◦ 자신이 선택한 유형(‘가’형/‘나’형)의 문제지인지 확인하시오.

2011학년도 6월 고2 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시            수리 영역

성명			수험 번호						2

‘나’형

수리 영역

‘나’형

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수리 영역

‘나’형

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◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오.

◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고, 또 수험 번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면, 그 ‘0’ 도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

8

1. [eqn: 8 ^{3} times4 ^{-2} ``]의 값은? [2점]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 4`]	③ [eqn: 8`]	④ [eqn: 16`]	⑤ [eqn: 32`]

8

2. [eqn: LEFT ( `8 ^{{1} over {2}} -2 ^{{1} over {2}}` RIGHT ) ^{2}``]의 값은? [2점]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 4`]	③ [eqn: 6`]	④ [eqn: 8`]	⑤ [eqn: 10`]

3. 두 행렬 [eqn: A= pmatrix{``2``&``1``#``6``&``3``}], [eqn: B= pmatrix{~~3&```-2``#```-6``&~~4} ``]에 대하여 행렬 [eqn: AB``-BA`]는? [2점]

① [eqn: pmatrix{``0```&0`#`0```&0``}]	② [eqn: pmatrix{````````2&````````````1``#`-4&``-2}]	③ [eqn: pmatrix{``-2&````-1``#`~~4&```~~2``} ``]

④ [eqn: pmatrix{```````````6&``````````3`#`-12&```-6`}]	⑤ [eqn: pmatrix{`````6&`````-3`#````12&`````-6`}]

4. 지수방정식 [eqn: LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x ^{2} -3} =`` LEFT ( {1} over {9} RIGHT ) ^{x} ``]의 모든 근의 합은? [3점]

① [eqn: 2``]	② [eqn: 1``]	③ [eqn: 0``]	④ [eqn: -1``]	⑤ [eqn: -2``]

5. 두 행렬 [eqn: A`], [eqn: B``]에 대하여

[eqn: A+B= {pmatrix{``-3``&``4``#`~~2``&``3``}}`], [eqn: A-2B= {pmatrix{``-2``&``3``#`~~1``&``4``}}`]

일 때, 행렬 [eqn: A-B``]의 모든 성분의 합은? [3점]

① [eqn: 5`]	② [eqn: 6`]	③ [eqn: 7`]	④ [eqn: 8`]	⑤ [eqn: 9`]

6. 두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{``1``&``2``#``2``&``3``}}``], [eqn: B= {pmatrix{``1``&``1``#``x``&``y``}}``]에 대하여 [eqn: ABA^-1 =B``]가 성립할 때, [eqn: xy`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3``]	④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 5`]

7. 두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B``]에 대하여 [eqn: A+B=E], [eqn: AB=O`]일 때,  다음 중 [eqn: A+E``]의 역행렬은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이고, [eqn: O``]는 영행렬이다.) [3점]

① [eqn: {1} over {2} B]	② [eqn: B-E]	③ [eqn: B+E``]

④ [eqn: {1} over {2} (B-E)]	⑤ [eqn: {1} over {2} (B+E)]

8. 그래프를 나타내는 행렬이

[eqn: pmatrix{``0``&``1``&``0``&``0``&``1``#``1``&``0``&``1``&``1``&``0``#``0``&``1``&``0``&``1``&``0``#``0``&``1``&``1``&``0``&``1``#``1``&``0``&``0``&``1``&``0``}]

일 때, 이 그래프로 가능한 것은? [3점]

①	②

③	④

⑤

9. [eqn: x`], [eqn: y`]에 대한 연립방정식

[eqn: pmatrix{``2``&``k-3``#``k-1``&``4``} pmatrix{``x``#``y``} ``= pmatrix{``1``#``2``}`]

의 해가 존재하지 않도록 하는 상수 [eqn: k``]의 값은? [3점]

① [eqn: -3`]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 1`]	④ [eqn: 3`]	⑤ [eqn: 5`]

10. 행렬 [eqn: X= pmatrix { `` a ``&``b `` # `` c ``&``d`` }]의 성분을 이용하여 좌표평면 위에 두 점 ([eqn: a], [eqn: c]), ([eqn: b], [eqn: d])를 정하고 이 두 점 사이의 거리를 [eqn: L`(X``)]라 하자.
두 행렬 [eqn: A= pmatrix { `` x_1 ``&``x_2 `` # `` y_1 ``&``y_2 `` }`], [eqn: B = pmatrix { `~~x_1 ``&`~~x_2 `` # `` -y_1 ``&`-y_2 `` }]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: L`(A) = L`(B``)] ㄴ. [eqn: L`(2A) = 2` L`(A)] ㄷ. [eqn: L`(A+B``) = L`(A) +L`(B``)]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

11. [eqn: n``]이 자연수일 때, [eqn: x``]에 대한 방정식 [eqn: x ^{n`} =n-12``]의 실근의 개수를 [eqn: f(n)``]이라 하자. [eqn: f`(5)+f`(10)+f(15)+f(20)``]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

12. 두 이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B``]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: A`], [eqn: B``]의 역행렬이 모두 존재한다.

(나) [eqn: A^2 = B``], [eqn: B``^2 =`` -A`]

이때, [eqn: AB``` + A^2 B``^2 + A^3 B``^3 + A^4 B``^4 + A^5 B``^5`]과 같은 행렬은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이고 [eqn: O`]는 영행렬이다.)　[4점]

① [eqn: -2E`]	② [eqn: -E`]	③ [eqn: O`]	④ [eqn: E`]	⑤ [eqn: 2E`]

13. 올림픽에 참가한 어느 나라가 딴 금메달, 은메달, 동메달의 수를 각각 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]라 할 때 [eqn: 3a+2b+c`]의 값을 그 나라의 메달 가치라 하자. 어떤 연구에 의하면 인구가 [eqn: P``]만 명이고 국내총생산액이 [eqn: G``]억 달러인 나라의 메달 가치 [eqn: S``]는 부등식

[eqn: S LEQ 0.215` LEFT ( P over 100RIGHT ) ^{{1} over {3}} LEFT ( G over 10 RIGHT ) ^{{2} over {3}}`]…… (*)

을 만족시킨다고 한다.

어느 해 올림픽에 참가한 [eqn: rmA]나라의 인구가 [eqn: 6400`]만 명이고, 국내총생산액이 [eqn: 5120`]억 달러라 하자. 부등식 (*)이 항상 성립한다고 할 때, [eqn: rmA]나라의 메달 가치의 최댓값은? [3점]

① [eqn: 51`]	② [eqn: 53`]	③ [eqn: 55]	④ [eqn: 57]	⑤ [eqn: 59]

14. 다음은 행렬 [eqn: X= pmatrix { ``x``& ``y``#``z`` &``w`` }``]와 역행렬을 갖지 않는 이차정사각행렬 [eqn: A`]에 대하여 [eqn: X^{``n} =A``]를 만족시키는 자연수 [eqn: n``]이 존재하면 등식 [eqn: X``^2 =(x+w)X```]가 성립함을 증명한 것이다.

<증명>

행렬 [eqn: X``]가 역행렬을 갖는다고 가정하자.

등식 [eqn: X``^n =A``]의 양변에  을 곱하면

(가)

[eqn: E=``] [eqn: A``]

(가)

가 되어 [eqn: A``]는 역행렬을 갖게 되므로 가정에 모순이다.

∴ [eqn: xw-yz=``]

(나)

따라서

[eqn: X``^2 -(x+w)X=X` LEFT { X-(x+w)E ``RIGHT }``]

[eqn: = pmatrix { ``x``& ``y``#``z`` &``w`` }``box{`` pile{ # }"(다)"pile{ # }`` }]

[eqn: = pmatrix { ``0``&``0`` #``0`` &``0`` }``]

이므로 [eqn: X``^2 =(x+w)X```]가 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [3점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: (X``^-1 )^n``]	[eqn: 0``]	[eqn: pmatrix { ``-w``& `~~y``#`~~z`` &``-x`` }``]
②	[eqn: (X``^-1 )^n``]	[eqn: 1``]	[eqn: pmatrix { ``-x``& `~~y``#`~~z`` &``-w`` }``]
③	[eqn: (X``^-1 )^n``]	[eqn: 0``]	[eqn: pmatrix { ``-x``& `~~y``#`~~z`` &``-w`` }``]
④	[eqn: (A^-1 )^n``]	[eqn: 1``]	[eqn: pmatrix { ``-w``& `~~y``#`~~z`` &``-x`` }``]
⑤	[eqn: (A^-1 )^n``]	[eqn: 0``]	[eqn: pmatrix { ``-x``& `~~y``#`~~z`` &``-w`` }``]

15. 그림과 같이 좌표평면 위의 점 [eqn: rm A]([eqn: 2], [eqn: 2])를 지나고 [eqn: x`]축에 평행한 직선이 지수함수 [eqn: y=`a ^{x} ``]([eqn: a>1`])의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rmB`], 점 [eqn: rm A]를 지나고 [eqn: y`]축에 평행한 직선이 지수함수 [eqn: y=`a ^{x} ``]([eqn: a>1`])의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rmC`]라 하자. 또, 점 [eqn: rmB`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmD`]라 하고, 점 [eqn: rmC`]를 지나고 [eqn: x`]축에 평행한 직선이 직선 [eqn: y=`x`]와 만나는 점을 [eqn: rm E`]라 하자. [eqn: bar{rm OD it} ```:`` bar{rm BA it} `][eqn: =`1```:``3`]일 때, 선분 [eqn: rmCE`]의 길이는? (단, [eqn: rmO`]는 원점이다.) [4점]

① [eqn: 12`]	② [eqn: 13`]	③ [eqn: 14`]	④ [eqn: 15`]	⑤ [eqn: 16`]

16. 두 이차정사각행렬 [eqn: A``], [eqn: B``]가 [eqn: A+B=E``], [eqn: AB=E``]를 만족시킬 때, [eqn: A^2012 +B``^2012`]과 같은 행렬은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.)

[4점]

① [eqn: -2E``]	② [eqn: -E``]	③ [eqn: E``]

④ [eqn: 2 E``]	⑤ [eqn: 3E``]

17. 그래프 [eqn: G`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 변의 개수는 [eqn: 7`]이다.

(나) 모든 변을 빠짐없이 지나는 경로가 존재한다.

그래프 [eqn: G`]를 나타내는 행렬이

[eqn: pmatrix { ``0``&`` a`` & ``1`` & ``0`` & ``0`` # ``b``&`` 0`` & ``1`` & ``1`` & ``c`` #``1``&`` 1`` & ``0`` & ``1`` & ``1`` #``0``&`` 1`` & ``1`` & ``0`` & ``1`` #``0``&`` d`` & ``1`` & ``1`` & ``0`` }]

일 때, [eqn: 8a+4b+2c+d`]의 값은? [4점]

① [eqn: 3`]	② [eqn: 5`]	③ [eqn: 10`]	④ [eqn: 12`]	⑤ [eqn: 15`]

18. [eqn: x``], [eqn: y``]에 대한 연립방정식

[eqn: pmatrix { `~~a``&``b`` #``-b`` &``a`` }`` pmatrix { ``x``#``y`` }` = pmatrix { `~~3x+5y``#``-3x+3y`` }``]

가 [eqn: x=0``], [eqn: y=0] 이외의 해를 갖도록 실수 [eqn: a``], [eqn: b``]의 값을 정할 때, [eqn: a^2 +b^2`]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M``], [eqn: m``]이라 하자. [eqn: M``+m``]의 값은? [4점]

① [eqn: 36`]	② [eqn: 40`]	③ [eqn: 44`]	④ [eqn: 48`]	⑤ [eqn: 52`]

19. 세 이차정사각행렬 [eqn: A``], [eqn: B``], [eqn: C```]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: AB=BC``]

(나) [eqn: B``]의 역행렬이 존재한다.

옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: A=E``]이면 [eqn: C```=E``]이다. ㄴ. [eqn: A``]의 역행렬이 존재하면 [eqn: C```]의 역행렬도 존재한다. ㄷ. [eqn: A ^{7} B=BC ```^{7} ``]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

20. 양의 실수 [eqn: x`], [eqn: y`]가 [eqn: sqrt {x} `+` sqrt {2y} `=`4`]를 만족시킬 때, [eqn: 2 ` ^{x} `․``4 ` ^{y}`]의 최솟값은? [4점]

① [eqn: 32`]	② [eqn: 64`]	③ [eqn: 128`]	④ [eqn: 256`]	⑤ [eqn: 512`]

21. 두 함수

[eqn: f`(`x)`=`-x ^{`2} +2x+1`], [eqn: g`(`x)`=`a ^{`x} `] ([eqn: a>0], [eqn: a!=1])

이 있다. [eqn: -1 le `x le 2`]에서 두 함수 [eqn: `f `(`g`(`x)`)], [eqn: `g `(`f`(`x)`)]의 최댓값이 같아지도록 하는 모든 [eqn: a`]의 값의 합은? [4점]

① [eqn: {3 sqrt {2}} over {2} `]	② [eqn: {4 sqrt {2}} over {3} `]	③ [eqn: sqrt {2}]	④ [eqn: {2 sqrt {2}} over {3} `]	⑤ [eqn: {sqrt {2}} over {2} `]

단답형

22. 지수부등식 [eqn: 4`^x -3 ``․``2``^x+2 +32 le 0`]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x`]의 값의 합을 구하시오. [3점]

23. 두 행렬 [eqn: A= pmatrix { ``2``&``1`` #``4`` &``3`` }``], [eqn: B= pmatrix { ``-5``&`~~~5`` #`````~10`` &``-15`` }``]에 대하여 [eqn: XA=B``]를 만족시키는 행렬 [eqn: X``]의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

24. 행렬 [eqn: A= {pmatrix{``1``&``-1``#``1``&`````````1``}}`]에 대하여 행렬 [eqn: A^2 `+ A^4 ` + A^6 `+ A^8 `+ A^10``]의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

25. [eqn: 2 times 3 `] 행렬 [eqn: A]의 ([eqn: i`], [eqn: j`]) 성분 [eqn: a`_{i`j}`]([eqn: i=1,````2,````j=1,````2,````3`]) 를 다음과 같이 정의하자.

함수 [eqn: f(x)= i sin { pi } over {j }x`]에 대하여

[eqn: a`_{i`j}=cases{(``f(x)의~최댓값``)``~~&(`i ge j)#&#(``f(x)의~주기``)``&(`i<j)}`]

행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 곱을 구하시오. [3점]

26. 그림과 같은 그래프가 있다. 이 그래프의 꼭짓점 [eqn: rmA`]에서 꼭짓점 [eqn: rmF``]로 가는 모든 경로의 수를 구하시오. [4점]

27. 등식

[eqn: 2`^x+y +2`^x + 2`^y = 1160]

을 만족시키는 자연수 [eqn: x`], [eqn: y``]의 값을 각각 [eqn: alpha`], [eqn: beta``] ([eqn: alpha`gebeta``])라 할 때, [eqn: alpha beta``]의 값을 구하시오. [4점]

28. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 지수부등식 [eqn: 5^2x GEQ k ``․`5`^x -2k-5`]가 항상 성립하도록 하는 실수 [eqn: k`]의 값의 범위는 [eqn: alpha LEQ k LEQ beta `]이다. [eqn: left|` alpha`beta``| `]의 값을 구하시오. [4점]

29. 그림은 좌표평면에 직선 [eqn: x=m`]([eqn: m=1,``2,``3,``4`])과 직선 [eqn: y=n`]([eqn: n=1,``2,``3,``4`])의 교점을 나타낸 것이다.

[eqn: 16]개의 교점 중 서로 다른 두 점 ([eqn: x_1], [eqn: y_1]), ([eqn: x_2], [eqn: y_2])를 차례로 택하여 두 점의 [eqn: x], [eqn: y`]좌표를 성분으로 하는 행렬 [eqn: pmatrix { ``x_1``& ``x_2``#``y_1`` & ``y_2``}]를 만든다.
예를 들어 차례로 택한 두 점의 좌표가 각각 ([eqn: 1], [eqn: 3]), ([eqn: 2], [eqn: 4])이면 행렬 [eqn: pmatrix { ``1``&``2`` #``3`` &``4`` }``]가 만들어지고, 차례로 택한 두 점의 좌표가 각각 ([eqn: 2], [eqn: 4]), ([eqn: 1], [eqn: 3])이면 행렬 [eqn: pmatrix { ``2``&``1`` #``4`` &``3`` }``]이 만들어진다.
이와 같이 위의 16개의 교점 중 서로 다른 두 점을 차례로 택하여 만든 행렬 중에서 역행렬을 갖지 않는 것의 개수를 구하시오. [4점]

30. 가로의 길이가 [eqn: L`]([eqn: rmmm]), 두께가 [eqn: t`]([eqn: rmmm])인 직사각형 모양의 종이를 가로 방향으로 반씩 접을 수 있는 최대 횟수를 [eqn: n`]이라 할 때, 부등식

[eqn: L`ge` {pi`t} over {6} (`2 `^{n} +4)(`2` ^{n} -1)`]

이 성립한다고 한다.
가로의 길이가 [eqn: 25` pi `]([eqn: rmmm])이고 두께가 [eqn: 0.5`]([eqn: rmmm])인 직사각형 모양의 종이를 가로 방향으로 반씩 접으려 한다. 이때, 접을 수 있는 최대 횟수를 [eqn: a`], 최대한 많이 접은 종이의 총 두께를 [eqn: b`]([eqn: rmmm])라 하자. [eqn: ab`]의 값을 구하시오. (단, 접은 종이의 총 두께는 종이의 두께만 고려한다.) [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.