◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.

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수 리 영 역

‘나’형

수 리 영 역

‘나’형

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때에는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 0이 포함된 경우, 0을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

2004학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시

수 리 영 역

성명			수험번호						3

‘나’형

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

[eqn: log_2~ 8over5`+`log_4~ 25over4]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3over2]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 5over2]	⑤ [eqn: 3]

[eqn: SUM from { { k}=1^`}^` to 10_` `(`k`+`2`)^2`]의 값은? [2점]

① [eqn: 645]	② [eqn: 630]	③ [eqn: 615]

④ [eqn: 600]	⑤ [eqn: 585]

두 행렬 [eqn: A`=`pmatrix{{1}{```2```}#{3}{```4```}}, ```B`=`pmatrix{{~~1}{~-2``}#{-3}{~-2``}}]에 대하여

[eqn: A^2 `+`AB`]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 25]

확률변수 [eqn: X`]에 대하여 확률변수 [eqn: Y`=` 1over 2 X `+`5`]의 평균이 [eqn: 30`]일 때, [eqn: X`]의 평균은? [3점]

① [eqn: 20`]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 40`]

④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 50]

이차 정사각행렬 [eqn: A`=`pmatrix{~~4&``12``#-8&``0`}]와 두 이차 정사각행렬 [eqn: B,`` C`]에 대하여 [eqn: B^-1 `=` 2A`], [eqn: C^-1` =` 2 B`]가 성립할 때, 행렬 [eqn: C``]는? (단, [eqn: X^{`-1} `]는 [eqn: X`]의 역행렬이다.) [3점]

① [eqn: pmatrix{~~1&~3~#-2&`0`}`]	② [eqn: pmatrix{```~2&6`#-4&~0~}`]	③ [eqn: pmatrix{~~4&``12~#-8&`0``}`]

④ [eqn: pmatrix{~~8&~24~#-16&`0`}`]	⑤ [eqn: pmatrix{~~16&``48~#-32&0}`]

다음은 네 자연수 [eqn: 1,`` 2,`` 3,`` 4`]를 한 번씩 사용하여 만든 네 자리 정수를 크기 순으로 나열한 것이다.

[eqn: 1234~~~~~ 1243~~~~~ …~~~~~ 1423 ~~~~~ 1432][eqn: 2134~~~~~ 2143~~~~~ …~~~~~2413~~~~~ 2431][eqn: 3124~~~~~ 3142~~~~~ …~~~~~3412 ~~~~~ 3421][eqn: 4123~~~~~ 4132~~~~~ …~~~~~4312~~~~~ 4321]

위의 모든 수들의 총합은? [3점]

① [eqn: 88880]	② [eqn: 77770]	③ [eqn: 66660]

④ [eqn: 55550]	⑤ [eqn: 44440]

[eqn: 12over 99]를 순환소수로 나타낼 때, 소수점 아래 [eqn: n`]째 자리의

수를 [eqn: a_n`]이라 하자. 예를 들면 [eqn: a_3 `=`1 `]이다.

이때, [eqn: sum_n=1 ^inf` a_n over 2^n]의 값은? [3점]

① [eqn: 4 over 3]	② [eqn: 3 over 2]	③ [eqn: 5 over 3]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5 over 2]

좌표평면에서 두 점[eqn: {rmP}(`a``,``b`)`]와 [eqn: {rmQ}(`c``,``d``)`]를 지나는 직선을 행렬[eqn: `` PMATRIX { {a }& { b~`}# { c}& { d```} }]에 대응시킨다. <보기>의 행렬의 연산 결과에 대응하는 직선 중 행렬[eqn: `` PMATRIX { {2 }& { 1```}# { 5}& { 2```} }]에 대응하는 직선과 서로 평행한 것을 모두 고른 것은? [3점]

		〈 보 기 〉
	ㄱ. [eqn: 2` PMATRIX { {2 }& { 1```}# { 5}& { 2``} }`] ㄴ. [eqn: PMATRIX { {2 }& { 1``}# { 5}& { 2```} }` +`PMATRIX { {1 }& { 2```}# { 1}& { 2```} }] ㄷ. [eqn: PMATRIX { {2 }& { 1``}# { 5}& { 2```} } `PMATRIX { {-1 }& { 0```}# { ~~`0}& { 1```} }]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

연속확률변수 [eqn: X`]가 취하는 값의 범위가 [eqn: 0`≦``X``≦`2`]이고, 확률밀도함수 [eqn: f``(x`)`]가

[eqn: f``(x`)`=`k`x`][eqn: (`0`≦``x``≦`2`)`]

일 때,  확률[eqn: \P`(`0`≦``X``≦`k``)`]의 값은? (단, [eqn: k`]는 상수) [4점]

① [eqn: 1over32`]	② [eqn: 1over16`]	③ [eqn: 1over8`]

④ [eqn: 1over4`]	⑤ [eqn: 1over2`]

다음은 함수 [eqn: y``=`log_10``x`]의 그래프를 이용하여  두 수 [eqn: {`na`+`mb}over{m`+`n}`], [eqn: `a^{n over m+n}````b^{m over m+n}`]의 대소관계를 알아보는 과정이다. (단, [eqn: 0`＜``a```＜`b`], [eqn: m`],[eqn: ``n`]은 양수)

그림에서 두 점 [eqn: rmA `(ita,`log_10``a``)`,``rmB`(itb`,`log_10``b``)`]를 이은 선분 [eqn: rmAB`]를 [eqn: m```:``n`]으로 내분하는 점을 [eqn: rmP`(`itp`,```q``)`]라 하면

[eqn: p`=`{`na`+`mb}over{m`+`n}`], [eqn: q`=`1over{m`+`n}`×`]

그런데, [eqn: log_10``p````~~~~~~````q`]이므로

부등식 [eqn: {na`+`mb}over{m`+`n}`]       [eqn: `a^{n over m+n}``` b^{m over m+n}`]가 성립한다.

(가)

(나)

(다)

위의 과정에서  (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 적은 것은? [3점]

① [eqn: log_10`(ab`)^mn`],	[eqn: ＞`],	[eqn: ＞]

② [eqn: log_10`(ab`)^mn`],	[eqn: ＜`],	[eqn: ＜`]

③ [eqn: log_10``a^n`b^m`],	[eqn: ＞],	[eqn: ＜`]

④ [eqn: log_10``a^n`b^m`],	[eqn: ＞`],	[eqn: ＞]

⑤ [eqn: log_10``a^n`b^m`],	[eqn: ＜`],	[eqn: ＜]

다음은 [eqn: n`]이 자연수일 때

등식[eqn: (`a`+b`)^n`=`][eqn: SUM from r=0 to n ``_n C _r``a^n-r```b^r`]이 성립함을 수학적귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

(증명)

(ⅰ)[eqn: n`=`1`] 일 때,

[eqn: (a`+`b`)^1`` =` SUM from r=0 to 1 ``_1 C _r``a^1-r```b^r` ``=` a`+b`]이므로

주어진 등식은 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n``=`k``(`k``≧``1`)`] 일 때,

주어진 등식이 성립한다고 가정하면

[eqn: (a`+`b`)^k ``=`][eqn: SUM from r=0 to k ``_k C _r``a^k-r```b^r`]이므로

[eqn: (a`+`b`)^k+1][eqn: = ( SUM from r=0 to k ``_k C _r``a^k-r```b^r` )~(`a`+`b`)]

[eqn: = SUM from r=0 to k ``_k C _r``a^k-r+1 ```b^r` ` +` SUM from r=0 to k ``_k C _r``a^k-r```b^r+1 `]

[eqn: =`_k C _0 ``a^{k`+`1}` + SUM from r=1 to k ``_k C _r``a^k-r+1`` `b^r]

[eqn: ` + SUM from r=0 to k-1 `_k C _r``a^k-r``b^r+1` + ` _k C _k ``b^k+1`]

그런데,

[eqn: `SUM from r=0 to k-1 ``_k` C _r```a^k-r ```b^r+1`=`]

[eqn: `_k` C` _r` ` + `_k `C `_r-1` =`]

이므로

[eqn: (`a`+`b`)^k+1` =`][eqn: SUM from r=0 to k+1` `_k+1` C` _r```a^k+1-r```b^r``]

[eqn: (ⅰ)]과 [eqn: (ⅱ)]에서 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 주어진 등식은 성립한다.

(나)

(가)

위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 식을 순서대로 적은 것은? [3점]

① [eqn: SUM from r=1 to k ``_k `C `_r ``a^k-r+1 ```b^r``],	[eqn: `_k+1` C _r]

② [eqn: SUM from r=1 to k ``_k` C `_r ``a^k-r+1 ```b^r``],	[eqn: `_k+1 `C` _r+1]

③ [eqn: SUM from r=1 to k ``_k C _r-1 ``a^k-r+1 ```b^r``],	[eqn: `_k` C` _r]

④ [eqn: SUM from r=1 to k ``_k` C `_r-1 `a^k-r+1 ```b^r``],	[eqn: `_k+1 `C`_r]

⑤ [eqn: SUM from r=1 to k ``_k `C` _r-1 `a^k-r+1 ```b^r``],	[eqn: `_k+1` C _r+1]

그림과 같이 [eqn: 1`]부터 [eqn: 10`]까지의 자연수가 시계방향으로 둥글게 놓여있다.

맨 처음 [eqn: 1`]을 지우고 [eqn: 2`]를 건너뛰어 [eqn: 3`]을 지운다. 다시 [eqn: 4`]를 건너뛰어 [eqn: 5`]를 지운다. 이와 같이 한 개의 수를 지우고 난 다음 아직 지워지지 않고 남아있는 수 중에서 한 개의 수를 건너뛰어 그 다음에 남아있는 수를 지우는 시행을 반복하면 [eqn: 1`], [eqn: 3`], [eqn: 5`], [eqn: 7`], [eqn: 9`], [eqn: 2`], [eqn: 6`], [eqn: 10`], [eqn: 8`]이 차례로 지워지고 마지막에 [eqn: 4`]가 남는다.

[eqn: 1`]부터 [eqn: n``]까지의 자연수를 시계방향으로 둥글게 놓고 이와 같은 시행을 반복할 때, [eqn: k ``]번째[eqn: LEFT (`1``≦``k``＜n`` RIGHT )`]에 지워지는 수를 [eqn: `_n A_k``]로 나타내자. 예를 들면 [eqn: `_10 A_6 `=` 2 `]이다. 이때, <보기> 중 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

		〈 보 기 〉
	ㄱ. [eqn: n`]이 홀수일 때, [eqn: `_n A_k` =` n `]이면 [eqn: k``=` n+1 over 2]이다. ㄴ. [eqn: n`]이 짝수일 때, [eqn: `_n A_k` =` n `]이면 [eqn: k`=` n over 2 `+`1]이다. ㄷ. [eqn: n`=`2^6`]일 때, 시행 후 마지막에 남는 수는 [eqn: 2^6`]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄱ, ㄷ

숫자 [eqn: 1`]이 적힌 카드가 [eqn: 1`]장, [eqn: 2`]가 적힌 카드가 [eqn: 2`]장, [eqn: 3`]이 적힌 카드가 [eqn: 3`]장, [eqn: 4`]가 적힌 카드가 [eqn: 4`]장 있다. 이 [eqn: 10`]장의 카드를 모두 섞은 후 두 장의 카드를 임의로 뽑을 때, 두 장의 카드에 적힌 수가 같을 확률은? [4점]

① [eqn: 1 over 9]	② [eqn: 2 over 9]	③ [eqn: 1 over3]

④ [eqn: 4 over 9]	⑤ [eqn: 5 over 9]

서로 다른 세 양수 [eqn: a,``b,``c``]에 대하여 부등식

[eqn: log_ 2`` a ` -` log_2 ``b ``＞ `log_2`` b` -` log_2 `` c ``＞` log_2 ``c`-` log_2`` a`]

가 성립할 때, <보기> 중 항상 성립하는 것을 모두 고른 것은? [4점]

		〈 보 기 〉
	ㄱ. [eqn: `a~＞~b`] ㄴ. [eqn: `b~＞~c`] ㄷ. [eqn: `c~＞~a`]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

어느 상품의 수요량 [eqn: D`]와 판매가격 [eqn: P`]사이에는

[eqn: log_a```D``=`log_a ``c`-`1 over 3log_a ``P`][eqn: (`a`,``c`]는 양의 상수,[eqn: `a `!=` 1`)`]   인 관계가 성립한다고 한다. 이 상품의 판매가격이 [eqn: P_1`,```4P_1]일 때의 수요량을 각각 [eqn: D_1`,```D_2`]라 할 때, [eqn: D_2 over D_1]의 값은? [4점]

① [eqn: 2^{- 2 over 3}]	② [eqn: 2^{- 1 over 3}]	③ [eqn: 2^{- 1 over 2}]

④ [eqn: 2^{ 1 over 3}]	⑤ [eqn: 2^{ 2 over 3}]

그림과 같이 [eqn: 5 `]개의 정사각형 중의 한 개에서 두더지 인형이 튀어나왔다 들어가고, 다시 한 정사각형에서 두더지 인형이 튀어나왔다 들어가기를 반복하는 오락 기계가 있다.

매번 각 정사각형에서 두더지 인형이 나올 가능성이 모두 같다. 이 오락기계의 두더지 인형이 두 번 튀어나왔다가 들어갈 때, 두더지 인형이 나온 두 정사각형이 서로 이웃할 확률은? (단, 한 변만을 공유하는 두 정사각형을 이웃하는 정사각형이라고 한다.) [4점]

① [eqn: 4 OVER 25]	② [eqn: 5OVER 25]	③ [eqn: 6 OVER 25]

④ [eqn: 7 OVER 25]	⑤ [eqn: 8OVER 25]

어느 장학재단은 [eqn: 14`]억 원의 기금을 조성하였다. 매년 초에 기금을 운용하여 연말까지 [eqn: 20`%]의 이익을 내고, 기금과 이익을 합한 금액의 [eqn: 40`%]를 매년 말에 장학금으로 지급하려 한다. 장학금으로 지급하고 남은 금액을 기금으로 하여 기금의 운용과 장학금의 지급을 매년 이와 같은 방법으로 실시 할 계획이다. 이 계획대로 해마다 지급한 장학금의 총액의 극한값은? (단, 단위는 억 원이다.) [4점]

① [eqn: 24]	② [eqn: 26]	③ [eqn: 28]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 32]

단답형

[eqn: lim from { n -> inf } ` {(`3n``)}^3 over {1^2` +`2^2 `+`3^2 `+`…`+`n^2}`]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: a``=`2^{2over3}`], [eqn: `b``=`3^{1over 6}]일 때,

[eqn: a^m``` b^n`=`36`]을 만족하는 두 자연수 [eqn: m, `~n`]의 합 [eqn: m`+`n`]의

값을 구하시오. [3점]

[eqn: 7 `]개의 문자 [eqn: a, ~b,~ b,~ c,~ c,~ c,~ d`]를 일렬로 나열할 때, 양쪽 끝에는 서로 다른 문자가 오는 경우의 수를 구하시오.

[3점]

[eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: LEFT ( `log_2 ~x`` RIGHT )` LEFT ( ``log_2 ~ `16 over x ` RIGHT ) ``=` m over 16]의 해가

존재하도록 실수 [eqn: m`]의 값의 범위를 정할 때, [eqn: m`]의 최대값을 구하시오. [3점]

수열[eqn: LEFT {` a_n``RIGHT }]이

[eqn: a_1`=`2`,`````a_n`+`a_n+1`=`3n```(`n`=`1,``2,``3,` CDOTS `)`]

으로 정의된다. 이때, 두 수

[eqn: P`=`a_1`+`a_3`+`a_5`+`a_7`+`` CDOTS ``+`a_19`]

[eqn: Q`=`a_2`+`a_4`+`a_6`+`a_8`+`` CDOTS ``+`a_20`]

에 대하여 [eqn: P`-`Q`]의 값을 구하시오. [4점]

철수와 영희는 볼링 시합에서 두 게임을 연속하여 이기는 사람이 우승하기로 하였다. 매게임마다 철수가 영희를 이길 확률이 [eqn: 2over3]라고 할 때, 다섯 번째 게임에서 철수가 우승할 확률은 [eqn: q over p][eqn: (`p`,```q``]는 서로소인 자연수[eqn: )`]이다. 이때, [eqn: p``+`q``]의 값을 구하시오. (단, 비기는 경우는 없다.) [4점]

그림과 같이 바둑판 모양의 도로망이 있다. 교차로[eqn: rmP`]와 교차로[eqn: rm Q`]를 지날 때에는 직진 또는 우회전은 할 수 있으나 좌회전은 할 수 없다고 한다. 이때, [eqn: rmA`]지점에서 [eqn: rmB`]지점까지 최단거리로 가는 방법의 수를 구하시오. [4점]

(가격단위 : 달러)
[eqn: n`]째주	두바이유 가격 [eqn: a_n]
[eqn: 1]	[eqn: 34.7]
[eqn: 2]	[eqn: 35.0]
[eqn: 3]	[eqn: 35.6]
[eqn: 4]	[eqn: 36.8]
[eqn: 5]	[eqn: 39.2]
[eqn: ⋮]	[eqn: ⋮]

오른쪽 표는 어느 달 국내 원유 수입량의 [eqn: 70%]를 차지하는 두바이(Dubai)유의 [eqn: 1`]배럴당 국제 가격을 일주일 간격으로 나타낸 것이다.  이 표에 있는 두바이유의 가격 [eqn: a_n`]은 다음 관계식을 만족한다.

[eqn: a_n` =`34.4 `+` {0.3 } `TIMES` b_n`]

(단, [eqn: n`]은 자연수)

이러한 추세로 가격이 결정될 때,[eqn: SUM from { { k}=1^`} to 8_` b_k `]의 값을 구하시오. [4점]

5지 선다형

자연수 [eqn: n`]에 대하여 두 지수함수 [eqn: y`=`5^x`,```y`=`3^x`]의 그래프와 직선 [eqn: x`=`n`]과의 교점을 각각[eqn: \P_n`,``` \Q_n`]이라 하자.

이때, [eqn: lim from { n -> inf } ``{bar{\P_n+1` \Q_n+1}}over{bar{\P_n` \Q_n`}}]의 값은? [3점]

① 1	② 2	③ 3

④ 4	⑤ 5

동전 한 개를 두 번 던진 결과 적어도 한 번은 앞면이 나왔다고 한다. 두 번째 던진 동전이 앞면이 나왔을 확률은?

[3점]

① [eqn: 1over4`]	② [eqn: 1over3`]	③ [eqn: 1over2`]

④ [eqn: 2over3`]	⑤ [eqn: 3over4`]

지수함수 [eqn: f``(x`)`=`a^x`]에 대한 <보기> 의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은 ? [eqn: (`]단, [eqn: a```＞``0,`~`a`` != 1``)]  [3점]

		〈 보 기 〉
	ㄱ. [eqn: f``( -x` ) ``=` 1 over { f``(x`) }] ㄴ. [eqn: f``(x) `=` root { f``(2x`) }`] ㄷ. [eqn: f``(x^3`) ``=` left { f``(x`) right }^3`]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

전국 연합학력평가 후 응시생 [eqn: 1600`]명을 임의로 추출하여 가채점 하였더니 수리영역 점수의 표준편차가 [eqn: 16`]점이었다. 수험생 전체 수리영역의 평균점수 [eqn: m`]을 [eqn: 95%]의 신뢰도로 추정한 신뢰구간이 [eqn: α`≦``m```≦`β`]일 때, [eqn: β`-``α]의 값은?

[eqn: (`]단,[eqn: ``\P``(0```≦``Z```≦``1.96`)`=`0.475`)`] [4점]

① [eqn: 0.784]	② [eqn: 1.568]	③ [eqn: 2.352]

④ [eqn: 3.136]	⑤ [eqn: 3.920]

단답형

그림과 같이 어느 지역의 [eqn: 5`]개의 관광지 [eqn: RMA`,``B`,``C`,``D`,``E] 를 연결하는 도로망이 있다.

어느 여행사에서는 [eqn: RMP]지점을 출발하여 [eqn: RMA`,``B`,``C`,``D`,``E]  [eqn: 5`]개 지역을 모두 방문하거나 일부 지역만을 방문하면서, 한 번 방문한 관광지는 다시 지나지 않고 [eqn: RMQ]지점에 도착하는 [eqn: 7`]가지 경우의 관광코스를 만들었다. 그리고, 한 관광지를 방문할 때마다 [eqn: 14,000`]원씩 요금을 부가하여 각 관광코스별 관광요금을 결정하였다. 예를 들면 [eqn: RMP`→`A`→`B`→`E`→`Q]관광코스의 요금은 [eqn: 3`×`14,000`]원이다.

한 관광객이 임의로 [eqn: 7`]개의 관광코스 중 어느 하나를 선택하였을 때, 그 관광코스의 요금을 확률변수 [eqn: X``]라고 하자. 이때, 확률변수 [eqn: X over 1000]의 평균을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.