[eqn: cos {13} over {6} pi]의 값은? [2점]

2016학년도 11월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(가형)

제 2 교시

수학 영역(가형)

수학 영역(가형)

① [eqn: - {sqrt {3}} over {2}]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: {1} over {2}]
④ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +3x]에 대하여 [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은? [2점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

[eqn: lim _{x` -> `0} {{4x} over {ln LEFT ( 1+2x RIGHT )}}]의 값은? [2점]

수학 영역(가형)

수학 영역(가형)

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

12

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함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {LEFT ( 2x+1 RIGHT ) dx}]

이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1]일 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여

[eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( -1+3h RIGHT ) -f LEFT ( -1 RIGHT )} over {h} =4}]

일 때, [eqn: f` prime LEFT ( -1 RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {4} over {3}]	④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: 2]

수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( 2a _{n} -5 RIGHT ) =6]

일 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{4a _{n}} over {2a _{n} -3}}]의 값은? (단, [eqn: a _{n} != {3} over {2}]) [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: {11} over {2}]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: {13} over {2}]	⑤ [eqn: 7]

부등식 [eqn: log _{`3} ` LEFT ( 2x+1 RIGHT ) GEQ 1+log _{`3} ` LEFT ( x-2 RIGHT )]를 만족시키는 모든 자연수
[eqn: x]의 값의 합은? [3점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 20]	④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 30]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`` LEFT ( 3x+1 RIGHT ) e ^{x} `` _{` _{`}}`````&LEFT ( x LEQ 0 RIGHT )#```````ax+1```` ^{` ^{`}} ```&LEFT ( x>0 RIGHT ) ^{` ^{`}}}}]이 [eqn: x=0]에서 미분가능할 때,
상수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 13]

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: lim _{n` -> ` INF } {na _{n} = {1} over {2}}]

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 3- {1} over {n} <a _{n} b _{n} <3+ {1} over {n}]이다.

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{b _{n}} over {n}}]의 값은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

그림은 두 함수 [eqn: y=tanx]와 [eqn: y=a sinbx]의 그래프이다.
두 함수의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( ` {pi } over {3} ,``c RIGHT )]에서 만날 때, 세 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 곱 [eqn: abc]의 값은? (단, [eqn: a>0], [eqn: b>0])  [3점]

[eqn: {pi} over {3}]

[eqn: {pi } over {2}]

[eqn: pi]

[eqn: c]

[eqn: y=a sinbx]

[eqn: {3} over {2} pi]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=tanx]

[eqn: rmO]

① [eqn: 2]	② [eqn: 2 sqrt {3}]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 4 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 8]

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT ( 4x-3 RIGHT ) dx+ int _{1} ^{k} {LEFT ( 4x-3 RIGHT )} dx=0}]일 때, 양수 [eqn: k]의 값은?

[3점]

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {5} over {2}]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

지진의 세기를 나타내는 수정머칼리진도가 [eqn: x]이고 [eqn: rmkm]당 매설관
파괴 발생률을 [eqn: n]이라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

[eqn: n=C _{d} C _{g} 10 ^{{4} over {5} (x-9)}]

(단, [eqn: C _{d}]는 매설관의 지름에 따른 상수이고, [eqn: C _{g}]는 지반 조건에 따른
상수이다.)
[eqn: C _{g}]가 [eqn: 2]인 어느 지역에 [eqn: C _{d}]가 [eqn: {1} over {4}]인 매설관이 묻혀 있다. 이 지역에
수정머칼리진도가 [eqn: a]인 지진이 일어났을 때, [eqn: rm km]당 매설관 파괴
발생률이 [eqn: {1} over {200}]이었다. [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: {11} over {2}]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: {13} over {2}]	⑤ [eqn: 7]

두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여

[eqn: lim _{x` -> `3} {{x ^{2} -4x+a} over {sqrt {x+1} -2} =b}]

일 때, [eqn: a+b]의 값은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t]에서의
속도 [eqn: v LEFT ( t RIGHT )]가

[eqn: v LEFT ( t RIGHT ) = {cases{``````6t-2t ^{2} `` _{`} ````&LEFT ( 0 LEQ t<3 RIGHT ) _{`}#``` {1} over {2} LEFT ( 3-t RIGHT ) ```` ^{`} ```&{} _{`} LEFT ( t GEQ 3 RIGHT ) `` ^{`}}}]

이다. 점 [eqn: rmP]가 시각 [eqn: t=0]에서 시각 [eqn: t=7]까지 움직인 거리는?

[4점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

실수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =sinx+cosx]가

[eqn: lim _{x` -> `a} {{LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} - LEFT { f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT } ^{2}} over {x-a}} =1]

을 만족시킬 때, [eqn: cos ^{2} a]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {3} over {8}]	③ [eqn: {1} over {2}]	④ [eqn: {5} over {8}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

중심이 [eqn: rm O], 반지름의 길이가 [eqn: 6]이고 중심각의 크기가 [eqn: 60 DEG]인
부채꼴 [eqn: rm OA _{1} B _{1}]이 있다.
그림과 같이 호 [eqn: rm A _{1} B _{1}]을 이등분하는 점 [eqn: rm M _{1}]에서 두 선분 [eqn: rm OA _{1}], [eqn: rm OB _{1}]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm P _{1}], [eqn: rm Q _{1}]이라 하고, 중심이 [eqn: rm M _{1}], 반지름의
길이가 [eqn: bar {rm `M _{1} P _{1}]인 부채꼴 [eqn: rm M _{1} P _{1} Q _{1}]을 그린다. 점 [eqn: rm O]를 중심으로 하고 호 [eqn: rm P _{1} Q _{1}]에 접하는 원이 두 선분 [eqn: rm OA _{1}], [eqn: rm OB _{1}]과 만나는 점을 각각
[eqn: rm A _{2}], [eqn: rm B _{2}]라 할 때, 호 [eqn: rm P _{1} Q _{1}], 호 [eqn: rm A _{2} B _{2}], 선분 [eqn: rm P _{1} A _{2}], 선분 [eqn: rm Q _{1} B _{2}]로
둘러싸인  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에 호 [eqn: rm A _{2} B _{2}]를 이등분하는 점 [eqn: rm M _{2}]에서 두 선분 [eqn: rm OA _{2}], [eqn: rm OB _{2}]에
내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm P _{2}], [eqn: rm Q _{2}]라 하고, 중심이 [eqn: rm M _{2}], 반지름의
길이가 [eqn: bar {rm `M _{2} P _{2}]인 부채꼴 [eqn: rm M _{2} P _{2} Q _{2}]를 그린다. 점 [eqn: rm O]를 중심으로 하고
호 [eqn: rm P _{2} Q _{2}]에 접하는 원이 두 선분 [eqn: rm OA _{2}], [eqn: rm OB _{2}]와 만나는 점을 각각
[eqn: rm A _{3}], [eqn: rm B _{3}]이라 할 때, 호 [eqn: rm P _{2} Q _{2}], 호 [eqn: rm A _{3} B _{3}], 선분 [eqn: rm P _{2} A _{3}], 선분 [eqn: rm Q _{2} B _{3}]으로
둘러싸인  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {S _{n}}]의 값은? [4점]

[eqn: rmO]

[eqn: rm A _{3}]

[eqn: rm P _{2}]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rm B _{3}]

[eqn: rm Q _{2}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm M _{2}]

[eqn: R_2]

[eqn: rm 6]

[eqn: rmO]

[eqn: rm A _{1}]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm P _{1}]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm M _{1}]

[eqn: 60 DEG]

[eqn: R _{1}]

[eqn: rm Q _{1}]

[eqn: cdots]

[eqn: cdots]

① [eqn: 6 LEFT ( 2 sqrt 3 - pi RIGHT )]	② [eqn: 7 LEFT ( 2 sqrt {3} - pi RIGHT )]	③ [eqn: 8 LEFT ( 2 sqrt {3} - pi RIGHT )]

④ [eqn: 9 LEFT ( 2 sqrt {3} - pi RIGHT )]	⑤ [eqn: 10 LEFT ( 2 sqrt {3} - pi RIGHT )]

그림과 같이 곡선 [eqn: y= {2} over {x}] 위의 두 점 [eqn: rm A(`-1,``-2)], [eqn: rm B(`1,``2)]에
대하여 [eqn: rm ANGLE APB= {pi } over {4}]가 되도록 점 [eqn: rm P it LEFT ( `a,`` {2} over {a} RIGHT )]를 정할 때, 상수 [eqn: a]의
값은? (단, [eqn: a>1]) [4점]

[eqn: y= {2} over {x}]

[eqn: rm P]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

① [eqn: 3+ sqrt {2}]	② [eqn: 2+2 sqrt {2}]	③ [eqn: 4+ sqrt {2}]
④ [eqn: 4 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 3+2 sqrt {2}]

자연수 [eqn: n]에 대하여 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{n+2} -3 LEFT ( 3 ^{n+1} -1 RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =3 ^{n+1} LEFT ( n+2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )]

이라 하자. 다음은 [eqn: x GEQ 3]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
부등식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >g LEFT ( x RIGHT )]가 성립함을 증명하는 과정이다.

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )]라 하면

[eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( n+2 RIGHT )]차 다항함수이다.

[eqn: h prime LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( n+2 RIGHT ) TIMES LEFT ( `` {BOX{``````````(가) _{`} ^{`} `````````}} `` RIGHT )]

[eqn: x>3]에서 [eqn: h prime LEFT ( x RIGHT ) >0] 이므로

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 증가한다.

[eqn: x GEQ 3]에서 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: {BOX{``````````(나) _{`} ^{`}`````````}]

[eqn: x GEQ 3]에서 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) GEQ {BOX{``````````(나) _{`} ^{`}`````````}} `>0]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) >0]

따라서 [eqn: x GEQ 3]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

부등식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >g LEFT ( x RIGHT )]가 성립한다.

위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: A LEFT ( x RIGHT )], (나)에 알맞은 수를 [eqn: p]라 할 때,
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{p TIMES A LEFT ( 4 RIGHT )} over {4 ^{n}}}]의 값은? [4점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 20]

그림과 같이 자연수 [eqn: n]에 대하여 두 점 [eqn: rm A it LEFT ( `0,``n RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( `-2n,``0 RIGHT )]과

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =n]이 있다. 원 위의 점 [eqn: rm P]에 대하여 삼각형 [eqn: rm PAB]의

넓이가 최대가 되도록 하는 점 [eqn: rm P]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a _{n}]이라 할 때,

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {sqrt {n} LEFT ( a _{n+1} -a _{n} RIGHT )}]의 값은? [4점]

[eqn: x]

[eqn: rm B]

[eqn: y]

[eqn: rmA]

[eqn: x^2`+y^2`=n]

[eqn: rm P]

[eqn: rm O]

① [eqn: {sqrt {5}} over {10}]	② [eqn: {sqrt {10}} over {10}]	③ [eqn: {sqrt {5}} over {5}]	④ [eqn: {sqrt {10}} over {5}]	⑤ [eqn: {sqrt {5}} over {2}]

최고차항의 계수가 음수인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 도함수를 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]라 하자.[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) =0]일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로
고른 것은? [4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: int _{1} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx>0}] ㄴ. [eqn: h LEFT ( 0 RIGHT ) <0] ㄷ. [eqn: int _{m} ^{n} {h LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 값이 최대일 때, [eqn: m+n= {4} over {3}]이다. (단, [eqn: m<n])

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``-x+1 _{`} ```````&LEFT ( x LEQ -1 RIGHT ) _{`}#`````````````````1 ^{`} `````` _{`} `&LEFT ( -1<x LEQ 1 RIGHT ) _{`} ^{`}#``````````x-1``````` ^{`}&LEFT ( x>1 RIGHT ) ^{`}}}]

이고 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을
만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(나) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x+k RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록하는 상수 [eqn: k]가 존재한다. (단, [eqn: k!=0])

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) <0]일 때, [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은? [4점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 15]

단 답 형

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{8n ^{2} +5} over {n ^{2} +1}}]의 값을 구하시오. [3점]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``2x+10``````` _{` _{`}}&LEFT ( x != 1 RIGHT ) _{` _{`}}#`````````````a``````` ^{` ^{`}}&LEFT ( x=1 RIGHT ) ^{` ^{`}}}}]가 실수 전체의 집합에서
연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 0 LEQ x LEQ 4 pi]일 때, 방정식 [eqn: 2sinx= sqrt {2}]의 모든 실근의 합은
[eqn: k pi]이다. 실수 [eqn: k]의 값을 구하시오. [3점]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {d} over {dx} int _{1} ^{x} {LEFT ( t ^{3} +2t+5 RIGHT ) dt}]

일 때, [eqn: f` prime LEFT ( 2 RIGHT )]의 값을 구하시오. [3점]

그림과 같이 곡선 [eqn: y= {1} over {2} x ^{2}]과 직선 [eqn: y=kx]로 둘러싸인 부분의
넓이를 [eqn: A], 곡선 [eqn: y= {1} over {2} x ^{2}]과 두 직선 [eqn: x=2], [eqn: y=kx]로 둘러싸인

부분의 넓이를 [eqn: B`]라 하자. [eqn: A=B`]일 때, [eqn: 30k]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: k]는 [eqn: 0<k<1]인 상수이다.) [4점]

[eqn: y= {1} over {2} x ^{2}]

[eqn: y=kx]

[eqn: x=2]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: A]

[eqn: B]

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 양의 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: 2x ^{2} -5x LEQ f LEFT ( x RIGHT ) LEQ 2x ^{2} +2]

(나) [eqn: lim _{x` -> `1} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2} +2x-3} = {1} over {4}}]

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]의 값을 구하시오. [4점]

그림과 같이 [eqn: a>b>c>1]인 세 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여
두 곡선 [eqn: y=a ^{x}], [eqn: y=b ^{x}]과 직선 [eqn: y=8]이 만나는 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B]라
하고, 두 곡선 [eqn: y=b ^{x}], [eqn: y=c ^{x}]과 직선 [eqn: y=4]가 만나는 점을 각각

[eqn: rm C], [eqn: rmD]라 하자.

사각형 [eqn: rm ACDB]가 정사각형일 때, [eqn: abc=2 ^{{q} over {p}}]이다. [eqn: p+q]의 값을
구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

[eqn: y=a` ^{x}]

[eqn: y=b` ^{x}]

[eqn: y=c` ^{x}]

[eqn: y=8]

[eqn: y=4]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm B]

[eqn: rm A]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하고 중심이 [eqn: rmO]인
반원 위의 점 [eqn: rmP]에서 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ]라 하자.
[eqn: angle{rmPAB}=theta]라 할 때, 선분 [eqn: rmAP]와 호 [eqn: rmAP]에 동시에 접하는 가장
큰 원의 넓이를 [eqn: S` LEFT ( theta RIGHT )], 삼각형 [eqn: rmPOQ]의 내접원의 넓이를 [eqn: T` LEFT ( theta RIGHT )]라
하자.
[eqn: lim _{theta ` -> ``0+} {{theta ^{2} TIMES T` LEFT ( theta RIGHT )} over {S` LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT )}}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0< theta < {pi } over {4}]) [4점]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm O]

[eqn: theta]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와
이차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} -x-4]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x]좌표가 [eqn: 2]인 점에서 [eqn: x]축에 접한다.

(나) 함수 [eqn: y= LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]는 실수 전체의 집합에서
미분가능하다.

[eqn: f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) =2]일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: alpha]이다. [eqn: 40alpha]의 값을 구하시오.

[4점]

※ 확인 사항

답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.