta` RIGHT }]

대응 [eqn: f`:``X``->X`]를

[eqn: x`in X`]가 홀수이면 [eqn: f(x) = {x+p}over2`]

[eqn: x in X`]가 짝수이면 [eqn: f(x) = x over2]

로 정의하면 [eqn: f`]는 함수이다.

[eqn: {5+p}over2`]가 자연수가 되어야 하므로 [eqn: p`]는 홀수이다.

ⅰ) [eqn: f(5) =5], 즉 [eqn: p=5`]일 때

[eqn: f(alpha) =5], [eqn: f(alpha) = alpha], [eqn: f(alpha) = beta`]인 경우를 각각 생각할 수 있다.
[eqn: f(alpha) = 5`]일 때, [eqn: alpha`]가 짝수이면 [eqn: alpha over2 = 5], [eqn: alpha =10]
이때 [eqn: beta]가 홀수이면 [eqn: beta = 15`]이고,
[eqn: beta`]가 짝수이면 [eqn: beta = 20`]
따라서 가능한 경우는
[eqn: X = LEFT { 5`,`10`,``15} RIGHT }], [eqn: X = LEFT { 5`,`10`,``20} RIGHT }]
따라서 [eqn: p=5`]이고 [eqn: alpha`]가 짝수인 경우
가능한 집합 [eqn: X`]가 존재하므로
[eqn: p=5`]일 때, [eqn: alpha`]가 홀수인 경우와
[eqn: f(alpha) = alpha`], [eqn: f(alpha) = beta`]인 경우는 다루지 않는다.

ⅱ) [eqn: f(5) = alpha`]일 때
[eqn: alpha !=5`]이므로 [eqn: p!=5`]
그런데 [eqn: p<5`]인 홀수인 경우에는 [eqn: n(X) =3`]인 경우가 존재하지 않음을 쉽게 확인할 수 있다.
따라서 [eqn: p>5`]인 경우만 생각하면 된다.
[eqn: 5<p`]이면 [eqn: 5<alpha<p`]이다.
이때 가능한 경우로 [eqn: f(alpha)=5`] 또는 [eqn: f(alpha)= alpha`]
또는 [eqn: f(alpha) = beta`]를 생각해 볼 수 있다.

ⅱ-1) [eqn: f(5) = alpha], [eqn: f(alpha) =5`]일 때

[eqn: alpha`]가 짝수이면 [eqn: alpha over2 = 5], [eqn: alpha =10`]이고,
[eqn: 5+p over2 = 10`]이므로 [eqn: p=15`]
가능한 [eqn: beta`]의 값은 [eqn: beta = 15`]와 [eqn: beta = 20`]이 있다.

ⅱ-2) [eqn: f(5) = alpha`,`` f(alpha) =alpha``]일 때
[eqn: alpha !=5`]이면 [eqn: p!=5`]이므로
[eqn: alpha over2 != alpha], [eqn: {alpha +p} over2 != alpha`]
따라서 이 경우는 존재하지 않는다.

ⅱ-3) [eqn: f(5) = alpha], [eqn: f(alpha) =beta`]일 때

[eqn: f(beta)=5`] 또는 [eqn: f(beta) = alpha] 또는 [eqn: f(beta) = beta`]의
경우를 생각해 볼 수 있다.

ⅱ-3-a) [eqn: f(beta) =5`]일 때,

ⅱ-3-a-ㄱ) [eqn: alpha`]가 짝수이면 [eqn: alpha over2 = beta`]
이때 [eqn: beta`]가 짝수이면 [eqn: beta over2 = 5], [eqn: beta = 10`]이고, [eqn: alpha =20`]
[eqn: {5+ p}over2 = 20`]이므로 [eqn: p=35`]
이때 [eqn: X = LEFT { 5`,`10`,``20} RIGHT }]
[eqn: beta`]가 홀수이면
[eqn: f(beta) = f(f(alpha)) = f(f(f(5)))`]에서
[eqn: {beta +p} over2 =][eqn: {alpha + 2p} over4 = {5+5p} over8 =5]이고, [eqn: p=7`]
이때 [eqn: X = LEFT { 3`,`5`,``6} RIGHT }]

ⅱ-3-a-ㄴ) [eqn: p>5`]이면 [eqn: 5], [eqn: alpha], [eqn: p], [eqn: {alpha+p} over {2}`]의
대소 관계는 다음 그림과 같다.

[eqn: alpha`]가 홀수이면 [eqn: alpha+p over2 = beta`]
[eqn: beta`]가 홀수이면 [eqn: alpha<`beta <{beta + p} over2 <p`]이므로
[eqn: n(X) ge4`]가 되어 모순이 생긴다.
[eqn: beta`]가 짝수이면 [eqn: beta over2 =5`]
[eqn: f(beta) = beta over2 =5`], 즉 [eqn: beta = 10`]일 때,
[eqn: {alpha + p} over2 = {5+p over2 +p}over2 =10] [eqn: p= 35 over3`]이므로
모순이다.
따라서 가능한 경우가 없다.

ⅱ-3-b) [eqn: f(beta) =alpha]일 때,

ⅱ-3-b-ㄱ) [eqn: alpha`]가 짝수이고 [eqn: beta]가 짝수이면
[eqn: f(beta) = beta over2 = alpha over4 = alpha]이므로
[eqn: alpha =0`]이 되어 모순이다.

ⅱ-3-b-ㄴ) [eqn: alpha`]가 짝수이고 [eqn: beta]가 홀수이면
[eqn: alpha = f(beta) = f(f(f(5)))`]이므로
[eqn: 5+p over2 = {5+ 5p}over8 ``,``` p=15`]이고
[eqn: beta =5`]가 되어 모순이다.

ⅱ-3-b-ㄷ) [eqn: alpha`]가 홀수이면 [eqn: beta]는 짝수이고
이 경우 [eqn: beta over2 = alpha`]가 된다.
[eqn: 5+3p over8 = 5+p over2], [eqn: p<0`]이 되어 모순이다.

ⅱ-3-c) [eqn: f(beta) =beta`]일 때,
[eqn: beta <p]이므로 [eqn: beta over2 != beta`]이고,
[eqn: beta+p over2 != beta`]이므로
[eqn: f(beta) != beta`]이다.
따라서 가능한 경우가 없다.

ⅰ), ⅱ)에서 조건을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: p`]의 값의 합은 [eqn: 5+7+15+35 = 62`]