로그인/회원가입 필요 없는 무료 학습자료 사이트

레전드스터디 닷컴!

http://enjoiyourlife.com

2018학년도 대학수학능력시험 대비

2017학년도 3월 고3 전국연합학력평가 정답 및 해설

• 수학 영역 •

로그인/회원가입 필요 없는 무료 학습자료 사이트

레전드스터디 닷컴!

http://LegendStudy.com

수학 ‘가’형 정답

1	③	2	⑤	3	②	4	④	5	④
6	⑤	7	①	8	②	9	②	10	⑤
11	①	12	③	13	②	14	①	15	②
16	④	17	①	18	③	19	⑤	20	③
21	④	22	[eqn: 3]	23	[eqn: 20]	24	[eqn: 60]	25	[eqn: 27]
26	[eqn: 6]	27	[eqn: 8]	28	[eqn: 24]	29	[eqn: 528]	30	[eqn: 90]

해 설

1. [출제의도] [eqn: pi + theta`]꼴의 삼각함수의 값을 계산한다.

[eqn: sin 7 over 6 pi`][eqn: = sin left( pi + pi over 6 right )`][eqn: =it- sin pi over 6 `][eqn: = it - 1 over 2]

2. [출제의도] 조합의 수를 계산한다.

[eqn: {}_{ 6`} rm C _{it 3 rm} = {6!} over {3!3!} = {6 TIMES 5 TIMES 4} over {3!} =20]

3. [출제의도] 합성함수의 미분법을 이용하여 미분계수를 계산한다.

[eqn: f``'(x)=2xe ^{x ^{2} -1} `]이므로 [eqn: f``'(1) = 2]

4. [출제의도] 정적분의 치환적분법을 이용하여 정적분의 값을 계산한다.

[eqn: ln` x=t`]로 놓고 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: 1overx = dt over dx]

[eqn: x=1`]이면 [eqn: t=0`]이고, [eqn: x= e^2`]이면 [eqn: t=2`]

따라서 [eqn: int _{1} ^{e ^{2}} {} {(lnx) ^{3}} over {x} `dx= int _{0} ^{2} {} t ^{3} `dt= LEFT [ {1} over {4} t ^{4} RIGHT ] _{0}^{2} =4]

5. [출제의도] 지수함수의 그래프를 이해하고 역함수를 이용하여 지수함수의 밑을 구한다.

곡선 [eqn: y=`a ^{`x}`]을 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동한 곡선은 [eqn: y= log_{`a} `x`]이고 이 곡선이 점 [eqn: (2,``3)`]을 지나므로 [eqn: x=2`], [eqn: y=3`]을 대입하면 [eqn: 3= log _{`a}`2`]

따라서 [eqn: a= root {3} of {2`}]

[다른 풀이]

직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동한 곡선은 [eqn: y= a^{`x}`]의 역함수의 그래프이므로 지수함수 [eqn: y= a^{`x}`]에 [eqn: x=3`], [eqn: y=2`]를 대입하면 등식이 성립한다.

따라서 [eqn: 2= a^{3} `]에서 [eqn: a= root 3 of 2`]

6. [출제의도] 삼각함수의 그래프를 이해하고 미지수의 값을 구한다.

함수 [eqn: y=a sin pi over 2b x`]의 그래프는 [eqn: y= sin pi over 2b x`]의 그래프를 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: a`]배한 것이고 [eqn: a>0`]이므로 최댓값은 [eqn: a`]이고 최솟값은 [eqn: -a`]이다.

그런데 함수 [eqn: y=a sin pi over 2b x`]의 최댓값이 [eqn: 2`]이므로 [eqn: a=2]

또한 [eqn: a sin pi over 2b x][eqn: =a sin left ( pi over 2b x + 2pi right)][eqn: =a sin pi over 2b ( x + 4b)]이므로

함수 [eqn: y=a sin pi over 2b x`]의 주기가 [eqn: 4b`]이다.

그러므로 [eqn: 4b = 2], [eqn: b= 1 over 2]

따라서 [eqn: a+b][eqn: =2 + 1 over 2][eqn: = 5 over 2]

7. [출제의도] 로그함수의 그래프를 이해하여 두 로그함수의 그래프가 만나는 점을 구한다.

두 곡선 [eqn: y=log _{`2} `x], [eqn: y=log_{`2} `(2^n -x)`]의 만나는 점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: log _{`2} `x = log_{`2} `(2^{`n} -x)`]에서 [eqn: x=2^n -x`]

즉, [eqn: x= 2^{`n-1}`]이므로 [eqn: a _{`n} =2 ^{`n-1}`]

따라서 [eqn: sum_n=1 ^5 a_{`n}][eqn: =sum _{n=1} ^{5} 2 ^{`n-1}]
[eqn: =1+2+4+8+16][eqn: =31]

8. [출제의도] 변곡점을 이해하여 접선의 기울기를 구한다.

[eqn: y= LEFT ( ln`x RIGHT )^{`2} -x+1`]에서

[eqn: y``'= {2`ln`x} over {x} -1``]

[eqn: y`` '' = {2-2`ln`x} over {x ^{`2}}]

[eqn: 2- 2`ln `x =0`]에서 [eqn: x=e`]이고

[eqn: x=e`]의 좌우에서 [eqn: y`` ''`]의 부호가 바뀌므로

곡선 [eqn: y= LEFT ( ln`x RIGHT )^{`2} -x+1`]은 [eqn: x=e`]에서 변곡점 [eqn: (e,``2-e)`]를 갖는다.

따라서 변곡점에서의 접선의 기울기는

[eqn: {2`ln`e} over {e} -1= {2} over {e} -1]

9. [출제의도] 정적분의 치환적분법을 이해하여 곡선과 [eqn: bold x`]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구한다.

[eqn: 0`le`x`le`piover2`]에서 [eqn: sin ^{`2} x`cos`x=0`]의 해를 구하면

[eqn: x=0] 또는 [eqn: x={pi } over {2}]

[eqn: 0`le`x`le`piover2`]일 때 [eqn: sin ^{`2} x`cos`x GEQ 0`]이므로 구하는 넓이는 [eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} |`{sin ^{2} x`cos`x} `|`dx][eqn: = int _{0} ^{{pi } over {2}} {sin ^{2} x`cos`x} `dx]

[eqn: sin`x=t`]로 놓고 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: cos`x= {dt} over {dx}]

[eqn: x=0`]이면 [eqn: t=0`]이고, [eqn: x= {pi } over {2} `]이면 [eqn: t=1`]

따라서 [eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {sin ^{2} x`cosx} `dx][eqn: = int _{0} ^{1} {} t ^{2} `dt]
[eqn: = LEFT [ {1} over {3} t ^{3} ` RIGHT ] _{0}^{1}]
[eqn: = {1} over {3}]

10. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이해하고 도형의 성질을 이용하여 삼각함수의 값을 구한다.

[eqn: sin ` alpha = {4} over {5} `], [eqn: sin ^{2}`alpha+cos ^{2} ` alpha =1`]이고

[eqn: 0< alpha < pi over 2`]이므로 [eqn: cos `alpha= {3} over {5} `]

삼각형 [eqn: rm ROQ`]에 대하여

[eqn: rm {bar{OR}} =root2`], [eqn: rm {bar{OQ}} =1], [eqn: rm ANGLE OQR= it {pi } over {2} `]이므로 [eqn: beta= it {pi } over {4} `]

그러므로 [eqn: sin` beta = root2 over 2], [eqn: cos` beta = root2 over 2]

따라서 [eqn: cos( alpha + beta)][eqn: = cos `alpha`cos`beta - sin`alpha` sin`beta]
[eqn: = 3 over 5 times root2 over 2 - 4 over 5 times root2 over 2]
[eqn: = it - root2 over 10]

11. [출제의도] 로그함수의 그래프의 성질을 이해하여 선분의 길이를 구한다.

[eqn: y=log _{`a} `x], [eqn: y= log_{`b} `x`]와 직선 [eqn: y=1`]이 만나는 두 점의 [eqn: x`]좌표를 각각 구하면

[eqn: log_{`a}`x=1]에서 [eqn: x=a`], [eqn: log_{`b}`x=1]에서 [eqn: x=b`]

두 점 [eqn: rm A it rm _{1} `], [eqn: rm B it rm _{1} `]의 좌표는 각각 [eqn: (a,``1)`], [eqn: (b,``1)`]

[eqn: y= log_{`a}`x`], [eqn: y= log_{`b} `x`]와 직선 [eqn: y=2`]가 만나는 두 점의 [eqn: x`]좌표를 각각 구하면

[eqn: log_{`a}`x=2`]에서 [eqn: x=a^{`2}], [eqn: log_{`b}`x=2`]에서 [eqn: x=b^{`2}`]

두 점 [eqn: rm A it rm _{2} `], [eqn: rm B it rm _{2} `]의 좌표는 각각 [eqn: left(a ^{`2} ,``2right)`], [eqn: left(b ^{`2} ,``2right)`]

[eqn: bar{{\A}_1{\B}_1} = 1][eqn: = b-a`]

선분 [eqn: {\A}_1{\B}_1}]의 중점의 좌표가 [eqn: (2,``1)`]이므로

[eqn: {a+b} over {2} =2], [eqn: a+b =4]

따라서 [eqn: {bar{rm A it _{2} rm B it _{2}}} =b ^{`2} -a ^{`2}][eqn: =(b-a)(b+a)][eqn: =1times4=4`]

12. [출제의도] 조합의 성질을 이해하여 조건을 만족시키는 조합의 수를 구한다.

(ⅰ) [eqn: a=5`]일 때
[eqn: c<b<5`]이므로 [eqn: 1`]부터 [eqn: 4`]까지의 자연수 중 [eqn: 2`]개를 뽑아 큰 수를 [eqn: b`], 작은 수를 [eqn: c`]라 하는 경우의 수는 [eqn: {}_4 `{\C}_{2}][eqn: =6]

(ⅱ) [eqn: a=6`]일 때,
[eqn: c<b<6`]이므로 [eqn: 1`]부터 [eqn: 5`]까지의 자연수 중 [eqn: 2`]개를 뽑아 큰 수를 [eqn: b`], 작은 수를 [eqn: c`]라 하는 경우의 수는 [eqn: {}_5 `{\C}_{2}][eqn: =10]

따라서 조건을 만족시키는 모든 자연수의 개수는

[eqn: 6+10 =16]

13. [출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여 로그함수의 극한에 관한 문제를 해결한다.

[eqn: \A it (t,``ln`t)`], [eqn: \B it (t,``-ln`t)`]이므로 [eqn: {bar{rm AB it}} =2`ln`t`]

선분 [eqn: rm PQ}}]의 길이가 [eqn: f`(t)]이고 삼각형 [eqn: \AQB`]의 넓이가 [eqn: 1`]이므로 [eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rm AB }} TIMES {bar{rm PQ it}} =1`]에서 [eqn: {1} over {2} TIMES 2`ln`t TIMES f`(t)=1`]

즉, [eqn: f(t) = 1 over { ln`t}]

[eqn: t-1=s`]로 놓으면 [eqn: t = s+1]이고

[eqn: t`->`1+`]일 때 [eqn: s`->`0+`]

[eqn: lim _{t` -> `1+} ` LEFT { (t-1) f(t) RIGHT }][eqn: = lim _{t` -> `1+} ` {t-1} over {ln`t}]
[eqn: = lim _ {s`->` 0+} s over ln(s+1)]
[eqn: =1]

14. [출제의도] 극댓값과 극솟값의 정의를 이해하여 조건을 만족시키는 미지수의 값을 구한다.

[eqn: a=it-1`]일 때 구간 [eqn: LEFT [`0,``2 RIGHT ) `]에서 [eqn: f(x)=x+1`]이므로

[eqn: x=0`]에서 극댓값을 갖지 않는다.

이것은 모순이므로 [eqn: a!=it-1]

구간 [eqn: [`0,``2)`]에서 [eqn: f(x)`]가 극솟값을 갖도록 하는 [eqn: a`]의 값의 범위를 구하면

[eqn: f(x)= {(x-a) ^{`2}} over {x+1} `]에서 [eqn: f`` prime (x)= {(x-a)(x+2+a)} over {(x+1) ^{`2}} `]

[eqn: f``'(x)=0`]에서 [eqn: x= a] 또는 [eqn: x= it-a-2]

(ⅰ) [eqn: a<it-a-2`]일 때
[eqn: a<it-a-2`]에서 [eqn: a < it-1]이고,
[eqn: x=it-a-2`]의 좌우에서 [eqn: f``'(x)`]의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 [eqn: x=it-a-2`]에서 [eqn: f(x)`]는 극솟값을 갖는다. 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 극댓값을 가지므로 구간 [eqn: (0,``2)`]에서 극솟값을 갖는다.
즉 [eqn: 0<it-a-2<2`], [eqn: -4<a<it-2]
[eqn: a`]는 정수이므로 [eqn: a= it -3]

(ⅱ) [eqn: a>it-a-2`]일 때
[eqn: a>it-a-2`]에서 [eqn: a > it-1]이고,
[eqn: x=a`]의 좌우에서 [eqn: f``'(x)`]의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 [eqn: x=a`]에서 [eqn: f(x)`]는 극솟값을 갖는다. 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 극댓값을 가지므로 구간 [eqn: (0,``2)`]에서 극솟값을 갖는다.
즉 [eqn: 0<a<2`]
[eqn: a`]는 정수이므로 [eqn: a= 1`]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해서 조건을 만족하는 정수 [eqn: a`]의 값은 [eqn: -3] 또는 [eqn: 1]

따라서 모든 정수 [eqn: a`]의 값의 곱은 [eqn: (-3)times1= it-3`]

[보충 설명]

(ⅰ) [eqn: a= it -3`]일 때, 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프를 그려 보면 다음과 같이 [eqn: x=0`]에서 극댓값을 갖는다.

(ⅱ) [eqn: a= 1`]일 때, 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프를 그려 보면 다음과 같이 [eqn: x=0`]에서 극댓값을 갖는다.

15. [출제의도] 순열의 성질과 원순열이 활용된 실생활 문제를 해결한다.

여학생 [eqn: 3`]명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는
[eqn: (3-1)! =2!]

각 경우에 대하여 여학생과 여학생 사이 세 곳에 앉는 남학생의 수는 모두 달라야 하므로 각각 [eqn: 1`]명, [eqn: 2`]명, [eqn: 3`]명이고 이를 정하는 경우의 수는 [eqn: 3!]

남학생을 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: 6!]

그러므로 구하는 경우의 수는

[eqn: 2! times 3! times 6!][eqn: =12 times 6!]

따라서 [eqn: n= 12]

[다른 풀이]

여학생 [eqn: 3`]명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는
[eqn: (3-1)! =2!]

각 경우에 대하여 여학생과 여학생 사이 세 곳에 앉는 남학생의 수는 모두 다르므로 남학생 [eqn: 6`]명이 [eqn: 3`]명, [eqn: 2`]명, [eqn: 1`]명의 세 조로 나뉘어 여학생과 여학생 사이에 앉아야 한다.

이와 같이 남학생을 세 조로 나누는 경우의 수는

[eqn: rm _{6} rm C _{3} TIMES _{3} C _{2} TIMES _{1} C _{1} = {6!} over {3!`2!}]

각 경우에 대하여 세 조를 여학생과 여학생 사이의 세 곳에 배열하는 경우의 수는 [eqn: 3!]

각 경우에 대하여 남학생끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 [eqn: 3! TIMES 2! TIMES 1!]

이므로 구하는 경우의 수는

[eqn: 2! TIMES {6!} over {3!2!} TIMES 3! TIMES 3! TIMES 2! TIMES 1!`=12 TIMES 6!]

따라서 [eqn: n=12`]

16. [출제의도] 부분적분법을 이용하여 일반적인 함수의 정적분의 값을 추론한다.

[eqn: int _{-1} ^{x} {f(t)`dt=F(x)} `]이므로 [eqn: F`` prime (x)=f(x)], [eqn: F`(-1)=0]

[eqn: int _{0} ^{1} {xf(x)`dx= int _{0} ^{-1} {xf(x)`dx}} `]이므로

[eqn: int _{0} ^{1} {xf(x)`dx- int _{0} ^{-1} {xf(x)`dx} =0} `]

[eqn: int _{0} ^{1} {xf(x)`dx+ int _{-1} ^{0} {xf(x)`dx} =0} `]

[eqn: int _{-1} ^{1} {xf(x)`dx=0} `]

정적분의 부분적분법에 의하여,

[eqn: int _{-1} ^{1} {} F(x)`dx][eqn: = LEFT [ pile{`#`} xF(x) RIGHT ] _{-1}^{1} - int _{-1} ^{1} {} xf(x)`dx]
[eqn: =F(1)+F(-1)-0]
[eqn: =F(1)+0]
[eqn: = int _{-1} ^{1} {} f(x)`dx][eqn: =12]

17. [출제의도] 도형의 성질과 삼각함수의 극한을 이용하여 문제를 해결한다.

[eqn: angle {\BOQ} =theta`], [eqn: bar {\OB} =1`]이고 [eqn: angle {\OQB} = pi over2`]이므로 [eqn: bar{\BQ} = sin` theta`]

또, [eqn: angle {\RQB}][eqn: = pi over 2 - angle {\QBR}][eqn: = pi over 2 - left( pi over 2 - theta` right)][eqn: =theta`], [eqn: bar{\BQ} = sin` theta`]이고 [eqn: angle {\BRQ} = pi over2`]이므로

[eqn: bar{\BR} = sin^{2} ` theta`], [eqn: bar{\RQ} = sin ` theta`cos`theta`]

삼각형 [eqn: \BRQ]의 넓이는

[eqn: 1 over 2 timesBAR{\BR} times bar{\RQ}][eqn: = 1 over 2 times{\sin} ^2`thetatimessin `theta`cos`theta] [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

삼각형 [eqn: \BRQ]에 내접하는 원의 성질을 이용하여 삼각형의 넓이를 구하면

[eqn: 1 over 2 timesr(theta) timesleft( sin`theta + sin`theta`cos`theta + sin^2`theta right)] [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

㉠, ㉡에 의해서

[eqn: r(theta) = {sin^2 `theta`cos`theta} over {1+sin`theta+cos`theta}]

따라서

[eqn: lim _{theta`-> ` 0+} {r(theta)} over{ theta^{`2} }`][eqn: =lim _{theta`-> ` 0+} {sin^2 `theta`cos`theta} over {theta^{`2} (1+sin`theta+cos`theta)}]
[eqn: =lim _{theta`-> ` 0+} {sin^2`theta} over {theta^{`2}}times lim _{theta`-> ` 0+} {cos`theta} over {1+sin`theta+cos`theta}]
[eqn: =1times 1 over 2]
[eqn: = 1 over2]

18. [출제의도] 합성함수의 미분법을 이용하여 그래프와 직선이 만나는 점의 개수를 추론한다.

[eqn: f(x) = x^{`2} e^{`-x +2}`]에서

[eqn: f ``prime (x)=(-x ^{2} +2x)e ^{-x+2}`]

[eqn: f``prime`(x)=0`]에서 [eqn: x=0`] 또는 [eqn: x=2]

[eqn: y=(f CIRC f )(x)`]에서 [eqn: `dy over dx =f ``prime (f(x))f ``prime (x)`]

[eqn: dy over dx =0]인 [eqn: x]의 값을 구하면

(ⅰ) [eqn: f``prime(x)=0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]

(ⅱ) [eqn: f`` prime (f(x))=0]에서
[eqn: f(x)=0`]일 때, [eqn: x=0`]
[eqn: f(x)=2`]일 때,
[eqn: x=alpha] 또는 [eqn: x=beta] 또는 [eqn: x=gamma] ([eqn: alpha < beta < gamma])로 놓으면 함수 [eqn: y=(f CIRC f )(x)`]의 증가와 감소를 나타낸 표는 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: beta]	[eqn: cdots]	[eqn: 2]	[eqn: cdots]	[eqn: gamma]	[eqn: cdots]
[eqn: f``'(x)]	-	-	-	[eqn: 0]	+	+	+	[eqn: 0]	-	-	-
[eqn: f``'(f(x))]	-	[eqn: 0]	+	[eqn: 0]	+	[eqn: 0]	-	[eqn: 0]	-	[eqn: 0]	+
[eqn: dy over dx]	+	[eqn: 0]	-	[eqn: 0]	+	[eqn: 0]	-	[eqn: 0]	+	[eqn: 0]	-
[eqn: y]	↗	[eqn: 4]	↘	[eqn: 0]	↗	[eqn: 4]	↘	[eqn: 16 over e^{`2}]	↗	[eqn: 4]	↘

위의 표를 이용하여 함수 [eqn: y=(f CIRC f )(x)`]의 그래프를 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 [eqn: y=(f CIRC f )(x)`]의 그래프와 직선 [eqn: y= 15 over e^{`2}]가 만나는 점의 개수는 [eqn: 4`]이다.

19. [출제의도] 정적분을 활용하여 입체도형의 부피 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: y=e ^{x}`]의 역함수는 [eqn: y=ln`x`]이므로

점 [eqn: (0,``1)`]은 점 [eqn: (1,``0)`]으로, 점 [eqn: (0,``e)`]는 점 [eqn: (e,``0)`]으로 이동한다.

그런데 [eqn: x=t`]([eqn: 1 le t le e])일 때 정삼각형의 한 변의 길이는 [eqn: ln`t`]이므로 정삼각형의 넓이를 [eqn: S`(t)`]라 하면

[eqn: S`(t)][eqn: =root3 over 4 times ( ln`t )^2]

따라서 구하는 부피는

[eqn: int _{1} ^{e} S`(t) `dt`][eqn: ={sqrt {3}} over {4} int _{1} ^{e} {(ln`t) ^{2}} `dt`][eqn: = {sqrt {3}} over {4} LEFT { LEFT [ pile{`#`}t( rm ln it `t)^{`2} RIGHT ] _{1}^{e} - int _{1} ^{e} t left( 2 times 1 over t times {ln`t}right) `dt RIGHT }][eqn: = {sqrt {3}} over {4} LEFT { LEFT [ pile{`#`}t( rm ln it `t)^{`2} RIGHT ] _{1}^{e} - 2int _{1} ^{e} {ln`t} `dt RIGHT }][eqn: = {sqrt {3}} over {4} LEFT { LEFT [ pile{`#`} t( rm ln it `t) ^{`2} RIGHT ] _{1}^{e} -2 LEFT [ pile{`#`} t` rm ln it `t-t RIGHT ] _{1}^{e} RIGHT }]
[eqn: = {sqrt {3}} over {4} (e-2)]

[다른 풀이]

[eqn: int ln`x `dx`= x lnx -x+C``](단, [eqn: C``]는 적분상수)이므로

[eqn: int _{1} ^{e} S`(t) `dt`][eqn: ={sqrt {3}} over {4} int _{1} ^{e} {(ln`t) ^{2}} `dt`]
[eqn: = {sqrt {3}} over {4} LEFT { LEFT [ pile{`#`} rm ln it `t`(t`ln`t`-t) RIGHT ] _{1}^{e} - int _{1} ^{e} {(ln`t-1)} `dt RIGHT }][eqn: = {sqrt {3}} over {4} LEFT { LEFT [ pile{`#`} rm ln it `t`(t`ln`t`-t) RIGHT ] _{1}^{e} - LEFT [ pile{`#`} t` rm ln it `t-2t RIGHT ] _{1}^{e} RIGHT }][eqn: = {sqrt {3}} over {4} (e-2)]

[다른 풀이]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x} `]의 역함수를 [eqn: f ^{`-1} LEFT ( x RIGHT ) `]라 하고, 입체도형의 부피를 [eqn: V`]라 하면

[eqn: V= int _{1} ^{e} {{sqrt {3}} over {4} LEFT { f ^{`-1} LEFT ( y RIGHT ) RIGHT } ^{2}} `dy`]

이다. [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]에서 [eqn: f ^{`-1} LEFT ( y RIGHT ) =x`]이고 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면 [eqn: {dy} over {dx} =f`` prime LEFT ( x RIGHT )=e ^{x} `]이므로

[eqn: V][eqn: = {sqrt {3}} over {4} int _{0} ^{1} {} x ^{2} f`` prime LEFT ( x RIGHT ) `dx]
[eqn: = {sqrt {3}} over {4} int _{0} ^{1} {} x ^{2} e ^{x} dx]
[eqn: = {sqrt {3}} over {4} LEFT { LEFT [ pile{`#`}x ^{2} `e ^{x} RIGHT ] _{0}^{1} -2 int _{0} ^{1} {x`e ^{x} `dx} RIGHT }]
[eqn: = {sqrt {3}} over {4} LEFT { LEFT [ pile{`#`} x ^{2} e ^{x} RIGHT ] _{0}^{1} -2 LEFT ( LEFT [ pile{`#`} xe ^{x} RIGHT ] _{0}^{1} - int _{0} ^{1} {e ^{x}} ``dx RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: = {sqrt {3}} over {4} LEFT { LEFT [ pile{`#`} x ^{2} e ^{x} RIGHT ] _{0}^{1} -2 LEFT ( LEFT [pile{`#`} xe ^{x} RIGHT ] _{0}^{1} - LEFT [ pile{`#`} e ^{x} RIGHT ] _{0}^{1} RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: = {sqrt {3}} over {4} `(e-2)]

20. [출제의도] 중복조합에 관한 증명 문제를 해결한다.

(ⅰ) [eqn: k=0`]일 때
둘째 줄에 있는 [eqn: n`]개의 타일 중에서 검은색으로 칠할 타일 [eqn: 3`]개를 고르는 경우의 수는 다음과 같다.
검은색으로 칠할 타일 사이에는 검은색으로 칠하지 않을 타일이 각각 [eqn: 1`]개 이상씩 있어야 한다.
즉, 검은색으로 칠하지 않을 타일이 있을 수 있는 곳은 많아야 [eqn: 4`]곳이므로 타일의 개수를 결정하는 경우의 수는 [eqn: box{`{}_{4}` {\H} _{`n-5}`}]이다.

(ⅱ) [eqn: k=1`]일 때
둘째 줄에 있는 [eqn: n`]개의 타일 중에서 검은색으로 칠할 타일 [eqn: 2`]개를 고르는 경우의 수는 [eqn: `_3 {\H}_n-3`]이다.
첫째 줄에서 검은색으로 칠할 타일 [eqn: 1`]개를 고르는 경우의 수는 둘째 줄에서 검은색으로 칠할 타일의 바로 위쪽에 있는 타일을 제외한 나머지 [eqn: n-2`]개의 타일 중 [eqn: 1`]개의 타일을 고르는 경우의 수와 같으므로 [eqn: box{`{}_{n-2`} {\C} _{`1}`}]이다. 그러므로 검은색으로 칠할 타일 [eqn: 3`]개를 고르는 경우의 수는
[eqn: `_3 {\H}_n-3 times][eqn: box{`{}_{n-2`} {\C} _{`1}`}]이다.

(가)에 알맞은 식은 [eqn: {}_{4`} {\H} _{`n-5}`]이므로 [eqn: f(n)={}_{4}` {\H} _{`n-5}]

(나)에 알맞은 식은 [eqn: {}_{n-2`} {\C} _{`1}`]이므로 [eqn: g(n)={}_{n-2`} {\C} _{`1}]

따라서 [eqn: f(10)+g(8)][eqn: = {}_{4}` {\H} _{`5}`times`{}_{6`} {\C}_{1}][eqn: =56+6][eqn: =62]

21. [출제의도] 정적분의 적분법을 이용하여 정적분의 값을 추론한다.

ㄱ. (가)의 [eqn: F`(x) = f(x) -x`]를 (나)의 [eqn: F`(x)`]에 대입하면

[eqn: int_0 ^1 F`(x)` dx][eqn: = int_0 ^1 left{ f(x)-x right}` dx]
[eqn: = int_0 ^1 f(x)` dx- int_0 ^1 x` dx]
[eqn: =int _0 ^1 f(x)`dx - 1 over 2`]
[eqn: =F`(1) - 1 over 2`]

이므로 [eqn: F`(1) = e- 5 over 2 + 1 over 2][eqn: = e-2`] (거짓)

ㄴ. (가)의 [eqn: F`(x) = f(x) -x`]를 [eqn: int_0 ^1 xF`(x) dx]의 [eqn: F`(x)`]에 대입하면

[eqn: int_0 ^1 xF`(x) dx][eqn: =int_0 ^1 x left { f(x) -x right}` dx]
[eqn: =int _0 ^1 left { xf(x) - x^2 right} `dx`]
[eqn: =int _0 ^1 xf(x)`dx -int _0 ^1 x^2 `dx`][eqn: = left[ pile {`#`} xF`(x) right ] _0^1 - int _0 ^1 F`(x)` dx - 1 over 3]
[eqn: =F`(1) - left ( e - 5 over 2 right) - 1 over 3]
[eqn: = e-2 -e + 5 over 2 - 1 over 3][eqn: = 1 over 6] (참)

ㄷ. [eqn: F` LEFT ( 0 RIGHT ) = int _{0} ^{0} {f LEFT ( t RIGHT )} `dt`][eqn: =0`]이고, [eqn: F` LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT )} `dt`]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면 [eqn: F ``` prime LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) `]
(가)에 의해서

[eqn: int _0 ^1 left{F`(x)right}^2` dx][eqn: =int _0 ^1 F`(x) left { f(x) - x right} ` dx]
[eqn: =int _0 ^1 F`(x) f(x)`dx - int _0 ^1 x F`(x) ` dx][eqn: =int _0 ^1 F`(x) F``'(x)`dx - int _0 ^1 x F`(x) ` dx]
[eqn: =][eqn: left[ 1 over 2 left{F`(x) right}^{`2} right] _0 ^1 - 1 over 6]
[eqn: = 1 over 2 left{F`(1) right} ^{`2}- 1 over 2 left{F`(0) right} ^{`2} - 1 over 6]
[eqn: = 1 over 2 (e-2)^{`2} - 1 over 6]
[eqn: = 1 over 2 e^{`2} - 2e + 11 over 6] (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

[다른 풀이]

[eqn: F` LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT )} `dt`]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: F ``` prime LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) `]

조건 (가)의 [eqn: F` LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) -x`]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 두 번 미분하면 [eqn: f``'(x) = f``''(x)`]

[eqn: {f``''(x) }over {f``'(x)} =1]이므로 양변을 [eqn: x`]에 대하여 적분하면

[eqn: ln|` f``'(x)`| = x +C_{`1} `](단, [eqn: C_{`1}`]는 적분상수)

[eqn: ` f``'(x) = C_{`2}` e^{`x}](단, [eqn: C_{`2}`]는 상수)이므로 양변을 [eqn: x`]에 대하여 적분하면 [eqn: f(x) = C_{`2} e^{`x} + C_{`3}](단, [eqn: C_{`3}`]은 적분상수)

[eqn: 0=F`(0) = f(0) -0], [eqn: f(0)=0]

[eqn: f`(x) = f``'(x)-1]이므로 [eqn: f``'(0) =1`]

[eqn: ` f``'(x) = C_{`2}` e^{`x}], [eqn: f(x) = C_{`2} e^{`x} + C_{`3}]에 [eqn: x=0`]을 대입하면

[eqn: ` f``'(0) = C_{`2}=1], [eqn: f(0) = C_{`2} + C_{`3} =0], [eqn: C_{`3}= it -1]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{`x} -1]

이를 조건 (가)에 대입하면

[eqn: F` LEFT ( x RIGHT ) =e ^{`x} -x-1`]

[eqn: int _{0} ^{1} {F` LEFT ( x RIGHT )} `dx][eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT ( e ^{`x} -x-1 RIGHT )} `dx]
[eqn: = LEFT [ e ^{`x} - {1} over {2} x ^{`2} -x RIGHT ] _{0}^{1}]
[eqn: = LEFT ( e-1 RIGHT ) - {`1} over {2} -1]
[eqn: =e- {5} over {2}`]

이므로 함수 [eqn: F` LEFT ( x RIGHT ) =e ^{`x} -x-1`]은 조건 (나)를 만족시킨다.

ㄱ. [eqn: F` LEFT ( 1 RIGHT ) =e ^{`1} -1-1=e-2`] (거짓)

ㄴ. [eqn: int _{0} ^{1} {x`F` LEFT ( x RIGHT )} `dx][eqn: = int _{0} ^{1} {x` LEFT ( e ^{`x} -x-1 RIGHT )} `dx`]
[eqn: = int _{0} ^{1} {x`e ^{`x}} `dx- int _{0} ^{1} {x ^{`2}} `dx- int _{0} ^{1} {x} `dx]
[eqn: = LEFT [ pile{`#`} x`e ^{`x} RIGHT ] _{0}^{1} - int _{0} ^{1} {e ^{`x}} `dx- LEFT [ {1} over {3} x ^{`3} RIGHT ] _{0}^{1} - LEFT [ {1} over {2} x ^{`2} RIGHT ] _{0}^{1}]
[eqn: = LEFT [ pile{`#`} x`e ^{`x} RIGHT ] _{0}^{1} - LEFT [ pile{`#`} e ^{`x} RIGHT ] _{0}^{1} - LEFT [ {1} over {3} x ^{`3} RIGHT ] _{0}^{1} - LEFT [ {1} over {2} x ^{`2} RIGHT ] _{0}^{1}]
[eqn: =e- LEFT ( e-1 RIGHT ) - {1} over {3} - {1} over {2}][eqn: = {1} over {6}] (참)

ㄷ. [eqn: int _{0} ^{1} {LEFT { F` LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}} `dx][eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT ( e ^{`x} -x-1 RIGHT ) ^{2}} `dx]
[eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT { e ^{`2x} +x ^{`2} +1-2x`e ^{`x} +2x-2e ^{`x} RIGHT }} `dx][eqn: = int _{0} ^{1} {e ^{`2x}} `dx+ int _{0} ^{1} {x ^{`2}} `dx+ int _{0} ^{1} {1} `dx]	[eqn: -2 int _{0} ^{1} {x`e ^{`x}} `dx+ int _{0} ^{1} {2x} `dx-2 int _{0} ^{1} {e ^{`x}} `dx][eqn: = LEFT [ {e ^{`2x}} over {2} RIGHT ] _{0}^{1} + LEFT [ {1} over {3} x ^{`3} RIGHT ] _{0}^{1} + LEFT [ pile{`#`} x RIGHT ] _{0}^{1}][eqn: -2 LEFT [ pile{`#`} x`e ^{`x} RIGHT ] _{0}^{1} +2 LEFT [ pile{`#`} e ^{`x} RIGHT ] _{0}^{1} + LEFT [ pile{`#`} x ^{`2} RIGHT ] _{0}^{1} -2 LEFT [ pile{`#`} e ^{`x} RIGHT ] _{0}^{1} `][eqn: = {1} over {2} LEFT ( e ^{2} -1 RIGHT ) + {1} over {3} +1-2 TIMES 1+1-2 LEFT ( e-1 RIGHT )][eqn: = {1} over {2} e ^{2} -2e+ {11} over {6}] (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

22. [출제의도] 지수를 포함한 부등식의 근을 구하여 그 합을 계산한다.

[eqn: 3 ^{`x-4} le 1 over {9} `]이므로 [eqn: 3 ^{`x-4} le 3^{`-2}]

밑이 [eqn: 1`]보다 크므로

[eqn: x-4 le -2`], [eqn: x le 2]

그러므로 부등식 [eqn: 3 ^{`x-4} le 1 over {9} `]을 만족시키는 자연수 [eqn: x`]는 [eqn: 1`]과 [eqn: 2`]뿐이다.

따라서 [eqn: 1+2=3]

23. [출제의도] 삼각함수의 극한값을 이해하여 주어진 식의 극한값을 구한다.

[eqn: f( theta)][eqn: = 1-{1} over {1 + 2 sin `theta}]
[eqn: = {1 + 2sin `theta -1} over {1 + 2 sin `theta}]
[eqn: ={ 2sin `theta } over {1 + 2 sin `theta}]

이므로

[eqn: lim _{theta ` ->` 0} {} {10f( theta )} over {theta }][eqn: =10 `lim _{theta ` ->` 0} {} {{2sin` theta } over {1+2sin theta }} over {theta }]
[eqn: =10 `lim _{theta `-> `0} {2sin` theta } over {theta (1+ 2sin theta )}]
[eqn: = 10times2=20]

24. [출제의도] 역함수의 미분법을 이해하여 주어진 함수의 미분계수를 구한다.

[eqn: g(e)=a`]라 하면, [eqn: f(a)=e]

[eqn: f(a)=ae ^{a}+e =e]

그러므로 [eqn: a=0]

[eqn: f ``' (x)=(x+1)e ^{`x} `]

[eqn: f``'(0) = (0+1) e^{`0}=1`]

[eqn: g ``prime (e)= {1} over {f`` prime (g(e))} = {1} over {f ``prime (0)} = 1]

따라서 [eqn: 60g`` prime (e)=60 TIMES {1} =60]

25. [출제의도] 호도법을 이해하여 주어진 도형에서 선분의 길이를 구한다.

반원의 중심을 [eqn: \O`]라 하면 반원의 지름의 길이가 [eqn: 12`]이므로 [eqn: bar{\OB}=6]이다.

[eqn: angle {\COB} = theta`]라 하면 호 [eqn: \BC`]의 길이가 [eqn: 4 pi`]이므로

[eqn: 6 times theta =4 pi], [eqn: theta = 2 over 3 pi`]

점 [eqn: \C`]에서 선분 [eqn: \AB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: \H`]라 하면

[eqn: angle {\COH} = pi - theta][eqn: = pi over 3`]

삼각형 [eqn: \CHO`]는 직각삼각형이고 [eqn: bar{\OC}=6`]이므로

[eqn: bar{\CH} = bar{\OC} times sin pi over 3][eqn: = 6 times root3 over 2][eqn: =3root3]

따라서 [eqn: {bar {\CH}} ^{`2}=(3root{3})^{`2}=27]

26. [출제의도] 같은 것이 있는 순열의 수를 이해하여 조건을 만족시키는 값을 구한다.

네 자연수의 합이 [eqn: 6`]인 경우는 [eqn: 1+1+1+3`] 또는 [eqn: 1+1+2+2`]의 두 가지이다.

(ⅰ) [eqn: 1+1+1+3`]인 경우
[eqn: 1 times1 times1 times3 =3`]이므로 곱이 [eqn: 4`]의 배수가 아니다.

(ⅱ) [eqn: 1+1+2+2`]인 경우
[eqn: 1 times1 times2 times2 =4`]이므로 곱이 [eqn: 4`]의 배수이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의해서 조건을 만족시키는 네 자연수는 [eqn: 1`], [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 2`]이다.

따라서 가능한 순서쌍 [eqn: (a,``b,``c,``d)`]의 개수는 [eqn: {4!} over {2!2!} =6]

27. [출제의도] 지수함수 그래프의 성질을 활용하여 두 점 사이의 거리를 구하는 문제를 해결한다.

곡선 [eqn: y= 2^{`x}`]을 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동한 곡선은 [eqn: y= 2^{`-x}`]이고 곡선 [eqn: y= 2^{`-x}`]은 직선 [eqn: y= x+1`]과 점 [eqn: (0,``1)`]에서 만난다.

곡선 [eqn: y= 2^{`-x}`]을 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1 over 4`]만큼,

[eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 1 over4`]만큼 평행이동한 곡선 [eqn: y=f(x)]는 곡선 [eqn: y= 2^{`- x + 1over4} + 1 over 4`]과 일치한다. 직선 [eqn: y= x+1`]은 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1 over 4`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 1 over4`]만큼 평행이동하여도 직선 [eqn: y=x+1`]이 된다.

그러므로 곡선 [eqn: y=f(x)`]와 직선 [eqn: y= x+1`]이 만나는 점[eqn: \A`]는 [eqn: y= 2^{`-x}`]과 직선 [eqn: y= x+1`]이 만나는 점인 [eqn: (0,``1)`] 이 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1 over 4`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 1 over4`]만큼 평행이동한 점 [eqn: left ( 1 over 4 ,``5 over 4 right)`]이다.

따라서 [eqn: k= root{left( 1 over 4 right) ^2 + left( 5 over 4 -1 right) ^2}][eqn: =root2 over 4]이므로 [eqn: 1 over k^{`2} = 8]

[다른 풀이]

곡선 [eqn: y= 2^{`x}`]을 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동한 후, [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1 over 4`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 1 over4`]만큼 평행이동한 곡선은 [eqn: y=f(x)]이므로 [eqn: f(x)= 2^{`- x + 1over4} + 1 over 4`]이다.

그러므로 곡선 [eqn: y= f(x)`]와 직선 [eqn: y=x+1`]이 만나는 점의 [eqn: x`]좌표는

[eqn: x+1= 2^{`- x + 1over4} + 1 over 4`]

[eqn: 2^{`-x+ 1 over 4} = x+ 3 over 4]에서 [eqn: x= 1 over 4]

즉, 점 [eqn: \A`]의 좌표는 [eqn: left( 1 over 4 ,``5 over 4 right)`]이다.

따라서 [eqn: k= root{left( 1 over 4 right) ^2 + left( 5 over 4 -1 right) ^2}][eqn: =root2 over 4]이므로 [eqn: 1 over k^{`2} = 8]

28. [출제의도] 이계도함수를 활용하여 주어진 정적분 문제를 해결한다.

함수 [eqn: f(x)`]가 [eqn: f(1)<f(3)`]이고 일대일대응이므로 함수 [eqn: f(x)`]는 구간 [eqn: left[`1,``3`right]`]에서 증가한다.

그러므로 [eqn: int_1 ^3 f(x)`dx][eqn: =3 TIMES 3-1 TIMES 1- int _{1} ^{3} {} g(x)`dx]

조건 (다)에 의해서 [eqn: int _{1} ^{3} {} g(x)`dx=3`]이므로

[eqn: int_1 ^3 f(x)`dx][eqn: = 8 -3][eqn: =5]

[eqn: int_3 ^7 f(x)`dx][eqn: =int_1 ^7 f(x)`dx- int_1 ^ 3 f(x)`dx]
[eqn: = 27 - 5][eqn: =22]

조건 (나)에 의해서 함수 [eqn: f(x)`]의 그래프는 구간 [eqn: (3,``7)`]에서 위로 볼록하다. 조건 (가)에 의해서 [eqn: f(3)=3`], [eqn: f(7) =7`]이므로 구간 [eqn: [`3,``7`]]에서 [eqn: f(x)-x ge 0`]이다.

[eqn: 12 int _3 ^7 left| f(x) - x right| `dx][eqn: =12 int _3 ^7 left{ f(x) - x right} `dx][eqn: =12left{ int _3 ^7 f(x)`dx - int _3 ^7 x `dx right}]
[eqn: =12 times(22 - 20)][eqn: =24]

29. [출제의도] 경우를 나누어 학생들에게 사물함을 배정하는 실생활 문제를 해결한다.

(ⅰ) [eqn: 2`]층 또는 [eqn: 3`]층 중 한 층의 사물함만을 여학생에게 배정하는 경우

여	여

[eqn: 2`]층의 두 사물함을 두 여학생에게 배정하는 경우의 수는 [eqn: 2!`]이고 나머지 사물함을 남학생 [eqn: 3`]명에게 배정하는 경우의 수는 [eqn: {}_{5`} rmP _{3} `]이다. [eqn: 3`]층의 두 사물함을 두 여학생에게 배정하는 경우의 수는 [eqn: 2!`]이고 나머지 사물함을 남학생 [eqn: 3`]명에게 배정하는 경우의 수는 [eqn: {}_{5`} rmP _{3} `]이다.
이와 같이 배정하는 경우의 수는
[eqn: 2 TIMES 2! TIMES _{5`} rmP _{3} =240`]

(ⅱ) [eqn: 1`]층의 사물함만을 여학생에게 배정하는 경우

여	여

[eqn: 1`]층의 사물함만을 여학생에게 배정하는 경우의 수는 [eqn: {}_{3`} rm P _{2} `]이고 [eqn: 1`]층의 사물함을 남학생에게 배정할 수는 없으므로 나머지 사물함을 남학생 [eqn: 3`]명에게 배정하는 경우의 수는 [eqn: {}_{4`}rmP _{3} `]이다.
이와 같이 배정하는 경우의 수는
[eqn: {}_{3`} rm P _{`2} TIMES _{4`} rm P _{3}][eqn: =144`]

(ⅲ) [eqn: 2`]층, [eqn: 3`]층의 사물함을 각각 [eqn: 1`]개씩 여학생에게 배정하는 경우

여
여

[eqn: 2`]층, [eqn: 3`]층의 사물함을 각각 [eqn: 1`]개씩 선택하여 여학생에게 배정하는 경우의 수는 [eqn: {}_{2`} rmC _{1} times {}_{2`} rmC _{1} times 2!]이고 [eqn: 2`]층과 [eqn: 3`]층의 사물함을 남학생에게 배정할 수는 없으므로 [eqn: 1`]층의 사물함만을 남학생 [eqn: 3`]명에게 배정해야 하고 그 경우의 수는 [eqn: 3!`]이다.
이와 같이 배정하는 경우의 수는
[eqn: {}_{2`} rmC _{1} times {}_{2`} rmC _{1} times 2! TIMES 3! =48`]

(ⅳ) [eqn: 1`]층의 사물함을 한 여학생에게 배정하고 [eqn: 2`]층 또는 [eqn: 3`]층의 사물함을 다른 여학생에게 배정하는 경우

여
여

[eqn: 1`]층의 가운데에 있는 사물함을 여학생에게 배정하면 [eqn: 3`]명의 남학생에게 사물함을 배정할 수 없다. 그러므로 [eqn: 1`]층의 사물함 중 가운데 사물함을 제외한 [eqn: 2`]개의 사물함 중 한 사물함을 여학생에게 배정한다. [eqn: 1`]층의 사물함을 한 여학생에게 배정하고 [eqn: 2`]층 또는 [eqn: 3`]층의 사물함을 다른 여학생에게 배정하는 경우의 수는 [eqn: {}_{2} rmC _{1} times{}_{4} rm C _{1} TIMES 2 !`]이고 남학생에게 [eqn: 3`]개의 사물함을 배정하는 경우의 수는 [eqn: 3!`]이다.
이와 같이 배정하는 경우의 수는
[eqn: {}_{2} rmC _{1} times{}_{4} rm C _{1} TIMES 2 ! TIMES 3 ! = 96`]

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에 의해서 구하는 경우의 수는 [eqn: 240+144+48+96=528`]

30. [출제의도] 몫의 미분법을 이용하여 두 접선과 한 선분으로 이루어진 도형 문제를 해결한다.

[eqn: rm A LEFT ( it alpha ,``- {2} over {alpha } RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( it beta ,``- {2} over {beta } RIGHT ) `]라 하자.

[eqn: y=it- {2} over {x} `]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면 [eqn: {dy} over {dx} = {2} over {x ^{`2}} `]

점 [eqn: rmA`]를 지나는 접선의 방정식은 [eqn: y= {2} over {alpha ^{`2}} LEFT ( x-alpha RIGHT ) - {`2} over {alpha} `]

즉, [eqn: y= {2} over {alpha ^{`2}} x- {4} over {alpha} `]  [eqn: CDOTS][eqn: CDOTS] ㉠

같은 방법으로 점 [eqn: rmB`]를 지나는 접선의 방정식은

[eqn: y= {2} over {beta ^{`2}} x- {4} over {beta } `]     [eqn: CDOTS][eqn: CDOTS] ㉡

㉠, ㉡이 모두 [eqn: rmP LEFT ( ita,``2a RIGHT ) `]를 지나므로

[eqn: 2a= {2a} over {alpha ^{`2}} - {4} over {alpha } `], [eqn: 2a= {2a} over {beta ^{`2}} - {4} over {beta } `]

즉, [eqn: a`alpha ^{`2} +2alpha-a=0`], [eqn: a beta ^{`2} +2beta-a=0`]이므로

[eqn: alpha `], [eqn: beta`]는 이차방정식 [eqn: ax ^{2} +2x-a=0`]의 근이다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해서

[eqn: alpha + beta =it- {2} over {a} `], [eqn: alpha ` beta =it-1`]

[eqn: rm {bar{PA}} ^{`2} + rm {bar{PB}} ^{`2}]

[eqn: = LEFT ( a- alpha RIGHT ) ^{`2} + LEFT ( 2a+ {`2} over {alpha } RIGHT ) ^{`2} + LEFT ( a-beta RIGHT ) ^{`2} + LEFT ( 2a+ {2} over {beta} RIGHT ) ^{`2}][eqn: =10`a ^{`2} -2a LEFT ( alpha + beta RIGHT ) + LEFT ( alpha ^{`2} + beta ^{`2} RIGHT ) +8a LEFT ( {1} over {alpha } + {1} over {beta } RIGHT ) +4 LEFT ( {1} over {alpha ^{`2}} + {1} over {beta ^{`2}} RIGHT )]

[eqn: =10`a ^{`2} +4+ LEFT { LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{2} -2 alpha beta RIGHT }]

[eqn: +8a TIMES {alpha + beta } over {alpha beta } +4times {LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{2} -2 alpha beta } over {LEFT ( alpha beta RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: =10a ^{`2} + {20} over {a ^{`2}} +30`],

[eqn: rm {bar{AB}} ^{`2}][eqn: = LEFT ( alpha - beta RIGHT ) ^{`2} + LEFT ( - {2} over {alpha } + {2} over {beta } RIGHT ) ^{`2}]
[eqn: =5 LEFT ( alpha-beta RIGHT ) ^{`2}]
[eqn: =5 LEFT { LEFT ( alpha+beta RIGHT ) ^{`2} -4`alpha`beta RIGHT }]
[eqn: =5 LEFT ( {4} over {a ^{`2}} +4 RIGHT )]
[eqn: = {20} over {a ^{`2}} +20]

그러므로 [eqn: rm {bar{PA}} ^{`2} + rm {bar{PB}} ^{`2}+ rm {bar{AB}} ^{`2}][eqn: =10a ^{`2} + {40} over {a ^{`2}} +50]

[eqn: a ^{`2} =t` LEFT ( t>0 RIGHT ) `]으로 놓고 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =10`t+ {40} over {t} +50`]이라 하면

[eqn: f`` prime LEFT ( t RIGHT ) =10- {40} over {t ^{`2}}][eqn: = {10 LEFT ( t ^{`2} -4 RIGHT )} over {t ^{`2}} `]

함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `]의 증가와 감소를 나타낸 표는 다음과 같다.

[eqn: t]	[eqn: LEFT ( 0 RIGHT )]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f``prime LEFT ( t RIGHT )]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f LEFT ( t RIGHT )]		[eqn: SEARROW]	[eqn: 90`]	[eqn: NEARROW]

함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `]는 [eqn: t=2`]에서 최솟값 [eqn: 90`]을 갖는다.

[eqn: a^{`2}=2`]이므로 [eqn: a= root2`]에서 점 [eqn: \P`]의 좌표는

[eqn: LEFT ( it sqrt {2} ,``2 sqrt {2} RIGHT ) `]이다.

따라서 [eqn: rm {bar{PA}} ^{2} +rm{bar{PB}} ^{2}][eqn: + rm {bar{AB}} ^{2}]의 최솟값은 [eqn: 90`]이다.

[다른 풀이]

절대부등식을 이용하면

[eqn: rm {bar{PA}} ^{`2} + rm {bar{PB}} ^{`2} + rm {bar{AB}} ^{`2}][eqn: =10a ^{`2} + {40} over {a ^{`2}} +50]
[eqn: GEQ 2 sqrt {10`a ^{`2} TIMES {40} over {a ^{`2}}} +50]
[eqn: =2 TIMES 20+50]
[eqn: =90`]

(단, 등호는 [eqn: 10`a ^{`2} = {40} over {a ^{`2}} `] 즉, [eqn: a=root2`]일 때 성립한다.)