수학 영역(A형)

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2015학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(A형)

제 2 교시

5지선다형

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8

12

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1. [eqn: sqrt {2} ` TIMES `8 ^{{1} over {2}} `]의 값은? [2점]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 2 sqrt {2} `]	③ [eqn: 4`]	④ [eqn: 4sqrt2``]	⑤ [eqn: 8`]

2. 두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{`1~&2`#`3~&4`}}], [eqn: B= {pmatrix{`0~&1`#`1~&0`}}`]에 대하여 행렬 [eqn: AB`]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

3. [eqn: lim _{n -> INF }`{{2 ^{`n} +1} over {3 ^{`n} +1}}`]의 값은? [2점]

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

4. 다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬에서 행의 모든 성분의 합이 [eqn: 3`]인 행의 개수는? [3점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

5. 모든 항이 실수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]에 대하여 [eqn: a _{`2} ^{```3} =8 `], [eqn: a_{`3} = 4`]일 때, [eqn: a _{`5}`]의 값은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 4 root2]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 8root2]	⑤ [eqn: 16]

6. 공사건이 아닌 두 사건 [eqn: A,~B``]가 서로 독립이고 [eqn: rm `P( it `A ``|`B`)= {1} over {3} `]일 때, [eqn: rm `P( it A^{C}``)`]의 값은? (단, [eqn: A^{ C} `]은 [eqn: A`]의 여사건이다.) [3점]

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: 7over12]	③ [eqn: 1over2]	④ [eqn: 5over12]	⑤ [eqn: 1over3]

7. 함수 [eqn: f(x)=`x ^{2} +ax`]에 대하여 [eqn: lim _{h -> 0} {{f(`1+h)-f(`1)} over {2h}} =6`]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

8. 확률변수 [eqn: X`]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	계
[eqn: rm`P(itX=x)]	[eqn: k]	[eqn: 2k]	[eqn: 3k]	[eqn: 1]

[eqn: rm`E(it`6X+1)`]의 값은? (단, [eqn: k`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

9. 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim_{x-> -1-0} f(x) `` + lim_{x->` 1+0}` f(x) `]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

10. 곡선 [eqn: y=x ^{3} - 2 x ^{2} + k`]와 직선 [eqn: y=k`]로 둘러싸인 부분의 넓이는? (단, [eqn: k`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 1 over 3]	② [eqn: 2 over 3]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 4 over 3]	⑤ [eqn: 5 over 3]

11.

[eqn: z]	[eqn: rmP(it0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 1.6]	[eqn: 0.4452]
[eqn: 1.7]	[eqn: 0.4554]
[eqn: 1.8]	[eqn: 0.4641]
[eqn: 1.9]	[eqn: 0.4713]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

어느 회사에서 생산된 야구공의 무게는 평균이 [eqn: 144.9` rm g`], 표준편차가 [eqn: 6` rm g`]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 생산된 야구공 중 임의로 선택한 야구공 [eqn: 9`]개 무게의 표본평균 이 [eqn: 141.7 rmg] 이상 [eqn: 148.9` rm g] 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]

① [eqn: 0.9165]	② [eqn: 0.9224`]	③ [eqn: 0.9267]

④ [eqn: 0.9282]	⑤ [eqn: 0.9413]

12. 원 [eqn: x^{`2} + y^{`2} = t^{`2}`]과 직선 [eqn: y= 1`]이 만나는 점의 개수를 [eqn: f(t)`]라 하자. 함수 [eqn: (x+k)f(x) `]가 구간 [eqn: (0,~ inf)`]에서 연속일 때, [eqn: f(1) + k`]의 값은? (단, [eqn: k`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[13 ~ 14] 함수 [eqn: bold {f(x)=x(x+2)(x+4)}`]에 대하여 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

13. [eqn: x,````y`]에 대한 연립일차방정식
[eqn: {pmatrix{f(k)+1```&k#`````k ^{`2} ````&```1``}} {pmatrix{`x`#`y`}}` =` {pmatrix{`0`#`0`}} `]
이 [eqn: x=0,~y=0] 이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 [eqn: k`]의 값의 합은? [3점]

① [eqn: - 2 over 3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: - 4 over 3]	④ [eqn: - 5 over 3]	⑤ [eqn: -2]

14. 함수 [eqn: g(x)= int _{2} ^{x} { f(t)` dt`}`]는 [eqn: x=alpha`]에서 극댓값을 갖는다. [eqn: g(alpha)`]의 값은? [4점]

① [eqn: -28]	② [eqn: -29]	③ [eqn: -30]	④ [eqn: -31]	⑤ [eqn: -32]

15. 어떤 약물을 사람의 정맥에 일정한 속도로 주입하기 시작한 지 [eqn: t`]분 후 정맥에서의 약물 농도가 [eqn: `C``]([eqn: rmng/mL])일 때, 다음 식이 성립한다고 한다.
[eqn: `log` LEFT ( 10-C`` RIGHT ) =1-k`t]
(단, [eqn: C<10`]이고, [eqn: k`]는 양의 상수이다.)
이 약물을 사람의 정맥에 일정한 속도로 주입하기 시작한 지
[eqn: 30`]분 후 정맥에서의 약물 농도는 [eqn: 2`][eqn: rmng/mL]이고, 주입하기 시작한 지 [eqn: 60`]분 후 정맥에서의 약물 농도가 [eqn: a`]([eqn: rmng/mL])일 때, [eqn: a`]의 값은? [4점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 3.2]	③ [eqn: 3.4]	④ [eqn: 3.6]	⑤ [eqn: 3.8]

16. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]은 [eqn: a _{`1} =1`], [eqn: a _{`2} =0`]이고,

[eqn: (n+1)(n+2) a_{`n+2} - n^{`2} a_{`n} =0 `] ([eqn: n ge 1`])

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{`n} `]을 구하는 과정의 일부이다.

[eqn: n=2m-1`]([eqn: m`]은 자연수)일 때,

주어진 식을 정리하면

[eqn: a_{`n+2} over a_{`n} = n^{`2} over {(n+1)(n+2)}]

이므로

[eqn: a_{`3} over a_{`1} = 1^{`2} over {2 times 3} `]

[eqn: a_{`5} over a_{`3} = 3^{`2} over {4 times 5} `]

[eqn: vdots]

[eqn: a_{`2m+1} over a_{`2m-1}= box{`````(가)`````}`]

이다. 좌변과 우변을 각각 곱하여 정리하면

[eqn: a _{`2m+1} = {1 TIMES 3 TIMES 5 TIMES ` CDOTS ` TIMES (2m-1)} over {2 TIMES 4 TIMES 6 TIMES ` CDOTS ` TIMES 2m} `times` box{`````(나)`````}`]

[eqn: ={{ `_2m` rm C_{`it m}} over 4^{`m} times box{`````(나)`````}`]

이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(m)`], [eqn: g(m)`]이라 할 때, [eqn: f(5) times g(4)`]의 값은? [4점]

① [eqn: 7 over 110]	② [eqn: 4 over 55]	③ [eqn: 9 over 110]

④ [eqn: 1 over 11]	⑤ [eqn: 1 over{ 10}]

17. 그림과 같이 기울기가 [eqn: -1`]인 직선이 두 곡선 [eqn: y=2 ^{`x}], [eqn: y= log_{`2}` x`]와 만나는 두 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B`]라 하고, 점 [eqn: rm B`]를 지나고 [eqn: x`]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=2 ^{`x}`]과 만나는 점을 [eqn: rm C`]라 하자. 선분 [eqn: rm AB`]의 길이가 [eqn: 12root2], 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 넓이가 [eqn: 84`]이다. 점 [eqn: rm A`]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: a`]라 할 때, [eqn: a - log_{`2}` a `]의 값은? [4점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

18. 수열 [eqn: left{ a_{`n} right}`]에 대하여
[eqn: n=2 ^{`p} TIMES q`]([eqn: p`]는 음이 아닌 정수, [eqn: q`]는 홀수)
일 때, [eqn: a _{`n} =p`]이다. 예를 들어, [eqn: 20=2 ^{`2} TIMES 5`]이므로 [eqn: a _{`20} =2`]이다. [eqn: a _{`m} =1`]일 때,

[eqn: a _{`m} + a _{`2`m} + a _{`3`m} +a _{`4`m} + a _{`5`m}+ a_{`6`m} +a_{`7`m} +a_{`8`m} +a_{`9`m} +a _ {`10`m} `]

의 값은? [4점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

19. 영행렬이 아닌 두 이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B`]가

[eqn: A+B=2E `], [eqn: B ^{2}+ 2AB+5A =4E`]

를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: AB`= BA `] ㄴ. [eqn: B`]의 역행렬이 존재한다. ㄷ. [eqn: BA^{2} + AB^{`2} =`-12E `]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

20. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 3`]인 정삼각형 [eqn: rm A _{`1}` B _{`1}` C _{`1}`]의 무게중심을 [eqn: rm A _{`2}`], 점 [eqn: rm A _{`2}`]를 지나는 원과 두 변 [eqn: rm A _{`1}` B _{`1}`], [eqn: rm A _{`1}` C _{`1}`]의 접점을 각각 [eqn: rm B _{`2}`], [eqn: rm C _{`2}`]라 하자. 호 [eqn: rm A_{`2}` B_{`2}], 선분 [eqn: rm B _{`2} `B _{`1}`], 선분 [eqn: rm B _{`1}` A _{`2}`]와 호 [eqn: rm A_{`2} ` C_{`2} `], 선분 [eqn: rm C _{`2} `C _{`1}`], 선분 [eqn: rm C _{`1}` A _{`2} `]로 둘러싸인 부분인  모양의 도형을 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{`1}`]이라 하자.
그림 [eqn: R_{`1}`]에서 삼각형 [eqn: rm A _{`2}` B _{`2}` C _{2} `]의 무게중심을 [eqn: rm A _{`3}`], 점 [eqn: rm A _{`3}`]을 지나는 원과 두 변 [eqn: rm A _{`2}` B _{`2}`], [eqn: rm A _{`2}` C _{`2} `]의 접점을 각각 [eqn: rm B _{`3}`], [eqn: rm C _{`3}`]이라 하자. 그림 [eqn: R_{`1}`]에 호 [eqn: rm A_{`3}` B_{`3} `], 선분 [eqn: rm B _{`3}` B _{`2} `], 선분 [eqn: rm B _{`2}` A _{`3}`]과 호 [eqn: rm A_{`3}` C_{`3} `], 선분 [eqn: rm C _{`3}` C _{`2}`], 선분 [eqn: rm C _{`2}` A _{`3} `]으로 둘러싸인 부분인  모양의 도형을 색칠하고 추가하여 얻은 그림을 [eqn: R_{`2} `]라 하자.
그림 [eqn: R_{`2}`]에서 삼각형 [eqn: rm A _{`3}` B _{`3}` C _{`3} `]의 무게중심을 [eqn: rm A _{`4}`], 점 [eqn: rm A _{`4}`]를 지나는 원과 두 변 [eqn: rm A _{`3} `B _{`3}`], [eqn: rm A _{`3}` C _{`3} `]의 접점을 각각 [eqn: rm B _{`4}`], [eqn: rm C _{`4}`]라 하자. 그림 [eqn: R_{`2}`]에 호 [eqn: rm A_{`4}` B_{`4} `], 선분 [eqn: rm B _{`4}` B _{`3} `], 선분 [eqn: rm B _{`3}` A _{`4}`]와 호 [eqn: rm A_{`4}` C_{`4} `], 선분 [eqn: rm C _{`4}` C _{`3}`], 선분 [eqn: rm C _{`3}` A _{`4} `]로 둘러싸인 부분인  모양의 도형을 색칠하고 추가하여 얻은 그림을 [eqn: R_{`3} `]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림을 [eqn: R_{`n}`], 그림 [eqn: R_{`n}`]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_{`n}`]이라 할 때, [eqn: lim _{ n->inf}` {S_{`n} }`]의 값은?

[4점]

[eqn: R_{`1}`]	[eqn: R_{`2}`]
[eqn: R_{`3}`]	[eqn: cdots]

① [eqn: {1} over {16} (21 sqrt {3} -4 pi )]	② [eqn: {1} over {16} (7 sqrt {3} -2 pi )]

③ [eqn: {1} over {8} (21 sqrt {3} -4 pi )]	④ [eqn: {1} over {8} (7 sqrt {3} -2 pi )]

⑤ [eqn: {1} over {8} (21 sqrt {3} -2 pi )]

21. 좌표평면 위의 점 [eqn: rm P _{it n rm} `]([eqn: n=1,~2,~3,`cdots`])은 다음 규칙을 만족시킨다.

(가) 점 [eqn: rm P _{1}`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1,```1 RIGHT ) `]이다.

(나) [eqn: rm {bar{P _{it n rm}` rm P _{it n+1 rm}}} `=1]

(다) 점 [eqn: rm P _{itn+2}`]는 점 [eqn: rm P _{it n+1}`]을 지나고 직선 [eqn: rm{ P _{it n }` rm P _{it n+1 }} `]에 수직인 직선 위의 점 중 [eqn: rm {bar{P _{it 1 rm} ` rm P _{it n+2 rm}}} `]가 최대인 점이다.

수열 [eqn: left{ a_{`n} right} `]은 [eqn: a _{`1}=0`], [eqn: a _{`2}=1`]이고,

[eqn: a_{`n} =`][eqn: bar { rm{P _{1} rm ``P _{it n rm}}} `] ([eqn: n=3,~4,~5,` cdots`])

일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( a _{`n+1} -a _{`n} RIGHT )}`]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	③ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

단답형

22. [eqn: lim_{x -> 1} {(x+7)^{`2}(x-1)} over {x-1} `]의 값을 구하시오. [3점]

23. [eqn: int _{0} ^{10} {(x+1)^{`2} } dx - int _{0} ^{10} {(x-1)^{`2} } dx`]의 값을 구하시오. [3점]

24. 서로 구별되지 않는 공 [eqn: 10`]개를 [eqn: rm`A,~B,~C`] [eqn: 3`]명에게 남김없이 나누어 주려고 한다. [eqn: rm`A`]가 공을 [eqn: 3`]개만 받도록 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, [eqn: 1`]개의 공도 받지 못하는 사람이 있을 수 있다.) [3점]

25. 등차수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT }`]에 대하여 [eqn: a _{`2} +a _{`4} =54`]，[eqn: a _{`12} +a _{`14} =254`]일 때, [eqn: a _{`14}`]의 값을 구하시오. [3점]

26. 확률변수 [eqn: X`]가 이항분포 [eqn: rm B( it n,~ p)`]를 따르고 [eqn: rm E( it 3X`)=18`], [eqn: rm E( it 3X^{`2`})=120`]일 때, [eqn: n`]의 값을 구하시오. [4점]

27. 함수 [eqn: f(x)`= x^{`4} -16 x^{`2} `]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 정수 [eqn: k`]값의 제곱의 합을 구하시오. [4점]

(가) 구간 [eqn: (k,~k+1)`]에서 [eqn: `f` prime (x)<0`]이다.

(나) [eqn: f` prime(k)`f` prime (k+2)<0]

28. 좌표평면 위의 점 [eqn: rm P`]가 다음 규칙에 따라 이동한다.

(가) 원점에서 출발한다.

(나) 동전을 [eqn: 1`]개 던져서 앞면이 나오면 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼 평행이동한다.

(다) 동전을 [eqn: 1`]개 던져서 뒷면이 나오면 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼 평행이동한다.

[eqn: 1`]개의 동전을 [eqn: 6`]번 던져서 점 [eqn: rm P`]가 [eqn: (a,~b)`]로 이동하였다. [eqn: a+b`]가 [eqn: 3`]의 배수가 될 확률이 [eqn: q overp`]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

29. 함수 [eqn: f(x) = x^{`3} + 3x^{`2} `]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 정수 [eqn: a`]의 최댓값을 [eqn: M``]이라 할 때, [eqn: M^{``2} `]의 값을 구하시오. [4점]

(가) 점 [eqn: left( -4 ,~a right) `]를 지나고 곡선 [eqn: y=f(x) `]에 접하는 직선이 세 개 있다.

(나) 세 접선의 기울기의 곱은 음수이다.

30. 양의 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: log ``x`]의 가수를 [eqn: f(x)`]라 하자. 다음 조건을 만족시키는 [eqn: a`]와 [eqn: n`]에 대하여 모든 자연수 [eqn: n`]의 값의 합을 구하시오. [4점]

(가) [eqn: f(a)=f( a^{`2n}) `]

(나) [eqn: (n+1)` log``a = 3n^2 -4n+4`]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.