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2006년도 3월 고2 전국연합학력평가 정답 및 해설

정 답

1	③	2	④	3	③	4	④	5	②	6	⑤	7	①	8	②
9	③	10	①	11	④	12	④	13	①	14	⑤	15	②	16	⑤
17	②	18	②	19	⑤	20	⑤	21	④	22	17	23	5	24	6
25	13	26	13	27	34	28	12	29	170	30	576

해 설

1. [출제의도]  복소수 [eqn: i] 의 성질을 알고 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: i^2`=-1`,``i^3`=-i`,``i`^4`=1] 이므로

[eqn: &i+2i ^2`+3i^3`+4i^4`][eqn: =i+2cdot(-1)+3cdot(-i)+4cdot1`][eqn: =2-2i]

2. [출제의도]  점과 직선 사이의 거리를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: (1,``2)]와 직선 [eqn: ``x+2y=0] 사이의 거리 [eqn: d]는

[eqn: d= {|`1 CDOT 1+2 CDOT 2`|} over {sqrt {1 ^{2} `+2 ^{2} `}} ```= sqrt {5}]

3. [출제의도] 이중근호를 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: root {( root3 `+root2 )^2 }`=root3`+root2`], [eqn: root {( root3 `-root2 )^2 }`=root3`-root2`]

∴ (주어진 식)[eqn: `= 2root3]

4. [출제의도] 히스토그램을 도수분포표로 바꾸어 분산을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

도수분포표는 다음과 같다.

점수	2	4	6	8	10	계
도수	10	10	40	30	30	120

이 때, 평균 [eqn: m]은

[eqn: m= {10 TIMES 2+10 TIMES 4+40 TIMES 6+30 TIMES 8+30 TIMES 10} over {120} =7]

이므로 분산 [eqn: S^2]은

[eqn: S ^{2} = {10 TIMES LEFT ( 2-7 RIGHT ) ^{2} +10 TIMES LEFT ( 4-7 RIGHT ) ^{2} +40 TIMES LEFT ( 6-7 RIGHT ) ^{2} +30 TIMES LEFT ( 8-7 RIGHT ) ^{2} +30 TIMES LEFT ( 10-7 RIGHT ) ^{2}} over {120} `]

[eqn: = { 250 +90 + 40 + 30 + 270 } over 120 #= 17 over 3 `]

5. [출제의도]  삼각함수에서 일반각의 성질을 묻는 문제이다.

[eqn: cos( pi + theta )+sin`left( {pi } over {2} - thetaright )+tan(- theta )]

[eqn: =-cos theta +cos theta -tan theta]

[eqn: = `-tan theta]

[eqn: x-3y+3=0]의 기울기는 [eqn: { 1} over { 3}]이므로

[eqn: tan theta= { 1} over { 3}]

따라서 구하는 값은  [eqn: -`1over3] 이다.

6. [출제의도] 집합의 연산의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ.  [eqn: A` SUBSET `B,~A` SUBSET `C```]이므로

[eqn: A` SUBSET (B SMALLINTER C)] (참)

ㄴ.  [eqn: B^{rmC} `subset` A^{rmC}], [eqn: C^{rmC} ⊂ A^{rmC} `]

∴ [eqn: (B^{rmC} ` cap` C^{rmC} `) `subset `A^{rmC}] (참)

ㄷ. 임의의 부분집합 [eqn: X `]에 대하여

[eqn: X-B = X cap B^{rmC} `]이고 [eqn: (X cap B^{rmC} )⊂B^{rmC} `]이다.

그런데, [eqn: B^{rmC} `subset` A^{rmC}]이므로

[eqn: (X cap B^{rmC} )⊂B^{rmC} ⊂A^{rmC} `]

∴ [eqn: (X-B )⊂ A^{rmC}] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[참고]

조건을 만족하는 집합을 벤다이어그램으로 나타내면 그림과 같다.

[eqn: A]

[eqn: U]

[eqn: B]

[eqn: C]

[eqn: X]

7. [출제의도] 조건에 맞는 직선의 방정식을 구하는 문제이다.

[eqn: x^2`+y^2`-2x`=0```]에서  [eqn: (x-1)^2`+y^2`=1]

이므로 중심의 좌표가 [eqn: (1,0)] 이다.

또, 직선 [eqn: 2x-y=5]에 수직인 직선의  기울기는

[eqn: -`1over2] 이므로 구하는 직선은

기울기가 [eqn: -`1over2] 이고 점 [eqn: (1,0)]을 지나는 직선이다.

[eqn: THEREFORE~ `y-0`=-`1over2`(x-1)]

[eqn: THEREFORE`~` x+2y=1]

8. [출제의도] 필요조건과 충분조건을 이해하고 주어진 명제에서 필요조건을 찾는 문제이다.

ㄱ.  [eqn: a>0 ``] 이면 [eqn: a^{ 2}>0] 이다.

그러나 ‘[eqn: a^2`>0 `` 이면 ~~a`>0~이다.]’ 는 거짓

(반례 : [eqn: (-2)^2`=4] )

따라서 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이지만 필요조건은 아니다.

ㄴ. ‘[eqn: ac=bc~이면~~a=b~이다.]’는 거짓

(반례: [eqn: a=1,``b=2,``c=0] )

그러나 ‘[eqn: a=b`]이면 [eqn: ac=bc]’는 참이다.

따라서 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건이지만 충분조건은 아니다.

ㄷ. [eqn: a != 0``또는~b != 0]이면[eqn: a ^{2} `+b ^{2} ``>0]이다.

또,[eqn: a^2`+b^2`>0]이면 ‘[eqn: a!=0`~또는~b!=0]’이다.

따라서 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요충분조건이다.

따라서 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건이지만 충분조건이 아닌 것은 ㄴ이다.

9. [출제의도] 정의된 연산에서 항등원과 역원의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

연산 ◎에 대한 항등원은 [eqn: e] 이므로

항등원의 정의에 의하여

[eqn: e◎c=c]

연산 ◎에 대한 [eqn: b]의 역원은 [eqn: d] 이므로

역원의 정의에 의하여

[eqn: b◎d=e]

∴ [eqn: (e◎c)◎(b◎d)=c◎e=c]

10. [출제의도] 역함수와 합성함수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f^-1 (x)=x^2 `]에서 [eqn: f(x^2 ) =x `] … ㉠

[eqn: (f circ g^-1 )(x^2 )=x `]에서 [eqn: f (g^-1 (x^2 ) ) = x `] … ㉡

[eqn: f]는 일대일 대응이므로 ㉠, ㉡ 에서 [eqn: g^-1 (x^2 ) = x^2 `]

∴ [eqn: g(x^2 ) = x^2 `]

따라서 [eqn: g(20)=20, ~`` f(20)=root20 =2root5 `]이므로

[eqn: (f CIRC g)(20)`][eqn: =f(g(20))][eqn: =f(20)`][eqn: =2 sqrt { 5}`]

11. [출제의도] 부등식의 영역을 좌표평면 위에 나타낼 수 있는가를 묻는 문제이다.

ⅰ)[eqn: x>=0,``y>=0]인 경우

[eqn: x^2`+y^2`<=1]

따라서 제1사분면의 원의 내부이다.(경계선 포함)

ⅱ)[eqn: x<=0,``y<=0]인 경우

[eqn: -x^2`-y^2`<=1`]

∴ [eqn: x^2`+y^2`>=-1]

이 부등식은 모든 실수 [eqn: x,``y] 에 대하여 성립하므로

제3사분면 전체이다.

그러므로 구하는 영역은 ④번 그림과 같다.

12. [출제의도] 연립방정식의 해를 구하는 문제이다.

[eqn: cases{x ^{2} -4xy+3y ^{2} =0&…㉠#2x ^{2} +xy+3y ^{2} =24&…㉡}]

㉠ 에서

[eqn: x ^{2} -4xy+3y ^{2} =0] ⇔ [eqn: (x-y)(x-3y)=0]

∴ [eqn: x=y``]또는 [eqn: x=3y]

i) [eqn: x=y] 를  ㉡ 에 대입하면

[eqn: 6y ^{2} =24]

∴ [eqn: x=±2,```y=±2] (복부호동순)

ii) [eqn: x=3y] 를  ㉡ 에 대입하면

[eqn: 24y ^{2} =24]

∴ [eqn: x=±3,```y=±1] (복부호동순)

따라서 주어진 연립방정식의 해의 순서쌍은

[eqn: (2,```2)`,``(-2,```-2)``,``(3,```1)``,``(-3,```-1)] 이므로  [eqn: alpha_i ``beta_i] 의 최대값은

[eqn: x=2 ,~y=2] 또는 [eqn: x=`-2 ,~y=`-2] 일 때 [eqn: 4]이다.

13. [출제의도] 조건을 이용하여 함수의 그래프의 개형을 구하는 문제이다.

무리함수 [eqn: f(x)`=a`root{-x+b}`+c] 의 그래프가 그림과 같으므로

상수 [eqn: a,b,c] 의 값(부호)은

[eqn: a>0`,``b=3, ``c=-2] 이다.

이 때, 이차함수 [eqn: y=ax ^{2} `+bx+c] 의 꼭지점의 [eqn: x] 좌표가 [eqn: - {b} over {2a} <0] 이고 [eqn: y] 절편이 [eqn: c<0]이므로

이차함수 [eqn: y=ax^2`+bx+c] 의 그래프의 개형은 ① 번 그림과 같다.

14. [출제의도] 조건을 이용하여 주어진 식의 값을 추론하는 문제이다.

주어진 식을 정리하면 다음을 얻는다.

[eqn: x^2 +x+1 = 0]，[eqn: (x-1)(x^2 +x+1) = 0],

[eqn: x^3 -1=0] ∴ [eqn: x^3 = 1]

그러므로 [eqn: P(n)]의 값은 다음과 같다.

[eqn: P(n) = (-1)^n + (-x)^n + (-x^2 )^n]

[eqn: P(1) = -1 -x-x^2 = 0]

[eqn: P(2) = 1+x^2 +x^4 = 1+x^2 +x =0]

[eqn: P(3) = -1-x^3 -x^6 = -1-1-1=-3]

[eqn: P(4) = 1+x^4 + x^8 = 1+x+x^2 = 0]

[eqn: P(5) = -1-x^5 -x^10 = -1-x^2 -x = 0]

[eqn: P(6) = 1+x^6 + x^12 = 1+1+1=3]

…

이므로 자연수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: n=6k-3] 이면 [eqn: P(n)=`-3]

[eqn: n=6k] 이면 [eqn: P(n)=`3]

[eqn: n != 6k-3] 이고 [eqn: n != 6k] 이면 [eqn: P(n)=`0]

그런데, [eqn: 2007 = 6×334+3]이므로

[eqn: P(2007) = P(3) = -3]

∴ [eqn: P(1)+P(2)+P(3)+`cdots``+P(2007)]

[eqn: =0+0+(-3)+0+0+3+0+` CDOTS ``+0+(-3)]

[eqn: =`-3]

15. [출제의도] 실수의 성질을 이용하여 부등식을 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a<0] 이라고 가정하자.

그러면, [eqn: 0<abc=a(bc)] 이고 [eqn: a<0]이므로

[eqn: bc`<0] … (가)   … ㉠

한편, 조건에 의하면 [eqn: ab+bc+ca>0]이므로

[eqn: -bc<ab+ca]  … ㉡

㉠, ㉡ 에 의하여 [eqn: ab+ca`>0] … (나)

[eqn: ab+ca=a(b+c)]이므로

가정 [eqn: a<0] 에 의하여

[eqn: b+c<0] … (다)

(이후 생략)

그러므로 옳은 것은 ② 이다.

16. [출제의도] 좌표평면 위에서 도형의 성질을 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.

두 점 [eqn: rm A(ita,``0),~rmD(it0,``d)]를 지나는 직선의 방정식은

[eqn: x over a + y over d = 1]

∴ [eqn: dx+ay = ad]  … (가)

두 점 [eqn: rm B(0,``it b),~rm C(itc,``0)`]를 지나는 직선의 방정식은

[eqn: x over c + y over b = 1]

∴ [eqn: bx+cy = bc]  … (나)

또, [eqn: b over a = d over c = k] 에서

[eqn: q over p][eqn: = {bd(c-a)} over ac(d-b)]

[eqn: = {ak․ck․(c-a)} over {ac(ck-ak) } = k`=] [eqn: `b over a] … (다)

(이후 생략)

따라서 옳은 것은 ⑤ 이다.

17. [출제의도]  함수의 그래프와 합성함수의 성질을 이용하여 방정식의 해를 구하는 문제이다.

[eqn: f(x) = 0]의 두 근이 [eqn: -2]와 [eqn: 1]이므로

[eqn: f(f(x)) = 0]에서 [eqn: f(x) = -2] 또는 [eqn: f(x) = 1]

ⅰ) [eqn: f(x) = -2]에서 [eqn: x= - 1 over 2]

ⅱ) [eqn: f(x) = 1]에서 [eqn: x= - 1 over 2 + alpha], [eqn: x= - 1 over 2 - alpha]

따라서 모든 근의 합은

[eqn: - 1 over 2 + left( - 1 over 2 + alpha right) + left( - 1 over 2 - alpha right)][eqn: = - 3 over 2]

18. [출제의도] 도형과 관련된 성질을 직선의 기울기를 이용하여 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

직선 [eqn: y=m`x]의 기울기는 직선 [eqn: y=nx]의 기울기의 [eqn: 4 `]배이므로

[eqn: m=4n]이다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: y=mx]

[eqn: rm B]

[eqn: y=nx]

[eqn: rm C]

[eqn: rm A(1,0)]

점 [eqn: rmA(1,~ 0) `]을 지나고 [eqn: x `]축에 수직인 직선이 두 직선 [eqn: y=mx], [eqn: y=nx]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm B,~ C `]라 하면 [eqn: rmB(1,~ it m),~rm C(1,~it n) `]이므로

[eqn: bar{rm AC}=n,~bar{rm BC}=m-n `]

직선 [eqn: y=nx]는 [eqn: x `]축과 직선 [eqn: y=mx]가 이루는 각의 이등분선이므로

[eqn: rm bar{OA} `: bar{OB} `=~ bar{AC} `: bar{BC}] 가 성립한다.

∴ [eqn: rm bar OB =it 1・(m-n) over n][eqn: =3] (∵ [eqn: m=4n])

따라서 직각삼각형 [eqn: rm OAB `]에서 [eqn: 3^2 = 1^2 + m^2]

[eqn: m=2root2], [eqn: n= root2 over2]

∴ [eqn: mn=2]

19. [출제의도] 삼각형과 삼각함수에 대한 성질을 이해하고 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: a=5] 이면 △ABC 는 직각삼각형이므로

변 BC 는 원의 지름이다.

∴ [eqn: R=`5over2] (참)

ㄴ. 사인법칙에 의해

[eqn: a `=` 2R `sinA``]

∴ [eqn: a`=`2 cdot 4 cdot sin A`=`8` sin A``] (참)

ㄷ.  [eqn: 1<a^2`<=13]이고

제이코사인법칙에 의하여

[eqn: a^2`=b^2`+c^2`-2bc cosA] 이므로

[eqn: cosA`= {3 ^{2} `+4 ^{2} `-a ^{2}} over {2 CDOT 3 CDOT 4} ``= {25-a ^{2}} over {24}]

∴ [eqn: 1over2`<= `cosA`<`1]

∴ [eqn: 0 DEG <A<=60DEG]

따라서 [eqn: ANGLE A]의 최대값은 [eqn: 60DEG]이다. (참)

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.

20. [출제의도] 부등식의 영역을 이용하여 실생활에서 발생할 수 있는 경우의 최대, 최소값을 구하는 문제이다.

[eqn: rm`P, ~`` Q]를 각각 [eqn: x,``y``]개 생산ㆍ판매한다고 하자.

문제의 조건으로부터

[eqn: x>=0], [eqn: y>=0] … ㉠

[eqn: 0.8x + 0.4y<=2.4]  ∴[eqn: 2x+y <=6] … ㉡

[eqn: 0.2x + 0.6y<=2.6]  ∴[eqn: x+3y <=13] … ㉢

따라서 점 [eqn: (x,``y`)]의 영역은 그림의 색칠한 부분과 같다.

[eqn: (1,4)]

[eqn: 26x+28y=T]

[eqn: x+3y=13]

[eqn: 2x+y=6]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

이 때,

[eqn: T it =70x+80y] [eqn: -(0.8x TIMES 40+0.2x TIMES 60+0.4y TIMES 40+0.6y TIMES 60)]

[eqn: =26x+28y]

위의 그림에서 [eqn: T`]는 두 직선

[eqn: 2x+y =6 , ```` x+ 3y=13}]의 교점 [eqn: (1,``4)]을 지날 때 최대가 되므로

[eqn: T]의 최대값은 [eqn: 26×1 +28×4 = 138](만 원)

21. [출제의도] 원의 방정식을 이용하여 실생활의 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rmA]지점을 원점으로 놓으면 [eqn: t]시간 후의 태풍의 중심의 좌표는

[eqn: (`10t,~10t)] 이다. (∵ (가))

또, (나)에 의하여 태풍(의 영향권)의 반지름은 [eqn: 5t]이므로 태풍의 영향권을 원의 방정식을 이용하여  나타내면

[eqn: (x-10t)^2`+(y-10t)^2`<=(5t)^2]

이 때, [eqn: rmB] 지점의 좌표는 [eqn: (100,~150)]이므로

이것을 대입하여 부등식을 정리하면,

[eqn: (100-10t) ^{2} `+(150-10t) ^{2} <=25t ^{2}]

[eqn: 7t^2`-200t+1300<=0]

[eqn: (t-10)(7t-`130)<=0]

[eqn: 10 <= t<= `130over7]

따라서 [eqn: rmB]지점이 태풍의 영향권에 있는 시간은

[eqn: 130 over 7 -10 =`60over7] (시간)

22. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하는 문제이다.

이차방정식의 계수가 실수이므로 한 근이 [eqn: 4+3i] 일 때 다른 한 근은 [eqn: 4-3i] 이다.

따라서 근과 계수와의 관계에 의하여

[eqn: -a`=4+3i+4-3i`=8], [eqn: a=-8]

[eqn: b=(4+3i)(4-3i)`=25]

[eqn: THEREFORE~a+b`=17]

23. [출제의도] 인수분해를 이용하여 주어진 식의 값을 구하는 문제이다.

[eqn: a-b=2`,``ab=1] 이므로

[eqn: {a ^{3} `+b ^{3}} over {a+b} ` = {(a+b)(a ^{2} `-ab`+b ^{2} `)} over {a+b} `=a ^{2} `-ab+b ^{2} `=(a-b) ^{2} `+ab`]

[eqn: =2 ^{2} `+1`=5]

24. [출제의도] 조건에 맞는 집합의 원소의 개수를 구하는 문제이다.

[eqn: 10^2 = 2^2 ×5^2]이므로 집합 [eqn: A]의 원소는

[eqn: 1,```2,``2^2`,```5,``5^2`,````2cdot5,````2cdot5^2`, ````2^2 cdot5`,````2^2`cdot5^2] 의 [eqn: 9]개이고,

[eqn: A`cap`B]는 [eqn: 10^2]과 [eqn: 6^3]의 공약수의 집합이므로 원소는 [eqn: 1,``2,``2^2] 의 [eqn: 3]개이다.

[eqn: A cap B^{rmC}`=A-B`=A-(A capB)] 이므로

원소의 개수는 [eqn: 9-3`=6] 이다.

[다른 풀이]

[eqn: 10^2 = 2^2 ×5^2]이므로 집합 [eqn: A]의 원소의 개수는

[eqn: (2+1)(2+1)=9]이고,

[eqn: 2^2 ×5^2] 와 [eqn: 2^3 ×3^3]의 공약수는 [eqn: 2^2]의 약수이므로

[eqn: A capB] 의 원소의 개수는 [eqn: 3]이다.

따라서 [eqn: A cap B^{rmC}`=A-B`=A-(A capB)] 이므로

원소의 개수는 [eqn: 9-3`=6] 이다.

25. [출제의도] 삼각함수의 그래프를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

최대값과 최소값의 차가 [eqn: 6]이므로 [eqn: vert a vert = {6} over {2} `=3]

주기는 [eqn: pi]이므로 [eqn: { 2pi} over { |``b ``|} =pi]  ∴ [eqn: |``b``|=2]

∴ [eqn: a^2`+b^2`=13]

[참고]

ⅰ) [eqn: a=3],[eqn: b=-2]일 때의 주어진 함수의 그래프는

곡선 [eqn: y=3sin2x]를 [eqn: y`]축에 대하여  대칭이동한 후,

[eqn: x]축의 방향으로[eqn: -`piover4]만큼 평행이동한 것이다.

ⅱ) [eqn: a=-3],[eqn: b=2]일 때의 주어진 함수의 그래프는

곡선[eqn: y=3sin2x]를 [eqn: x]축에 대하여  대칭이동한 후,

[eqn: x]축의 방향으로[eqn: -`piover4]만큼 평행이동한 것이다.

26. [출제의도] 근과 계수와의 관계를 이용하여 조건에 맞는 정수해를 구하는 문제이다.

주어진 이차방정식의 두 근을 [eqn: alpha ,~ beta]라 하면 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha+ beta = m+5], [eqn: alpha beta=-m-1]

이 때, [eqn: m= alpha+ beta-5=- alpha beta-1]이므로

[eqn: alpha beta+ alpha+ beta+1=5], [eqn: (alpha+1)( beta+1) = 5]

따라서 조건을 만족하는 두 정수의 순서쌍

[eqn: ( alpha +1,~ beta +1)]는 [eqn: (1,~5), ~``(5,~ 1), ~``(-1,~-5),~ (-5,~-1)]이다.

각 경우의 [eqn: (alpha,~beta``)]의 값은 각각

[eqn: (0,~4),~ (4, ~``0),~(-2,~-6),~(-6,~``-2)``]이다.

이 때, [eqn: m]의 값은 [eqn: -1]과 [eqn: -13]이다.

그러므로 구하는 [eqn: m]의 값의 곱은 [eqn: 13]이다.

27. [출제의도] 나머지정리를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f(x)]를 [eqn: (x+1)(x-2)]로 나눌 때의 몫을 [eqn: Q(x)] 라 하면

[eqn: f(x)`=(x+1)(x-2)Q(x)`+2x-15]

[eqn: x`f`left(`1over2 x `right )]를 [eqn: x+2] 로 나눈 나머지는 나머지 정리에 의해 [eqn: x`f`left(`1over2 x `right )] 에 [eqn: x=`-2] 를 대입한 값과 같다.

따라서 구하는 나머지는

[eqn: -2`f(-1)`= -2 times( -17)`=34] 이다.

[다른 풀이]

[eqn: f(x) = (x+1) (x-2) Q(x) +2x-15] 이므로

[eqn: x f left( 1 over 2 x right)][eqn: = x left{ left( 1 over 2 x +1 right) left( 1 over 2 x - 2 right) Q left( 1 over 2 x right) + 2․ 1 over 2 x - 15 right}]

[eqn: = 1 over 4 x (x+2) (x-4) Q left( 1 over 2 x right) + x^2 -15x]

따라서 [eqn: x+2]로 나눈 나머지는

[eqn: -2f(-1)=(-2) ^{2} -15(-2)=34]

28. [출제의도] 분수함수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

두 분수함수 [eqn: y= ax+1 over 2x-6 ``], [eqn: y= bx+1 over 2x+6 ``]의 그래프가 직선 [eqn: y=x``]에 대하여 대칭이면 두 함수는 서로 역함수이다.

[eqn: y= ax+1 over 2x-6`]에서 [eqn: x,~y]를 서로 바꾸면 [eqn: x= ay+1 over 2y-6`]

이를 정리하면

[eqn: x(2y-6)=ay+1`], [eqn: (2x-a)y=6x+1`]

∴ [eqn: y= 6x+1 over 2x-a`]

따라서 [eqn: y = ax+1 over 2x-6 ``]의 역함수는 [eqn: y= 6x+1 over 2x-a`]이다.

이 때,  [eqn: y= bx+1 over 2x+6 ``][eqn: = 6x+1 over 2x-a`]이어야 하므로

[eqn: a=-6,~b=6`]

∴ [eqn: b-a = 12 `]

[다른 풀이]

두 분수함수의 그래프가 직선 [eqn: y=x``]에 대하여 대칭이면 점근선의 교점도 직선 [eqn: y=x``]에 대하여 대칭이다.

[eqn: y = ax+1 over 2x-6 ``]의 점근선은 [eqn: x=3,~y= a over2 `]이므로

점근선의 교점의 좌표는 [eqn: left( 3,~ a over2 right) `]이다.

[eqn: y= bx+1 over 2x+6 ``]의 점근선은 [eqn: x=-3,~y= b over 2 `]이므로

점근선의 교점의 좌표는 [eqn: left( -3,~ b over 2 right) `]이다.

이 때, 두 점 [eqn: left( 3,~ a over2 right) `], [eqn: left( -3,~ b over 2 right) `]가 직선 [eqn: y=x``]에 대하여 대칭이려면 [eqn: 3 = b over 2 ,~ a over 2 = -3 `]이어야 한다.

∴ [eqn: a=-6,~b=6 `]

∴ [eqn: b-a = 12 `]

29. [출제의도] 연립방정식을 이용하여 실생활의 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

학생 [eqn: rm A,``B,``C,``D] 가 생각한 수를 각각 [eqn: a,``b,``c,``d]라 하면

[eqn: a+b+c over3`=110], [eqn: b+c+d over3`=130],

[eqn: c+d+a over3`=160], [eqn: d+a+b over3`=100]

위 식을 각 변끼리 모두 더하여 정리하면

[eqn: a+b+c+d`=500], [eqn: a+b+c`=330] 이므로

[eqn: d=170]

30. [출제의도] 산술평균과 기하평균의 관계를 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

물이 흐르는 단면 중 한쪽 직사각형의 가로의 길이를 [eqn: x``rmcm``], 세로의 길이를 [eqn: y``rmcm``]라고 하면

[eqn: 4 ` rm cm]

[eqn: y]

[eqn: y]

[eqn: y]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: x]

[eqn: 2x+4y+4=100`]에서 [eqn: 2x+4y=96`]

[eqn: x＞0], [eqn: y＞0`]이므로 (산술평균) ≧ (기하평균)에서

[eqn: 2x+4y over 2 ≧ root { 2x․4y } = 2 root2 root xy`]

∴ [eqn: root xy ≦ 1 over {2root2} ․ 96 over 2`]

이 때, [eqn: xy <= {24 ^{2}} over {2}]이므로 [eqn: 2xy <= 24 ^{2}= 576]

따라서 구하는 두 직사각형의 넓이의 합 [eqn: 2xy`]의 최대값은 [eqn: 576`]이다.