2014학년도 9월 고1 전국연합학력평가 문제지

수학 영역

5 지 선 다 형

1. 등식 [eqn: 2x LEFT ( 3+i RIGHT ) =3y+4i`]를 만족시키는 두 실수 [eqn: x`,~y`]에 대하여 [eqn: x+y`]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1} `]) [[eqn: 2]점]

고 1	수학 영역

	수학 영역	고 1

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제 2 교시

① [eqn: 3]        ② [eqn: 4]        ③ [eqn: 5]        ④ [eqn: 6]        ⑤ [eqn: 7]

2. 두 다항식

[eqn: A= 2 x^3 +x^2 -4x +1]

[eqn: B=x ^{2} -4x+3]

에 대하여 [eqn: A-2X=B`]를 만족시키는 다항식 [eqn: X`]는? [[eqn: 2]점]

① [eqn: x ^{2} +1]                  ② [eqn: x ^{2}+2]

③ [eqn: x ^{3} -1]                  ④ [eqn: x ^{3} -2]

⑤ [eqn: x ^{3} +3]

3. 두 실수 [eqn: a`,~b`]에 대하여 [eqn: a+b=4`,~a ^{3} +b ^{3} =40`]일 때, [eqn: ab`]의 값은? [[eqn: 2]점]

① [eqn: 1]        ② [eqn: 2]        ③ [eqn: 3]        ④ [eqn: 4]        ⑤ [eqn: 5]

4. 부등식 [eqn: 2`□`x-2`□` LEQ 5]를 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수는? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 3]        ② [eqn: 4]        ③ [eqn: 5]        ④ [eqn: 6]        ⑤ [eqn: 7]

5. [eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: (ax+2) ^{3} +(x-1) ^{2} `]을 전개한 식에서 [eqn: x`]의 계수가 [eqn: 34`]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 1]        ② [eqn: 3]        ③ [eqn: 5]        ④ [eqn: 7]        ⑤ [eqn: 9]

6. 두 양수 [eqn: m`,~n`]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: rm A LEFT ( -2`,~1 RIGHT ) `]을 [eqn: x`]축의  방향으로 [eqn: m`]만큼 평행이동한 점을 [eqn: rm B`]라 하고, 점 [eqn: rm B`]를 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: n`]만큼 평행이동한 점을 [eqn: rm C`]라 하자. 세 점 [eqn: rm `A`,~B`,~C`]를 지나는 원의 중심의 좌표가 [eqn: LEFT ( 3`,~2 RIGHT ) `]일 때, [eqn: mn`]의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 16]       ② [eqn: 18]       ③ [eqn: 20]       ④ [eqn: 22]       ⑤ [eqn: 24]

7. 사차방정식 [eqn: LEFT ( x ^{2} +x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +x+3 RIGHT ) -5=0`]의 서로 다른 두 허근을 [eqn: alpha `,~ beta `]라 할 때, [eqn: alpha {bar{alpha `}} `+ beta {bar{beta `}} `]의 값은? (단, [eqn: bar{z`} `]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.) [[eqn: 3]점]

① [eqn: 4]        ② [eqn: 5]        ③ [eqn: 6]        ④ [eqn: 7]        ⑤ [eqn: 8]

8. 다항식 [eqn: f(x)=x ^{2} +px+q`] ([eqn: p`,~q`]는 실수)가 다음 두 조건을 만족시킨다.

	(가) 다항식 [eqn: f(x)`]를 [eqn: x-1`]로 나눈 나머지는 [eqn: 1`]이다. (나) 실수 [eqn: a`]에 대하여 이차방정식 [eqn: f(x)=0`]의 한 근은 [eqn: a+i`]이다.

[eqn: p+2q`]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1} `]) [[eqn: 3]점]

① [eqn: 2]        ② [eqn: 4]        ③ [eqn: 6]        ④ [eqn: 8]        ⑤ [eqn: 10]

9. 부등식 [eqn: (x+y-2)(x ^{2} +y ^{2} -4x-4y+4) LEQ 0`]의 영역을 좌표평면 위에 어두운 부분으로 바르게 나타낸 것은? (단, 경계선은 포함한다.) [[eqn: 3]점]

①		②
③		④
⑤

10. 처음 속도 [eqn: v _{0} `]으로 지면과 수직하게 위로 던져진 물체의 운동은 위쪽을 [eqn: LEFT ( + RIGHT ) `]방향으로 하면 처음 속도의 방향과 가속도의 방향이 반대가 되어 가속도가 [eqn: -g`]인 등가속도 직선운동을 한다. 이때, 시간 [eqn: t`]초에 대한 물체의 높이 [eqn: h` LEFT ( rmm RIGHT )]은

[eqn: h=v _{0} `t- {1} over {2} g`t ^{2} `] ([eqn: g`:`]천체의 중력가속도)

이다. 지구에서의 중력가속도가 [eqn: 10` rm][eqn: LEFT ( rm m/s ^{2} RIGHT )]일 때 처음 속도 [eqn: 10` rm][eqn: LEFT ( rm m/s RIGHT )]로 던져진 물체의 높이 [eqn: h` LEFT (rm m RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: M _{1} `], 목성의 한 위성에서의 중력가속도가 [eqn: 6` rm][eqn: LEFT ( rm m/s ^{2} RIGHT )]일 때 처음 속도 [eqn: 10` rm][eqn: LEFT ( rm m/s RIGHT )]로 던져진 물체의 높이 [eqn: h` LEFT (rm m RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: M _{2} `]이다. [eqn: M _{2} `-`M _{1} `]의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 3]       ② [eqn: {10} over {3}]       ③ [eqn: {11} over {3}]       ④ [eqn: 4]       ⑤ [eqn: {13} over {3}]

11. 직선 [eqn: y=px+q`]와 이차함수 [eqn: y=ax ^{`2} +bx+c`]의 그래프가 그림과 같을 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 3]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: b ^{`2} -4ac>0] ㄴ. [eqn: aq ^{`2} +bq+c>0] ㄷ. 부등식 [eqn: ax ^{`2} +(b-p)x+c-q LEQ 0`]의 해는 [eqn: alpha LEQ x LEQ beta]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ               ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

12. 이차함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 [eqn: x`]축과 만나는 서로 다른 두 점 [eqn: rm A`,~B`]에 대하여 [eqn: rm bar{AB} = it l`]이라 하자. [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 직선 [eqn: y=1`]과 만나는 서로 다른 두 점 [eqn: rm C`,~D`]에 대하여 [eqn: rm bar{CD} = it l+1`,`~y=f(x)`]의 그래프가 직선 [eqn: y=4`]와 만나는 서로 다른 두 점 [eqn: rm E`,~F`]에 대하여 [eqn: rm bar{EF} = it l+3`]이다. [eqn: l]의 값은? [[eqn: 4]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]        ③ [eqn: 2]        ④ [eqn: {5} over {2}]        ⑤ [eqn: 3]

13. 직선 [eqn: x-2y=9`]를 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동한 도형이 원 [eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+5 RIGHT ) ^{2} =k``]에 접할 때, 실수 [eqn: k`]의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 80]       ② [eqn: 83]       ③ [eqn: 85]       ④ [eqn: 88]       ⑤ [eqn: 90]

[14~15] 두 다항식 [eqn: {bold{P(x)=3x ^{3} +x+11`,~Q(x)=x ^{2} -x+1`}}]에 대하여 [eqn: bold{14`}]번과 [eqn: bold{15`}]번의 두 물음에 답하시오.

14. 다항식 [eqn: P(x)+4x`]를 다항식 [eqn: Q(x)`]로 나눈 나머지가 [eqn: 5x+a`] 일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]        ④ [eqn: 8]        ⑤ [eqn: 9]

15. [eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: P`(x)-3(x+1)Q`(x)+mx ^{2} =0`]이 [eqn: 2`]보다 작은 한 근과 [eqn: 2`]보다 큰 한 근을 갖도록 하는 정수 [eqn: m`]의 개수는? [[eqn: 4]점]

① [eqn: 1]        ② [eqn: 2]        ③ [eqn: 3]        ④ [eqn: 4]        ⑤ [eqn: 5]

16. 연립이차부등식 [eqn: {cases{```x ^{2} `+4x`-21 LEQ 0`````` ^{``}#```x ^{2} -5kx-6k ^{2} `>0}}]의 해가 존재하도록 하는 양의 정수 [eqn: k`]의 개수는? [[eqn: 4]점]

① [eqn: 4]        ② [eqn: 5]        ③ [eqn: 6]        ④ [eqn: 7]        ⑤ [eqn: 8]

17. 다음은 한 변의 길이가 [eqn: 2a`]인 정삼각형 [eqn: rm ABC`]의 내부의 점 [eqn: rm P`]가 [eqn: rm {barAP} ^{``2} +{ barBP} ^{``2} = {barCP} ^{``2} `]을 만족할 때, [eqn: ANGLE rm APB=150 DEG `]임을 증명하는 과정이다.

	<증명> 그림과 같이 변 [eqn: rm AB`]를 [eqn: x`]축 위에 놓고 변 [eqn: rm AB`]의 중점을 원점 [eqn: rmO`]라 하면 점 [eqn: rm A`]의 좌표는 [eqn: (-a`,~0)`], 점 [eqn: rm B`]의 좌표는 [eqn: (a`,~0)`], 점 [eqn: rm C`]의 좌표는 [eqn: (0`,~ BOX{`(가)`} `)`]이다. 정삼각형 [eqn: rm ABC`]의 내부의 점 [eqn: rm P`]의 좌표를 [eqn: (x`,~y)`]라 하면 [eqn: rm {barAP} ^{``2} +{ barBP} ^{``2} = {barCP} ^{``2} `]을 만족하므로 [eqn: LEFT { (x+a) ^{2} +y ^{2} RIGHT } + LEFT { (x-a) ^{2} +y ^{2} RIGHT } `=`x ^{2} +(y- {BOX{`(가)`}} `) ^{2} `]이다. 위 식을 정리하면 점 [eqn: rm P`]는 중심이 점 [eqn: (0`,~ {BOX{`(나)`}} `)`]이고 반지름의 길이가 [eqn: BOX{`(다)`} `]인 원 위의 점이다. 점 [eqn: (0`,~` BOX{`(나)`} `)`]에서 두 점 [eqn: rm A`,~B`]까지의 거리가 각각 반지름의 길이 [eqn: BOX{`(다)`} `]로 같다. 따라서 점 [eqn: rmP]가 호 [eqn: rm AB`]위의 점이므로 [eqn: ANGLE rm APB=150 DEG]이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(a),~g(a),]

[eqn: h(a)`]라 할 때, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) +g LEFT ( 3 RIGHT ) +h LEFT ( 7 RIGHT ) `]의 값은? [[eqn: 4]점]

① [eqn: 11]       ② [eqn: 12]       ③ [eqn: 13]       ④ [eqn: 14]       ⑤ [eqn: 15]

18. 그림과 같이 [eqn: 1`,~2,`~3`]의 숫자가 하나씩 적힌 카드가 각각 [eqn: 6`]장, [eqn: 5`]장, [eqn: 4`]장이 있다. 이 [eqn: 15]장의 카드 중 갑이 [eqn: 9`]장을 갖고 을이 나머지 [eqn: 6`]장을 가진 후 카드에 적힌 숫자를 모두 확인한 결과는 다음과 같다.

	(가) 갑이 가진 카드에 적힌 [eqn: 9`]개의 수를 모두 더한 값은 을이 가진 카드에 적힌 [eqn: 6`]개의 수를 모두 더한 값보다 [eqn: 2]만큼 크다. (나) 갑이 가진 카드에 적힌 [eqn: 9`]개의 수를 각각 제곱한 후 모두 더한 값은 을이 가진 카드에 적힌 [eqn: 6`]개의 수를 각각 제곱한 후 모두 더한 값보다 [eqn: 4]만큼 작다.

갑이 가진 카드 중 숫자 [eqn: 2`]가 적힌 카드는 모두 몇 장인가?

[[eqn: 4]점]

① [eqn: 1]        ② [eqn: 2]        ③ [eqn: 3]        ④ [eqn: 4]        ⑤ [eqn: 5]

19. 좌표평면 위의 세 점 [eqn: rm A`,~B`,~C`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 무게중심을 [eqn: rm G`]라 하고, 변 [eqn: rm AB`], 변 [eqn: rm BC`], 변 [eqn: rm CA]의 중점의 좌표를 각각 [eqn: rm L LEFT ( 2`,~1 RIGHT ) `,~M LEFT ( 4`,~-1 RIGHT ) `,~N( it a`,~b)`]라 하자. 직선 [eqn: rm BN`]과 직선 [eqn: rm LM`]이 서로 수직이고, 점 [eqn: rm G`]에서 직선 [eqn: rm LM`]까지의 거리가 [eqn: 4 sqrt {2} `]일 때, [eqn: ab]의 값은? (단, 무게중심 [eqn: rm G`]는 제 [eqn: 1`]사분면에 있다.) [[eqn: 4]점]

① [eqn: 60]	② [eqn: 90]	③ [eqn: 120]

④ [eqn: 150]                 ⑤ [eqn: 180]

20. 두 직선

[eqn: l```:`ax-y+a+2=0]

[eqn: m```:`4x+ay+3a+8=0]

에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a`]는 실수이다.) [[eqn: 4]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: a=`0`]일 때 두 직선 [eqn: l`]과 [eqn: m`]은 서로 수직이다. ㄴ. 직선 [eqn: l`]은 [eqn: a`]의 값에 관계없이 항상 점 [eqn: (1`,~2)`]를 지난다. ㄷ. 두 직선 [eqn: l`]과 [eqn: m`]이 평행이 되기 위한 [eqn: a`]의 값은 존재하지 않는다.

① ㄱ	② ㄴ                   ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. 다음은 어떤 전시장에 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 1rmm`]인 원기둥모양의 세 전시물 [eqn: rm A`,~B`,~C`]를 설치하는 방법이다.

	(가) 관람지점 [eqn: rmP]에서 전시물 [eqn: rmA ,~B`]의 밑면의 중심까지의 거리가 각각 [eqn: 2`` rm m`]이고, 관람지점 [eqn: rm P`]와 전시물 [eqn: rm A`,~B`]의 밑면의 중심을 연결한 두 직선이 서로 수직이 되도록 전시물 [eqn: rm A`,~B`]를 설치한다. (나) 관람자가 관람지점 [eqn: rm P`]에서 전시물 [eqn: rm A,~B`]사이로 전시물 [eqn: rm C`]를 보았을 때, 전시물 [eqn: rm C`]가 전시물 [eqn: rm A`,~B`]에 의해 가려지는 부분이 없도록 전시물 [eqn: rmC`]를 설치한다.

관람지점 [eqn: rm P`]로부터 전시물 [eqn: rm C`]의 밑면의 중심까지의 거리를 [eqn: d][eqn: LEFT ( rm`m RIGHT )]라 할 때, [eqn: d`]의 최솟값은? (단, 관람자의 시선은 전시장의 바닥과 평행하고, 전시물의 높이는 관람자의 시선보다 높다.)

[[eqn: 4]점]

① [eqn: sqrt {3} +1]	② [eqn: sqrt {3} + sqrt {2}]             ③ [eqn: sqrt {3} +2]

④ [eqn: sqrt {6} +1]              ⑤ [eqn: sqrt {6} + sqrt {2}]

단 답 형

22. 다항식 [eqn: P(x)=x ^{3} -x ^{2} -kx-6`]이 [eqn: x+2`]로 나누어떨어지도록 하는 상수 [eqn: k`]의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

23. [eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -2kx+8k-12=0`]이 허근을 갖도록 하는 모든 정수 [eqn: k`]의 값의 합을 구하시오. [[eqn: 3]점]

24. 서로소인 두 자연수 [eqn: a`,~b`]에 대하여 세 모서리의 길이가 각각 [eqn: a+b`,~a+b`,~a+2b`]인 직육면체가 있다. 이 직육면체를 그림과 같이 각 모서리의 길이가 [eqn: a] 또는 [eqn: b`]가 되도록 [eqn: 12`]개의 작은 직육면체로 나누었을 때, 부피가 [eqn: 150`]인 직육면체는 [eqn: 5`]개다.

[eqn: a+2b`]의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

25. 원점을 지나고 기울기가 양수 [eqn: m`]인 직선이 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2`]의 그래프와 서로 다른 두 점 [eqn: rm A`,~B`]에서 만난다. 두 점 [eqn: rm A`,~B`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm A prime `,~B prime `]이라 하자. 선분 [eqn: rm `AA prime `]과 선분 [eqn: rm BB prime `]의 길이의 차가 [eqn: 16`]일 때, [eqn: m`]의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

26. 연립부등식

[eqn: y LEQ 4x-2`,~y GEQ -x+8`,~x LEQ 4`]

를 만족시키는 두 실수 [eqn: x`,~y`]에 대하여 [eqn: y-3x``]의 최댓값은 [eqn: M`,] 최솟값은 [eqn: m`]이다. [eqn: M-m`]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

27. 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm P(3`,~4)`,~Q(12`,~5)`]에 대하여

[eqn: rm ANGLE POQ`]의 이등분선과 선분 [eqn: rm PQ`]와의 교점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: {b} over {a} `]라 할 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. (단, 점 [eqn: rm O`]는 원점이고, [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 서로소인 자연수이다.) [[eqn: 4]점]

28. 이차함수 [eqn: y=x ^{2} `]의 그래프 위의 점을 중심으로 하고 [eqn: y`]축에 접하는 원 중에서 직선 [eqn: y= sqrt {3} x-2`]와 접하는 원은 [eqn: 2`]개이다. 두 원의 반지름의 길이를 각각 [eqn: a`,~b`]라 할 때, [eqn: 100`a`b]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

29. 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A LEFT ( - sqrt {5} `,~-1 RIGHT ) `,~B LEFT ( rm sqrt {5} `,~3 RIGHT ) `]과 직선 [eqn: y=x-2`] 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rm P,~Q`]에 대하여 [eqn: rm ANGLE APB= ANGLE AQB=90 DEG `]일 때, 선분 [eqn: rm PQ`]의 길이를 [eqn: l`]이라 하자. [eqn: l ^{`2} `]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

30. 그림과 같이 [eqn: bar{rm AB it} =6`,~ bar{rm BC it} =8`,~ bar{rm CA it} =10`]인 직각삼각형 [eqn: rm ABC`]의 두 꼭짓점 [eqn: rm A`,~B`]를 각각 중심으로 하는 두 원 [eqn: O _{1} `,~O _{2} `]가 서로 외접하고 있다. 변 [eqn: rm AC`]와 원 [eqn: O _{1} `]과의 교점을 [eqn: rm P`,] 변 [eqn: rm BC`]와 원 [eqn: O _{2} `]와의 교점을 [eqn: rm Q`]라 할 때, [eqn: rm {barPQ} ^{2} `]의 최솟값은 [eqn: {b} over {a} `]이다. [eqn: ab`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 서로소인 자연수이다.) [[eqn: 4]점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.